射影定理和内接矩形知识点归纳,九年级上册数学射影定理和内接矩形典型例题讲解及答案解析
射影定理PPT课件
4
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（4）CD= 3 cm,BC= 2 3cm.
你都做对 了吗？
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
AC BC
AD CD
CA CD CB AD
3.不能。只能证明 CDB ∽
ACB
。
CDAB
若已知 ABC是直角三角形。ACB 90， 则能推出
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
求其余线段。
B A
A B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是 RtABC的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
C DB
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
CEF ∽ CBA.
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBAC.
F
证法二：
1
RtCDF中，CD为外接圆的直径
RtCDE中，CD为外接圆的直径
E2 AD
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
RtCDB
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
中考数学射影定理实例解析
中考数学射影定理实例解析1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,BE平分∠ABC交CD于F,EH⊥CD于H，则下列结论正确的结有（）：①CD²=AD·BD;②AC²+BD²=BC²+AD²;③B+B B=1④若F为BE中点，则AD=3BDA.1个B.2个C.3个D.4个解：①∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ACD~△CBD,即CD²=AD-DB,故①正确②∵AC²-AD²=BC²-BD²=CD²∴AC²+BD²=BC²+AD²故②正确③作EM⊥AB,则BD+EH=BM∵BE平分∠ABC,ABCE=△BEM∴BC=BM=BD+EH,所以B+B B=1故③正确：④若F为BE中点，则CF=EF=BF,∴∠BCD=∠CBF=∠DBF=30°,∠A=30°∴AB=2BC=4BD∴AD=3BD。
答案：D2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，OP交AB于点D,交⊙O于点C,在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线段是() A.AB，CD B.PA，PC C.PA，AB D.PA，PB解:A、构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定理即可计算：B、根据切割线定理即可计算；C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径；D、根据切线长定理，得PA=PB.相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长答案：D3.如图，AB是半圆O的直径，点D是AB上任意一点(不与点A,B重合),作CD⊥AB与半圆交于点C,设AD=a,BD=b,则下列选项正确的是()A.r2>BB.r2≥BC.r2<BD.r2≤B解：连接AC,BC,∵AB为直径，AB=AD+BD=a+b.∴∠ACD=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠CDB∴∠A+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.∴△ACD~△CBD∴B B=B B即B=B∴CD=B答案:B4.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC,给出下列结论：①∠DAC=∠ABC:②AD=CB:③点P是ACQ的外心：④AC²=AE·AB;⑤CB||GD,其中正确的结论是()A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④解∵在⊙O中，点C是AD的中点，∴AC=CD∴∠CAD=∠ABC,故①正确；∵AC≠BD,∴AD≠BC.∴AD≠BC,故②错误∵∠ACQ=90°,∵AB是OO的直径，∴∠ACB=90°又·*CE⊥AB,∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°∴∠ACE=∠ABC又∵C为AD的中点，∴AC=CD∴∠CAP=∠ABC∴∠ACE=∠CAP,∴AP=CP,∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠POC=90°∴∠PCQ=∠POC,∴PC=PQ∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点∴P为Rt△4CQ的外心，故③正确；∵AB是OO的直径，∴∠ACB=90°,又∵CE⊥AB∴根据射影定理，可得AC²=AE-AB,故④正确如图，连接BD,则∠ADG=∠ABD∵AC≠BD.∴AD≠BC,∴∠ABD≠∠BAC,∴∠ADG≠∠BAC又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC,∴∠ADG≠∠PQC∴CB与GD不平行，故⑤错误.答案:D5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,AB=10,则AD等于()A.4.4B.5.5C.6.4D.7.4解：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴AC²=AD·AB∴AD=8·810=6.4答案:C6.如图所示,在△ABC中，∠C=90°,D为BC边的中点，DE⊥AB于E,则AE²-BE²等于()A.AC²B.BD²C.BC²D.DE²解：作AB的中点F,连接DF,则DF||AC DF=12AC在RT△BDF中，又DE⊥AB,得△DEF~△BDF∴E E=E E即EF·BF=DF2=14AC2∴AE²-BE²=(AE+BE)·(AE-BE)=AB·2EF=4EF·BF=AC²答案：A7.如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P,延长CP、AP交AB、BC于点M、N.若AB=2,则AP等于()解：如图，设点S为BC'的中点，连接DP,DS,DS与PC'交于点H,作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F,∴DP=CD=2,PS=CS=1即DS是PC的中垂线∴△DCS=△DPS∴∠DPS=∠DCB=90°.∴DS=DC²+CS²=2²+1=5∵BC为直径∴∠CPB=90°∴PB=B C²+P C²=255∴PE=FB=B·B B=45∴PF=BE=PB²+PE²=25∴AF=AB-FB=65∴AP=AF²+PF²=答案：B8.如图，点P是OO的直径BA延长线上一点，PC与OO相切于点C,CD⊥AB，垂足为D,连接AC、BC、OC,那么下列结论：①PC²=PA·PB:②PC·OC=OP·CD③OA²=OD·OP;④OA(CP-CD)=AP·CD,正确的结论有()个。
射影定理
射影定理直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ，③AC²=AD·AB ；④AC·BC=AB·CD （等积式，可用面积来证明）1概述射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^ 2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。
等积式(4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）2直角三角形所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
[1]公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明）(5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD [1]直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）一、在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。
初三数学知识点剖析—期末冲刺：射影定理
即 DE2 = BE CE ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1 是解题关键．
例 4：【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相 似，须根据已知与图形找条件就可．
【解答】 证明：连接 PC， ∵AB=AC，AD 是中线， ∴AD 所在直线是△ABC 的垂直平分线． ∴PC=PB，∠PCE=∠ABP． ∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP， ∴∠PCE=∠PFC 又∵∠CPE=∠EPC， ∴△EPC∽△CPF ∴ PC = PF
2.证明过程： ∵ CD ⊥ AB ∴ DCA + CAB = 90 又∵ Rt ABC 中 CBA + CAB = 90 ∴ DCA = CBA 又∵ CDA = BDC ∴ ACD CBD ∴ CD = BD 即 CD2 = AD BD
DA DC
∵ Rt ABC 中 BCD + DCA = 90 , A + DCA = 90 ∴ A = BCD 又∵ CDA = BCA ∴ ACD ABC ∴ AC = AB 即 AC2 = AB AD
