直角三角形斜边上的中线(人教版)(含答案)
数学人教版八年级下册直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》教学设计广州市第四中学邓丽丽一、教学内容与内容分析1、教学内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质的形成和应用。
2、内容分析：来源于人教版八年级数学下册19.2.1矩形一节，由矩形的对角线性质“矩形的对角线相等”我们得到了直角三角形的一个重要性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。
本课主要内容是一、为什么说“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；二、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用（包括应用于生活实际问题、应用于几何计算与证明）。
利用倍长中线法，利用对称的性质构造全等三角形，以及构造中位线法证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，总结中点辅助线模型，为中考常见题型中的中点问题的解决提供了基础和方法。
二、教学目标与目标分析1、教学目标（1）知识与技能目标：能掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用，能利用添辅助线证明有关中点的几何问题；（2）过程与方法目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想；（3）情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。
三、教学重点与教学难点：教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。
教学难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。
3、突出重点、突破难点的方法与策略：☆突出重点的方法：通过设置情境问题，引导学生思考、探究和讨论，在学生的自主探究过程中突出重点☆突破难点的方法：通过教师的启发引导，充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、探讨交流、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点。
四、教学方法：根据本节课的教学内容、教学目标以及学生的认知特点和实际水平，教学上本节课采用“情景引入——探索新知——应用新知”的教学方法，并将学生分成几个小组，实行以个人自主探究、小组合作交流为主，教师适当引导为辅的教学模式。
2019年人教版八下数学《18.2 直角三角形斜边上的中线》专项复习资料
2019年人教版八下数学《18.2 直角三角形斜边上的中线》专项复习资料一．选择题（共10小题）1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．22．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．273．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC=80°，那么∠GHE等于（）A．5°B．10°C．20°D．30°【1】【2】【3】4．如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A 随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为（）A．2.4 B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（）A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC=EF D．无法比较6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD=（）A．22.5°B．30°C．36°D．45°【4】【5】【6】7．已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=8，则MN为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如果三角形中一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．如图，△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E，F，G，AD是高．则下列选项正确的有（）个（1）∠EDG=∠EFG；（2）∠B=∠BDE；（3）∠CDG=∠C；（4）∠GFC=∠ADE．A．1 B．2 C．3 D．4【7】【9】【10】二．填空题（共10小题）11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC 于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于．12．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE，若AE=6.5，AD=5，则AC=；△ABE的周长是．13．把一副三角板如图放置，E是AB的中点，连接CE、DE、CD，F是CD的中点，连接EF．若AB=4，则S△CEF=．【11】【12】【13】14．如图，∠MON=90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连结OC．若AC=4，BC=3，AB=5，则OC的长度的最大值是．15．如图，在四边形ABCD中，BC⊥AC于点C，BE⊥AD于点E，∠BAC=60°，点G是AB的中点，已知BC=，则GE的长是．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C 随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．【14】【15】【16】17．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y 轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．18．一个直角三角形斜边上的中线长为10，周长为48，则此直角三角形的面积为．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．以AB长为一边作△ABD，且AD=BD，∠ADB=90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC=°．20．如图是一副三角尺拼成的四边形ABCD，E为斜边BD中点，则∠ACE=．【17】【19】【20】21．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF=AC．（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．（1）证明：DC=DG；（2）若DG=5，EC=2，求DE的长．23．如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，求∠BDE 的大小．24．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．25．△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，D为BC中点，设EB与CF相交于K，N为KA的中点，探索DN和EF的位置关系．26．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．27．小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？即：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是否为直角三角形？通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：已知：如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD=AB求证：△ABC为直角三角形证明：由条件可知，AD=BD=CD则∠A=∠DCA，∠B=∠DCB又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°∴∠DCA+∠DCB=90°爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2、图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整：28．引理：如图1所示已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则CD=AD=DB=AB应用格式为：∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=DB=AB如图2所示已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB直线于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（本题需要用引理）（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．29．如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．《直角三角形斜边上的中线》专项提升参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH 的长是（）A．