二项式定理知识点总结
二项式定理专题复习
二项式定理知识点、题型与方法归纳一.知识梳理1.二项式定理:)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ.其中),,2,1,0(n r C rn Λ=叫二项式系数.式中得r rn r n b aC -叫二项展开式得通项,用1+r T 表示,即通项rr n r n r b a C T -+=1、2.二项展开式形式上得特点: (1)项数为n ＋1;(2)各项得次数都等于二项式得幂指数n ,即a 与b 得指数得与为n 、(3)字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1直到零;字母b 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n 、(4)二项式得系数从C 0n ,C 1n ,一直到C n －1n ,C n n 、3.二项式系数得性质:(1)对称性:与首末两端“等距离”得两个二项式系数相等.即r n r n n C C -=(2)增减性与最大值:二项式系数C k n ,当k ＜n ＋12时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它得后半部分就是逐渐减小得;当n 就是偶数时,中间一项2nn C 取得最大值;当n 就是奇数时,中间两项1122n n nnCC-+=取得最大值.(3)各二项式系数与:C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ;C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1、 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r,注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同,但具体到它们展开式得某一项时就是不同得,一定要注意顺序问题,另外二项展开式得二项式系数与该项得(字母)系数就是两个不同得概念,前者只指C r n ,而后者就是字母外得部分.前者只与n 与r 有关,恒为正,后者还与a ,b 有关,可正可负. 两种应用(1)通项得应用:利用二项展开式得通项可求指定得项或指定项得系数等.(2)展开式得应用:利用展开式①可证明与二项式系数有关得等式;②可证明不等式;③可证明整除问题;④可做近似计算等. 三条性质(1)对称性;(2)增减性;(3)各项二项式系数得与; 二.题型示例【题型一】求()nx y +展开特定项例1:(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)得展开式中x 5与x 6得系数相等,则n ＝( ) BA 、6B 、7C 、8D 、9例2:⎝⎛⎭⎫x y －y x 8得展开式中x 2y 2得系数为________、(用数字作答) 70 【题型二】求()()m na b x y +++展开特定项例1:在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8得展开式中,含x 3得项得系数就是( ) D A.74B.121C.－74D.－121【题型三】求()()mna b x y +⋅+展开特定项例1:已知(1＋ax )(1＋x )5得展开式中x 2得系数为5,则a ＝( ) DA 、－4B 、－3C 、－2D 、－1例2:在(1＋x )6(1＋y )4得展开式中,记x m y n 项得系数为f (m ,n ),则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( ) C A.45 B.60 C.120D.210例3:若数列{}n a 就是等差数列,且6710a a +=,则在1212()()()x a x a x a ---L 得展开式中,11x 得系数为___、60-【题型四】求()nx y z ++展开特定项例1:求⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)得展开式经整理后得常数项、解:⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25在x ＞0时可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10,因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r ()x 10－2r ,则r ＝5时为常数项,即C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322、例2:若将10)(z y x ++展开为多项式,经过合并同类项后它得项数为( ).DA.11B.33C.55D.66解:展开后,每一项都形如a b cx y z ,其中10a b c ++=,该方程非负整数解得对数为210266C +=。
数学二项式定理知识点
数学二项式定理知识点
二项式定理是李斯特等人发现的最实用的定理之一，主要用于描述一些具有概率性质的问题，它根据事件A、B分别发生n次和m次，它们同时发生r次的概率之间的一种关系。
事件A、B可以表示投掷一次骰子、投掷两次骰子，扔掷一次硬币、扔掷两次硬币等不确定的事件。
二项式定理可以说明：事件A、B发生r次的概率可以表示为：
其中nCr表示从n个无序的不同元素中任取r个元素，并且按顺序排列起来所组成组合的个数。
特别的，当n=1时，二项式定理可以用下式表示：pA+pB=1，其中pA、pB分别代表对应事件发生的概率。
例如，投掷一次硬币的事件A和B分别是“正面”和“反面”发生的概率，则pA+pB=1，其中pA=pB=0.5。
二项式定理是概率统计中的重要定理，它的特点是可以解决一次(或多次)不确定事件发生次数的问题，即多次试验的随机变量(如抛硬币)。
在实际应用中，它也可以用来处理一次事件内容有n种可能情况，其中r种发生情况出现的概率，以及多个事件发生概率的关系等问题。
二项式定理可以也可以用来解决医学、金融等实际问题，例如药物副作用、金融期权等。
