数学物理方程教案3行波解
数学物理方法 行波法
利用初始条件u(x,0)=(x)和v(x,0)=(x)，得到
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
数学物理方法2015.02
第二节 特征线方法
举例
u u 2 0, x t u( x,0) e x2 , x R, t 0 xR
当 1/2a t 1/a
1 2 (1 x at ), 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 at , 1 (1 x at ), 2 1 2 (1 x at ), 1 at x at at x 1 at 1 at x 1 at 1 at x at at x 1 at
1 2
at x 1 at
当 3/4a t 1/a
x, 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 2 ( x at ), 1 ( x at ), 2 1 2 (1 x at ),
数学物理方法2015.02
2 x i i 1 n
2 n 2u u 2 a 2 2 t i 1 xi
方程变形为
2 2u u n 1 u 2 a 2 2 t r r r
当n=3时，可写为
2 2 ru ru 2 a 2 2 t r
数学物理方法2015.02
当 0t 1/2a
1 2 (1 x at ), 1 x, u ( x, t ) 1 at , 1 x, 1 2 (1 x at ), 1 at x 1 at 1 at x at at x at at x 1 at 1 at x 1 at
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
第三章行波解
第三章行波法数理方法研究物理和工程问题的三大步骤：1、写出定解问题2、求解3、分析解答我们已经学会了导出方程和写出定解条件（定解问题）的基本方法，下边的重点是求解和解答过程：各种求解数学物理方程的方法，主要包括：1、行波法2、分离变量法3、积分变换法4、格林函数法5、保角变换法本章问题的引入：1、无限长细弦的抖动（一维）2、投石入水中形成的圆形扩散波（二维）3、灯塔上的灯光（三维）若当研究问题时只关心一端时间某处发生的振动，边界的影响还来不及达到该处，波将一直向前传播，称此为行进波（行波），解决这类行波问题引入了行波法。
中心：用行波法求解无界空间波动问题。
1、掌握达朗贝尔公式的应用和行波法解题步骤；2、有源问题化为无源问题的冲量法；3、三维问题化为一维问题的平均值法。
三、分析解答：1、适定性的证明：（1）解存在：并且满足泛定方程和定解条件；利用公式（2）唯一性：因为f 1和f 2的任意性已经由定解条件确定，所以解是唯一的。
（3）稳定性：不妨设：()()()()110022|, |t t t x x u u x x ϕψϕψ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩()()()()1212||,||x x x x ϕϕδψψδ−≤−≤2、行波法：（1）它基于波动的特点；（2）引入了坐标变换简化方程；（3）优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；（4）缺点：通解不易求，有局限性。
习题 3.12232110, (,0)0, (,0)1;(3) 0, (,0), (,0);8230(,0)3(,0)0tt xx t tt xx t xx xy yy yu a u u x u x u a u u x x u x x u u u u x x u x −===−===+−=⎧⎪=⎨⎪=⎩、确定下列初值问题的解：（）、解下列初值(仅需思考，选作）问题：OXYZ(,,)M x y z 0000(,,)M x y z ϕθ处的解和xyzz ′x ′y ′ϕθ(,,)M x y z ′′′′(,,)M x y z泊松公式的物理意义：定解问题在M 点t 时刻的值与以M 点为中心，以at 为半径的球面上的初值确定的。
高中物理第二章机械波小专题研究三波的多解问题教学案教科版选修3
学 习 资 料 汇编小专题研究(三) 波的多解问题1．方向性不确定出现多解波总是由波源发出并由近及远地向前传播，波在介质中传播时，介质各质点的振动情况根据波的传播方向是可以确定的，反之亦然。
因此，根据题中的已知条件不能确定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现多解，然而同学们在解题中往往凭着主观臆断，先入为主地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的可能性解。
2．时间、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的质点振动的步调是完全相同的；在时间上相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以，当题中已知条件没有给定传播的时间(波传播的时间Δt 与周期T 之间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播距离Δs 与波长λ之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。
同学们在解题时经常只分析传播时间Δt 小于T (或传播距离Δs 小于波长λ)的特解情况，从而造成特解代替通解的漏解现象。
3．两质点间关系不确定形成多解在波的传播方向上，如果两质点间距离不确定或相位之间关系不确定，会形成多解，若不会联想所有的可能性，就会出现漏解。
