函数连续,函数可微,函数可导,偏导数存在,偏导数连续之间的关系
浅谈高等数学知识逻辑关系
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １７浅谈高等数学知识逻辑关系浅谈高等数学知识逻辑关系Һ姚兴兴㊀（武汉工程大学数理学院，湖北㊀武汉㊀４３０２０５）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文整理了高等数学中关于连续㊁有界㊁可导㊁可积之间的关系，以及级数部分的逻辑关系，可使学生理清结构，用辩证统一的哲学思想观察思考数学问题，提高逻辑思维能力和科学研究能力．ʌ关键词ɔ高等数学；微分；积分；级数ʌ基金项目ɔ武汉工程大学科学研究基金项目（Ｋ２０１７４２）一㊁引㊀言众所周知，数学基础知识蕴含着处理智能问题的基本思想与方法，也是人们理解复杂算法的必备要素．随着信息技术与人工智能的不断发展，数学知识的作用愈发突出，尤其是高等数学中的相关知识与理论，它在实际科技发展中起到了重要的支撑作用．在工程院校数学教学过程中，教师往往只重视知识的讲解，忽略了知识间的逻辑关系，强调计算能力的提升，而大大忽视数学理论和数学思维的培养．数学课程知识间有很强的关联，并不是孤立存在的．教师在讲授高等数学过程中，要串起各个章节间的逻辑思维导图，将数学的科学研究方法融入教学过程中，这将有助于学生全面地理解高等数学，深层次㊁透彻地掌握知识．本文主要参考相关教材梳理高等数学中关于连续㊁有界㊁可导㊁可积之间的关系，以及级数部分的逻辑关系．本文意在让学生更深刻地掌握高等数学基础知识，从整体层面㊁宽角度观察思考问题，提高逻辑思维能力和科学研究能力．二㊁微分和积分（一）对于一元函数，可导⇔可微⇒连续连续不一定可微，比如ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［－１，１］．进一步地，可以构造在［－１，１］上任意有限个点处不可导的连续函数．大家自然会问：是否存在无穷多个点处不可导的连续函数？答案是肯定的，如由缺项级数ｆ（ｘ）＝ðɕｎ＝０２－ｎａｅｉ２ｎｘ（０＜ａɤ１）给出的和函数ｆ（ｘ）就是处处不可导的连续函数．实际上，使用泛函分析中Ｂａｉｒｅ纲定理可证明：［０，１］上处处不可导的连续函数全体是通用集．（二）多元函数的微积分关系如下１．重极限与累次极限的关系若重极限和累次极限都存在，则它们必相等．累次极限存在，但重极限不一定存在，比如ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２＋ｙ２＋ｘ－ｙｘ＋ｙ在原点（０，０）处两个累次极限都存在，但重极限不存在．重极限存在，但累次极限不一定存在，比如ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ１ｙ＋ｙｓｉｎ１ｘ在原点（０，０）处重极限存在，但两个累次极限都不存在．设函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ１ｙ＋ｙ，则易见其重极限为零，但其中一个累次极限不存在．２．连续⇐可微⇒偏导数存在，偏导数连续⇒可微连续不一定可微，比如ｆ（ｘ，ｙ）＝㊀ｘ２＋ｙ２，ｘ，ｙɪ［－１，１］在原点（０，０）处连续，但不可微．偏导数存在不一定可微，比如ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｘ２＋ｙ２（ｘ２＋ｙ２ʂ０），０（ｘ２＋ｙ２＝０）{在原点（０，０）处偏导数存在，但不可微．二元函数可微时偏导数不一定连续．（三）积分性：连续⇒可积⇒有界可积函数不一定连续，比如Ｒｉｅｍａｎｎ函数．有界函数不一定可积，比如Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数．闭区间上的单调函数可积．若函数ｆ（ｘ）可积，则ｆ（ｘ）也可积；反之不成立，如ｆ（ｘ）＝１，ｘɪ［０，１］ɘＱ，－１，ｘɪ［０，１］∉Ｑ．{实际上，对于定积分，至多只有有限个间断点的有界函数必可积．引入可数集和零集的概念后，Ｌｅｂｅｓｇｕｅ定理指出：［ａ，ｂ］上的有界函数ｆ（ｘ）可积的充要条件是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上所有间断点全体是零集．对于二重积分，若定义在平面中有界闭域Ｄ上的有界函数ｆ（ｘ，ｙ）的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ上可积．对于三重积分，若定义在空间中有界闭域Ｖ上的有界函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）的不连续点都落在有限个光滑曲面上，则ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在Ｖ上可积．进一步地，［ａ，ｂ］上间断点集合的长度为零㊁平面有界闭域Ｄ上间断点集合的面积为零或空间中有界闭域Ｖ上间断点集合的体积为零的有界函数必可积．随着积分理论的发展，区间长度㊁平面区域面积㊁空间立体体积可统一为 测度 概念，Ｒｉｅｍａｎｎ积分由此提升到Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分，完整揭示了 可积函数的间断点集合为零测集 这一特征．