2.5 B．C． D．2【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．2．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM 的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．故选A．3．（2015春•威海期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC=80°，那么∠GHE等于（）A．5°B．10°C．20°D．30°【解答】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点，∴AH=CH=BD．∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH=90°．∵∠BEC=80°，∴∠GEH=∠BEC=80°，∴∠GHE=90°﹣80°=10°．故选B．4．（2014春•范县期末）如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B 在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为（）A．2.4 B．C．D．【解答】解：如图，取AB的中点D，连接CD．∵△ABC是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2，∵点D是AB边中点，∴BD=AB=1，∴CD===，即CD=；连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，由（1）得，CD=，又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=AB=1，∴OD+CD=1+，即OC的最大值为1+．故选：C．5．（2016•东明县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF 的大小关系是（）A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC=EF D．无法比较【解答】解：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=AB，在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴CD=AB，∴CD=EF，故选：C．6．（2015春•唐山期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD=（）A．22.5° B．30°C．36°D．45°【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，∴∠BCD=90°×=22.5°，∠ACD=90°×=67.5°，∵CD⊥AB，∴∠B=90°﹣22.5°=67.5°，∵E是AB的中点，∠ACB=90°，∴CE=BE，∴∠BCE=∠B=67.5°，∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=67.5°﹣22.5°=45°，故选D．7．（2015秋•邗江区期中）已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=8，则MN为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：连接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=AC，DM=AC，∴BM=DM=5，又N是BD的中点，∴BN=DN=BD=4，∴MN==3，故选：A．8．（2015春•邵阳县期末）如果三角形中一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵三角形中一边上的中线等于这边的一半，∴这个三角形是直角三角形．故选B．9．（2016•保定三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB，又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°．10．（2014秋•新泰市期末）如图，△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E，F，G，AD是高．则下列选项正确的有（）个（1）∠EDG=∠EFG；（2）∠B=∠BDE；（3）∠CDG=∠C；（4）∠GFC=∠ADE．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AD是高，且E是AB的中点，∴DE=BE=AE，∴∠B=∠BDE，∠EAD=∠ADE，故（2）正确．同理，∠DAG=∠ADG，∠CDG=∠C，则（3）正确，（4）错误；又∵AB、BC、CA的中点分别是E，F，G，∴EF∥AC，FG∥AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴∠EFG=∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠ADE+∠ADG=∠EDG．故（1）正确．故选C．二．填空题（共10小题）11．（2012•鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，∵∠A=60°，∴△ACD是等边三角形，同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，∴第一个等边三角形的边长CD=DB=AB=AC=a，第二个等边三角形的边长EF=DB=a，…第n个等边三角形的边长为a，所以，第n个三角形的面积=×a×（•a）=．故答案为：．12．（2012秋•义乌市期末）如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE，若AE=6.5，AD=5，则AC= 6.5；△ABE的周长是25．【解答】解：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．又∵点E是BD的中点，∴BD=AE=BE=6.5，∴∠EAB=∠B，∴∠AEC=∠B+∠EAB=2∠B=∠C，即∠AEC=∠C，∴AE=AC=6.5．在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13∴AB=12（勾股定理），∴△ABE的周长是AB+AE+BE=12+6.5+6.5=25．故答案分别是：6.5；25．13．（2014•松北区一模）把一副三角板如图放置，E是AB的中点，连接CE、DE、CD，F是CD的中点，连接EF．若AB=4，则S△CEF=．【解答】解：作DG⊥CE于点G．∵AB=4∴CE=BC=AB=2，DE=AB=2，∵∠CED=∠DEB+∠CEB=90°+60°=150°，∴∠DEG=180°﹣150°=30°．在直角△DEG中，DG=DE=×2=1．∴S△CDE=CE•DG=×2×1=1，∵F是CD中点．∴S△CEF=S△CDE=×1=．故答案是：．14．（2015秋•宜兴市校级期中）如图，∠MON=90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连结OC．若AC=4，BC=3，AB=5，则OC的长度的最大值是5．【解答】解：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴CE=AB，∵OE+CE≥OC，∴OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5，故答案为5．15．（2014•丹东一模）如图，在四边形ABCD中，BC⊥AC于点C，BE⊥AD于点E，∠BAC=60°，点G是AB的中点，已知BC=，则GE的长是1．【解答】解：设AB=2x，∵BC⊥AC，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣60°=30°，∴AC=AB=x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（2x）2=x2+（）2，解得x=1，∴AB=2，∵BE⊥AD，点G是AB的中点，∴GE=AB=x=1．故答案为：1．16．（2014•路南区三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为9．【解答】解：作AC的中点D，连接OD、BD．∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵BD===5，OD=AD=AC=4，∴点B到原点O的最大距离为5+4=9．故答案是：9．17．（2016•郑州校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x 轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为+1．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2，∴OE=AE=AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE===，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为+1．故答案为：+1．18．（2011秋•诸暨市校级期中）一个直角三角形斜边上的中线长为10，周长为48，则此直角三角形的面积为96．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为10，∴斜边的长为20，设两直角边分别为x、y，∵周长为48，∴x+y=48﹣20=28，平方得，x2+2xy+y2=784，根据勾股定理，x2+y2=202=400，∴2xy=784﹣400=384，∴xy=96，即直角三角形的面积为96．