课时跟踪检测(十一) 函数的概念

课时跟踪检测（十一） 函数的概念
A 级——学考水平达标练
1．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选D 因为f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝22＋1＝5.
2．已知M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )
解析：选B A 项中函数的定义域为[－2,0]，C 项中对任一x 都有两个y 值与之对应，D 项中函数的值域不是[0,2]，均不是函数f (x )的图象．故选B.
3．下列各组函数表示相等函数的是( )
A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)
B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1
C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)
D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z
解析：选C 选项A 、B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数．
4．函数f (x )＝3x 21－x －23x ＋1
的定义域是( ) A.⎣⎡⎦
⎤－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝
⎛⎭⎫－∞，－13 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧
1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1，从而得B 答案． 5．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．2
解析：选A ∵f (x )＝ax 2－1，∴f (－1)＝a －1，
f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1.
∴a (a －1)2＝0.
又∵a 为正数，∴a ＝1.
6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．
解析：若[a,3a －1]为一确定区间，则a ＜3a －1，解得a ＞12
，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭
⎫12，＋∞ 7．设f (x )＝11－x
，则f (f (a ))＝________. 解析：f (f (a ))＝1
1－11－a ＝11－a －11－a
＝a －1a (a ≠0，且a ≠1)． 答案：a －1a
(a ≠0，且a ≠1) 8．函数y ＝2x ＋41－x 的值域为________(用区间表示)．
解析：令t ＝1－x ，则x ＝1－t 2(t ≥0)，
y ＝2x ＋41－x ＝2－2t 2＋4t ＝－2(t －1)2＋4.
又∵t ≥0，∴当t ＝1时，y max ＝4.
故原函数的值域是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
9．已知函数f (x )＝x ＋1x
. (1)求f (x )的定义域；
(2)求f (－1)，f (2)的值；
(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．
解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0，
∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f (－1)＝－1＋1－1
＝－2，f (2)＝2＋12＝52. (3)当a ≠－1时，a ＋1≠0，
∴f (a ＋1)＝a ＋1＋
1a ＋1. 10．求函数y ＝x ＋2
6－2x －1的定义域，并用区间表示．
解：要使函数解析式有意义，需满足：
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，6－2x ≥0，
6－2x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－2，x ≤3，x ≠52，所以－2≤x ≤3且x ≠52
. 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
－2≤x ≤3且x ≠52. 用区间表示为⎣
⎡⎭⎫－2，52∪⎝⎛⎦⎤52，3. B 级——高考水平高分练
1．已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为________．
解析：∵△ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x ＞0，
∴x ＜5，又两边之和大于第三边，∴2x ＞10－2x .
∴x ＞52
，∴此函数的定义域为⎝⎛⎭⎫52，5. 答案：⎝⎛⎭⎫52，5
2．设函数y ＝f (x )对任意正实数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，已知f (8)＝3，则f (2)＝________.
解析：因为f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，所以令x ＝y ＝2，得f (2)＝f (2)＋f (2)，令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)，令x ＝2，y ＝4，得f (8)＝f (2)＋f (4)，所以f (8)＝3f (2)＝6f (2)，又f (8)
＝3，所以f (2)＝12
. 答案：12
3．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f (x )＝5x ＋4x －1
； (3)f (x )＝x －x ＋1.
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1
，所以函数的值域为{y |y ≠5}． (3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝
x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54
.所以函数
的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪
y ≥－54. 4．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y ＝10(1＋x )2描述．
解：把y ＝10(1＋x )2看成二次函数，那么它的定义域是R ，值域是B ＝{y |y ≥0}，对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数10(1＋x )2.
如果对x 的取值范围作出限制，例如x ∈{x |0<x <1}，那么可以构建如下情境：
临沂市蒙阴县岱崮“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2018年约有10万人次，设观赏人数年平均增长率为x ，预计2020年观赏人数为y ，那么y ＝10(1＋x )2.
其中，x 的取值范围是A ＝{x |0<x <1}，y 的取值范围是B ＝{y |10<y <40}．对应关系f 把每一个增长率x ，对应到唯一确定的观赏人数10(1＋x )2.
5．已知函数f (x )＝x 21＋x 2
. (1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭
⎫13的值； (2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系？并证明你的结论；
(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭
⎫12 019的值． 解：(1)∵f (x )＝x 2
1＋x 2， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭
⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2
1＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，
∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭
⎫12 019＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。