(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题五第1讲统计与统计案例课件理
甲离子残留百分比直方图
乙离子残留百分比直方图
图乙
②根据用户满意度评分,将用户和满意度分为三个等级:
满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分
满意度等级 不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.
考点1 考点2 考点3 考点4
(1)解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种
解析:(1)样本的分段间隔为8106=5,所以 13 号在第三组,则最大的 编号为 13+(16-3)×5=78.故选 B.
(2)由频率分布直方图可得在[2 500,3 000)收入段共有 10 000×0.000 5×500=2 500(人),按分层抽样应抽出 2 500×10100000=25(人).
A.73 B.78 C.77 D.76 (2)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人,并根 据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现要从这10 000人 中用分层抽样的方法抽取100人作进一步调查,则月收入在[2 500,3 000)(元)内应抽取 人.
考点1 考点2 考点3 考点4
(3)样本数据的平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘其底边 中点的横坐标之和.
(4)众数的估计值为最高的小矩形的底边中点的横坐标.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数:一组数据中出现次数最多的数.
(2)中位数:将数据从小到大(或从大到小)排列,若有奇数个数,则
最中间的数是中位数;若有偶数个数,则中间两数的平均数是中位
从题量上看,“统计与统 计案例”在高考中一般 会以“一小(5 分)一大 (12 分)”或“一小(5 分)” 的命题形式出现; 从题序上看,小题难度 较低,常出现在 3~4 题 的位置;大题多在第 18 题的位置,难度中等;
Ⅲ 3 折线图的识别及应用
年份 卷 别
题 号
考查角度
命题预测
Ⅰ— —
从命题特点上看,统计
确.
答案:A
2.(2019江苏,5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差
是
.
解析:由题知,该组数据平均值为6+7+8+8+9+10=8,所以该数据方差为
6
16[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=53. 答案:5
3
3.(2019全国Ⅲ,理17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程
所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为
.
考点1 考点2 考点3 考点4
(3)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机 调查了40个用户,根据用户对产品的满意评分,得到A地区用户满意 度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
图甲 B地区用户满意度评分的频率分布表
对于 A,原始评分的中位数为 x5,去掉最低分 x1,最高分 x9 后,剩余评分
的大小顺序为 x2<x3<…<x8,中位数仍为 x5,故 A 正确;对于 B,原始评 分的平均数������ = 19(x1+x2+…+x9),有效评分的平均数 ������'=17(x2+x3+…+x8),因为平均数受极端值影响较大,所以������与������'不一定 相同,故 B 不正确;对于 C,原始评分的方差 s2=19[(x1-������)2+(x2-������)2+…+(x9-������)2],有效评分的方差 s'2=17[(x2-������')2+(x3-������')2+…+(x8-������')2],由 B 易知,C 不正确;对于 D,原始 评分的极差为 x9-x1,有效评分的极差为 x8-x2,显然极差变小,故 D 不正
Ⅱ— —
2016
统计图表的应用;折线图、
Ⅲ 4,18 相关性检验、线性回归方程
及其应用
Ⅰ 19
散点图、拟合、回归方程的 求解
2015
Ⅱ 3,18
条形统计图;茎叶图及其估 计
与统计案例在选择或 填空题中的命题热点 主要集中在随机抽样、 用样本估计总体以及 变量间的相关性判断 等;统计解答题多以频 率分布直方图或茎叶 图与线性回归分析或 独立性检验相交汇的 形式考查.
������=1
������
∑
(������������ -������)2
������=1
=
∑ ������������ ������������ -������������ ������
������=1
������
∑ ������
������=1
2 ������
-������
������
2
,
���^���
一、抽样方法 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种,这三 种抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一 个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比 值. 二、用样本估计总体 1.频率分布直方图的特征 (1)各小矩形的面积和为1.
(2)纵轴的含义为频 组率 距,小矩形的面积=组距×频 组率 距=频率.
考点1 考点2 考点3 考点4
(2)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调
查,参加调查的一共有20 000人,其中各种态度对应的人数如下表所
示: 最喜爱
喜爱
一般
不喜欢
4 800
7 200
6 400
1 600
电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽选出100人 进行更为详细的调查,为此要进行分层抽样,那么在分层抽样时,每 类人中应抽选出的人数分别为( )
答案:(1)B (2)25
考点1 考点2 考点3 考点4
考点1 考点2 考点3 考点4
对应训练1 (1)福利彩票“双色球”中红色球的号码可以从01,02,03,…,32,33这 33个两位号码中选取,小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6个号码,选取方法是从第1行第9列的数字开始,从左到右依次读取 数据,则第四个被选中的红色球号码为( )
=
������
−
^
������������;(������,
������)称为样本点的中心.