（四）重要的存在性定理举例极限理论是微积分学理论的基础，而极限是否存在与数集密切相关．从运算来说，要求数集关于极限运算是封闭的．我们注意到有理数集是不行的，比如单调递增有界的有理数列１＋１ｎ()ｎ{}的极限是无理数ｅ．事实证明，实数集关于极限运算是封闭的，即实数集是连续的．由此可得闭区间上连续函数的零点定理㊁介值性定理㊁最值定理㊁中值定理，它们分别从连续㊁微分㊁积分角度观察讨论函数的整体性质，具有深刻的几何意义和广泛的理论与应用价值．此外，将维数增加便可产生多元函数微积分理论，将实数集扩充到复数集便可得到复分析理论，教师在讲授或学习这些知识时，理解其中的区别与联系，有助于深刻理解概念，掌握脉络．（五）几个微积分公式微积分学基本定理断言：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则变上限积分函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）．该定理不仅指出连续函数必存在原函数，而且蕴含着微积分基本公式 牛顿 莱布尼茨公式，故定积分等于被积函数的一个原函数在积分区间上的增量．将该公式推广至二维㊁三维即得格林公式㊁高斯公式．三个公式都是将积分区域内部与边界紧密联系在一起．类似地，将平. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １７面区域推广至空间中曲面即有斯托克斯公式．实际上，在引入外微分形式后，这些公式可统一到一般的斯托克斯公式．三㊁级㊀数（一）数项级数数项级数ðɕｎ＝１ｕｎ收敛即是其部分和数列Ｓ{ｎ}收敛，故可用初等数学中裂项法㊁错位相减法等求数项级数的部分和，再取极限判别级数是否收敛，或求级数和，从而有数项级数收敛的柯西准则判别法．易见，数项级数ðɕｎ＝１ｕｎ收敛的必要条件是通项ｕｎ趋于０．反之不成立，例如调和级数ðɕｎ＝１１ｎ．故需要增加其他条件来判别级数的收敛性，比如：部分和序列有界的正项级数必收敛；基于正项级数一般项本身特性的比较判别法㊁比式判别法和根式判别法；有关交错级数的Ｌｅｉｂｎｉｚ判别法；对于一般项级数的Ａｂｅｌ判别法，Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ判别法等．因为绝对收敛级数必收敛，所以对一般项级数可对通项取绝对值转换成正项级数进行判别．由正项级数的比较判别法可得，广义调和级数ðɕｎ＝１１ｎｐ当ｐɤ１时发散，当ｐ＞１时收敛．这表明没有收敛得 最慢 的收敛级数．因此任何判别法都只能解决一类级数的收敛问题，而不能解决所有级数的收敛问题．虽然可以继续改进并给出更加精细有效的判别法，但这个过程是无限的．（二）函数项级数根据定义，函数项级数ðɕｎ＝１ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛即是部分和函数列｛Ｓｎ（ｘ）｝在数集Ｄ上一致收敛，从而函数项级数ðɕｎ＝１ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛的必要条件是函数列ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛于零．对于函数项级数，一致收敛能保证和函数继承函数列ｕｎ（ｘ）的连续㊁可导和可积等分析性质，但是只要求 函数列ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛于零 很难保证函数项级数ðɕｎ＝１ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛．使用函数列一致收敛判别法可给出余项法则：ðɕｎ＝１ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛于Ｓ（ｘ）当且仅当余项Ｒｎ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）－Ｓｎ（ｘ）满足ｌｉｍｎңɕｓｕｐｘɪＤＲｎ（ｘ）｜＝０．此法则理论上很完美，但需要对函数项级数进行求和，或对级数和进行估计，实际操作比较困难．最好直接从级数中函数列ｕｎ（ｘ）的特性进行判别，如优级数判别法，Ａｂｅｌ判别法和Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ判别法等．一般函数项级数的收敛性不容易判别，但是幂级数㊁Ｆｏｕｒｉｅｒ级数的收敛性已经得到很好的确定，且这两类级数在数学理论和实际问题中应用也很广泛．（三）幂级数和Ｆｏｕｒｉｅｒ级数幂级数在收敛区间内绝对一致收敛，从而其和函数无穷次可导，但无穷次可导函数不一定能展开成泰勒级数，需要求其展开式余项趋于零．例如，函数ｆ（ｘ）＝ｅ－１ｘ２（ｘʂ０），０（ｘ＝０）{在ｘ＝０处的任意阶导数都等于０，从而ｆ（ｘ）在ｘ＝０处泰勒级数的和函数是０．若Ｆｏｕｒｉｅｒ级数ａ０２＋ðɕｎ＝１ａｎｃｏｓｎｘ＋ｂｎｓｉｎｎｘ()一致收敛于函数ｆ（ｘ），则ｆ（ｘ）是以２π为周期的可积函数，系数ａｎ，ｂｎ满足ａｎ＝１πʏπ－πｆ（ｘ）ｃｏｓｎｘｄｘ，ｂｎ＝１πʏπ－πｆ（ｘ）ｃｏｓｎｘｄｘ．