高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质课件北师大版选修1_1
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质.
跟踪训练1
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、
离心率、渐近线方程. 解答
2 2 y x 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程 2－ 2＝1. 4 3
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
y≥a或y≤－a _____________
坐标轴 对称轴：_______ 原点 对称中心：_____ A1(0，－a)，A2(0，a) ___________________
a y＝± x b
对称性 性质
顶点坐标 渐近线 离心率
A1(－a，0)，A2(a，0) ____________________
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程.
解答
x2 2 x2 2 设与双曲线 －y ＝1 有公共渐近线的双曲线方程为 －y ＝λ(λ≠0). 2 2 将点(2，－2)代入双曲线方程， 22 2 得 λ＝ －(－2) ＝－2， 2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 2 4
依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
c 13 又 ＝ ，∴a＝5，b＝ c2－a2 ＝12， a 5 y2 x2 故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 25 144
10 (2)双曲线过点(3，9 2)，离心率 e＝ ； 解答 3
2 10 c 10 2 2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k. 由 e ＝ ，得 2＝ ， 设 a 9 9 a
b y＝± x a
e＝ c ，e∈(1，＋∞) a
知识点二Biblioteka 双曲线的离心率思考1如何求双曲线的渐近线方程？ 答案
思考2
椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中， 双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线
的“张口”大小呢？ 答案
x y 双曲线 2－ 2＝1 的各支向外延伸逐渐接近渐近线， 所以双曲线 a b
第二章
§3
双曲线
3.2 双曲线的简单性质
学习目标
1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴
长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系. 4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
知识点三
双曲线的相关概念
1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心. 2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
题型探究
类型一
由双曲线方程研究其性质
例1
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
离心率和渐近线方程. 解答
2 2 2 2 x y x y 将 9y2－4x2＝－36 变形为 － ＝1，即 2－ 2＝1， 9 4 3 2
2 2
x2 y2 x2 y2 ② 与双曲线 2－ 2 ＝ 1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 2 － 2 ＝ a b a b λ(λ≠0)；
③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 13 (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为 5 ； 解答
反思与感悟
(1)求双曲线的标准方程的步骤 ①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴； ②设双曲线的标准方程； ③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；
④求出a，b，写出方程.
x2 y2 x2 y2 (2)① 与 双曲 线 2 － 2 ＝ 1 共焦点的 双曲 线 方程可 设为 2 － 2 ＝ a b a －λ b ＋λ 1(λ≠0，－b <λ<a )；
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
c 5 4 离心率 e＝ ＝ ；渐近线方程为 y＝± x. 3 a 4
类型二
由双曲线的简单性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 解答 4
x2 y2 y2 x2 设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1 或 2－ 2＝1(a>0，b>0). a b a b c 5 由题意知 2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8. a 4 x y y x ∴双曲线的标准方程为 － ＝1 或 － ＝1. 64 36 64 36
双曲线的简单性质
思考
类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线
x2 y2 2－ 2＝1(a>0，b>0)的哪些性质？ a b
答案
范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.
梳理
标准方程
x2 y2 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a b y2 x2 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a b
图形
范围
x≥a或x≤－a _____________ 坐标轴 对称轴：_______ 原点 对称中心：_____
2 2 2 2
3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x； 解答 2
3 x y 设以 y＝± x 为渐近线的双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0). 2 4 9 9 当 λ>0 时，a ＝4λ，∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝ ； 4
2
2
2
当 λ<0 时，a2＝－9λ， ∴2a＝2 －9λ＝6⇒λ＝－1. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1 或 － ＝1. 9 81 9 4 4
所以 a＝3，b＝2，c＝ 13，因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)； 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)；实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
c 13 b 2 离心率 e＝ ＝ ； x＝± x. 3 渐近线方程为 y＝± a 3 a
反思与感悟
由双曲线的方程研究其性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.
2 2 c － a b c b 的“张口”大小取决于 的值， 设 e＝ ， 则 ＝ ＝ e2－1. a a a a 2 2
b 当 e 的值逐渐增大时， 的值增大， 双曲线的 “张口”逐渐增大. a
梳理
c 双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫作双曲线的 离心率 ，其取值范围是 a (1，＋∞) .e越大，双曲线的张口 越大 .
