数学专升本考试试题
专升本试题2023数学及答案
专升本试题2023数学及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=2x^2+3x-5的导数是：A. 4x+3B. 2x+3C. 4x^2+6xD. 4x^2+3x2. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，圆心坐标是：A. (2, 3)B. (1, 2)C. (3, 4)D. (0, 0)3. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，第5项a5的值为：A. 11B. 13C. 15D. 174. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在5. 矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]的乘积AB的行列式det(AB)为：A. 22B. 30C. 36D. 44二、填空题（每题2分，共10分）6. 若f(x)=x^3-2x^2+x-2，则f'(x)=______。
7. 若曲线y=x^2-4x+3在点x=1处的切线斜率为______。
8. 一个等比数列的首项为2，公比为3，其第3项为______。
9. 若函数y=ln(x)的图像与直线y=4相交于点(a,4)，则a=______。
10. 一个矩阵的秩为2，且该矩阵的行列式为-5，则该矩阵的迹为______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
12. 解不等式：|x-2|+|x-5|<7。
13. 计算定积分：∫(0到1) (2x+1)dx。
四、证明题（每题15分，共15分）14. 证明：若数列{an}是单调递增数列，且数列{an}的极限存在，则数列{an}是收敛的。
五、综合题（每题25分，共25分）15. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求：a. 函数f(x)的极值点；b. 函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
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专升本高等数学（一）考试真题及参考答案
专升本高等数学（一）考试真题及参考答案
一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的( )
A.高阶无穷小量
B.等价无穷小量
C.同阶但不等价无穷小量
D.低阶无穷小量
参考答案：D
参考答案：C
第3题函数f(x)=x3-12x+1的单调减区间为( )
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-2,2)
D.(2,+∞)
参考答案：C
参考答案：A 第5题
参考答案：B
参考答案：D 第7题
参考答案：B 参考答案：A 参考答案：B
参考答案：A
二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
参考答案：1
参考答案：2
第13题设y=x2+e2，则dy=________
参考答案：(2x+e2)dx
第14题设y=(2+x)100，则Y’=_________.
参考答案：100(2+z)99
参考答案：-In∣3-x∣+C
参考答案：0
参考答案：1/3(e3一1)
参考答案：y2cosx
第19题微分方程y’=2x的通解为y=__________.
参考答案：x2+C
参考答案：1
三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题
第22题第23题第24题
第25题
第26题设二元函数z=x2+xy+y2+x-y-5，求z的极值.
第27题第28题。
高等数学专升本试卷(含答案)
高等数学专升本试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1函数1arccos2x y +=的定义域是 （ ） .A 1x < .B ()3,1-.C {}{}131x x x <⋂-≤≤ .D 31x -≤≤.2.极限sin 3limx xx→∞等于 ( ).A 0 .B 13.C 3 .D 1.3.下列函数中,微分等于1ln dx x x的是 ( ) .A ln x x c + .B ()ln ln y x c =+ .C 21ln 2x c + .D ln xc x+.4.()1cos d x -=⎰（ ）.A 1cos x - .B cos x c -+.C sin x x c -+ .D sin x c +.5.方程2222x y z a b=+表示的二次曲面是（超纲，去掉） ( ).A 椭球面.B 圆锥面.C 椭圆抛物面 .D 柱面.二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程, 本题共有10个小题，每小题4分,共40分)1.2226lim _______________.4x x x x →+-=-2.设函数(),,x e f x a x ⎧=⎨+⎩00x x ≤>在点0x =处连续,则________________a =.3.设函数xy xe =,则()''0__________________y =.4.函数sin y x x =-在区间[]0,π上的最大值是_____________________.5.sin 1_______________________.4dx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰6.()() ____________________________.aax f x f x dx -+-=⎡⎤⎣⎦⎰7.设()() xa x F x f t dt x a=-⎰,其中()f t 是连续函数，则()lim _________________.x aF x +→=8.设32, 2a i j k b i j k =--=+-,则____________________.a b ⋅=9.设()2,yz x y =+则()0,1____________________________.zx ∂=∂（超纲，去掉） 10.