反之，若以２π为周期的函数ｆ（ｘ）在［－π，π］上按段光滑，则在每一点ｘ处展开的Ｆｏｕｒｉｅｒ级数收敛于函数ｆ（ｘ）在ｘ处的左㊁右极限的算术平均值．在逼近理论中，幂级数可提供多项式函数逼近一般函数，计算上比较便捷，但要求函数有任意阶导数．Ｆｏｕｒｉｅｒ级数展开仅要求周期性和按段光滑，但使用三角函数近似计算比较复杂．我们通过简单运算可知，一个周期函数可以分解为一系列固定频率的简谐波之和．显然任一个有限区间上的函数可以进行周期延拓，所以在有限区间上由任意图形定义的任何函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和．进一步地，将幂级数的自变量取复数可以给出解析函数的幂级数刻画；将Ｆｏｕｒｉｅｒ级数中的自变量取复数可以导出工程技术中常用的积分变换理论．（四）积分与级数的关系设ｆ（ｘ）定义在无界区间［ａ，＋ɕ）上，则无穷积分ʏ＋ɕａｆ（ｘ）ｄｘ收敛的充要条件是对［ａ，＋ɕ）中任一趋于＋ɕ的数列Ａｎ{}（其中Ａ１＝ａ），级数ðɕｎ＝１ｕｎ都收敛于同一个数，其中ｕｎ＝ʏＡｎ＋１Ａｎｆ（ｘ）ｄｘ，且ʏ＋ɕａｆ（ｘ）ｄｘ＝ðɕｎ＝１ｕｎ．因此无穷积分与级数的敛散概念㊁敛散判别法及其性质基本上是平行的．设ｆ（ｘ，ｙ）定义在区域Ｊˑ［ｃ，＋ɕ）上，Ｊ是任意区间，则含参量无穷积分Ｉ（ｘ）＝ʏ＋ɕｃｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ在Ｊ上一致收敛的充要条件是对任一趋于＋ɕ的递增数列Ａｎ{}（其中Ａ１＝ｃ），函数项级数ðɕｎ＝１ｕｎ（ｘ）在Ｊ上一致收敛，其中ｕｎ（ｘ）＝ʏＡｎ＋１Ａｎｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ，故含参量无穷积分一致收敛判别法及其性质与函数项级数类似．高等数学中还有很多其他知识间也存在着密切的逻辑关系．正如希尔伯特曾指出： 数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系，数学的有机统一是这门学科固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础． 厘清数学知识间的逻辑关系有助于我们更深刻地理解概念，用辩证统一的哲学思想学习高等数学，对数学内容融会贯通，大大提高学习效率．ʌ参考文献ɔ［１］陈纪修，於崇华，金路．数学分析（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．［２］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１２．［３］同济大学数学系．高等数学（第七版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［４］伊莱亚斯，斯坦恩，等．泛函分析［Ｍ］．王茂发，姚兴兴，译．北京：机械工业出版社，２０１９．［５］刘玉莲，傅沛仁，等．数学分析讲义（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１８．［６］周民强．实变函数论（第三版）［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２０１６．［７］萨夫，斯奈德．复分析基础及工程应用［Ｍ］．高宗升，译．北京：机械工业出版社，２００７．. All Rights Reserved.。
二元函数连续偏导可微之间的关系
二元函数连续偏导可微之间的关系在数学中，连续偏导和可微是函数的重要性质。
它们描述了函数在不同变量方向上的变化规律，并为我们研究函数的性质提供了有力工具。
本文将探讨二元函数连续偏导和可微之间的关系，帮助读者更好地理解这两个概念的内涵。
我们来了解一下连续偏导的概念。
对于二元函数$f(x,y)$，如果它的每一个偏导数都存在且在定义域内连续，那么就称该函数在定义域内具有连续偏导。
也就是说，对于函数$f(x,y)$而言，它在每个变量方向上的偏导数都是存在的，并且这些偏导数在整个定义域内都是连续的。
而可微则是连续偏导的更高级的性质。
对于二元函数$f(x,y)$，如果它在某一点$(a,b)$处的偏导数存在且连续，那么就称该函数在该点可微。
可微性是连续偏导的一种强化，它要求函数在某一点处的偏导数不仅存在，而且还要连续。
接下来，我们来探讨连续偏导和可微之间的关系。
首先要明确的是，连续偏导是可微的充分条件，但不是必要条件。
也就是说，如果一个函数在某一点处可微，那么它在该点处一定具有连续偏导。
但是，具有连续偏导的函数未必在某一点可微。
简单来说，连续偏导是可微性的一种弱化形式。
连续偏导要求函数在整个定义域内偏导数连续，而可微则只要求函数在某一点处偏导数存在且连续。
因此，连续偏导是可微的充分条件，但不是必要条件。
举个例子来说明这个关系。
考虑函数$f(x,y)=|x|+|y|$，它在原点$(0,0)$处的偏导数不存在，因为在原点处函数不可导。
所以，这个函数在原点处不可微。
但是，这个函数在整个定义域内的偏导数都存在且连续，因此具有连续偏导。
在实际应用中，连续偏导和可微性经常用于优化问题的求解。
对于优化问题而言，我们希望找到函数的极值点。
而连续偏导和可微性可以帮助我们判断一个点是否为极值点。