跟踪训练1
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、
离心率、渐近线方程. 解答
2 2 y x 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程 2－ 2＝1. 4 3
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
y≥a或y≤－a _____________
坐标轴 对称轴：_______ 原点 对称中心：_____ A1(0，－a)，A2(0，a) ___________________
a y＝± x b
对称性 性质
顶点坐标 渐近线 离心率
A1(－a，0)，A2(a，0) ____________________
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程.
解答
x2 2 x2 2 设与双曲线 －y ＝1 有公共渐近线的双曲线方程为 －y ＝λ(λ≠0). 2 2 将点(2，－2)代入双曲线方程， 22 2 得 λ＝ －(－2) ＝－2， 2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 2 4
依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
c 13 又 ＝ ，∴a＝5，b＝ c2－a2 ＝12， a 5 y2 x2 故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 25 144
10 (2)双曲线过点(3，9 2)，离心率 e＝ ； 解答 3
2 10 c 10 2 2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k. 由 e ＝ ，得 2＝ ， 设 a 9 9 a
b y＝± x a
e＝ c ，e∈(1，＋∞) a
知识点二Biblioteka 双曲线的离心率思考1如何求双曲线的渐近线方程？ 答案
思考2
椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中， 双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线
的“张口”大小呢？ 答案
x y 双曲线 2－ 2＝1 的各支向外延伸逐渐接近渐近线， 所以双曲线 a b
第二章
§3
双曲线
3.2 双曲线的简单性质
学习目标
1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴
长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系. 4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
知识点三
双曲线的相关概念
1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心. 2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
题型探究
类型一
由双曲线方程研究其性质
例1
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
离心率和渐近线方程. 解答
2 2 2 2 x y x y 将 9y2－4x2＝－36 变形为 － ＝1，即 2－ 2＝1， 9 4 3 2
2 2
x2 y2 x2 y2 ② 与双曲线 2－ 2 ＝ 1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 2 － 2 ＝ a b a b λ(λ≠0)；
③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 13 (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为 5 ； 解答
反思与感悟
(1)求双曲线的标准方程的步骤 ①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴； ②设双曲线的标准方程； ③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；
④求出a，b，写出方程.
x2 y2 x2 y2 (2)① 与 双曲 线 2 － 2 ＝ 1 共焦点的 双曲 线 方程可 设为 2 － 2 ＝ a b a －λ b ＋λ 1(λ≠0，－b <λ<a )；
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
c 5 4 离心率 e＝ ＝ ；渐近线方程为 y＝± x. 3 a 4
类型二
由双曲线的简单性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 解答 4
x2 y2 y2 x2 设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1 或 2－ 2＝1(a>0，b>0). a b a b c 5 由题意知 2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8. a 4 x y y x ∴双曲线的标准方程为 － ＝1 或 － ＝1. 64 36 64 36
双曲线的简单性质
思考
类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线
x2 y2 2－ 2＝1(a>0，b>0)的哪些性质？ a b
答案
范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.
梳理
标准方程
x2 y2 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a b y2 x2 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a b
图形
范围
x≥a或x≤－a _____________ 坐标轴 对称轴：_______ 原点 对称中心：_____
2 2 2 2
3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x； 解答 2
3 x y 设以 y＝± x 为渐近线的双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0). 2 4 9 9 当 λ>0 时，a ＝4λ，∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝ ； 4
2
2
2
当 λ<0 时，a2＝－9λ， ∴2a＝2 －9λ＝6⇒λ＝－1. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1 或 － ＝1. 9 81 9 4 4
所以 a＝3，b＝2，c＝ 13，因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)； 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)；实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
c 13 b 2 离心率 e＝ ＝ ； x＝± x. 3 渐近线方程为 y＝± a 3 a
反思与感悟
由双曲线的方程研究其性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.
2 2 c － a b c b 的“张口”大小取决于 的值， 设 e＝ ， 则 ＝ ＝ e2－1. a a a a 2 2
b 当 e 的值逐渐增大时， 的值增大， 双曲线的 “张口”逐渐增大. a
梳理
c 双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫作双曲线的 离心率 ，其取值范围是 a (1，＋∞) .e越大，双曲线的张口 越大 .