例 3：【分析】利用垂直平分线的性质得出 AE=DE，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACE∽ △BAE，即可得出答案．
【解答】证明：连接 AE， ∵AD 的垂直平分线交 AD 于 E， ∴AE=DE， ∴∠1+∠2=∠4， ∵∠B+∠3=∠4， ∠2=∠3，
∴∠B=∠1， ∵∠AEB=∠CEA， ∴△ACE∽△BAE， ∴ AE = CE ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
射影定理模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是．①AD 2＝BD •DC ；②AB 2＝BD •BC ；AC 2＝CD •BC ．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．【例3】．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是9．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC 交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为2．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG•AC＝84，∴CE＝2．故答案为2．【变式6】．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在实战演练BC 的延长线上，且CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AC ，若∠ACD ＝90°，AE ＝4，CF ＝2，求EC 和AC的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：如图，∵CF ＝BE ，CF ＝2，∴BE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∵AE ⊥BC ，∴AE 2＝BE •EC （射影定理），∴EC ＝＝＝8，∴AC ＝＝＝4．1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE ＝，AD ＝4，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故选：C．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4B．2C．D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB＝2，则AP等于（）A．B．C．D．解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂线，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面积公式可得PC＝，∵BC为直径，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故选：B．4．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA•PB；②PC•OC＝OP•CD；③OA2＝OD•OP；④OA（CP﹣CD）＝AP•CD，正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA•PB；②∵OC⊥PC，∴PC•OC＝OP•CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD•OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD•OP；④∵AP•CD＝OC•CP﹣OA•CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP•CD，所以正确的有①，②，③，④，共4个．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝4，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案为．6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG 的延长线交CD于点F．F为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG＝1，则CD的长为2+2，cos∠DEC的值为﹣1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折叠的性质得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，则BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG•BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案为：2+2，﹣1．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC ⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是．解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（﹣，0），由于图象过一、二、三象限，故k＞0，又因为BC⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO•CO，代入数值为：1＝•CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO•DO，代入数值为：k2＝1•DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根据射影定理，EO2＝DO•OF，即（k++）2＝k2•（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO•EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，＝×OC×BD＝BC•DK，∵S△DCB∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值为．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案为：．9．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质得：AF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，设EG＝x，则AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG•AE（射影定理），即42＝2x•3x，解得：x＝（负值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的长为4；（2）当点E，C'，D三点共线时，如图3，由②可知，BC＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．11．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．。
2024年上海数学中考一轮复习 重难点5相似三角形中的“内接矩形”含详解
ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．AB CD E F GH P 例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x的函数关系式．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，点G 、F 分别在边AB AC 、上，如果8BC =，ABC 的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A ．4B ．8C ．83D ．1632．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．9．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）如图：正方形DGFE 的边EF 在ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是___cm ．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE 的边EF 在△ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH ⊥BC 于H ，交DG 于P ，已知BC ＝48，AH ＝16，那么S 正方形DGEF ＝_____．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．19．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．已知6cm BC =，3cm DE =，2cm EF =，那么ABC 的面积是________2cm ．20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．三、解答题(1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长．∆的边BC上，顶点D、24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCBC=，8AH=．⊥，垂足为H．