第一章 1.1 1.1.1 1.1.2 导数的概念(优秀经典导学案课时作业及答案详解)
1.1.2导数的概念导学案
3．设 f ( x) ax 4 ，若 f (1) 2 ，则 a 等于 4．一质点的运动方程为 s 5 3t 2 ，在一段时间
[1,1 t ] 内相应的平均速度及点 (1, 2) 的瞬时速度
分别为
、
.
5．（课本 P10 A3）一个质量 m 3kg 的物体作直线 运动，设运动距离 s（单位：m）与时间 t（单位 ：s）的关系可用函数 s(t ) 1 t 2 表示，并且物体的 动能 Ek 1 mv 2 .求物体开始运动后第 5s 时的动能.
2
2．（课本 P10 A4）已知车轮旋转的角度与时间的 平方成正比。如果车轮启动后转动第一圈需要 0.8s。求转动开始后第 3.2s 时的瞬时角速度.Leabharlann 新课标第一网系列资料
学习过程
一、学前准备 ◆ 复 习 ： 质 点 运 动 规 律 s t2 3 ， 则 在 时 间 ( 3, 3 t 内，相应的平均速度等于（ ) ） A． 6 t B． 6 t
9 t
C． 3 t D． 9 t
二、新课导学 ◆探究新知（预习教材P4～P6，找出疑惑之处） 问题1:把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是 不同的，怎样求 t 2 时的瞬时速度呢？
第02课时
1.1.2导数的概念
学习目标
1． 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻瞬时 速度及瞬时加速度. 2．理解并掌握导数的概念，学会求函数在一点处 的导数的方法.
例 2．已知 f ( x) x2 3 . （1）求 f ( x) 在 x 1 处的导数； （2）求 f ( x) 在 x a 处的导数.
学习评价
一、当堂检测 1 ． 函 数 f ( x) 在 x a 处 存 在 导 数 ， 则
1.1.2导数的概念(教学设计)
3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)h t ht+∆-=∆v的值？学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()lim t h t t h t t∆→+∆-∆（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limv r v v r v v∆→+∆-∆（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-例1：求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆解：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 变式训练1： 一条水管中流过的水量y （单位：m 3）是时间x （单位：s ）的函数y= f(x)=3x.求函 数y= f(x)在x=2处的导数，并解释它的实际意义.例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 变式训练2：利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数例3（课本P6例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
配套学案：1.1.2导数的概念
1.1.2导数的概念【学习目标】1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵．2.理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数在x 附近变化的快慢等．【新知自学】 知识回顾：1.=∆x___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率．（类似的则有函数)(x f y =在点0x x =附近的平均变化率为=∆∆x y _______________________）． 2.平均变化率的几何意义是________________________________________________________ ___________________________________________.新知梳理：1.函数)(x f y =在点0x x =处的瞬时变化率是=∆∆→∆xy x 0lim _____________． 2.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =∆∆→∆xy x 0lim_____________________． 感悟： 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0，当x ∆趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快.对点练习：1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（ ）A.)()(00x f x x f y -∆+=∆叫做函数的增量B.()()xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆00叫做函数在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率 C.()()xx f x x f ∆-∆+00叫做函数()x f y =在0x 处的导数 D.()()00x x 0lim x x x f x f --→ 叫做函数()x f y =在0x 处的导数2.若函数f(x)在x=x 0处存在导数，则()()h h lim000h x f x f -+→（ ） A.与0x h 都有关B.仅与0x 有关，与h 无关C.仅与h 有关，与0x 无关D.与0x 、h 都无关3.()()=∆-∆+→∆xf x f x 33lim 0`______________. 4.函数12)(2-=x x f 当1=x 时的导数)1(f '= ____________ .【合作探究】 典例精析：例1. 已知()2x x f =，求)1(f '.变式练习：已知()2+=x x f ，则)2(f '.例2.求函数24xy =在某点的导数.变式练习：求函数3x y =在某点的的导数.规律总结利用导数定义求导数的三步曲：（1）求函数的增量=∆y )()(00x f x x f -∆+；（2）求平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0； （3）取极限，得导数f '(x)=x y x ∆∆→∆0lim. 【课堂小结】【当堂达标】1.如果质点按规律23t s =运动，则在3秒时的瞬时速度为（ ）A.6B.18C.54D.812.