2.独立性检验
K2=
������(������������ -������������ )2
(其中 n=a+b+c+d,K2 也可表示为 χ2).
(������ +������ )(������ +������ )(������ +������ )(������ +������ )
植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的
其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为 0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为 58%,故D正确,故选A.
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A.12 B.33 C.06 D.16
数.
(3)平均数:������
=
������1
+������2
+…+������ ������
������
,反映了一组数据的平均水平.
(4)标准差:
s=
1 ������
[(������1-������)2
+
(������2-������)2
+
…
+
(������������
-������)2],反映了样本数据的离散程
b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20[60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数
2
8
14 10 6
考点1 考点2 考点3 考点4
①在图乙中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并
通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计 算出具体值,给出结论即可);
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
1.(2019全国Ⅱ,理5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始
评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个
最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的
数字特征是( )
A.中位数
B.平均数 C.方差 D.极差
解析:设 9 位评委的评分按从小到大排列为 x1<x2<x3<x4<…<x8<x9.
2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版课件：6.3.1 统计与统计案例
-11-
6.3.1 统计与统计案例
考向一 考向二 考向三 考向四
样本的数字特征的应用 例1(2019全国卷2,文19)某行业主管部门为了解本行业中小企业 的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于 前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y 的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2
24 53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产 值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组 中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附: 74≈8.602.
-13-
考向一 考向二 考向三 考向四
解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的 100 个企业中产值增
p2
p3
…
pi …
pn
(2)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为X的均值或数学期望. (3)D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xnE(X))2·pn叫做随机变量X的方差. (4)均值与方差的性
质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X).
n
随机变量 K2=(������+������)(������������+(������������������)-(���������������+���)2������)(������+������),其中 n=a+b+c+d.
高考数学大二轮复习 第二部分 专题4 概率与统计 第1讲 统计与统计案例课件 文.ppt
A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 解析：A 选项，可知 90 后占了 56%，故正确；B 选项，仅 90 后从事技术岗位的人数 占总人数比为 0.56×0.396＝0.22176 超过 20%，故正确；C 选项，可知 90 后明显比 80 前多，故正确；D 选项，因为技术所占比例 90 后和 80 后不清楚，所以不一定多，故 错误．故选 D.
5
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－19.2， (xi－ x )2＝1 000，
i＝1
i＝1
n
xi－ x yi－ y
i＝1
得^b＝
＝－0.019 2，
5
xi－ x 2
i＝1
^a＝ y －^b x ＝0.976， 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y＝－0.019 2x＋0.976.
(2)能把保费 x 定为 5 元． 理由如下：若保费 x 定为 5 元，则估计 y＝－0.019 2×5＋0.976＝0.88， 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为 2 000 000×0.88×5－2 000 000×0.88×0.2%×2 000－1 000×1 000 ＝0.76×106(元)＝76(万元)>70(万元)， 所以能把保费 x 定为 5 元．
运员工中有一个编号为 025，那么以下编号中不是幸运员工编号的是( )
A．007
B．106
C．356
D．448
解析：由题意，根据系统抽样，可得抽样间距为45500＝9，又由 25＋9n＝356 无正整数
高考数学(理)全国版二轮专题复习专题四第1讲统计与统计案例(5课件)
分钟的概率 p2＝140＝25，p1>p2，因此④正确.
－
－
设男生、女生两组数据的平均数分别为x甲，x乙，标准差分别为 s 甲，s 乙.
－
－
－－
易求x甲＝65.2，x乙＝61.8，知x甲>x乙，②正确.
又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，∴s 甲<s 乙，③错误，
因此符合茎叶图所给数据的结论是①②④.
实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液， B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时 间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据实验数据分别得到如 下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计 值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表).
解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4500＝0.8，因此男顾客对该商场
服务满意的概率的估计值为 0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3500＝0.6，因此女顾
客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.
(2)K2 的观测值 k＝100×5（0×405×0×207－0×303×010）2≈4.762.
(2)这组数据的平均数为 8，故方差为 s2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2
＋(10－8)2]＝53.