设(){},01,11,D x y x y =≤≤-≤≤则_____________________.Ddxdy =⎰⎰（超纲，去掉）三.计算题( 本题共有10个小题，每小题6分,共60分)1.计算0lim.x xx e e x-→-2.设函数y =求.dy3.计算1xxe dx e +⎰.4.设 2 02sin cos tx u du y t⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰,求.dy dx5.计算 2 .22dxx x +∞-∞++⎰6. 设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切,求n7.求微分方程'tan 3y x y +=-满足初值条件02y π⎛⎫= ⎪⎝⎭的特解. .8.设(),z z x y =是由方程2224x y z z ++=所确定的隐函数,求.zx∂∂（超纲，去掉） 9.求D⎰⎰ ,其中区域(){}2222,4D x y x y ππ=≤+≤ .（超纲，去掉）10.求幂级数21113n n n x ∞-=∑的收敛域.四.综合题(本题有3个小题，共30分,其中第1题14分，第2题8分，第3题8分) 1.求函数21x y x+=的单调区间,极值及其图形的凹凸区间.(本题14分)2.设()f x 在[]0,1上可导,()()00,11f f ==,且()f x 不恒等于x ,求证：存在()0,1ξ∈使得()' 1.f ξ> (本题8分)3.设曲线22y x x =-++与y 轴交于点P ,过P 点作该曲线的切线,求切线与该曲线及x 轴围成的区域绕x 轴旋转生成的旋转体的体积. (本题8分)参考答案及评分标准一. 选择题(每小题4分,共20分)1.D ,2.A ,3.B ,4.B ,5.C . （超纲，去掉） 二. 填空题(每小题4分,共40分) 1.54 , 2.1 , 3.2 , 4.0 , 5.sin 14x c π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ,6.0 ,7.()af a ,8.3 ,9.2 , （超纲，去掉） 10.2 . （超纲，去掉） 三. 计算题(每小题6分,共60分)1. 解.00lim lim 1x x xxx x e e e e x --→→-+=5分2.=6分2.解.()3221',1y x ==+ 5分故()3221+dxdy x =.6分3.解.原式=()11x xde e++⎰3分()ln 1.x e c =++6分4.解法1.dy dy dtdxdx dt=3分222sin 2.sin t t t t -==-6分解法2.因为22sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==-， 4分故2.dyt dx=- 6分 5.解.原式()()2111d x x +∞-∞+=++⎰3分=()tan 1arc x +∞-∞+5分 =.π6分6.解.由条件推得()()'00,1 1.f f ==2分于是()1220lim 220n n f f n n →∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦5分（第1页，共3页）==6分注：若按下述方法：原式()()112200'lim lim 1f x f x x ++→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解答者，只给4分. 7.解法1.分离变量,得到cot ,3dyxdx y=-+2分积分得到ln 3ln sin y x c +=-+或 ()3 .sin cy c x =-∈4分代入初值条件02y π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为33.sin y x=-6分解法2.由()()(),p x dx p x dxy e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 其中()()13,tan tan p x q x x x ==-，得到 ()3 .sin c y c x=-∈4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 3 3.sin y x=-6分8.解.方程两边对x 求偏导数,得到（超纲，去掉）224,z zx z x x∂∂+=∂∂4分故.2z x x z∂=∂-6分9（超纲，去掉）解原式 2 2 0 sin d r rdrπππθ=⎰⎰3分= 222cos cos r r rdr πππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰5分=26.π-6分10.解.由121121321131lim lim3n nn n n n n nx ax a x +++-→∞→∞==,可知收敛半径R =4分又当x =,对应数项级数的一般项为级数均发散,故该级数的收敛域为( .6分（第2页，共3页）四. 综合题(第1小题14分,第2小题8分, 第3小题8分，共30分) 1.解.定义域()(),00,-∞⋃+∞,()34232',",x x y y x x++=-= 令'0,y =得驻点12x =- ,5分令"0,y =得23x =- ,610分函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-及()0,,+∞在2x =-处,有极小值14-. 其图形的凹区间为)0,3(-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞-14分2.证明.由于()f x 不恒等于x ,故存在()00,1,x ∈使得()00.f x x ≠2分如果()00,f x x >根据拉格朗日定理,存在()00,,x ξ∈使得 10)0()()('f 000=>--=x x x f x f ξ ，5分若()00,f x x <根据拉格朗日定理,存在()0,1,x ξ∈使得 ()()()000011'111f f x x f x x ξ--=>=--.8分注：在“2分”后，即写“利用微分中值定理可证得，必存在ξ，使得()'1f ξ>”者共得3分.3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,且与x轴的交于点()2,0A -2分曲线与x 轴的交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线PA 和AB 及曲线弧PB所围成.4分该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积 () 02218292330V xx dx πππ-=--++=⎰ .8分注：若计算由直线PA 与AC 及曲线弧PC 所围成，从而() 222 081362315V x x dx πππ=+-++=⎰者得6分.。