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高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修1_1
• A．y2＝8x
B．y2＝－8x
• C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
• 解析： 由题意知通径长2p＝8，且焦点在x轴上， 但开口向左或右不确定，故方程为y2＝8x或y2＝－8x.
• 答案： C
2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆 x2＋4y2＝1 的一
个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
答案： (±4,8)
4．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的方程．
解析 ： 设所求 抛物线方 程为 y2＝ 2px(p>0)或 y2＝ － 2px(p>0)，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
即 3x－y－11＝0.
又由3y2x＝－6yx－11＝0 得：9x2－72x＋121＝0，①
Δ＝722－4×9×121＝828.
直线与抛物线交于两个不同的点，
故 3x－y－11＝0 即为所求直线．
由①可得：x1＋x2＝8，x1·x2＝1921.
∴|P1P2|＝
1＋9·
82－4×1921＝2
设弦 AB 端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴y1＋y2＝8k. 又 Q(4,1)为弦 AB 中点， ∴y1＋2 y2＝1，即 y1＋y2＝2， ∴8k＝2，∴k＝4. 所以所求直线方程是 y＝4x－15.
• 求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点 的直线方程．
【错解】 设直线方程为 y＝kx＋1， 由yy＝2＝k2xx＋，1， 得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 当 k＝0 时，解得 y＝1，即直线 y＝1 与抛物线只有一个公 共点．
2016北师大版选修2-1高中数学3.3.2《双曲线的简单性质》ppt课件
c a 5 1
= 5,
b a
渐近线方程为 y=± x=± 2x,作草图如图.
-9-
3.2
双曲线的简单性质
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
知识拓展(1)等轴双曲线:
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为 x2-y2=± a2. 等轴双曲线有两个非常明显的特征:①离心率 e= 2;②两条渐近线互 相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是否为等轴双曲线的充要条件 . (2)共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的 共轭双曲线. 如 2−
中的 1 改为 0 即为渐近线,1 改为-1 即为共轭双
曲线.
-3-
3.2
双曲线的简单性质
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
思考 1 如何正确理解双曲线的渐近线?
提示:双曲线的渐近线是两条直线.随着 x 和 y 趋向于无穷大,双曲线将 无限地与渐近线接近,但永远没有交点.由双曲线的渐近线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,却无法确定双曲线的焦点在哪一坐标轴上.与双曲线
-4-
3.2
双曲线的简单性质
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
= 5,
b a
渐近线方程为 y=± x=± 2x,作草图如图.
-9-
3.2
双曲线的简单性质
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知识拓展(1)等轴双曲线:
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为 x2-y2=± a2. 等轴双曲线有两个非常明显的特征:①离心率 e= 2;②两条渐近线互 相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是否为等轴双曲线的充要条件 . (2)共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的 共轭双曲线. 如 2−
中的 1 改为 0 即为渐近线,1 改为-1 即为共轭双
曲线.
-3-
3.2
双曲线的简单性质
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
思考 1 如何正确理解双曲线的渐近线?
提示:双曲线的渐近线是两条直线.随着 x 和 y 趋向于无穷大,双曲线将 无限地与渐近线接近,但永远没有交点.由双曲线的渐近线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,却无法确定双曲线的焦点在哪一坐标轴上.与双曲线
-4-
3.2
双曲线的简单性质
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高中数学北师大选修2-1232双曲线的简单性质课件
顶点 焦点
对称轴 离心率 渐近线
A1（-a，0),A2（a，0） F1 A1 F1 (-c , 0 ), F2( c , 0 )
实轴 A1A2 虚轴 B1B2
e= c
a
y=±
b a
x
Y B2
0
A2 F2 X
B1
《恒谦教育教学资源库》
➢ 双曲线图像(2)
标准方程
范围
对称性
顶点
焦点
A1
对称轴
离心率 渐近线
F1 (0 , -c ), F2( 0 , c )
实轴 B1B2 虚轴 A1A2
e= c
a
y=±
a b
x
例题讲解 《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
例题1 :求双曲线9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 b2
1
y2 x2 1
a2 b2
F1
0
F2 X
二、双曲线的简单几何性质 《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
➢双曲线图像(1)
标准方程
范围 对称性 顶点 焦点 对称轴 离心率 渐近线
F1 A1
Y
x2 a2
y2 b2
1
B2
0
B1
A2 F2 X
《恒谦教育教学资源库》
《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
3.根据下列条件《，恒谦分教别育教求学出资源双库曲》 线的专标注中准国教基师础备方教课育、程资备源考建伴：设侣
（1）与双曲线
高中数学第二章圆锥曲线与方程2圆锥曲线的定义标准方程与几何性质课件北师大版选修1_1
【例 3】
2
已知椭圆 2
+
2
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
|2|
F1 (-c,0),F2 (c,0),若椭圆上存在一点 P(非左、右顶点)使
则该椭圆的离心率的取值范围为 (
A.( 2-1,1)
B.[ 2-1,1)
C.(2- 2,1)
D.[2- 2,1)
)
=
,
|1 |
m2 +n2 -n-2m=0,因为
m2 +n2 =4,所以 2m+n-4=0,即 AB 的直线方程为 2x+y-4=0,由于直线
AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,因此 2c-4=0,b-4=0,解得
2
2
2
c=2,b=4,所以 a =b +c
2
2
=20,故椭圆方程为20 + 16 =1.