答案
(1)C
5 (2)3
角度2 用样本的频率散布估计总体散布 【例2－2】 (202X·全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题六统计与概率6.3.1统计与统计案例课件理
（通用版）2020版高考数学大二轮复习专题六统计与概率6.3.1统计与统计案例课件理6.3统计与概率大题,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,-7-,1.变量间的相关关系1如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,那么我们说变量x和y具有线性相关关系.2线性回归方程若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据xi,yii1,2,,n,则回归方程为,-8-,2.独立性检验对于取值分别是x1,x2和y1,y2的分类变量X和Y,其样本频数列联表是,-9-,3.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则PXk,k0,1,2,,m,其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*.4.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X,设每次试验中事件A发生的概率为p,则PXkpkqn-k,其中0p1,pq1,k0,1,2,,n,称X服从参数为n,p的二项分布,记作XBn,p,且EXnp,DXnp1-p.,-10-,5.正态分布一般地,如果对于任意实数ab,随机变量X满足PaXb,xdx,则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数和确定,因此正态分布常记作N,2.如果随机变量X服从正态分布,则记为XN,2.满足正态分布的三个基本概率的值是P-X0.6826;P-2X20.9544;P-3X30.9974.,-11-,6.离散型随机变量的分布列.期望.方差1设离散型随机变量X 可能取的不同值为x1,x2,,xi,,xn,X取每一个值xii1,2,,n的概率PXxipi,则称下表为离散型随机变量X的分布列.2EXx1p1x2p2xipixnpn为X的均值或数学期望.3DXx1-EX2p1x2-EX2p2xi-EX2pixn-EX2pn叫做随机变量X的方差.4均值与方差的性质EaXbaEXb;EEE;DaXba2DX.,6.3.1统计与统计案例,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,样本的数字特征的应用例1xx全国卷2,文19某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.1分别估计这类企业中产值增长率不低于40的企业比例.产值负增长的企业比例;2求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表.精确到0.01,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1在预测总体数据的平均值时,常用样本数据的平均值估计,从而做出合理的判断.2平均数反映了数据取值的平均水平,标准差.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差.方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练1为迎接即将举行的集体跳绳比赛,高一年级对甲.乙两个代表队各进行了6轮测试,测试成绩单位次/分钟如下表1补全茎叶图,并指出乙队测试成绩的中位数和众数;2试用统计学中的平均数.方差知识对甲.乙两个代表队的测试成绩进行分析.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,利用回归方程进行回归分析例2xx新疆乌鲁木齐二模,理19某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划,收集了近6个月广告投入量x单位万元和收益y单位万元的数据如表他们分别用两种模型ybxa,yaebx分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图及一些统计量的值,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,1根据残差图,比较模型,的拟合效果,应选择哪个模型并说明理由;2残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据,需要剔除剔除异常数据后求出1中所选模型的回归方程;若广告投入量x18时,该模型收益的预报值是多少,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得在求两变量的回归方程时,由于的公式比较复杂,求它的值计算量比较大,为了计算准确,可将这个量分成几个部分分别计算,最后再合成,这样等同于分散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练2xx山东德州一模,理20改革开放以来,我国经济持续高速增长.如图给出了我国2003年至xx年第二产业增加值与第一产业增加值的差值以下简称为产业差值的折线图,记产业差值为y单位万亿元.1求出y关于年份代码t的线性回归方程;2利用1中的回归方程,分析2003年至xx年我国产业差值的变化情况,并预测我国产业差值在哪一年约为34亿元;3结合折线图,试求出除去xx年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差结果精确到0.1.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,样本的相关系数的应用例3xx四川宜宾二模,理18艾滋病是一种危害性极大的传染病,由感染艾滋病病毒HIV病毒引起,它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标,使人体丧失免疫功能.下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,1请根据该统计表,画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图;2请用相关系数说明能用线性回归模型拟合y 与x的关系;,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,3建立y关于x的回归方程系数精确到0.01,预测xx年我国艾滋病病毒感染人数.,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,解1我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示.,-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得对于样本的相关系数的应用的题目,题目一般都给出样本xi,yii1,2,,n的相关系数r的表达式,以及有关的数据,解决这类题的关键是在有关的数据中选择题目需要的数据代入公式即可.,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练3下图是我国xx年至xx年生活垃圾无害化处理量单位亿吨的折线图.1由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;2建立y关于t的回归方程系数精确到0.01,预测xx年我国生活垃圾无害化处理量.,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,-36-,考向一,考向二,考向三,考向四,-37-,考向一,考向二,考向三,考向四,-38-,考向一,考向二,考向三,考向四,统计图表与独立性检验的综合例4某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间单位min绘制了如下茎叶图,-39-,考向一,考向二,考向三,考向四,1根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高并说明理由;2求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表3根据2中的列联表,能否有99的把握认为两种生产方式的效率有差异,-40-,考向一,考向二,考向三,考向四,解1第二种生产方式的效率更高.