专升本高等数学考试题及答案
一、 判断下列命题是否正确，正确的在题后的括号划“√ ”，错误的划“×”（每小题2分，共10分）1. 设函数()f x 在点0x 处连续，则0lim ()0x x f x →'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )2. 若()f x 为可导函数，则()f x 也为可导函数 ( )3. 设()f x 在[],a a -上连续，且()()f x f x -=，则(2)0aaxf x dx -=⎰( )4. 方程2520x x -+=在区间(1,2)内必有一个正实根 ( )5. 若()1f x < ，且在区间[]0,1上连续，则()21()xF x x f t dt =--⎰是区间[]0,1上的单调增函数 ( )二、填空题（每小题2分，共10分）1. 21lim()2xx x x→∞+= . 2. 设函数211ln(),21x x y e x -+=-则dy dx= . 3. 曲线12cos y x =+在(,2)3π出的法线方程为4. 设()arcsin xf x dx x c =+⎰，则1()dx f x ⎰= . 5.72= .三．选择题（每小题2分，共10分）1.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ ）（A ）0a b +> （B ）0a b += （C ）0a b +≥ （D ）0a b +< 2 设xy x =，则dydx为 （ ）（A ）1x x x-⋅ （B ）ln xx x （C ）(ln 1)xx x + （D ）ln 1x +3[()()]aax f x f x dx -+-=⎰（ ）（A ）04()axf x dx ⎰（B ） 02[()()]ax f x f x dx +-⎰（C ） 0 （D ）前面都不正确4 设20()(2)xf x t t dt =-⎰，则它在12x =处取 （ ） （A ）极大值 （B ）极小值 （C ） 单调下降 （D ） 间断点5 直线111:314x y z L ---==-与平面:3x y z π++=的位置关系为 （ ）（A ）垂直 （B ）斜交 （C ）平行 （D ）L π在内四 计算下列各题（每小题6分，共48分）1 设(cos )(sin ),yxdy x y dx=求 2 arctan x xdx ⋅⎰341⎰4 2303cos sin x xdx π⎰5 设空间三点为(1,1,1),(2,2,2),(1,1,3)A B C ----，试写出过点A ，B,C 的平面方程及过AB 中点M 的直线MC 的方程 61⎰7 若1y ≤，计算11x x y e dx --⋅⎰8 已知参数方程()()()x u y u u u ϕϕϕ'=⎧⎨'=⋅-⎩，且()0u ϕ''≠，求22d ydx五 证明不等式（8分）1ln(x x x +⋅≥-∞<<+∞六 应用题（8分）计算a 为何值时，曲线21y x ax a =-+-与直线0,2,0x x y =-=围城的封闭图形绕轴x 旋转一周所形成的旋转体的体积最小？并求出该体积。
四川2023年大专生专升本数学考试及答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.“a =1”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅=（）.A ．23-B ．32-C ．32D ．233.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）.A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位4.函数|lg |)(x x x f -=在定义域上零点个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．45.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（）.A ．1B ．21C ．31D ．616.一个等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则抽取的是()A.a11B.a10C.a9D.a87.设函数f(x)=logax(a>0,且a ≠1)满足f(9)=2,则f －1(log92)等于()A.2B.2C.21 D.±28.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a,则三棱锥D —ABC 的体积为()A.63a B.123a C.3123a D.3122a 9.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a+b+c=0，a ·b=b ·c=c ·a=－1,则|a|+|b|+|c|等于()A.22B.23C.32D.3310.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦11.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（）A ．15BC ．3D ．512.设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为（）ABC ．2D二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1、如果∆ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则B 一定等于______.2、已知2tan -=α，71tan =+）（βα，则βtan 的值为______.3．