故答案为：96．19．（2015秋•南京期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．以AB长为一边作△ABD，且AD=BD，∠ADB=90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC=75°．【解答】解：∵∠ACB=90°，点E是AB中点，∴EC=EA=EB=AB，∴∠ECA=∠CAB=30°，∴∠CEB=60°，∵AD=BD，点E是AB中点，∴DE⊥AB，即∠AED=90°，∴∠DEC=180°﹣90°﹣60°=30°，∵∠ADB=90°，点E是AB中点，∴DE=AB，∴ED=EC，∴∠EDC=75°，故答案为：75．20．（2014秋•鄄城县期中）如图是一副三角尺拼成的四边形ABCD，E为斜边BD中点，则∠ACE=15°．【解答】解：根据直角三角形性质，∵E为斜边BD中点，∴CE=DB，AE=DB，即CE=AE，又根据题意及图知∠ADB=60°，∠CDE=45°，∴∠DEA=∠ADB=60°，∠DEC=90°，∴∠AEC=150°，又CE=AE，∴∠ACE=∠CAE=15°．故答案为：15°．三．解答题（共9小题）21．（2014•锦州）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF=AC．（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．【解答】（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵点F为AC的中点，∴EF=AC；（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM，∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM．22．（2014秋•沧浪区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．（1）证明：DC=DG；（2）若DG=5，EC=2，求DE的长．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠DEB=180°，∴∠ADE=90°，∵G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠DAF=∠ADG，∴∠DGC=∠DAF+∠ADG=2∠DAC，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∵∠ACD=2∠ACB，∴∠DGC=∠DCA，∴DC=DG；（2）解：∵在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DG=DC=5，CE=2，∴由勾股定理得：DE==．23．（2014春•海盐县校级期末）如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E 为斜边AC的中点，求∠BDE的大小．【解答】解：∵点E是Rt△ABC，Rt△ACD斜边AC的中点，∴BE=DE=AC=CE，DE⊥AC，∴∠ACB=∠EBC，∠BDE=∠EBD，又∵∠ACB=30°，∴∠AEB=∠EBC+∠ECB=30°+30°=60°∴∠BED=∠BEA+∠DEA=60°+90°=150°∴∠BDE=（180°﹣∠BED）=（180°﹣150°）=15°．24．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．【解答】证明：连接BM、CN，∵BA=BD，DM=MA，∴BM⊥AD，∴∠BMC=90°，又BP=PC，∴MP=BC，同理，NP=BC，∴MP=NP，∴△PMN是等腰三角形．25．△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，D为BC中点，设EB与CF相交于K，N为KA的中点，探索DN和EF的关系．【解答】解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，D为BC中点，∴DE=DF=BC，连接NE、NF，∵N为KA的中点，∴NE=NF=AK，∴DN垂直平分EF．26．（2012秋•海淀区期末）已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．【解答】解：（1）结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，∴BM=DM=CE；又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；同理可得∠DME=2∠DCM；∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=EC=MC，又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴DM=EC=MC，∴BM=DM；∵BM=MC，DM=MC，∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，∴∠BMD=∠EMB﹣∠EMD=2∠BCM﹣2∠DCM=2（∠BCM﹣∠DCM）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=EC=ME；又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM=EC=MC，∴BM=DM；∵BM=ME，DM=MC，∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°﹣∠BCD，∴∠BMD=180°﹣（∠BMC+∠DME），=180°﹣2（∠BEM+∠MCD）=180°﹣2（90°﹣∠BCD）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．（3）所画图形如图所示：图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，∠BMD=360°﹣2∠BCD．解法同（2）．27．（2015春•瑶海区期末）小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？即：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是否为直角三角形？通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：已知：如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD=AB求证：△ABC为直角三角形证明：由条件可知，AD=BD=CD则∠A=∠DCA，∠B=∠DCB又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°∴∠DCA+∠DCB=90°爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2、图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整：【解答】证明：如图2，延长CD至E，使DE=CD，连接AE、BE；又∵AD=DB，∴四边形ACBE是平行四边形，又∵CD=AB，CD=CE，∴四边形ACBE是矩形，∴∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．28．（2015秋•启东市校级月考）引理：如图1所示已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则CD=AD=DB=AB 应用格式为：∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=DB=AB如图2所示已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB直线于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（本题需要用引理）（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．【解答】解：（1）①连接CD，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，∴CD=AD=BD，又∵AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF．②连接DG，∵∠ACB=90°，G为EF的中点，∴CG=EG=FG，∵∠EDF=90°，G为EF的中点，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH．（2）分两种情况：①如图，当E在线段AC上时，∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE==4，∴AC=AE+EC=3+4=7；②如图，当E在线段CA延长线上时，AC=EC﹣AE=4﹣3=1．③E在AC延长线上时，AC=AE﹣CE，AC=3﹣4=﹣1（舍去）．综合上述，AC=7或1．29．（2016春•广饶县期末）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【解答】解：（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=BC，ME=BC，∴DM=ME又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），=360°﹣2（∠ABC+∠ACB），=360°﹣2（180°﹣∠A），=2∠A，∴∠DME=180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC，=2（180°﹣∠A），=360°﹣2∠A，∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A），=2∠A﹣180°．。