如果一个函数在某一点处可微，那么在该点处的梯度为零。
而连续偏导则可以帮助我们确定该点是否为极值点。
总结起来，二元函数的连续偏导和可微是两个重要的概念。
可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释
可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍本文所讨论的主题——可导、可微、可积和连续之间的关系，并为读者提供一个全面的背景和引导。
本文将探讨这些数学概念之间的联系，以揭示它们之间的内在关联，以及它们在数学和物理学中的应用。
在数学分析中，我们经常遇到函数的性质和特征，而可导性、可微性、可积性和连续性是其中最基本也是最常见的一些性质。
它们描述了函数在不同方面的光滑程度和可测性。
理解这些概念之间的相互关系，对于深入研究微积分、实分析、复分析等领域的数学知识，以及在物理学和工程学中的应用是至关重要的。
本文将依次探讨可导和可微的关系、可微和可积的关系、可导和可积的关系、可微和连续的关系、可积和连续的关系、可导和连续的关系等六个方面。
通过分析这些关系，我们将揭示它们之间的数学联系和性质，并进一步讨论它们在实际应用中的意义和重要性。
对于初学者来说，理解和区分这些概念可能存在一定的难度。
因此，在本文中，我们将从简单到复杂，一步一步地引导读者理解这些概念的定义、性质和相互关系。
通过清晰的解释和具体的例子，我们将帮助读者建立起对这些数学概念的深入理解，并培养他们在实际问题中运用这些概念的能力。
最后，本文的结论部分将对可导、可微、可积和连续之间的关系进行总结，并提供一些对研究和应用的启示和展望。
我们将强调这些概念的重要性和广泛应用的前景，鼓励读者进一步探索和研究这些数学概念，以及它们在不同领域的应用。
通过理解和应用这些概念，我们可以更好地解释和预测自然界和科学现象，并在技术和工程领域中做出更精确的计算和推断。
总之，本文将为读者提供一个深入了解和探索可导、可微、可积和连续之间关系的机会。
通过解释这些概念的定义、性质和相互关系，我们将帮助读者理清思路、认识到它们的重要性，并为将来的研究和应用打下坚实的基础。
希望读者通过本文的阅读，能够对这些数学概念有更全面的认识和理解。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕可导、可微、可积和连续这四个数学概念展开讨论，探讨它们之间的关系。
二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)二元函数连续与可微之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词 二元函数 连续 偏导数 可微The Relationship among Continuation, Partial Derivativesand Differentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ⋂∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续.定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限00000000(,))(,)(,limlimx x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0(,)|x y fx∂∂.定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+，其中A 、B 是仅与点0P 有关的常数，()ορρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微.2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间的关系例[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在(0,0)偏导数存在但不连续. 证明 因为 00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===， 同理可知 (0,0)0y f =. 所以 (,)f x y 在(0,0)偏导数存在. 因为220,0limx y xyx y →→+ 极限不存在，所以 (,)f x y 在(0,0)不连续.例2[2](,)f x y =在(0,0)点连续，但不存在偏导数. 证明 因为0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===，所以(,)f x y =在(0,0)点连续，因为00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-== ,该极限不存在，同理 (0,0)y f 也不存在.所以(,)f x y =在点(0,0)连续，但不存在偏导数.此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导. 