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是______.4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是______.三、大题：(满分70分)1、已知函数3()x x bf x x++=，{}n a 是等差数列，且2(1)a f =，3(2)a f =，4(3)a f =．（1）求{}n a 的前n 项和；（2）求()f x 的极值．2、已知集合A 是由a －2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a.3.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠=四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证：平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060，求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值4.设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．5.已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程． 6.已知函数（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论g （x ）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x ＞0，且x ≠1时，．参考答案：一、选择题：1-5题答案:CDCCC 6-10题答案:ABDCB 11-12题答案:BA 二、填空题：1、︒60;2、3；3、10；4、4.三、大题：1、【解析】（1）由3()x x b f x x++=得211(1)21b a f b ++===+，3322(2)522b ba f ++===+，3433(3)1033b ba f ++===+，由于{}n a 为等差数列，∴2432a a a +=，即(2)(10)2(5)32b b b +++=+，解得6b =-，∴22624a b =+=-+=-，3655222b a =+=-+=，461010833b a =+=-+=，设数列{}n a 的公差为d ，则326d a a =-=，首项1210a a d =-=-，故数列{}n a 的通项公式为1(1)616n a a n d n =+-=-，∴数列{}n a 的前n 项和为21()(10616)31322n n n a a n n S n n +-+-===-；（2）法一（导数法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，332226262(3)()2x x f x x x x x ++'=+==，当330x +<，即x <()0f x '<，函数()f x 在(,-∞上单调递减，当330x +>，即x >时，()0f x '>，函数()f x 在()+∞上单调递增，故函数()f x 在x =极小值为53(31f =+，无极大值．法二（基本不等式法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，当0x >时，26()1f x x x =-+为单调递增函数，故()f x 在(0,)+∞上无极值．当0x <时，则6x ->，∴2226633()1()()1()()()11f x x x x x x x x =-+=-++=-+++≥+---53131==+，当且仅当23()x x-=-，即x =综上所述，函数()f x 在x =53(31f =+，无极大值．【评注】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和、函数单调性及应用，数列与函数进行结合考查，综合性较强，属于中档题．2、解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.3.参考答案：解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------①---1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点，连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE -②-----3分由①②知，平面//AEF 平面BDGH ----4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD -------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON设2AB BF t ==，,则()()()100,03,0,10B C F t ，，，，，13,,222t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--------6分()131,0,0,,222t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z = 110130222n OB x t n OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,所以(10,3n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ----9分12231|cos ,|23n n t <>==+ ,所以29,3t t ==----10分所以()1,3,3CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ4.