如果某物体作运动方程为()212t s -=的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s 末的瞬时速度为 （ ）A.s m /8.4-B.s m /88.0-C.s m /88.0D.s m /8.43.设函数()x f 可导，则()()x f x f x ∆-∆+→∆311lim0= （ ） A.()1/f B.3()1/fC.31()1/f D.()3/f 4.求曲线()3x x f = 在（2，8）处的瞬时变化率.【课时作业】1.已知(),102+-=x x f 则()x f 在23=x 处的瞬时变化率是（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-22.设函数(),23+=ax x f 若(),31/=-f 则a=（ ）A.-1B.21 C.1 D.31 （保留可以删除）** 3.若2)(0='x f ，则 ()()xx x f x f x ∆∆+-→∆2lim 000= .曾子班学生可以处理4.求下列函数的导函数:建议少处理，留着公式法求解*（1）21)(+=x x f ；（2）x x x f -=3)(.5.设(),23+=ax x f 若3)1(=-'f ，求a 的值.6.已知f(x) =x 2，g(x)=x 3，求满足)(2)(x g x f '=+'的x 的值.不难可以前置处理。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学内容：第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 导数的定义及其几何意义1.3 导数的计算法则第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数第三章：导数的应用3.1 函数的单调性3.2 函数的极值3.3 曲线的切线与法线第四章：导数与实际问题4.1 运动物体的瞬时速度与加速度4.2 函数的优化问题4.3 导数在经济学中的应用第五章：导数的进一步应用5.1 曲线的凹凸性与拐点5.2 函数的单调区间与最大值、最小值5.3 函数的渐近线教学步骤：1. 引入导数的概念：通过生活中的例子，如物体运动的瞬时速度，引出导数的定义。
2. 讲解导数的定义及其几何意义：解释导数的定义，并通过图形演示导数的几何意义。
3. 导数的计算法则：讲解基本导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 导数的应用：通过实例讲解函数的单调性、极值等概念，并引导学生运用导数解决实际问题。
5. 总结与拓展：总结本章内容，提出进一步的学习要求和思考题。
教学评价：1. 课堂讲解：评价教师的讲解是否清晰、生动，能否引导学生理解和掌握导数的概念和计算方法。
2. 课堂练习：评价学生是否能够正确计算导数，并应用导数解决实际问题。
3. 课后作业：评价学生是否能够独立完成作业，并对导数的应用有深入的理解。
教学资源：1. 教案、PPT等教学资料；2. 数学软件或计算器；3. 实际问题案例。
教学建议：1. 注重引导学生从实际问题中抽象出导数的概念，提高学生的学习兴趣和积极性；2. 通过图形演示导数的几何意义，帮助学生直观理解导数的概念；3. 鼓励学生进行课堂练习和课后作业，及时巩固所学知识；4. 结合实际问题，引导学生运用导数解决实际问题，提高学生的应用能力。
第六章：导数与函数的单调性6.1 单调增函数与单调减函数6.2 利用导数判断函数的单调性6.3 单调性在实际问题中的应用第七章：函数的极值与导数7.1 极值的概念7.2 利用导数求函数的极值7.3 极值在实际问题中的应用第八章：曲线的切线与法线8.1 切线方程的求法8.2 法线方程的求法8.3 切线与法线在实际问题中的应用第九章：导数与函数的图像9.1 凹凸性的定义与判断9.2 拐点的定义与判断9.3 利用导数分析函数的图像特点第十章：导数在经济、物理等领域的应用10.1 导数在经济学中的应用10.2 导数在物理学中的应用10.3 导数在其他领域的应用案例分析教学步骤：6.1-6.3：通过具体例子讲解单调增函数与单调减函数的概念，引导学生利用导数判断函数的单调性，并应用于实际问题。
选修2-2第一章1.1.2导数的概念-教案
第1页共3页1.1 导数1.1.2 导数的概念【提出问题】质点M 的运动方程为2()s t t =，求1t =时的瞬时速度。
解：因为22(1)(1)(1)1(2)s s t s t t t ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以2s t t∆=+∆∆ 当t ∆趋近于0时，s t ∆∆趋近于2 所以1t =时的瞬时速度为2那么，对于一般函数()f x 的瞬时变化率怎么定义呢？【抽象概括】设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ， 那么常数l 称为函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率．“当Δx 趋近于0时，平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时， f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l ” 通常也记作000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆ 【获得新知】函数()f x 在x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0处的导数，通常记作f ′(x 0)，第2页共3页即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．【概念领悟】1．对导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0.(2)如果lim Δx →0Δy Δx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同． （4）这里研究的是两个变量,y x ∆∆比值变化的性质与状态，尽管,y x ∆∆在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。
【优选整合】高中数学人教a版选修2-2第一章1.1.2《导数的概念》【学案】(学生版)
x f x0 趋近于一个常数 x
l （也就是说平均变化率与某个常数 l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数） ，那么常数 l 称为函
数 f x 在点 x0 的瞬时变化率，比如，运动的瞬时速度就是路程函数
y s t 的瞬时变化率．
2．导数与导函数
一般地， 设函数 y f x 在点 x0 附近有定义， 当自变量在 x x0 附近改变量为 x 时， 函数值相应的改