[例证] 一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距8 m ，当t ＝0时，P 、Q 的位移恰好是正最大值，且P 、Q 之间只有一个波谷。
t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 之间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离第一次为λ4，试求：(1)波由P 传至Q ，波的周期； (2)波由Q 传到P ，波的速度；(3)波由Q 传到P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅。
[解析] (1)由题意，t ＝0时的波形如图1(a)所示，t ＝0.6 s 时的波形如图(b)所示：图1若波从P 传向Q ，则t ＝34T ，从而得T ＝0.8 s 。
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
数学物理方法3-3行波法
无界区域上的波动方程
第三章
偏微分方程的定解问题
第三节 行波法
2 2u 2 u x , t 0 t 2 a x 2 , u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t
2 1 2 1 1 u 0 u 0 x a t x a t x a t 令 x at , x at x ,t 2 2a
第三节 行波法
7 非齐次问题的处理 2 2u u 2 f ( x, t ), x , t 0 a 2 2 t x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x t 利用线性叠加原理将问题进行分解： u u1 u2 2 2u1 u1 2 a , x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) ( x), u1 ( x, 0) ( x), x 1 t 1 1 x at u1 ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a 2 2 u2 2 u2 a f ( x, t ), x , t 0 2 2 t x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t
第三章
偏微分方程的定解问题
第三节 行波法
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
4 解的物理意义
u ( x, t ) a. 只有初始位移时，
数学物理方程第三章 行波法
(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续 可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
第三章 行波法
• • • • • 主要内容 掌握一维弦振动的解 掌握类比方法求三维、二维问题的解 了解偏微分方程的分类 会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。 这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波 动 方 程 ， 双 曲 型 方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热 传 导 方 程 ， 抛 物 型程 方. 2 t x
2017_2018学年高中物理第二章机械波小专题研究三波的多解问题教学案教科版
小专题研究(三) 波的多解问题1．方向性不确定出现多解波总是由波源发出并由近及远地向前传播，波在介质中传播时，介质各质点的振动情况根据波的传播方向是可以确定的，反之亦然。
因此，根据题中的已知条件不能确定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现多解，然而同学们在解题中往往凭着主观臆断，先入为主地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的可能性解。
2．时间、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的质点振动的步调是完全相同的；在时间上相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以，当题中已知条件没有给定传播的时间(波传播的时间Δt 与周期T 之间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播距离Δs 与波长λ之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。
同学们在解题时经常只分析传播时间Δt 小于T (或传播距离Δs 小于波长λ)的特解情况，从而造成特解代替通解的漏解现象。
3．两质点间关系不确定形成多解在波的传播方向上，如果两质点间距离不确定或相位之间关系不确定，会形成多解，若不会联想所有的可能性，就会出现漏解。
[例证] 一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距8 m ，当t ＝0时，P 、Q 的位移恰好是正最大值，且P 、Q 之间只有一个波谷。
t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 之间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离第一次为λ4，试求：(1)波由P 传至Q ，波的周期； (2)波由Q 传到P ，波的速度；(3)波由Q 传到P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅。