参考答案：解：（1）∵OP→·OQ →＝0，则x1x2＋y1y2＝0，-1分又P 、Q 在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得y122p ·y222p＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2222212144)(||pp y y x x ==∴-------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．所以抛物线的方程为:22y x =-------------4分（2）设直线PQ 过点E(a,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y amy x 22消去x 得y2－2my －2a ＝0∴⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121①设直线PR 与x 轴交于点M(b,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b,并设R(x3,y3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131②--7分由①、②可得32y b y a=由题意，Q 为线段RT 的中点，∴y3＝2y2，∴b=2a又由（Ⅰ）知，y1y2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4∴a ＝2．故b ＝4．∴831-=y y ∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n=0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR|取最小值245.已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y 轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．6.已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．。
数学专升本考试试题(含答案解析)
数学专升本考试试题（含答案解析）一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C解析：函数f(x) = x^2 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值和最小值分别为f(1)和f(3)，计算可得M = f(1) = 0，m = f(3) = 0，所以Mm = 00 = 0，故选C。
2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)，代入S5 = 25，得到5/2 (a1 + a5) = 25，又因为a5 = a1 + 4d，所以5/2 (a1 + a1 + 4d) = 25，化简得到a1 + 2d = 5。
又因为S5 =5/2 (a1 + a5) = 5/2 (2a1 + 4d) = 5(a1 + 2d)，代入S5 = 25，得到5(a1 + 2d) = 25，解得a1 + 2d = 5。
联立两个方程，得到d = 2，故选A。
3. 若圆x^2 + y^2 = 1上的点到原点的距离为r，则r的取值范围是（）A. 0 < r < 1B. 0 ≤ r ≤ 1C. r > 1D. r ≥ 1答案：B解析：圆x^2 + y^2 = 1上的点到原点的距离为r，即r^2 = x^2 + y^2，因为x^2 + y^2 = 1，所以r^2 = 1，即0 ≤ r ≤ 1，故选B。
4. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时的导数为2，则b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时的导数为2，即f'(1) = 2，计算f'(x) = 2ax + b，代入x = 1，得到f'(1) = 2a +b = 2，解得b = 2 2a，故选A。
黑龙江专升本考试高等数学1试题
黑龙江专升本高等数学试题（仅供个人复习参考，未经同意不得转载和做为商业用途）一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 设]1,0[,)()(0∈=⎰x dt t f x g x且)(x f 是定义在区间]1,0[上的连续函数，)(x g 的图像一定不是（ ）。
A. B. C. D.2. 若幂级数∑∞=1n n n x a 和∑∞=1n nn x b 的收敛半径都是R ，级数∑∞=+1)(n n n n x b a 的收敛半径是1R ，则下列关系正确的是（ ）。
R R A =1. R R B ≥1. R R C ≤1. R R D <1.3. 设)(x g 在a x =附近有界，∞=→)(lim x f ax ，下列各式错误的是（ ）。
0)()(lim .=→x f x g A a x ∞=+→)]()([lim .x g x f B a x ∞=-→)]()([lim .x g x f C a x ∞=⋅→)()(lim .x g x f D ax 4. 设函数)(x f 在其定义域内二阶可导，且对任意x 有0)('>x f ，0)(''<x f ，若记x x f D ∆⋅=)('，)()(x f x x f y -∆+=∆，当0>∆x 时对1 o y x 1 o y 1 o y y1 o于任意x 有（ ）。
A. 0>∆>y D ;B. 0>>∆D y ;C. 0<<∆D y ;D. 0<∆<y D .5. 设二元函数),(y x f z =在)0,0(点的邻域内有定义，下列说法正确的是（ ）。
A. ),(y x f z =在)0,0(点处连续，则z 在该点处的偏导数存在；B. ),(y x f z =在)0,0(点处偏导数存在，则z 在该点处连续；C. ),(y x f z =在)0,0(点处可微，则z 在该点处必连续；D. ),(y x f z =在)0,0(点处偏导数存在，则z 在该点处可微。
2020年陕西专升本高等数学真题和解析
l ln l
䁫
14.计算定积分 m
l l
l
-2-
15.设函数 m
ll
，其中 具有连续二阶偏导数，求 及
l
16.求函数 ul i m l l 数.