二元函数连续与可微之间的关系定理1[3] 若(,)z f x y =在点(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点(,)x y 一定连续. 证明 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+ (1)所以 当0,0x y ∆→∆→时，有0z ∆→，即 (,)z f x y =在该点连续.例3[4]证明(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在(0,0)点连续，但在(0,0)点不可微.证明 令cos ,sin x r y r θθ==，则(,)00x y r →⇔→.因为2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→,所以(,)f x y 在(0,0)点连续.按偏导数定义00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆-===∆∆, 同理 (0,0)0y f = .若(,)f x y 在点(0,0)可微，则(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是ρ=较高阶的无穷小量. 因为220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 该极限不存在,所以(,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理2[5] 若二元函数f 在其定义域内一点00,)(y x 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的0000,),,)((x y A f y B f y x x ==.证明 因为 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，则0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+.若令上式中0y ∆= ,则0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆, 所以 000000(,)(,)(||)lim lim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆. 即A zx=∂∂.类似可证B z y =∂∂. 例4[6]设2222222,0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则(,)f x y 在点(0,0)偏导数存在，但在该点不可微.解 事实上（1）0(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x →-==，(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==,故 (,)f x y 在点(0,0)偏导数存在. （2）因为200,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=，此时若令y k x ∆=∆，则230,0,lim limx y x y ∆→∆→∆→∆→=此极限显然不存在，所以0limf dfρρ→∆-不存在，所以 (,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别. 函数可微与偏导数连续之间的关系定理3[7] 若二元函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存在，且x f 与yf 在点00(,)x y 处连续，则函数f 在点00(,)x y 处可微.证明 我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数0,)(y f x y +∆关于x 的偏增量;在第二个括号里，则是函数0(,)f x y 关于y 的偏增量.对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆ 12,10θθ<< （2） 由于x f 与y f 在点00(,)x y 处连续，因此有 01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆， （3）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆= ,（4）其中 当0,0x y ∆→∆→时，有0,0αβ→→. 将（3） ，（4）代入（2）式，则得0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆. 所以 函数f 在点00(,)x y 处可微.例5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)处可微，但(,)x f x y 与(,)y f x y 均在(0,0)处不连续.