高中数学 数列 22222 等差数列的通项公式练习 苏教版必修5

2.2.2 等差数列的通项公式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )
A ．2
B ．3
C ．－2
D ．－3
解析：d ＝a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2.选C.
答案：C
2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝( )
A ．4－2n
B ．2n －4
C ．6－2n
D ．2n －6
解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋6.
答案：C
3．已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
解析：由题意2m ＋n ＝10，2n ＋m ＝8，两式相加得3m ＋3n ＝18，所以m ＋n ＝6.所以m ＋n 2
＝3.
答案：B
4．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( )
A ．第11项
B ．第12项
C ．第13项
D ．第14项 解析：由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88，令a n ≥0，
解得n ≤887＝1247
. 而a 12＝4，a 13＝－3，
故a 13的值最接近零．
答案：C
5．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( )
A ．公差为1的等差数列
B ．公差为13
的等差数列 C ．公差为－13
的等差数列
D ．不是等差数列
解析：因为3a n ＋1＝3a n ＋1，
所以3a n ＋1－3a n ＝1.
所以a n ＋1－a n ＝13
. 故数列{a n }为公差为13
的等差数列． 答案：B
二、填空题
6．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________．
解析：根据等差数列的性质，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝37.
所以原式＝37＋37＝74.
答案：74
7．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝______．
解析：由a 3＋a 8＝10得a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝10，即2a 1＋9d ＝10，
3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝2（2a 1＋9d ）＝20.
答案：20
8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2
－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．
解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .
又Δ＝(2b )2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0，
所以二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1个或2个．
答案：1或2
三、解答题
9．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7.
(1)求a 9；
(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．
解：(1)设首项为a 1，公差为d ，则2a 1＋5d ＝12， a 1＋3d ＝7，解得a 1＝1，d ＝2，
所以a 9＝a 4＋5d ＝7＋5×2＝17.
(2)由(1)知，a n ＝2n －1，由101＜a n ＜1 000知
101＜2n －1＜1 000，
所以51＜n ＜1 0012
. 所以共有项数为500－51＝449.
10．已知数列{a n }中，a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋13
，求a n . 解：由1a n ＋1＝1
a n ＋13知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2，公差为13的等差数列，所以1a n ＝2＋(n －1)·13＝n ＋53. 所以a n ＝3n ＋5
(n ∈N *)． B 级 能力提升
一、选择题
11．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
解析：由b 3＝－2和b 10＝12得b 1＝－6，d ＝2，
所以b n ＝2n －8，即a n ＋1－a n ＝2n －8，由叠加法得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.
所以a 8＝a 1＝3.
答案：B
12．等差数列{a n }中，前三项依次为：
1x ＋1，56x ，1x ，则a 101等于( ) A ．5013 B ．1323 C ．24 D ．823
解析：由1x ＋1＋1x ＝2×56x 解得x ＝2，故知等差数列{a n }的首项为13，公差d ＝112，故a 101＝a 1＋100d ＝13＋100×112＝263＝823
. 答案：D
13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目，把100
个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17
是较小的两份之和．则最小的1份为( )
A.53
B.56
C.103
D.116
解析：设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d >0)，则有17
(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝556
，则最小的一份为a －2d ＝20－553＝53
.
答案：A
二、填空题
14．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________．
解析：因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以{a n ＋b n }也是等差数列，其公差为21－72＝142
＝7.
所以a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35.
答案：35
15．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 2
2－4，则a n ＝________． 解析：设等差数列公差为d ，则由a 3＝a 22－4，
得1＋2d ＝(1＋d )2－4，
所以d 2＝4.所以d ＝±2.由于该数列为递增数列，
所以d ＝2.
所以a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)．
答案：2n －1(n ∈N *)
三、解答题
16．“三个数成递减等差数列，且三数和为18，三数的积为66”，求这三个数． 解：法一：设三个数分别为a 1，a 2，a 3.
依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·（a 1＋d ）·（a 1＋2d ）＝66， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧a 1＝11，d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪
⎧a 1＝1，d ＝5.
因为数列{a n }是递减等差数列，所以d <0.
所以d ＝－5，a 1＝11，所以a 2＝6.a 3＝1.
所以这三个数为11，6，1.
法二：设等差数列{a n }的前三项依次为a －d ，a ，a ＋d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ）·a ·（a ＋d ）＝66，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝±5. 又因为{a n }是递减等差数列，所以d <0，
所以取a ＝6，d ＝－5.
所以这三个数分别为11，6，1.
17．已知1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b
是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2是等差数列．
证明：由已知条件，得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a
， 所以2b ＋a ＋c （b ＋c ）（a ＋b ）＝2c ＋a
. 所以(2b ＋a ＋c )(a ＋c )＝2(b ＋c )(a ＋b )． 所以a 2＋c 2＝2b 2，即a 2，b 2，c 2是等差数列．。