在医学上，它可用来表示某种药物给患者发作的概率reg=pA*pB*...，这就是某种长期服用的药物发作的情况；在金融上，它可以用来研究一定期限内可以购买某种期权的概率，即根据资本金额，在期限内获利的概率，即reg=pA*pB*...，可以表示投资者在某段期间获取获利的概率。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结二项式定理是高中数学中的重要知识点，它是代数中的一个基本定理，也是数学中的一个重要定理。
二项式定理在数学中有着广泛的应用，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际问题中也有着重要的应用价值。
本文将对高中数学二项式定理的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学知识点。
一、二项式定理的基本概念。
二项式定理是指对于任意实数a、b和非负整数n，都有以下公式成立：\((a+b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1} b^1 + C_n^2a^{n-2} b^2 + ... +C_n^na^0 b^n\)。
其中，\(C_n^k\)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数，它的计算公式是：\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
二项式定理的基本概念就是利用组合数的性质，将二项式展开成多项式的形式，从而方便进行计算和运用。
二、二项式定理的应用。
1. 多项式展开。
二项式定理可以方便地将一个二项式展开成多项式的形式，从而简化计算。
例如，对于(a+b)²和(a+b)³，可以利用二项式定理将其展开成多项式的形式，从而方便进行计算。
2. 组合数的计算。
二项式定理中的组合数\(C_n^k\)在实际问题中有着重要的应用，例如在概率论、统计学等领域中，经常需要计算从n个不同元素中取出k个元素的组合数，而二项式定理提供了一种方便快捷的计算方法。
3. 概率计算。
二项式定理在概率计算中有着重要的应用，例如在二项分布中，就涉及到了二项式定理的应用。
通过二项式定理，可以方便地计算出在n次独立重复试验中成功次数为k的概率。
三、二项式定理的推广。
除了普通的二项式定理外，还有二项式定理的推广形式，如多项式定理、负指数幂的二项式定理等。
这些推广形式在数学理论和实际问题中都有着重要的应用价值，可以进一步丰富和拓展二项式定理的应用领域。
二项式定理复习总结
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：项数：共(1)r +项通项：1r n r r r nT C a b -+=展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n nn n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：（令值法）令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nnn n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④各项的系数的和：()()nbx a x g +=.令（1）奇数项系数和：()()[]1121-+g g 偶数项系数和：()()[]1g -1g 21⑤二项式系数的最大项：如果n 是偶数时，则中间项（第12n+）的二项式系数项2nn C 取得最大值。
关于二项式定理的知识点
关于二项式定理的知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超厉害的二项式定理呀！你可别小瞧它，这玩意儿用处大着呢！比如说，（展开 (a+b)^2 等于 a^2+2ab+b^2，这不就像搭积木一样，把不同的部分巧妙地组合起来了嘛！）二项式定理就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学问题的大门。
想象一下呀，我们面对一堆看似杂乱无章的式子，二项式定理就像个超级英雄闪亮登场，一下子就把它们变得井井有条啦！（好比 (a+b)^3 展开
后是a^3+3a^2b+3ab^2+b^3，多清楚呀！）它能帮我们快速找到规律，解决难题，这感觉是不是超棒的？
咱再想想那些复杂的概率问题，二项式定理也能派上大用场呢！（就像计算掷骰子多次后某个点数出现的概率，二项式定理就能助我们一臂之力呀！）它能让我们看清问题的本质，不再迷茫。
哎呀，反正二项式定理就是这么牛，它在数学世界里闪闪发光，为我们指引方向呀！怎么样，现在是不是对它特别感兴趣啦？是不是迫不及待想去深入了解它啦？
我的观点就是：二项式定理是数学中的一颗璀璨明珠，一定得好好掌握它！。
高中二项式定理知识点
高中二项式定理知识点高中二项式定理知识点一、二项式定理的基本概念二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式指的是两个数之和或之差的表达式，如(a+b)^n就是一个二项式。
而二项式定理则给出了展开这样一个二项式的公式。
二、二项式定理的表达形式二项式定理有两种常见的表达形式：一是通用形式，即(a+b)^n；另一种是简化形式，即展开后的结果。
1. 通用形式通用形式表示了一个任意次数幂的二项式。
它可以写成：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ... +C(n,k)a^(n-k) b^k + ... + C(n,n)a^0 b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素组成组合数。
2. 简化形式简化形式表示了展开后的结果，它可以写成：(a+b)^n = a^n + n a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + n a b^(n-1) + b^n三、应用举例1. 平方展开当幂指数为2时，即(a+b)^2，根据二项式定理，可以展开为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个结果可以通过直接相乘验证。