理由如下由茎叶图可知用第一种生产方式的工人中,有75的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.,-41-,考向一,考向二,考向三,考向四,由茎叶图可知用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,学生答出其中任意一种或其他合理理由均可,-42-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得有关独立性检验的问题解题步骤1作出22列联表;2计算随机变量K2的值;3查临界值,检验作答.,-43-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练4“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出如图茎叶图.1根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小不要求计算出具体值,给出结论即可;,-44-,考向一,考向二,考向三,考向四,2若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成下面22列联表,并据此样本分析是否有95的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关;3若从此样本中的A城市和B城市各抽取1人,则在此2人中恰有1人认可的条件下,此人来自B城市的概率是多少,-45-,考向一,考向二,考向三,考向四,解1A 城市评分的平均值小于B城市评分的平均值;A城市评分的方差大于B城市评分的方差.222列联表如下.,。
统计与统计案例PPT课件
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
用样本估计总体
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
用样本估计总体 (文)某学校为了调查学生平均每周的上网时间(单 位：h)对学习产生的影响，从高三年级随机抽取了 100 名学生， 将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，其中频率分 布直方图从左到右前 3 个小矩形的面积之比为 1：3：5，试估 计：
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
疑难误区警示 1．当总体数 N 不能被样本容量整除，用系统抽样法剔除 多余个体时，必须随机抽样． 2．注意中位数与平均数的区别，中位数可能不在样本数 据中．
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课工厂甲、乙、丙三个车
间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件，为
了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽
取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中
抽取了 3 件，则 n＝( )
A．9
B．10
C．12
D．13
[答案] D
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个 容量为 100 的样本，应抽取中型超市________家．
[答案] 20
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[解析] 属简单题，关键是清楚每一层的抽取比例都一样 是Nn .
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专题 统计与概率教案讲义汇编全集
第1讲 统计、统计案例[例1] (1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为( )A.25，25，25，25B.48，72，64，16C.20，40，30，10D.24，36，32，8(2)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A.7B.9C.10D.15[解析] (1)因为抽样比为10020000＝1200，所以每类人中应抽选的人数分别为4800×1200＝24，7200×1200＝36，6400×1200＝32，1600×1200＝8.故选D. (2)由题意知应将960人分成32组，每组30人.设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0，1，…，31).由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130，又k ∈N ，故k ＝15，16， (24)共10人.[答案] (1)D (2)C[解题方略] 系统抽样和分层抽样中的计算 (1)系统抽样①总体容量为N ，样本容量为n ，则要将总体均分成n 组，每组Nn个(有零头时要先去掉). ②若第一组抽到编号为k 的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k ＋N n，…，k ＋(n －1)N n.(2)分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比.[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生解析：选C 根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为1000100＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.2.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )A.12B.15C.20D.21解析：选 A 因为抽样比为213000×70%＝1100，所以从初中生中抽取的男生人数为2000×60%×1100＝12.故选A.[例2] (2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：74≈8.602.[解] (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y ＝1100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30， s 2＝1100 i ＝15n i (y i －y )2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7] ＝0.0296，s ＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.[解题方略] 1.方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算. (2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大. 2.从频率分布直方图中得出有关数据的方法[跟踪训练]1.(2019·石家庄市质量检测)甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是( )A.23，22B.23，22.5C.21，22D.21，22.5解析：选D 由茎叶图可得甲的成绩的平均数为10＋11＋14＋21＋23＋23＋32＋348＝21.将乙的成绩按从小到大的顺序排列，中间的两个成绩分别是22，23，所以乙的成绩的中位数为22＋232＝22.5.2.为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量的数据(单位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5，42.5)，[42.5，47.5)，[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x 和方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).