第08讲含30度直角三角形与斜边上的中线(原卷版)
第08讲含30度直角三角形与斜边上的中线重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．二．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．一．含30度角的直角三角形（共13小题）1．（2022秋•如皋市校级期末）如图，小明沿倾斜角∠ABC＝30°的山坡从山脚B点步行到山顶A，共走了500m，则山的高度AC是．2．（2022秋•泰州月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．1.8B．2.2C．3.5D．3.83．（2022秋•兴化市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（）A．4B．6C．8D．104．（2022秋•无锡期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB边上的高．若AB＝10，则CD ＝．5．（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．求证：．证明：．6．（2022秋•锡山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm7．（2022秋•江都区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为．8．（2022秋•东台市期中）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC上一点，BD＝3，DE⊥BC交AB于点E，则线段AE＝．9．（2022秋•南通期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s 的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（）A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s10．（2022秋•崇川区校级月考）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设P A＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x11．（2022秋•兴化市校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝．12．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB 上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝．13．（2022秋•涟水县期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝12cm，点EF在边OB上，且PE＝PF，若EF＝2cm，则OE＝cm．二．直角三角形斜边上的中线（共10小题）14．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD ＝°．15．（2022秋•鼓楼区校级期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是．16．（2022秋•海陵区校级期末）直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是．17．（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．18．（2022秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E 是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．19．（2022秋•镇江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（）A．118°B．108°C．120°D．116°20．（2022秋•江都区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，若CD＝2cm，则AB＝cm．21．（2022秋•徐州期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）当∠BAD＝°时，△BED是等边三角形．22．（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．（1）求证：DE＝CE；（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．23．（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．（1）求证：DF＝EF；（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．①判断△DEF的形状，并说明理由；②＝．一．选择题（共7小题）1．（2022春•清江浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD 的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．（2021秋•惠山区校级月考）如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE ＝6，则△ABC的面积是（）A．24B．25C．30D．363．（2022秋•玄武区校级月考）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A．2B．3C．3.5D．44．（2022秋•宿城区期中）如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km5．（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（）A．12B．30C．27D．326．（2022秋•淮安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝2.5，AB的长为（）A．2.5B．4C．5D．67．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是（）A．逐渐变大B．不断变小C．不变D．先变大再变小二．填空题（共7小题）8．（2022秋•通州区校级月考）如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝．9．（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm．以点A 为圆心、AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，则AD长为cm．10．（2022秋•兴化市月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝．11．（2020秋•盐都区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，若AB＝10，则CD＝．12．（2021秋•沭阳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB 于点E，交BC于点D，CD＝1，则BC的长为．13．（2022秋•玄武区校级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C 从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是秒时，△ABC是直角三角形．14．（2022秋•海安市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD＝．三．解答题（共7小题）15．（2022秋•扬州期中）如图，在等边△ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝3，求CD的长．16．（2022秋•泗阳县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．（1）求证：CD＝AE；（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度数．17．（2022秋•淮阴区期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于E，D为垂足，连接BE．（1）若∠ABC＝75°，求∠AED的度数；（2）若AB＝6cm，△BCE的周长是11cm，求BC的长度．18．（2022秋•秦淮区校级月考）证明：直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半．19．（2022秋•江都区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数；（3）猜想∠DME与∠A之间的关系，并证明你的猜想．20．（2022秋•建邺区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．21．（2022秋•鼓楼区期中）证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：；求证：；证明过程：．一．选择题1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°．