解因为220,0lim ()sin0(0,0)x y x y f →→+==,所以 (,)f x y 在(0,0)处连续.00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===,同理 (0,0)0y f =.当220x y +≠时，0,0lim 2sinx x y f x →→=极限不存在,故(,)x f x y 在点(0,0)不连续. 同理可证(,)y f x y 在(0,0)处不连续.lim0f dfρρρ→→∆-==,所以(,)f x y 在(0,0)处可微.此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理4[9] 若(,)f x y 在0()U P 内(,)x f x y 存在，且(,)x f x y 在00(,)o P x y 连续，(,)y f x y 在0P 存在，证明：f 在0P 可微.证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 由已知 (,)x f x y 存在，且在0(,)o x y 连续,有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→,因为 0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆，所以 00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→ ， 又因 1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→，所以 f 在点0P 可微. 注 此定理中(,)x f x y 与(,)y f x y 互换，结论仍然成立. 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.。
多元函数连续,可导,可微之间的关系
多元函数连续,可导,可微之间的关系函数在数学中占据着重要地位，它是数学中的基本概念，可以实现从一种值到另一种值的变换。
它们还可以在实际工程中得到广泛的应用，比如机械，电子学，电力，控制系统等领域。
其中，函数的连续性，可导性和可微性是非常重要的概念，它们在许多领域的应用中起着至关重要的作用。
下面我们将对多元函数连续,可导,可微之间的关系进行更深入的研究。
首先，我们来讨论多元函数的连续性。
它是指函数中从一个点到另一个点没有断点或缺口的特性。
即使在一个非常小的间隔中，函数的值也始终是连续变化的。
在一般情况下，多元函数也是连续的，即自变量在某一给定区间上的所有值都属于函数的定义域。
另外，函数的连续性也可以用变分法或常微分系统来检验。
接下来，我们讨论多元函数的可导性。
它是指函数在某一点存在梯度，若梯度不为零，则此函数在此点可导。
一般而言，多元函数可以在任何给定的定义域内存在梯度，也可以检查函数的可导性。
用另一种说法，函数的可导性是指函数的切线是否存在，以及函数在相邻点的变化量之间的关系。
最后，我们来看看多元函数的可微性。
它是指函数是否可以被微分，若函数可以被某些常量多重微分，那么它就是可微的。
这种特性主要可以用来计算函数的极值点，从而可以对相关问题进行深入分析。
此外，可微性还可用来判断函数在某一点处的极大值和极小值。
总之，多元函数连续，可导，可微之间的关系是非常重要的，它们有助于我们深入研究多元函数，从而帮助我们解决复杂的实际问题。
研究多元函数连续，可导，可微性的重要性，可以给函数的研究者提供一个良好的基础，从而更好地理解函数的特性与行为。
一元函数可导、可微、连续的关系
一元函数可导、可微、连续的关系一元函数是指只有一个自变量的函数，例如f(x)。
可导性是指函数在某一点处存在导数，也就是函数的变化率。
可微性是指函数在某一点处存在微分，也就是函数的线性近似。
连续性是指函数在定义域内的每一点处都存在有限的极限，也就是函数的无间断性。
我们来讨论可导性。
函数在某一点处可导的条件是函数在该点处的导数存在且有限。
导数表示了函数在该点处的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
例如，对于函数f(x) = x^2，它在任意一点处的导数为2x，表示了函数在该点处的变化率是2倍的x。
可导性在微积分中是非常重要的概念，它使我们能够研究函数的变化规律。
接下来，我们来讨论可微性。
函数在某一点处可微的条件是函数在该点处的微分存在且有限。
微分是函数在某一点处的线性近似，可以用来描述函数在该点附近的变化情况。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，它在任意一点处的微分为cos(x)，表示了函数在该点处的变化情况可以用cos(x)来近似。
可微性在微积分中也是非常重要的概念，它使我们能够用简单的线性近似来研究函数的性质。
我们来讨论连续性。
函数在某一点处连续的条件是函数在该点处的极限存在且有限。
连续性表示了函数在定义域内的每一点处都没有突变或断裂，函数曲线是一条连续的曲线。
例如，对于函数f(x) =1/x，它在定义域内的每一点处都存在有限的极限，表示了函数曲线没有突变或断裂。