解：(1)由5×(0.020＋0.040＋0.075＋a ＋0.015)＝1，得a ＝0.050. (2)各组中点值和相应的频率依次为中点值 30 35 40 45 50 频率0.10.20.3750.250.075x ＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，s 2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.考点三统计案例题型一 回归分析在实际问题中的应用[例3] 某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y (单位：cm)的情况如表1：M 900 700 300 100 y0.53.56.59.5该省某市2019年11月份AQI 指数频数分布如表2：M[0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]频数(天) 361263(1)设x ＝M100，若x 与y 之间是线性关系，试根据表1的数据求出y 关于x 的线性回归方程.(2)小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI 指数存在相关关系如表3：M[0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]日均收入(元) －2000－1000200060008000根据表3估计小李的洗车店2019年11月份每天的平均收入.附参考公式：y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝，a ^＝y －b ^x .[解] (1)x ＝14(9＋7＋3＋1)＝5，y ＝14(0.5＋3.5＋6.5＋9.5)＝5，∑4,i ＝1x i y i ＝9×0.5＋7×3.5＋3×6.5＋1×9.5＝58. ∑4,i ＝1x 2i ＝92＋72＋32＋12＝140，所以b ^＝58－4×5×5140－4×52＝－2120，a ^＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2120×5＝414， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝－2120x ＋414.(2)根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估计小李洗车店2019年11月份每天的平均收入为130×(－2000×3－1000×6＋2000×12＋6000×6＋8000×3)＝2400(元).[解题方略] 求回归直线方程的方法(1)若所求的回归直线方程是在选择题中，常利用回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过样本点的中心(x ，y )快速选择.(2)若所求的回归直线方程是在解答题中，则求回归直线方程的一般步骤为：题型二 独立性检验在实际问题中的应用[例4] (2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001[解] (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K 2的观测值k ＝100×（40×20－30×10）250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.[解题方略] 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )计算出K2的观测值；(3)比较K 2的观测值与临界值的大小，作出统计推断.[跟踪训练]1.某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为( ) A.0.1% B.0.5% C.99.5%D.99.9%附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：选C 因为K 2＝50×（20×15－5×10）225×25×30×20≈8.333＞7.879，所以约有99.5%的把握认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”.2.2019年秋新学期开始，某市对全市中小学学生进行健康状况抽样调查，其中在某校调查得到了该校前五个年级近视率y 的数据如下表：根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率.附：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为得b ^＝2.76－2.2555－45＝0.051，a ^＝0.15－0.051×3＝－0.003，得线性回归方程为y ^＝0.051x －0.003.当x ＝6时，代入得y ^＝0.051×6－0.003＝0.303， 所以六年级学生的近视率在0.303左右.数学建模——回归分析问题的求解[典例] (2019·合肥市第二次质量检测)为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构统计得到如下数据：(1)根据表中数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱(已知：0.75≤|r |≤1，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3≤|r |＜0.75，则认为y 与x 线性相关性一般；|r |≤0.25，则认为y 与x 线性相关性较弱)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).[解] (1)x ＝2016，y ＝1，r ＝i ＝15（x i －x ）（y i －y ）i ＝15（x i －x ）2i ＝15（y i －y ）2＝（－2）×（－0.7）＋（－1）×（－0.4）＋1×0.4＋2×0.710× 1.3＝ 3.63.6056＝0.9984＞0.75， ∴y 与x 线性相关性很强.a ^＝y －b ^x ＝1－0.36×2016＝－724.76，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝0.36x －724.76. 当x ＝2019时，y ^＝0.36×2019－724.76＝2.08， 即A 地区2019年足球特色学校约有208个. [素养通路]本题是典型的回归分析问题，在实际问题中收集数据，画散点图，用线性回归模型拟合变量关系，再用最小二乘法求出回归方程，进而用回归模型对实际问题进行预测，考查了数学建模这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A.73B.78C.77D.76解析：选B 样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B.2.(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A.中位数B.平均数C.方差D.极差解析：选A 中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响.故选A.3.(2019·广东六校第一次联考)某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y (单位：kW ·h)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：由表中数据得线性回归方程：y ^＝－2x ＋60，则a 的值为( ) A.48 B.62 C.64D.68解析：选C 由题意，得x ＝17＋14＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋a 4＝96＋a4.样本点的中心(x ，y )在回归直线y ^＝－2x ＋60上，代入线性回归方程可得96＋a 4＝－20＋60，解得a＝64，故选C.4.如图是民航部门统计的2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选D 由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误，选D.5.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A.13，12B.13，13C.12，13D.13，14解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，即2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均数为（4＋22）×510＝13，中位数为12＋142＝13.6.