2. 立方展开当幂指数为3时，即(a+b)^3，根据二项式定理，可以展开为：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，这个结果也可以通过直接相乘验证。
四、二项式系数的性质1. 对称性质在二项式定理中，对称性质是指系数C(n,k)满足C(n,k) = C(n,n-k)，即从n个元素中选取k个元素的组合数等于从n个元素中选取n-k个元素的组合数。
这是因为在展开二项式时，每一项的幂指数和次数之和都是相等的。
2. 杨辉三角形杨辉三角形是一个由二项式系数构成的三角形。
它的第n行第k列的元素就是C(n,k)。
杨辉三角形具有很多有趣的性质和应用，在组合学、概率论等领域有广泛应用。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
二项式定理八份
知识点一：二项式定理二项式定理：，其中：①公式右边的多项式叫做的二项展开式；②展开式中各项的系数叫做二项式系数；③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为. 知识点二：二项展开式的特性①项数：有n+1项；②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；④系数：依次为.知识点三：二项式系数的性质①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③二项式系数之和为，即其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即例1．求的展开式中分别符号下列条件的各项:（1）常数项（2）有理项（3）二项式系数最大项（4）系数绝对值最大的项例2．求的常数项.例3．求(x+2)10(x2-1)2的展开式中含x4的项.例4．已知.求（1）a0；（2）a20+a19+……+a1+a0；（3）a20+a18+a16+……+a2+a0．例5．试证:32n+2-8n-9(n∈N)能被64整除.例6．求0.9886的近似值，使误差小于0.001.课外练习:1．求(1-x)9展开式中系数最小的项.2．求(x+y+z)6的展开式中，含x3y2z项的系数值.3．化简.4．求(1+x)6(1-x)4的展开式中，x3的系数.5．若(63x+10y)73展开式中各项系数之和为A，(63x-10y)53展开式中各项项数之和为B，求A+B除以10所得余数.。
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二项式定理知识点总结
1．二项式定理公式：
011
()()n n n r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r
n
C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r
n r
r n C a
b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n
a b +与()n
b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0
1
2
,,,,,,.
r
n
n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令1,,a b x == 0122
(1)()n r r n n
n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=+++
+++∈
令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r
n n n
n
n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
0,n n n C C =·1
k k n n C C -=
②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为012
2r
n
n n
n n n n C C C C C ++++++=，
变形式12
21r n
n n n n n C C C C +++++=-。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123
(1)(11)0n n
n n n n n n C C C C C -+-+
+-=-=，
从而得到：024213
21
11222
r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++
++⋅⋅⋅=⨯=
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0011222
0120120011222021210
01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=+++
+=+
+++=++++=+---------=--+-++=-----024135
(1)(1),(
)2
(1)(1),(
)
2
n n
n n n
n a a a a a a a a a a a a ----
++-++++=+---
+++=
⑤二项式系数的最大项：
如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数21
2n n
n C T +=取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数1
21
2
n n
n
T C
--=,121
2n n
n C
T ++=同时取
得最大值,且。
⑥系数的最大项：
求()n
a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112
r r
r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
2121+-=n n
n n C C。