专题三 圆锥曲线的几何性质
上,
y=2 - 4 ,因此 A 0,- 2 .
1
,0
4
2
− 16 =1,故选
,于是直线 l 的方程为
于是△OAF 的面积=2 · 4 · - 2 =4,解得 a=±8,故抛物线方程为
y2 =±8x,故选 B.
变式训练
2
2 若椭圆2 +
2
2 =1
的焦点在 x 轴上,过点(2,1)作圆
解析:(1)因为点(3,4)在以 F 1 F2 为直径的圆上,
所以 c= 32 + 42 =5,可得 a2 +b2 =25. ①
又点(3,4)在双曲线的渐近线
2
已知椭圆 2
+
2
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
|2|
F1 (-c,0),F2 (c,0),若椭圆上存在一点 P(非左、右顶点)使
则该椭圆的离心率的取值范围为 (
A.( 2-1,1)
B.[ 2-1,1)
C.(2- 2,1)
D.[2- 2,1)
)
=
,
|1 |
m2 +n2 -n-2m=0,因为
m2 +n2 =4,所以 2m+n-4=0,即 AB 的直线方程为 2x+y-4=0,由于直线
AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,因此 2c-4=0,b-4=0,解得
2
2
2
c=2,b=4,所以 a =b +c
2
2
=20,故椭圆方程为20 + 16 =1.
专题三 圆锥曲线的几何性质
上,
y=2 - 4 ,因此 A 0,- 2 .
1
,0
4
2
− 16 =1,故选
,于是直线 l 的方程为
于是△OAF 的面积=2 · 4 · - 2 =4,解得 a=±8,故抛物线方程为
y2 =±8x,故选 B.
变式训练
2
2 若椭圆2 +
2
2 =1
的焦点在 x 轴上,过点(2,1)作圆
解析:(1)因为点(3,4)在以 F 1 F2 为直径的圆上,
所以 c= 32 + 42 =5,可得 a2 +b2 =25. ①
又点(3,4)在双曲线的渐近线
北师大版高中数学选修1-1课件双曲线的简单性质
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
-b
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）离心率:
e
c a
a
o bx -a
例1 :求双曲线
x2 y2 1的实半轴长、虚轴长、
43
焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。
问:若双曲线的方程为 x2
解:由题意可得
4
y2 3
1呢?
例题讲解
实半轴长:
x
图, 则A点坐标为(33.5,0).
设双曲线的标准方程为 :
B
B
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0), 则a
33.5
由已知可得点C的坐标为(35,37.5), 代入双曲线方程
有 352 33.52
37.52 b2
1,
所以b 123.9.
因此,所求双曲线的标准方程是 :
x2
y2
33.52 123.92 1.