（ 1）函数 y
f x 在x
x0 处的导数 f x0 = lim
y = lim
f (x0
x0 x x0
x) f x0 ． x
（ 2）对于导数的概念要抓住以下三个层次：设函数
f x 在区间 a,b 上有定义， x0 a, b ，
① 函 数 的 变 化 （ 增 量 ）： 对 函 数 f x ， 自 变 量 的 增 量 x = x0 x x0 ， 相 应 的 函 数 的 增 量 是
2．基础预探
(1) 函数 y x 在 x 1处的导数为
．
(2) 已知函数 f x 在 x a 的导数为 A ，求 lim f a x0
x fa x
x
．
二、学习引领
1． 瞬时变化率
设函数 y f x 在 x0 附近有定义，当自变量在 x x0 附近改变量为 x 时，函数值相应的改变量为
y f x0
x f x0 ，如果当 x 趋近于 0 时，平均变化率 y = f x0 x
y f ( x x) f ( x) ；二是
求平均变化率 y f (x x) f (x) ；三是当 x 0 时，比值 y 趋近于一个常数．
x
x
x
变式训练 2：求函数 y
x
高中数学新人教版A版精品教案《1.1.2 导数的概念》
人民教育出版社高中数学选修2-2（A版）第一章（教案设计）导数的概念课型：新授课教学目的: ⑴通过对高台跳水案例的研究分析——从平均速度到瞬时速度，与学生共同体会抽象出：从函数的平均变化率到瞬时变化率。
体会导数概念的实际背景。
⑵领会瞬时变化率的实质，形成导数的概念，了解导数的内涵。
⑶通过导数概念的形成过程，学习归纳，类比的推理方式。
体验无限逼近，从特殊到一般，化归与转化的数学思想。
提高广泛联系，抽象概括能力。
培养学生正确认识量变到质变，运动与静止的统一（逼近的思想，运动的变化美），形成正确的数学观。
教学要求: ⑴通过查阅资料（数学史的发展），让学生了解导数产生的背景。
⑵通过跳水视频的观看，让学生求知的欲望和兴趣得到进一步释放。
让学生明白数学与生活的联系。
⑶借助运动员的运动状态的描述的要求的变化（平均速度→瞬时速度），能让学生体会到导数产生的过程以及内涵（平均变化率→瞬时变化率）。
⑷借助熟悉的生活例子，体会导数的实际意义。
⑸通过例题的研究与讲解，让学生能简单的掌握导数的求解方法以及对相应的数学符号的把握。
并能简单的应用导数的概念解释实际生活现象。
教学重点: 形成导数的概念，了解导数的内涵。
教学难点: 对导数概念的理解，对瞬时速度的求解（逼近思想的理解）。
教学手段:⑴借助“设问式”的处理，与学生一起探究出导数的概念。
⑵通过“特殊→一般”的认知模式，提升学生对导数概念的理解。
⑶借助“图表”，“框图”比较直观的体会和解决这节课的重点和难点。
⑷利用“电子黑板”，“一体机”，“投影仪”等工具更好的促进和服务于课堂教学。
课前任务: （●第1张PPT图片——课前任务）布置课本第61页实习作业《走进微积分》,阅读,学生上网查阅牛顿,莱布尼兹生平简介,以及他们创立微积分的起始问题是什么有何差异让学生将查阅的资料做成word文档并打印出来教学过程：引入◆同学们,课前任务落实的怎么样啊哪位同学能否把你的成果给我们展示一下找一个同学的成果,用投影仪投影出来;找一个同学阅读他们创立微积分的起始问题老师评价◆显然，微积分的创立，牛顿从运动学出发，莱布尼茨从几何学出发。
高中数学第一章1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数教学案苏教版选修
1．1.2 瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置． 问题2：割线PP n 斜率是什么？ 提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？ 提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率． 问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？ 提示：能．1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－31＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导 数1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[对应学生用书P5]求曲线上某一点处的切线[例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f 2＋Δx －f 2Δx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx 22＋Δx ＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx 2＋Δx ＋Δx Δx ＝－122＋Δx ＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－121＋Δx2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－121＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝2Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝31＋Δx2－1＋Δx －3×12－1Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.瞬时速度[例2] 一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． [精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔSΔt ＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎨⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2， 则ΔS Δt ＝S 1＋Δt －S 1Δt＝1＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝34＋Δt 2－184＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.