在点 u i处沿方向 m u
i的方向导
17.计算二重积分 m ul i l ,其中积分区城 是由 m l 和 l 所围成的闭区域
m及轴
18.计算对坐标的曲线积分 m u l t i l ultt m l 的边界曲线，方向为逆时针方向。
2020 年陕西省专科升本科统一考试
高等数学试卷
一、单项选择题：
1.设函数
uliቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
sin ll
l
，则间断点个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
2.设函数 uli m l l 䁫l 䳌䁫，则( )
A.点 l m 是 uli的极值点，点u i是曲线 m uli的拐点
B.点 l m 是 uli的极值点，点u i不是曲线 m uli的拐点
䳌li ,其中 是:l
-3-
19.将函数 l m 䳌 l展开为ul i的幂级数
20.求微分方程
m 䳌 l的通解
四、应用题与证明题:
21.当 l
l
时，证明:
l
22.求由曲线 m l，l m 所围成的平面图形的面积 ,并求由该平面图形绕 l 轴 旋转一周所形成旋转体的体积 .
添加小学士（xueshi005） 查看高数真题解析
C.点 l m 不是 uli的极值点，点u
i是曲线 m uli的拐点
D.点 l m 不是 uli的极值点，点u i不是曲线 m uli的拐点
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高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．下列函数中，当1→x 时，及无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（ ）A ．)3ln(x -B ．x x x +-232C ．)1cos(-xD ．12-x 2．曲线在),1(+∞内是（ ）A ．处处单调减小B ．处处单调增加C ．具有最大值D ．具有最小值 3．设)(x f 是可导函数，且1)()2(lim000=-+→hx f h x f x ，则)(0x f '为（ ）A ．1B ．0C ．2D ．21 4．若，则⎰1)(dx x f 为（ ）A ．21 B ．2ln 1- C ．1 D ．2ln 5．设等于（ ）A ．z zxyB ．1-z xyC ．1-z yD ．z y二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在 题中横线上。
6．设2yx e z xy +=，则= ．7．设x e x f x ln )(+='，则='')3(f ． 8．，则 ．9．设二重积分的积分区域D 是4122≤+≤y x ，则 ．10．= ．11．函数的极小值点为 ． 12．若，则=a ．13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为 ．14．函数在处的导数值为 ． 15． ．三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0001arctan )(x x xx f 的间断点． 17．（本题满分6分）计算．18．（本题满分6分）计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→x x x x 1)1(arcsin ln lim ．19．（本题满分6分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01)1ln(0 )(1x x x xe x f x ，求)(x f '． 20．（本题满分6分）求函数)sin(y x y +=的二阶导数． 21．（本题满分6分）求曲线342)(x x x f -=的极值点． 22．（本题满分6分）计算．23．（本题满分6分）若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求⎰⋅dx x f x )(． 24．（本题满分6分）已知，求常数k 的值． 25．（本题满分6分）求函数5126),(23+-+-=y x x y y x f 的极值． 26．（本题满分10分）求，其中D 是由曲线2x y =及2y x =所围成的平面区域． 27．（本题满分10分）设⎰-=adx x f x x f 02)()(，且常数1-≠a ，求证：．28．（本题满分10分）求函数的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．参考答案一、选择题1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 二、填空题6．122+e 7． 8．11-x 9．π3 10．21-e 11．0=x 12．5 13． 14． 15．0 三、解答题16．解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．21arctan lim )(lim 00π-==-→-→x x f x x21arctan lim )(lim 00π==+→+→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x +→-→≠故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点．17．解 原式=222112111lim121lim 222==--+=--++∞→+∞→xx x x x x x x ．18．解 设xx x x f 1)1(arcsin )(++=． 由于0=x 是初等函数)(lnx f 的可去间断点，故 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==→→→x x x x x x x f x f 100)1(arcsin lim ln )(lim ln )(ln lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=→→xx x x x 100)1(lim arcsin lim ln1ln )0ln(==+=e e ．