课堂练习
点 M (x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线l : x a2 的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . y
c l
a
解：
d .M
设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|
c a
Байду номын сангаас
即
(x c)2 y2 | x a2 |
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线第二节双曲线-教学课件全篇
由正弦定理得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝2 2<|AB|．
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的 交点)．
由双曲线的定义知，F 点在以 A，B 为焦点，2 为实轴长的双曲 线的下半支上．
所以点 F 的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF1| －|PF2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关 系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程， 其基本步骤为 ①寻求动点 M 与定点 F1，F2 之间的关系； ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)； ③判断：若 2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点 M 的轨迹就是双 曲线，且 2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应 a，b，c； ④根据 F1，F2 所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
§2 双曲线
2.1 双曲线及其标准方程 2.2 双曲线的简单几何性质 P51
取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择 其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到 F1、F2 上，F1 到 F2 的长为 2a(a>0)，把笔尖放在 M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔 尖就画出一条曲线，如图所示．
(2)双曲线定义的应用： ①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点 M 的轨迹为双曲线． ②若动点 M 在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件2 北师大版选修1-1
Ao Bx
2c800,c400, b2c2a244400
因8 此0 0 炮 弹P A 爆 炸P 点B 的 6 轨8 0 迹 方0 , 程 为x 0 x2 y2 1(x0) 115600 44400
小结
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
两边再平方后整理得：
c 2 a 2x 2 a 2 y 2 a 2c 2 a 2
由双曲线定义知：
2c2a c2a20 设 c2a2b2b0
代入上式整理得： a x2 2b y2 21a0,b0
同理：焦点在y轴
ay2 2b x2 2 1a0,b0
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
F
上面 两条曲线合起来叫做双曲线
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a （2a< |F1F2|）
+
x2 b2
=1
焦点
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
y
y
图象
M
《双曲线》课件2 (北师大版选修1-1)
第一课时
• 学习目标 • 情境设置 • 探索研究 • 反思应用 • 归纳总结 • 作业
学习目标
• 1.掌握双曲线定义、标准方程及
其求法； • 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与 方程关系； • 3.认识双曲线的变化规律.
• 椭圆的定义 •情境设置 把平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数
• • • • • • •
15 ( 2 , 3 ), ( , 2) 3
归纳总结
• 数学思想方法：数形结合，待定系数
法，分类讨论 • 掌握双曲线的定义及其标准方程的推 导，并利用焦点、焦距与方程关系确 定双曲线方程.
• 预习提纲 • 在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，
说明了什么？ • 根据题意怎样确定爆炸点的位置？为什 么？ • 如果A、B两点同时听到爆炸声，那么爆 炸点应在怎样的曲线上？
（大于｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。这两个定 点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦 距。 椭圆的标准方程 x2/a2+y2/b2=1或x2/b2+y2/a2=1(a>b>0) 根据椭圆的标准方程如何确定焦点的位置？ 哪个二次项的分母大，焦点就在相应的哪个坐标 轴上。 求椭圆标准方程的方法是什么？待定系数法 求椭圆标准方程的步骤： ①确定焦点的位置，定方程的形式
双曲线的标准方程：
P M MF1 MF 2 2a .
MF1 ( x c) 2 y 2 ,
MF2 ( x c) y ,
2 2
( x c) y ( x c) y 2a.
2 2 2 2
• 将方程①化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－
x2 y2 1 2 m m 1
• 学习目标 • 情境设置 • 探索研究 • 反思应用 • 归纳总结 • 作业
学习目标
• 1.掌握双曲线定义、标准方程及
其求法； • 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与 方程关系； • 3.认识双曲线的变化规律.
• 椭圆的定义 •情境设置 把平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数
• • • • • • •
15 ( 2 , 3 ), ( , 2) 3
归纳总结
• 数学思想方法：数形结合，待定系数
法，分类讨论 • 掌握双曲线的定义及其标准方程的推 导，并利用焦点、焦距与方程关系确 定双曲线方程.
• 预习提纲 • 在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，
说明了什么？ • 根据题意怎样确定爆炸点的位置？为什 么？ • 如果A、B两点同时听到爆炸声，那么爆 炸点应在怎样的曲线上？
（大于｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。这两个定 点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦 距。 椭圆的标准方程 x2/a2+y2/b2=1或x2/b2+y2/a2=1(a>b>0) 根据椭圆的标准方程如何确定焦点的位置？ 哪个二次项的分母大，焦点就在相应的哪个坐标 轴上。 求椭圆标准方程的方法是什么？待定系数法 求椭圆标准方程的步骤： ①确定焦点的位置，定方程的形式
双曲线的标准方程：
P M MF1 MF 2 2a .
MF1 ( x c) 2 y 2 ,
MF2 ( x c) y ,
2 2
( x c) y ( x c) y 2a.