导数及其应用[例3] 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2－3－22－3Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f a ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－3Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx 21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx ＝a 1＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f 6＋Δx －f 6Δx＝6＋Δx2－76＋Δx ＋15－62－7×6＋15Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同区别 联系f ′(x 0) f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________． 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－ 3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________．解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx＝121＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx 2＋ΔxΔx＝12Δx ＋1. ∴当Δx 无限趋近于0时，f 1＋Δx －f 1Δx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)．又Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx＝21＋Δx 2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数4，∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4.由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、 解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt ＝S 4＋Δt －S 4Δt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g 4＋Δt 2＋24＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt 2＋4g ·Δt ＋2·Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2.∵当Δt →0时，ΔS Δt→4g ＋2， ∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3×12－4×1＋2Δx ＝2Δx ＋3Δx 2Δx ＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝x 0＋Δx 3－2x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 20＋3Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0， 即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2. ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．。
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[A组学业达标]
1．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的改变量为()
A．－0.29 B．－2.9 C．0.29 D．2.9
解析：f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
所以函数值的改变量为
f(－0.9)－f(－1)＝－1.71－(－2)＝0.29.故选C.
答案：C
2．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于() A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2
C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2
解析：球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2，故选B.
答案：B
3．一质点的运动方程为s＝3－5t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为() A．－2－Δt B．2＋Δt
C．－10－5Δt D．10＋5Δt
解析：v＝3－5(1＋Δt)2－(3－5×12)
Δt
＝－10－5Δt，故选C.
答案：C
4．给定函数f(x)，则lim
Δx→0f(x0－Δx)－f(x0)
Δx等于()
A．f′(x0) B．f′(－x0) C．－f′(x0) D．－f′(－x0)
解析：lim
Δx→0f(x0－Δx)－f(x0)
Δx
＝－lim
Δx→0
f(x0－Δx)－f(x0)
(x0－Δx)－x0
＝－lim
－Δx→0
f(x0－Δx)－f(x0)
－Δx
＝
－f′(x0)，故选C.
答案：C
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是() A．1 B．－1 C．±1 D．3 3
解析：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx2)＋(Δx)3，
所以Δy
Δx
＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，
所以f′(x0)＝lim
Δx→0
[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20，
由f′(x0)＝3得3x20＝3，所以x0＝±1，故选C.
答案：C
6．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)．
解析：由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)＞s2(0)，
所以
s1(t0)－s1(0)
t0
＜
s2(t0)－s2(0)
t0
，即v甲＜v乙．
答案：小于
7．一物体的运动方程为s＝
3
t，则当t＝2时该物体的瞬时速度为________．
解析：瞬时速度即为s对t的导数，
所以v＝s′|t＝2＝lim
Δt→0
3
2＋Δt
－3
2
Δt
＝lim
Δt→0
－3Δt
2(2＋Δt)Δt
＝lim
Δt→0
－3
4＋2Δt
＝－3
4.