已知12G分别在边AB、AC上，AH BC(1)当矩形DEFG为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG面积为18时，求矩形的长和宽．的边BC上，顶点D、25．（2022秋·上海静安·九年级上海市民立中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCG 分别在边AB 、AC 上，60BC =，高40AH =，如果2DE DG =，求矩形DEFG 的周长．ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．ABCD E F GH P 【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD AP BC AB AH∴==．406040x x -∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB=．1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=，6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=- 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠= ，，GF AG BC AB∴=,又 AH 是高，90AHB ∴∠= ，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>-．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠= ，，GD AD BC AB∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠= ．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，641BC x ∴+=，64x BC x ∴=-，又 12ABC S y BC AH ∆== ，∴()2344x y x x =>-．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解： 矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠= ，GD AD BC AB∴=，又 AH 是高，90AHC ∴∠= ，DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH∴+=，153x DE ∴+=，又 DEFG S y x DE ==∙矩形，20x ∴=，∴y DE x=，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．A B CD E F A BCD EF G H 【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=∙=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．1按甲的设计：设DE x =， 正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=,设DE x =，则DG x =， 正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB∴+=， 1122ABC S AB BC AC BH ∆=∙=∙，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=，3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．【过关检测】一、单选题A ．4B ．8【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥边长为x ，则,GF x MH x ==的方程即可．∵ABC 的面积是32，BC ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ∵GF BC ∥，A ．4厘米B ．5厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG △【详解】解：设正方形的边长为x ∵正方形DEFG 得，二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB=，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，12【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作证AGF ABC ∽△△【详解】解：如图，过点 矩形DEFG 中，2cm EF MN ==∴AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，∠AGF ABC ∴△∽△AN GF【答案】2003/21983【分析】由DG BC ∥得ADG 【详解】解：设ABC 的高AH 由正方形DEFG 得，DG EF ∥【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M △∽△ADG ABC ，即可得到【详解】解：作高AH 交DG ∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x 则DE MH x ==，【答案】257/257【分析】过点C 作CM AB ⊥于点可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC 2222215AB AC BC ∴=+=+=1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△【答案】4【分析】由题意过A作AH △AGF∽△ABC，求出AM∵AH⊥BC，四边形DEFG ∴四边形HEFM是矩形，∴△AGF∽△ABC，∴AM AH【答案】20【分析】设DG为x，根据矩形的性质得出各线段代入求解即可．【详解】解：设DG为x，【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE AM AB AD =，即可得出DEH BC AM A =，可求解AD BC ⊥∵ABC 的面积是36，12BC =,∴1362BC AD ⨯=,∴112362AD ⨯⨯=，6AD =【答案】2【分析】利用正方形的性质可知似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN是正方形，【答案】758/398【分析】如图，证明AGH △【详解】解：∵:3:EF FG =∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，2KD FG k HG ==，∴AGH ACB ∽△△，而AD ⊥三、解答题21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =-=-，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，(1)如果AB=2AC，求证：四边形(2)如果2AB AC=，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)23DE=【分析】（1）因为BD=2AD，AE=可以推出EF=DF，故四边形ADFE（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明【详解】（1）证：∵BD=2AD，AE=∴BD AE AD EC=，∵DF//AC，∴BD BF AD FC=，∴BF AE FC EC=，∵BD=2AD，AE=2EC，∴AD=13AB，AE=23AC，∴222 AD ABAE AC==，∵22 ACAB=，∴AD AC AE AB=，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴23 DE AEBC AB==，∴DE=2 3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键．23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE ==问题可求解．【详解】解： 四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴ ，AH BC ⊥，DG EF =，AK DG ∴⊥．。
射影定理
射影定理直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ，③AC²=AD·AB ；④AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）基表达式AC·BC=AB·CD射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB,(2)(BC)^2;=BD·BA ,(3)(AC)^2;=AD·AB 。
等积式(4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）直角三角形的射影定理所谓射影，就是灯光投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
[1]公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：射影定理（1）BD²=AD·DC，（2）AB²=AD·AC ，（3）BC²=CD·CA。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明）(5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD[1]直角三角形射影定理的证明一、在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,