(2019·成都市第二次诊断性检测)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分，制成如图所示的茎叶图.有下列结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； ②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定； ④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定. 其中所有正确结论的编号为( ) A.①③ B.①④ C.②③D.②④解析：选C 对于①，甲得分的中位数为29，乙得分的中位数为30，错误； 对于②，甲得分的平均数为15×(25＋28＋29＋31＋32)＝29，乙得分的平均数为15×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，正确；对于③，甲得分的方差为15×[(25－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(32－29)2]＝15×(16＋1＋0＋4＋9)＝6，乙得分的方差为15×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，所以乙比甲更稳定，③正确，④错误.所以正确结论的编号为②③.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.解析：x ＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 答案：0.988.(2019·安徽五校联盟第二次质检)数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为________.解析：设a 1，a 2，a 3，…，a n 的平均数为a ，则2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的平均数为2a ， σ2＝（a 1－a ）2＋（a 2－a ）2＋（a 3－a ）2＋…＋（a n －a ）2n.则2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为（2a 1－2a ）2＋（2a 2－2a ）2＋（2a 3－2a ）2＋…＋（2a n －2a ）2n＝4×（a 1－a ）2＋（a 2－a ）2＋（a 3－a ）2＋…＋（a n －a ）2n＝4σ2.答案：4σ29.某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：试根据样本估计总体的思想，估计在犯错误的概率不超过________的前提下(约有________的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”.参考附表：⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d解析：分析列联表中数据，可得K 2的观测值k ＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.822＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下(有99%的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”.答案：0.01 99% 三、解答题10.(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).解：(1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05， 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.11.某市教育学院从参加市级高中数学竞赛的考生中随机抽取60名学生，将其竞赛成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计参加高中数学竞赛的考生的成绩的平均数、众数、中位数(小数点后保留一位有效数字)；(2)用分层抽样的方法在各分数段的考生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？解：(1)由频率分布直方图可知，(0.010＋0.015＋0.015＋a ＋0.025＋0.005)×10＝1，所以a ＝0.03. 所以参加高中数学竞赛的考生的成绩的平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71， 成绩的众数为75.设参加高中数学竞赛的考生的成绩的中位数为x ，则0.1＋0.15＋0.15＋(x －70)×0.03＝0.5，解得x ≈73.3， 所以中位数为73.3.(2)因为各层人数分别为6，9，9，18，15，3，各层抽取比例为2060＝13，所以各分数段抽取人数依次为2，3，3，6，5，1.12.(2019·沈阳市质量监测(一))某篮球运动员的投篮命中率为50%，他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训练计划，为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15，平均得分为15，得分的方差为46.3.执行训练后也统计了10场比赛的得分，茎叶图如图所示：(1)请计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差. (2)如果仅从执行训练前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？解：(1)训练后得分的中位数为14＋152＝14.5；平均得分为8＋9＋12＋14＋14＋15＋16＋18＋21＋2310＝15；方差为110[(8－15)2＋(9－15)2＋(12－15)2＋(14－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(16－15)2＋(18－15)2＋(21－15)2＋(23－15)2]＝20.6.(2)尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差20.6小于训练前方差46.3，说明训练后得分稳定性提高了(阐述观点合理即可)，这是投篮水平提高的表现.故此训练计划对该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助.B 组——大题专攻强化练1.(2019·武汉市调研测试)一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y (万元)与该月产量x (万件)之间有如下一组数据：(1)通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明. (2)①建立月总成本y 与月产量x 之间的回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？(均精确到0.001)附注：①参考数据：错误!i ＝27.31，∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.850，∑i ＝110y 2i －10y 2≈1.042，b ^≈1.223. ②参考公式：相关系数回归直线y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：解：(1)由已知条件得，r ＝b ^·∑i ＝110x 2i －10x 2∑i ＝110y 2i －10y 2，∴r ＝1.223×0.8501.042≈0.998，这说明y 与x 正相关，且相关性很强. (2)①由已知求得x ＝1.445，y ＝2.731， a ^＝y －b ^x ＝2.731－1.223×1.445≈0.964，∴所求回归直线方程为y ^＝1.223x ＋0.964.②当x ＝1.98时，y ＝1.223×1.98＋0.964≈3.386(万元)， 此时产品的总成本约为3.386万元.2.