19．解 首先在0≠x 时，分别求出函数各表达式的导数，即 当0>x 时，)11(1)()(12111x e xxeexex f x xxx+=⋅+='='----当01<<-x 时，[]11)1ln()(+='+='x x x f ． 然后分别求出在0=x 处函数的左导数和右导数，即0)11(lim )0(1=+='-+→+xe f xx 从而)0()0(+-'≠'f f ，函数在0=x 处不可导． 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+='-0 110 )11()(1x x x x e x f x 20．解 )sin(y x y +=)cos()cos()1)(cos(y x y y x y y x y +'++='++=' ① [])1()sin()cos()1)(sin(y y x y y x y y y x y '++-'++''+'++-='' []2)1)(sin()cos(1y y x y y x '++-=''+-)cos(1)1)(sin(2y x y y x y +-'++-='' ②又由①解得代入②得2)cos(1)cos(1)cos(1)cos(y x y x y x y x y +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++='21．解 先出求)(x f 的一阶导数：)23(464)(223-=-='x x x x x f 令0)(='x f 即 解得驻点为．再求出)(x f 的二阶导数)1(121212)(2-=-=''x x x x x f ． 当时，，故是极小值． 当01=x 时，0)0(=''f ，在)0,(-∞内，0)(<'x f ，在内0)(<'x f故 01=x 不是极值点．总之 曲线242)(x x x f -=只有极小值点．22．解 11)1(112222323+-=+-+=+-+=+x xx x x x x x x x x x x∴ ⎰⎰⎰⎰+-=+-=+dx x xxdx dx x x x dx x x 1)1(12223⎰++-=++-=C x x x x d x )1ln(21211)1(21212222 23．解 由题设知1ln )(ln ln )ln ()(+='+='=x x x x x x x f 故⎰⎰+=⋅dx x x dx x f x )1(ln )( ⎰⎰+=xdx xdx x ln[]22221)(ln ln 21x x d x x x +-⋅=⎰22221121ln 21x dx x x x x ⎰+-⋅=222121ln 21x xdx x x ⎰+-=． 24．解 ⎰⎰⎰+⋅=+=+-∞→∞-∞-02020211lim 111a a dx xk dx x k dx x k2)arctan (lim arctan lim 0π⋅=-⋅=⋅=-∞→-∞→k a k x k a a a又故 解得． 25．解123,622-=∂∂+-=∂∂y yf x x f 解方程组得驻点)2,3(),2,3(00-B A 又 y f C f B f A yy xy xx 6,0,2=''==''=-=''=对于驻点126,0,2:230-===-===y x y C B A A ，故0242>=-AC B∴ 驻点0A 不是极值点．对于驻点126,0,2:230-===-=-==y x y C B A B故 0242<-=-AC B ，又02<-=A ．∴ 函数),(y x f 在)2,3(0-B 点取得极大值 30524189)2()2,3(3=+++--=-f26．解 由2x y =及2y x =得两曲线的交点为)0,0(O 及)1,1(A )0(2≥=y y x 的反函数为xy =．∴ dx y y x dy y x dx dxdy y x x xxx D2102222102)21()()(⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+14033)1034172()21()21(105227104425=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰x x x dx x x x x 27．证 ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=aa a dx dx x f x dx x f 0020)()( dx dx x f dx x aaa⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0002)( ⎰⎰⋅-=aa adx dx x f x 0003)(31∴ 3)()(30a dx x f a dx x f a a=+⎰⎰于是．28．解 （1）先求函数的定义域为),0(+∞． （2）求y '和驻点：，令0='y 得驻点e x =．（3）由y '的符号确定函数的单调增减区间及极值． 当e x <<0时，，所以y 单调增加； 当e x >时，0<'y ，所以y 单调减少． 由极值的第一充分条件可知为极大值． （4）求y ''并确定y ''的符号： ，令0=''y 得23e x =．当230e x <<时，0<''y ，曲线y 为凸的； 当23e x >时，0>''y ，曲线y 为凹的． 根据拐点的充分条件可知点为拐点．这里的y '和y ''的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x),0(ee),(23e e23e),(23+∞ey '＋ 0 － － － y ''－＋就表上所给的y '和y ''符号，可得到： 函数的单调增加区间为),0(e ； 函数的单调减少区间为),(+∞e ； 函数的极大值为； 函数的凸区间为),0(23e ； 函数的凹区间为),(23+∞e ；函数的拐点为． （5）因为， 所以曲线有 水平渐近线0=y 铅垂渐近线0=x（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．。