首先以顶点B 为圆心、适当长为半径作弧，在边BC 、BA 上截取BE 、BD ；然后分别以点D 、E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ．若BG ＝1，P 为边AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A ．无法确定B ．12C ．1D ．22．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，且AD ＝AC ，若AB ＝6，CD ＝4，则BD 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．13．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC 交边AC 于点D ，E 为BD 的中点，若BC ＝2√3，则CE 的长为（ ）A ．√3B ．2C ．52D ．34．如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝10，点M 、N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2，则OM ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，已知∠ACB ＝60°，PC ＝12，点M ，N 在边CB 上，PM ＝PN ．若MN ＝3，则CM 的长为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.56．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 是AC 边上的动点（点E 与点C 、A 不重合），设点M 为线段BE 的中点，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，连接MC 、MF ．若∠CBA ＝50°，则在点E 运动过程中∠CMF 的大小为（ ）A．80°B．100°C．130°D．发生变化，无法确定7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．38．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C 两点间的距离为（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km二．填空题9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝．10．一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝°．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝．13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为．三．解答题14．在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．15．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．16．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC ＝12．（1）求证：BD⊥BC．（2）求DB的长．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．19．已知在△ABC中，∠B＝60°，AD＝14，CD＝12，S△ADC＝30√3，求BD的长．。
专题14 直角三角形斜边上的中线-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(解析版)
专题14直角三角形斜边上的中线★知识归纳●直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点梳理：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.★实操夯实一．选择题（共16小题）1．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）A．B．C．D．7【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.5【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝3．故选：A．3．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．不变B．变小C．变大D．无法判断【解答】解：不变．连接OP，在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，那么OP＝AB，由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．故选：A．4．如图，∠ABC＝∠ADC＝Rt∠，E是AC的中点，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2大小关系不能确定【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠1＝∠2．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．4【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB＝×10＝5，故选：C．6．已知直角三角形斜边上的中线长为3，则斜边长为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为3，∴斜边长是6．故选：B．7．直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm，故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝×6＝3cm．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：取BC的中点E，连接AE，∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝BC＝BE，∴∠B＝∠EAB，∵AD＝BC，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠D＝40°，∴∠B＝20°，故选：B．11．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10B．6C．8D．5【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝×10＝5，故选：D．12．如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝3，BC＝8，则△EFM的周长是（）A．21B．15C．13D．11【解答】解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝FM＝BC＝×8＝4，∴△EFM的周长＝8+8+3＝11．故选：D．13．如图，边长为2的等边三角形ABC，点A，B分别在y轴和x轴正半轴滑动，则原点O到C的最长距离（）A．B．C．D．【解答】解：取AB的中点D，连接OD，CD，在△OCD中，OC＜OD+CD，只有当O，D，C三点在一条线上时，OC＝OD+CD，此时OC最大，如图所示，OC⊥AB，∵△AOB为等腰直角三角形，AB＝2，∴OD＝AB＝1，在Rt△BCD中，BC＝2，BD＝1，根据勾股定理得：CD＝＝，∴OC＝+1．故选：D．14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．15．如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°．∵AD＝DB，∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝6．故选：D．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝3，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC＝2，又∵D是AB中点，∴BD＝AB＝，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝，∴△BDE的周长为BD+DE+BE＝++2＝5．故选：C．二．填空题（共7小题）17．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长是14．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝5，在Rt△BCF中，FM＝BC＝5，又∵EF＝4，∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝5+5+4＝14．故答案是：14．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AC的中点，若AB＝6，则DE的长为3．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝AC＝3．故答案为：3．19．如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC上一点，AD＝5，且AD⊥AB，点E是BD上的点，AE＝BD，AC＝6.5，则AB的长度为12．