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)估计旧养殖法的箱产量低于50kg的概率并估计新养殖法的箱产量的平均值；(2)填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，所以旧养殖法的箱产量低于50kg的概率估计值为0.62；新养殖法的箱产量的平均值为37.5×0.004×5＋42.5×0.020×5＋47.5×0.044×5＋52.5×0.068×5＋57.5×0.046×5＋62.5×0.010×5＋67.5×0.008×5＝52.35.(2)根据箱产量的频率分布直方图得2×2列联表如下：由表中数据得K 2＝200×（62×66－34×38）2100×100×96×104≈15.705，由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.3.(2019·长沙市统一模拟考试)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：他们用两种模型①y ＝bx ＋a ，②y ＝a e bx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由. (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；(ⅱ)广告投入量x ＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高.(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得x ＝15×(7×6－6)＝7.2， y ＝15×(30×6－31.8)＝29.64.(ⅱ)把x ＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得y ^＝3×18＋8.04＝62.04，故预报值为62.04万元.4.每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技兴趣小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：(1)请根据统计的最后三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若由(1)中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断(1)中得到的线性回归方程是否可靠；(3)若100颗小麦种子的发芽数为n 颗，则记n %的发芽率，当发芽率为n %时，平均每亩地的收益为10n 元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9℃，根据(1)中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.附：在线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝解：(1)∵x ＝11＋13＋123＝12，y ＝85＋90＋863＝87，∴b ^＝11×85＋13×90＋12×86－3×12×87112＋132＋122－3×122＝52， 由b ^x ＋a ^＝y ，即52×12＋a ^＝87，得a ^＝57，∴线性回归方程为y ^＝52x ＋57.(2)当x ＝8时，y ^＝52×8＋57＝77，与实际值79比较，误差没有超过两颗；当x ＝10时，y ^＝52×10＋57＝82，与实际值81比较，误差也没有超过两颗.所以(1)中得到的线性回归方程y ^＝52x ＋57是可靠的.(3)由y ^＝52x ＋57得，当x ＝9时，y ^＝79.5，即每亩地的收益大约为795元，所以该农场种植小麦所获得的收益大约为7950万元.第2讲 概 率[例1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B.35 C.25D.15(2)某教师让学生从3.1415926的小数点之后的七个数字1，4，1，5，9，2，6中随机选取两个数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为( )A.2831B.1921C.2231D.1721[解析] (1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种，故所得到的数字大于3.14的概率P ＝1－331＝2831.[答案] (1)B (2)A [解题方略]1.求古典概型概率的两个关键点(1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n 以及事件A 所含的基本事件数m ；(2)会运用古典概型的概率计算公式P (A )＝m n求事件A 发生的概率. 2.互斥事件、对立事件概率的求法解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.其方法有直接法和间接法.[跟踪训练]1.已知a ∈{－2，0，1，2，3}，b ∈{3，5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数的概率是( )A.310B.35C.25D.15解析：选C 函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数，则a 2－2<0，－2＜a ＜2，且与b无关.又a ∈{－2，0，1，2，3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数的概率是25.故选C.2.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________.解析：设事件M 为“3个图形颜色不全相同”，则其对立事件M 为“3个图形颜色全相同”，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有2×2×2＝8种情况.其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或蓝色，所以P (M )＝28＝14，所以P (M )＝1－P (M )＝1－14＝34.答案：343.某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等.(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率； (2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率.解：将2名文科生和4名理科生依次编号为1，2，3，4，5，6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a ，b ，c ，d )，其结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种.(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，共6种.记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A ， 则P (A )＝615＝25.(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B ，则事件B 包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况.其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3，4，5，6).所以P (B )＝115，所以P (B )＝1－P (B )＝1－115＝1415.考点二几何概型[例2] (1)设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫14＜2x ＜16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是________.(2)(2019·江淮十校联考)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的大正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.[解析] (1)因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪14＜2x ＜16＝(－2，4)，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝{x |3＜x ＜4或－2＜x ＜0}，所以所求事件的概率是4－3＋0＋24＋2＝12.