2 2 2 2
• 将方程①化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－
x2 y2 1 2 m m 1
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2.1双曲线的简单几
当焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程为ax22－ya22＝1，把点(－
5，3)代入，得
a2＝16，所以所求双曲线的标准方程为1x62 －
y2 16
＝1； 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程为ya22－ax22＝1，把点(－
5，3)代入，得 a2＝－16，不合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为1x62－1y62 ＝1.
解析：(1)因为实轴长为 4 3，所以 a＝2 3，其渐近线方程为 y＝±bax，(2 3，0)为其一顶点，bx－2 3y＝0 为其一条渐近线，
则(2 3，0)到 bx－2 3y＝0 的距离为 |2 3b| ＝ 3，得 b2＝ b2＋12
4.故此双曲线的方程为1x22 －y42＝1. (2)设与双曲线1x62－y92＝1 共渐近线的双曲线方程为1x62 －y92＝ λ(λ≠0)．
1．对双曲线渐近线的两点说明 (1)随着 x 和 y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近， 但永远没有交点． (2)由渐近线方定 焦点位置．
2．离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)为例．
e＝ac＝
由几何性质求双曲线的标准方程 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的 双曲线方程： (1)离心率 e＝ 2，且过点(－5，3)； (2)过点 P(2，－1)，渐近线方程是 y＝±3x. (链接教材 P42 例 3)
[解] (1)因为 e＝ac＝ 2，所以 c＝ 2a，b2＝c2－a2＝a2.
以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心的对称 图形
__(_±__a_，__0_) ____
__(0_，__±__a_)____
实轴A1A2，虚轴B1B2 ___e_>_1________
高中数学北师大版选修2-1 3.3.2双曲线的简单性质 课件(35张)
������2 ������2 ������ ������2 ������2 (2)①双曲线 2 − 2=1 的渐近线为 y=± x,双曲线 2 − 2 =1 的渐 ������ ������ ������ ������ ������ ������ 近线为 y=± x,两者容易记混,可将双曲线方程中的“1”换成 “0”,然后 ������
)
答案 :A 【做一做 3-2】 双曲线的离心率为 2,则双曲线的两条渐近线 的夹角是 . 解析 :由
������ ������
= 2,
2 2 2
������ + ������ = ������ , 故两条渐近线的夹角为 90° . 答案 :90°
得 a=b,则渐近线方程为 y=± x.
-10-
【做一做 3-3】 求双曲线 16x2- 9y2=-144 的实半轴长和虚半轴 长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程. 解 :把方程 16x -9y =-144 化为标准方程
������2 ④与������2 ������2 − 2 =1 共渐近线的双曲线的方程可设为 2 ������ ������ ������2
−
������2 ������
2=λ(λ≠0).
-9-
������2 ������2 【做一做 3-1】 双曲线 − =1 的渐近线方程是( 9 16 3 4 A.y=± x B.y=± x 4 3 5 3 C.y=± x D.y=± x 3 5 ������ ������ 3 解析 :渐近线方程为 ± =0,即 y=± x. 3 4 4
������2 ������2 B. − =-1 16 25 ������2 ������2 D. − =-1 16 9
(
)
答案 :A 【做一做 3-2】 双曲线的离心率为 2,则双曲线的两条渐近线 的夹角是 . 解析 :由
������ ������
= 2,
2 2 2
������ + ������ = ������ , 故两条渐近线的夹角为 90° . 答案 :90°
得 a=b,则渐近线方程为 y=± x.
-10-
【做一做 3-3】 求双曲线 16x2- 9y2=-144 的实半轴长和虚半轴 长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程. 解 :把方程 16x -9y =-144 化为标准方程
������2 ④与������2 ������2 − 2 =1 共渐近线的双曲线的方程可设为 2 ������ ������ ������2
−
������2 ������
2=λ(λ≠0).
-9-
������2 ������2 【做一做 3-1】 双曲线 − =1 的渐近线方程是( 9 16 3 4 A.y=± x B.y=± x 4 3 5 3 C.y=± x D.y=± x 3 5 ������ ������ 3 解析 :渐近线方程为 ± =0,即 y=± x. 3 4 4
������2 ������2 B. − =-1 16 25 ������2 ������2 D. − =-1 16 9
(