【解答】解：∵Rt△ABD中，AE＝BD，∴AE＝BE＝DE；∴∠B＝∠BAE，即∠AED＝2∠B；∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，即AE＝AC＝6.5；∴BD＝2AE＝13；由勾股定理，得：AB＝＝12．20．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60°，则∠AFG的度数是20°．【解答】解：∵四边形BEFG是长方形，∴FG∥BE，∴∠FBE＝∠BFG＝60°，∵AD＝BD＝BF，∴∠A＝∠ABD，∠BDF＝∠BFD，∵∠BDF＝∠DFB＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠EBF＝∠A+∠AFB＝3∠A＝60°，∴∠A＝20°，∵FG∥BE，∴∠AFG＝∠A＝20°，故答案为：20°．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．【解答】解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B 作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6．故答案为6．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝10°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴CD＝BD，CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD＝∠BCD＝50°，∴∠ACB′＝∠B′CD﹣∠DCA＝10°，故答案为：10°．三．解答题（共4小题）24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．【解答】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．25．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．（1）证明∠ABE＝∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；（3）求MN的长．【解答】解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACF；（2）MN垂直平分EF．证明：如图，连接EM、FM，∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，∴EM＝FM＝BC，∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；（3）∵EF＝6，BC＝24，∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，由勾股定理得，MN＝＝＝3．26．拓展：如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F．（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？（2）试证明你的猜想．【解答】解：（1）EF垂直平分BD，（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∴BE＝AE＝EC，ED＝AE＝EC，∴BE＝DE，∵EF平分∠BED交BD于点F，∴EF⊥BD，BF＝FD，即EF垂直平分BD．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，AM＝AN，∠N+∠CAN＝180°．求证：MN＝AC．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，∴CM＝AM，∴∠MCA＝∠MAC，∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∵∠N+∠CAN＝180°，∴AC∥MN，∴∠AMN＝∠MAC，∴∠AMC＝∠NAM，∴AN∥MC，又AC∥MN，∴四边形ACMN是平行四边形，∴MN＝AC．。
直角三角形性质应用(直角 中点)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？问题2：遇到斜边上的中点怎么想？问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________；如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形．直角三角形性质应用（直角+中点）一、单选题(共7道，每道12分)1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB．若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( )A.35°B.45°C.55°D.65°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A.20B.14C.13D.10答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( )A.25°B.20°C.15°D.10°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一性质6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A.2.5B.C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半7.如图，BD，BE是Rt△ABC斜边AC上的中线与高线．已知AB=4，BC=3，则AD:DE:EC等于( )A.5:3:4B.25:9:16C.25:7:18D.3:2:1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等积公式二、填空题(共1道，每道16分)8.如图，在四边形ABCD中，BC⊥AC于点C，BE⊥AD于点E，∠BAC=60°，点G是AB的中点，已知，则GE的长是____．答案：1解题思路：试题难度：知识点：含30°的直角三角形。
直角三角形斜边中线定理 (3)
直角三角形斜边中线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
直角三角形的边可分为三种：斜边、邻边和对边。
直角三角形具有许多特性和性质，其中之一就是直角三角形斜边中线定理。
定理描述直角三角形斜边中线定理指出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
换句话说，如果在一个直角三角形中，连接斜边的中点与直角顶点的直线段，那么这个直线段的长度等于斜边的一半。
下面是该定理的数学表达式：设直角三角形的斜边长度为c，斜边上的中线长度为m，则有：m = c / 2定理证明我们可以通过几何和代数的方法来证明直角三角形斜边中线定理。
几何证明设直角三角形的斜边为AC，斜边上的中线为BM，并连接顶点A和中点B。
首先，我们可以通过斜边上的中线构造一个三角形ABM。
根据直角三角形的性质，A和C分别为直角三角形ABM的直角顶点和斜边上的另一个顶点。
由于三角形ABM是直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解等式AB和BM的关系。
根据勾股定理，直角三角形ABM的斜边AB的平方等于直角边AM的平方加上直角边BM的平方：AB² = AM² + BM²因为直角三角形ABM是等腰三角形（与斜边等长），所以直角边AM的长度等于斜边AC的一半（即AM=c/2），我们将其带入等式中化简：AB² = (c/2)² + BM²继续化简：AB² = c²/4 + BM²由于AB = AC（直角边）和AC = c（斜边），我们可以将AB替换为c，即：c² = c²/4 + BM²继续化简并整理：3c²/4 = BM²通过移项操作，得到：BM² = 3c²/4我们可以取开根号来求解BM的长度：BM = √(3c²/4) = (√3c) / 2接下来，我们将BM的长度与斜边的一半进行比较：BM = (√3c) / 2 c / 2我们可以发现，BM的长度等于斜边的一半（c/2），这证明了直角三角形斜边中线定理。
专题12 直角三角形斜边上的中线(解析版)
专题12 直角三角形斜边上的中线【考点归纳】（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•贵阳期末）如图，在长为10的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为（）A．5﹣5B．10﹣5C．10﹣10D．5+5【答案】A【解析】解：∵AB＝10，BC＝AB，∴BC＝5，由勾股定理得：AC＝5，∵CE＝BC＝5，∴AD＝AE＝AC﹣CE＝5﹣5．故选：A．2．（2020秋•仪征市期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点【答案】A．【解析】解：∵AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002＝360000，AC2＝8002640000，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，当点P在AB的中点时，CP＝AB＝P A＝PB，故选：A．3．（2020秋•莲湖区期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB 的长为4.8km，则M，C两点间的距离为（）A．1.2km B．2.4km C．3.6km D．4.8km【答案】B．【解析】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝4.8km，∴CM＝2.4（km），即M，C两点间的距离为2.4km，故选：B．4．