答案：－
3
4
8．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，当Δx 无限趋近于0时，对于lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
的值，以下说法中正确的是________．
①与x 0，Δx 都有关；②仅与x 0有关而与Δx 无关；③仅与Δx 有关而与x 0无关；④与x 0，Δx 均无关．
解析：导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关． 答案：②
9．求函数y ＝－x 2，y ＝2x ＋1，y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率，当Δx 很小时，哪一点附近的平均变化率最大？
解析：y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为
k 1＝－(2＋Δx )；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝
11＋Δx ＋1
.当Δx 很小时，k 1＜0，k 2＜1，
0＜k 3＜1，所以最大的是k 2，即y ＝2k ＋1在x ＝1附近的平均变化率最大． 10．利用导数的定义，求函数y ＝1
x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解析：因为Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1(1＋Δx )2
＋2－(1＋2) ＝－2Δx －(Δx )2
(1＋Δx )
2
所以Δy Δx ＝－2Δx －(Δx )2
(1＋Δx )2·Δx ＝－2－Δx (1＋Δx )2
，
所以f ′(1)＝lim Δx →0 －2－Δx
(1＋Δx )2＝－2， 即函数y ＝1
x 2＋2在点x ＝1处的导数为－2.
[B 组 能力提升]
11．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3
D ．－2
解析：由题意得Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )
2－1＝a ＝3.故选C.
答案：C
12．设函数f (x )可导，则lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
3Δx
等于( )
A ．f ′(1)
B ．1
3f ′(1) C ．不存在
D ．以上都不对
解析：因为lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1
3f ′(1)，故选B.
答案：B
13．已知函数f (x )＝x 2
－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]的平均变化率是9
4，则a ＝
________.
解析：Δy Δx ＝a 2－2a ＋3－(22
－2×2＋3)a －2
＝a ，
由题意得Δy Δx ＝94，所以a ＝9
4. 答案：94
14．设函数f (x )＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝________.
解析：因为Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝m (－1＋Δx )3＋m ＝3mΔx －3m (Δx )2＋m (Δx )3， 所以Δy
Δx ＝3m －3mΔx ＋m (Δx )2，
所以f ′(－1)＝lim Δx →0
[3m －3mΔx ＋m (Δx )2]＝3m ，
由f ′(－1)＝3得3m ＝3，所以m ＝1. 答案：1
15．若一物体运动方程如下(位移：m ，时间：s)： s (t )＝⎩⎨⎧
3t 2＋2，t ≥3， ①，29＋3(t －3)2，0≤t ＜3. ②
求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体在t ＝1时的瞬时速度； (3)物体的初速度v 0.
解析：(1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，所以物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为
Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝48
2＝24(m/s)．
(2)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t ＝1附近的平均变化率为
Δs Δt ＝29＋3(1＋Δt －3)2
－29－3(1－3)
2
Δt
＝3Δt －12，
所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为
s ′(1)＝lim Δt →0 Δs
Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)，
即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
(3)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)
Δt
＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，
所以物体在t ＝0处的瞬时速度为
s ′(0)＝lim Δt →0 Δs
Δt ＝lim Δt →0
(3Δt －18)＝－18(m/s)．
16．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
－1x ，x ＞0，
1＋x 2，x ≤0，
求f ′(4)·f ′(－1)的值．
解析：当x ＝4时，Δy ＝－
14＋Δx
＋
14
＝12－1
4＋Δx ＝4＋Δx －22
4＋Δx
＝Δx 2
4＋Δx (
4＋Δx ＋2)
.
所以Δy Δx ＝
1
2
4＋Δx (
4＋Δx ＋2)
.
所以lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
1
2
4＋Δx (
4＋Δx ＋2)
＝12×4×(4＋2)＝1
16. 所以f ′(4)＝1
16.
当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)
Δx
＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx
＝Δx －2，
由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0
(Δx －2)＝－2，
所以f ′(4)·f (－1)＝116×(－2)＝－1
8.。