[解析] (1)由题意，t ＝0时的波形如图1(a)所示，t ＝0.6 s 时的波形如图(b)所示：图1若波从P 传向Q ，则t ＝34T ，从而得T ＝0.8 s 。
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数学物理方程教案3主要内容：1、掌握行波解求解思路和一般步骤。
2、掌握有源化无源的冲量原理法和三维化一维的平均值法和求解步骤。
3、理解推迟势的物理意义。
第二章行波法上一章已经学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定了定解问题，那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括：行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。
我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。
那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。
通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。
因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。
另外，从物理学上看，对于齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。
2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式2.1.1 达朗贝尔（D`Alembert）公式的导出对于无限长的弦的自由振动、无限长的杆的纵向自由振动以及无限长理想传输线上的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问题泛定方程： 2tt xx u a u =，（,0x t -∞<<∞>） (2.1)初始条件： ()()()(),0,0t u x x u x x ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩， (2.2)式中，(),()x x ϕψ为已知函数。
因为对于无限长弦，其边界的物理状态并未影响到所考察的区域，所以不需提出边界条件。
此定解问题即为初值问题。
为了用行波法求解这一问题，我们首先要求出(2.1)的通解。
做变量代换，引入新的自变量x atx at ξη=-⎧⎨=+⎩, (2.3) 利用复合函数求微商的法则，可以得到x x x u u u u u ξηξηξη=+=+， (2.4)()()()()()() 2xx x x x x x x u u u u u u u u u u u u ξηξηξηξξηηξξξηηηξη=+=+=+++=++， (2.5)()t t t u u u a u u ξηξηξη=+=-+， (2.6)()2()()()() ()()2tt t t t t t t u u u a u u a a u u a u u a u u u ξηξηξηξξηηξξξηηηξη⎡⎤=+=-+⎣⎦⎡⎤=--++-+=-+⎣⎦， (2.7)将上面得到的,tt xx u u 代入式(2.1)，得到()()2222a u u u a u u u ξξξηηηξξξηηη-+=++， (2.8)即0u ξη=. (2.9)求上面方程的解，先对η积分，得 ()()0u u d d c c ξξηηηξξ==+=⎰⎰， (2.10) 再对ξ进行积分可得()()()()()212,u c d f f f ξηξξηξη=+=+⎰， (2.11)式中，()()12,f f ξη分别是ξ，η的任意函数。
把代换(2.3)代入此式，得到()()()12,u x t f x at f x at =-++. (2.12)容易验证，只要12,f f 具有二阶连续偏导数，表达式(2.12)就是自由弦振动方程(2.1)的通解。
下面我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数1f 和2f 。
即求满足定解条件的解。
把式(2.12)代入式(2.2)得12(,0)()()()u x f x f x x ϕ=+=， (2.13)12(,0)()()()t u x af x af x x ψ''=-=， (2.14)即0121()()()xx f x f x d c aψαα-=+⎰， (2.15) 由(2.13)式和(2.15)式容易解得0111()()()222x x cf x x d a ϕψαα=++⎰， (2.16) 0211()()()222x x cf x x d a ϕψαα=--⎰. (2.17) 将()1f x 和()2f x 中的x 分别换成x at +和x at -，代入(2.12)得[]11(,)()()()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψαα+-=++-+⎰. (2.18)这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔行波解。
它是一维无界齐次波动方程的初值问题的特解的一般表达式。