（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D．【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，∴∠B＝30°．∵D是AB的中点，∴BD＝CD．∴∠DCB＝∠B＝30°．又∵DE⊥BC于E，∴∠BDE＝∠CDE＝60°．∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．∴△ACD为等边三角形．∴∠ADC＝∠DAC＝∠ACD＝∠CDE＝∠BDE＝60°．故选：D．5．（2020秋•嵊州市期中）直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（）A．5B．2.5C．3.5D．4.5【答案】B【解析】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长是＝5，所以＝2.5，故选：B．6．（2020秋•高州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．二、填空题7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝．【答案】10【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝10，故答案为：10．8．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，ED⊥AB交BC于E，连接CD，则∠CDE：∠ECD＝．【答案】1：2．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，∴CD＝DB，∴∠ECD＝∠B＝36°，∴∠CDB＝180°﹣∠ECD﹣∠B＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∠CDE＝∠CDB﹣∠EDB＝108°﹣90°＝18°，∠CDE：∠ECD＝1：2．故答案为1：2．9．（2020春•南岗区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝DC．则∠BAC的度数为°．【答案】105【解析】解：取CD的中点E，连接AE，在Rt△ADC中，DE＝EC，∴AE＝CD＝ED＝EC，∴∠EAC＝∠C＝25°，∴∠AED＝∠EAC+∠C＝50°，∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝65°，∵AB＝DC，AE＝CD，∴AB＝AE，∴∠BAE＝80°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝105°，故答案为：105．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果斜边AB上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝cm．【答案】8【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8cm．故答案为：8．11．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．【答案】90°【解析】解：连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC，同理，DE＝AC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．三、解答题12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D．（1）若∠C＝74°，求∠BAD的度数；（2）点E为线段AB的中点，连接DE．求证：DE∥BC．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝74°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝37°，∵AD⊥BD，∴∠BAD＝90°﹣37°＝53°；（2）证明：在Rt△ADB中，点E为线段AB的中点，∴ED＝EB∴∠EBD＝∠EDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC．【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝74°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质得到ED＝EB根据等腰三角形的性质得到∠EBD＝∠EDB，根据平行线的判定定理证明结论．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．【答案】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．【解析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．14．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．【答案】（1）证明：∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝BE＝AB，∴DC＝BE；（2）∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE∵DE＝BE∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝72°，∴∠BCE＝24°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DE＝BE＝AB，证明结论；（2）根据等腰三角形想的性质得到∠DEC＝∠DCE，根据三角形的外角性质列式计算即可．15．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，∴EA＝BD＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BD＝2AC；（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，由勾股定理得，AB＝＝＝12，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．【解析】（1）根据直角三角形的性质得到EA＝BD＝EB，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出BC和BE，根据勾股定理求出AB，根据三角形的周长公式计算．16．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．【答案】证明：连接DM，BM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴DM＝AC，BM＝AC，∴DM＝BM，又N是BD的中点，∴MN⊥BD．【解析】连接DM，BM，根据直角三角形的性质得到DM＝AC，BM＝AC，得到DM＝BM，根据等腰三角形的三线合一证明．11/ 11。
八上数学每日一练：直角三角形斜边上的中线练习题及答案_2020年填空题版
2020年 八 上 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 练 习 题
1. (2020苍南.八上期末) 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，D是AB的中点，则∠DCB=________度。
答案解析
4. (2020淮安.八上期末) 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是________． 考点： 直角三角形斜边上的中线;勾股定理;
答案解析
5.
(2020东台.八上期中) 若
的三边长分别是6、8、10，则最长边上的中线长为________.
考点： 直角三角形斜边上的中线;勾股定理的逆定理;
，则此直角三角形斜边上的中线长是________．
答案解析
10.
(2019秀洲.八上期末) (2018八上·宜兴期中) 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm，4cm，则它的面积是_____
___cm2 ．
考点： 三角形的面积;直角三角形斜边上的中线;
答案解析
2020年 八 上 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 练 习 题 答 案
考点： 三角形内角和定理;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;
答案解析
2. (2020通榆.八上期末) 特例探究：如图1，已知在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD，则△ ABD是________三角形。
归纳证明：如图2，已知在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD，把Rt△DEF的直角顶点D放 在AC的中点上，DE交AB于M，DF交BC于N。证明：DM=DN。
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试卷简介:本套试卷继续训练直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，斜边长大于任意一条直角边长，30°所对的直角边等于斜边的一半，同时加上斜边中线等于斜边的一半，检测同学们见到什么想什么，以及有序梳理条件、对条件进行搭配和组合的能力．
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,点P是BD的中点.