(2)设大正方形的边长为2，则该正方形的面积为4，阴影部分的面积为12×1×2＋1×12＝32，所以在大正方形中任取一点，此点取自阴影部分的概率为324＝38. [答案] (1)12 (2)38[解题方略] 公式法求解几何概型的关键(1)定型，即判断事件的属性——等可能性与无限性，确定所求概率模型为几何概型. (2)定类，即确定所求事件的几何属性及其度量方式，确定其度量的类别——长度、角度、面积或体积等.(3)求量，根据平面几何、立体几何的相关知识求出基本事件空间Ω度量及事件A 的几何度量.(4)求值，把所求的两个几何度量值代入几何概型的计算公式求值.[跟踪训练]1.(2019·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x ，使sin π2x ≥32的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 当x ∈[0，2]时，0≤π2x ≤π，所以sin π2x ≥32⇔π3≤π2x ≤2π3⇔23≤x≤43.故由几何概型的知识可知所求概率P ＝43－232＝13.故选A. 2.(2019·湖南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( )A.π24 B.π48C.112D.18解析：选 B 由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为12×6×8＝24，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于1的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为1的半圆面积，即S ＝12π×12＝π2，所以所求概率P ＝π224＝π48，故选B.3.已知在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O ABCD 的体积不小于23的概率为________.解析：当四棱锥O ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则有13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，所以PH PA ＝34，又四棱锥P ABCD 与四棱锥P EFGH 相似，所以四棱锥O ABCD 的体积不小于23的概率为P ＝V 四棱锥P EFGH V 四棱锥P ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PH PA 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764.答案：2764。
统考版2024高考数学二轮专题复习专题四统计与概率第1讲统计统计案例课件理
考点三 回归分析的实际应用——准确计算，数据分析
线性回归方程
方程ොy＝bx＋ො
a称为线性回归方程，其中 b＝
x；(തx，തy)称为样本中心点．
·四川省成都市石室中学模拟]某企业为了了解年广告费 x（单位：
万元）对年销售额 y（单位：万元）的影响，统计了近 7 年的年广告费 xi 和年
体由差异明显的几部分组成．
例 1 (1)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先
将700个零件进行编号001、002、…、699、700.从中抽取70个样本，
下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读
取数据，则得到的第5个样本编号是(
)
3321183429 7864560732 5242064438 1223435677 3578905642
支持结论“X与Y有关系”．
对点训练
[2021·全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一
级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生
产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
甲机床
销售额 yi（i＝1，2，3，4，5，6，7）的数据，得到下面的表格：
年广告费 x
2
3
4
5
6
7
8
年销售额 y 25 41 50 58 64 78 89
由表中数据，可判定变量 x，y 的线性相关关系较强．
（1）建立 y 关于 x 的线性回归方程；
（2）已知该企业的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝2 y －x，根据（1）的
界人口变化情况的三幅统计图：
下列结论中错误的是（
2020年高考数学理科二轮复习考情分析与核心整合课件：7.3统计与统计案例
[例 1] (1)[2019·福州市高中毕业班质量检测]为了解某地区的
【答案】 (1)C (2)C
(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的； (2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同； (3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量 中的比例.
『对接训练』
1．[2019·河北枣强中学期末]总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法 是从随机数表第 1 行的第 6 个数字开始向右读(每两个连续数字组成 一个编号)，则选出来的第 5 个个体的编号为( )
k 3.841 6.635 10.828
【解析】 本题通过对概率与频率的关系、统计案例中两变量 相关性检验考查学生的抽象概括能力与数据处理能力，重点考查数 学抽象、数据分析、数学运算的核心素养；倡导学生关注生活，提 高数学应用意识．
(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为4500＝ 0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8.
[例 3] [2019·全国卷Ⅰ]某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或 不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差 异？ 附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题五第1讲统计与统计案例课件文
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得 到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用 该组区间的中点值为代表). 解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 故a=0.35.
1.(2019全国Ⅰ,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些
学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被 抽到的是( ) A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
解析:由已知得将1 000名新生分为100个组,每组10名学生,用系统 抽样46号学生被抽到, 则第一组应为6号学生, 所以每组抽取的学生号构成等差数列{an}, 所以an=10n-4,n∈N*, 若10n-4=8,则n=1.2,不合题意; 若10n-4=200,则n=20.4,不合题意; 若10n-4=616,则n=62,符合题意; 若10n-4=815,则n=81.9,不合题意. 故选C. 答案:C
长率不低于 40%的企业频率为1140+07=0.21. 产值负增长的企业频率为1020=0.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%
的企业比例为 21%,产值负增长的企业比例为 2%.
(2)������ = 1010(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
2.(2019江苏,5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差
是
.