例1. 求解初值问题20|,|4tt xxt t t u a u u x u ==⎧=⎪⎨==⎪⎩， (2.19) 解：显然这是一个一维无界齐次波动方程的初值问题，()(),4x x x ϕψ==，故由达朗贝尔公式(2.18)有()[]11,422 4x atx atu x t x at x at d a x tα+-=++-+=+⎰. (2.20) 2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义首先，我们以无限长弦的横向自由振动为例来阐述达朗贝尔公式的通解式(2.12)的物理意义。
先考察第一项()11u f x at =-， (2.21)它是方程(2.1)的解，对于t 不同的值，就可以看到弦在不同时刻相应的振动状态。
在t =0时，()()11,0u x f x =，它对应于初始时刻的振动状态，假如图2.1（a ）曲线表示的是0t =时的弦振动的状态(即初始状态)；在1/2t =时，()11,1/2(/2)u x f x a =-的图形如图2.1（b ）所示；在1t =时，()11,1()u x f x a =-的图形如图2.1（c ）所示；在2t =时，()11,2(2)u x f x a =-的图形如图2.1（d ）所示。
这些图形说明，随着时间的推移，()11u f x at =-的图形以速度a 向x 轴正向移动，所以()11u f x at =-表示一个以速度a 沿x 轴正向传播的行波。
同理，第二项()22u f x at =+表示一个以速度a 沿x 轴负向传播的行波。
所以说达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播的速度正好是弦振动方程中的常数a 。
也正是基于此原因，上述求波动方程通解的方法叫做行波法。
(a)(b)(c) (d)图2.1 行波示意然后，我们研究满足初始条件(2.2)的达朗贝尔公式特解。
从特解(2.18)的表达式可以看出，沿x 轴正、负方向传播的行进波，包含两部分，一部分来源于初始位移，一部分来源于初始速度。
至于行波的具体波形，取决于初始条件(2.2)。
为了使这个概念具体化，我们分别对以下两种特殊情况进行讨论：（1）()0x ψ=（只有初始位移，初速度为零的弦振动） 此时由(2.18)给出[]1(,)()()2u x t x at x at ϕϕ=++-. (2.22) 先看第二项，设观察者以速度a 沿x 轴正向运动，则t 时刻在x c at =+处，他所看到的波形为()()()x at c at at c ϕϕϕ-=+-=. (2.23)由于t 为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形()c ϕ，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正向传播。
所以，()x at ϕ-代表以速度a 沿x 轴正向，称为正行波。
而第一项的()x at ϕ+则当然代表以速度a 沿x 轴负向传播的波，称为反行波。
正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。
（2）()0x ϕ=（即只有初速度，初始位移为零的弦振动） 此时式(2.18)给出1(,)()2x atx atu x t d a ψαα+-=⎰， (2.24)设()x ψ为()2x aψ的一个原函数即()()012xx x d a ψααψ=⎰， (2.25)则此时有()()(),u x t x at x at =ψ+-ψ-， (2.26)由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。
所以，达朗贝尔解表示正行波和反行波的叠加。
例2. 设初速度()x ψ为零，初始位移为0 ()22 (0)()22 (0)0 ()x x x x x x x αααϕααα<-⎧⎪⎪+-≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎪>⎩， (2.27)的无界弦的自由振动位移。
解：则此时达朗贝尔解(2.18)给出了弦的位移为[]1()()()2u x x at x at ϕϕ=++-， (2.28) 即初始位移（图2.2最下一图的粗线），它分为两半（该图细线），分别向左右两方以速度a 移动（见图中由下而上的各图中的细线），每经过时间间隔4aα，弦的位移由此二行波的和给出（见图中由下而上的各图粗线）。
图2.2 弦的波动示意2.1.3 依赖区间和影响区域1. 依赖区间由达朗贝尔公式(2.18)可看出，定解问题(2.1)~(2.2)的解在一点()(),:,0x t x t ∈ΩΩ-∞<<∞>处的值，仅依赖于x 轴的区间[],x at x at -+上的初始条件，而与其它点上的初始条件无关。
我们称区间[],x at x at -+为点(),x t 的依赖区间，它是过点(),x t 分别作斜率为1a ±的直线与x 轴所交截而得的区间。
如图2.3所示。
图2.3 依赖区间2. 影响区域从一维其次波动方程的通解()()()12,u x t f x at f x at =++-可知，波动是以一定的速度a 向两个方向传播的。
因此，如果在初始时刻0t =扰动仅在一有限区间[]12,x x 上存在，那么经过时间t 后，它所传到的范围就由不等式12,(0)x at x x at t -≤≤+>， (2.29)所限定，而在此范围外仍处于静止状态。
在(),x t 平面上，上述不等式所表示的区域如图2.4，称为区间[]12,x x 的影响区域。
在这个区域中，初值问题的解(),u x t 的数值是受到区间[]12,x x 上的初始条件影响的；而在此区域外，(),u x t 的数值则不受区间[]12,x x 上初始条件的影响。
特别地，当区间[]12,x x 缩成一点0x 时，点0x 的影响区域为00,(0)x at x x at t -≤≤+>， (2.30)这是过点0x 作两条斜率各为1a ±的直线0x x at =-和2x x at =+所夹的三角形区域。