连续性在微积分中也是非常重要的概念，它使我们能够研究函数的整体性质。
通过以上的讨论，我们可以看出一元函数的可导性、可微性和连续性之间存在着紧密的关系。
可导性是可微性的充分条件，也就是说，如果函数在某一点处可导，则它在该点处可微。
可微性是连续性的充分条件，也就是说，如果函数在某一点处可微，则它在该点处连续。
但是反过来并不成立，也就是说，函数在某一点处连续并不意味着它在该点处可微，函数在某一点处可微并不意味着它在该点处可导。
二元函数的连续偏导可微
二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义 设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义 设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在 故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在 故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续 ，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续 偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩， 证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。
连续性与可微性及导函数存在之间的关...
( x, y ) (0, 0 )
!0
f ( x, y)
∀ 80 ∀
因此函数 z= f (x, y )在点 (x, y )处连续。 反之, 如果函数 z = f ( x, y )在点 (x, y )处连续, 则由二 元函数连续的定义得
lmi f (x + x, y + y ) = f ( x, y)
( x, y ) ( 0, 0 )
个极限为函数 y = f (x )在点 x0 处的导数, 记为 f (x0 ), 即
f
( x0 ) =
lmi
x0
y x
=
lmi f (x0 +
x0
x ) - f (x0 ) x
=
f lmi
x x0
(
x) x
-
f ( x0 x0
)
如果函数 y = f (x )在开区间 I 内的每一点处都可导, 则称
函数 f (x)在开区间 I内可导。
x0
x
x0 x
当 x< 0时, lmi x = - 1; 当 x > 0时, lmi x
x 0-
x
x 0+
x
= 1, 所以 f (x) = x 在 x= 0处不可导。
性质 1: 一元函数在某点可导, 则函数在该点必连续; 反之不一定成立。
2 一元函数可导性与可微性的关系
首先, 设函数 y= f (x )在点 x0 可微, 则由可微的定义 有
y= A x + o( x)
在上式两端同除以 x 得
y x
=
A
+
o(
x) x
∀ 79 ∀
当
x
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1、可导即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。
如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导定义：
（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。
（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。
连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。
即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数2、连续
函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0)
定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。
3、可微
定义：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)
其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx
当x= x0时，则记作dy∣x=x0.
可微条件：
必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。
4、可积函数定义
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。
即f(x)是[a,b]上的可积函数。
函数可积的充分条件
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。
可积的必要条件：
被积函数在闭区间上有界。
总结：
对于一元函数：
函数连续不一定可导例如y=|x|
可导一定连续即连续是可导的必要不充分条件，可导是连续的充分不必要条件
函数可导必然可微
可微必可导即可导是可微的必要充分条件。