③统计数据，检验，防止遗漏．
2．解题过程
3.易错点
未考虑C′D=AD，遗漏三角形ADC′是等腰三角形这一种情形．
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC延长线上,且 .若∠D=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30°
C.40° D.45°
∴∠1=∠B=20°
∴∠3=40°
∵E为AB的中点，∠ACB=90°
∴CE=BE=AE
∴∠2=∠B=20°
∴∠DFE=∠AFC=∠2+∠3=60°
故选C
试题难度：三颗星知识点：三角形的外角
8.如图,AD是直角三角形△ABC斜边上的中线,把△ADC沿AD对折,点C落在点C′处,
连接CC′,则图中共有等腰三角形( )个.
∵F为BD中点
∴EF⊥BD
故选A
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一性质
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,D在CB上,E为AB之中点,AD,CE相交于F,且AD=DB.
若∠B=20°,则∠DFE的度数是( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
答案：C
解题思路：
如图，
∵AD=DB，∠B=20°
A.21° B.22°
C.23° D.24°
答案：C
解题思路：
如图，
取DE的中点F，连接AF，设∠DBC=x
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠D=x
在Rt△ADE中，DF=EF
∴
∵DE=2AB
∴AF=AB=DF
∴∠DAF=∠ADF=x，∠AFB=∠ABF=2x
∴∠BAF=90°+21°-x=111°-x
在△ABF中，
若AD=6,则CP的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：A
解题思路：
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABD=∠A
∴BD=AD=6，
∵点P是BD的中点，
∴
故选A．
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
6.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E,F分别是对角线AC,BD的中点,则( )
A.EF⊥BD B.∠AEF=∠ABD
C. D.
答案：A
解题思路：
如图，连接BE，DE
∵∠ABC=∠ADC=90°，且E为AC中点，
∴
∴BE=DE
A.10° B.15°
C.25° D.30°
答案：B
解题思路：
如图，
∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点
∴
∴∠EBC=∠ECB，∠EDC=∠ECD，∠BDE=∠DBE
∴∠2=2∠ECB，∠1=2∠ECD
∵∠BCD=∠ECB+∠ECD=75°
∴∠1+∠2=150°，即∠BED=150°
∴
故选B
A.35° B.45°
C.55° D.65°
答案：C
解题思路：
∵EF∥AB，∠BCF=35°
∴∠B=∠BCF=35°
∵DC是斜边AB上的中线
∴BD=CD
∴∠BCD=∠B=35°
∵∠ACB＝90°
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=55°
故选C
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
4.如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A=25°,CD,CE分别是它的高和中线,则∠ECD的度数是( )
答案：A
解题思路：
如图，
取BC的中点E，连接AE
∵∠BAC=90°
∴
∵
∴AE=AD
∴∠1=∠D=50°
∵AE=BE
∴∠B=∠2=25°
故选A
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半
10.如图,AD∥BC,AC⊥BC于C,BD和AC相交于E,且DE=2AB.若∠BAC=21°,则∠DBC的度数为( )
A.50° B.45°
C.40° D.30°
答案：C
解题思路：
∵CD⊥AB，∠A=25°
∴∠ACD=65°
又∵CE是Rt△ABC斜边上的中线，
∴
∴∠ACE=∠A=25°
∴∠DCE=40°
故选C
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
5.如图,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,若∠BCD=75°,则∠BDE的度数为( )
连接DE,则△CDE的周长为( )
A.10 B.13
C.14 D.18
答案：C
解题思路：
∵AB=AC，AD平分∠BACB=AC=10，
∴ ，
∴△CDE的周长为：DE+CE+CD= 14．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
3.如图,在Rt△ABC中,DC是斜边AB上的中线,EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°,则∠ACD的度数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：C
解题思路：
1．思路分析
寻找等腰三角形的个数，关键找相等的边或相等的角．处理此类问题需要：
①读题标注，梳理信息．本题主要信息是直角三角形、中线、对折（轴对称）
②分析结构，整合信息．用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”及对称图形的性质找图中相等的边，本题中BC=2AD，CD=C′D，AC=AC′.
2x+2x+111°-x=180°