二项式定理知识点总结(2020年10月整理).pptx
(完整版)二项式定理知识点及典型题型总结
二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n nn 2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C rn=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T rr n r nr ==-+ 3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C nn ,…,C nn(2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。
②b 的指数由0 n （升幂）。
③a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。
4、二项式系数的性质： （1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n nC当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n nC=21+n nC（3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即mn n m n C C -=nnn k n n n n C C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；a2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-；二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为2．确定二项展开式的常数项 例5．103)1(xx -展开式中的常数项是3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 92)21(xx -展开式中9x 的系数是三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于例8．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（103)1xx -的展开式的中间项；。
二项式定理ppt
二项式定理简介二项式定理是高中数学中的一个重要定理，是关于二项式展开的公式。
二项式展开是将一个二项式的幂次展开成一系列项的乘积的形式。
它在数学和物理等领域中都有重要的应用。
本文将详细介绍二项式定理的定义、推导过程以及应用。
定义在数学中，二项式指两项的和，具体表示为：(a + b)^n二项式定理给出了这个二项式的展开式，形式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 +C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^(n-1) +C(n,n)a^0 b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的方式数。
推导过程为了推导出二项式定理，我们可以通过数学归纳法进行演绎。
下面是推导的过程：Step 1:当n = 1时，二项式定理成立。
因为此时(a +b)^1 = a + b。
Step 2:假设当n = k时，二项式定理成立。
即(a + b)^k = C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... + C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k。
Step 3:考虑当n = k+1时，我们可以将(a + b)^(k+1)展开为(a + b) * (a + b)^k。
通过展开乘法运算，我们可以得到：(a + b) * (a + b)^k = a * (a + b)^k + b * (a + b)^k = a * (C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... + C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k) + b * (C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... +C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k)。
Step 4:对上式进行整理和合并同类项，可以得到(a +b)^(k+1)的展开式：(a + b)^(k+1) = C(k,0)a^(k+1)b^0 + (C(k,1) + C(k,0))a^k b^1 + ... + (C(k,k-1) + C(k,k))a^1 b^k + C(k,k) a^0 b^(k+1)。
二项式性质课件
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
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THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理(PPT课件)
根据二项式定理的组合证明，我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型，具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识，常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称，从第$0$行开始， 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1，三角形中 的数有很多特殊性质，可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
二项式定理ppt课件
二项式定理的应用领域
总结词
二项式定理的应用领域非常广泛，包括组合数学、概率论、统计学和物理学等。
详细描述
二项式定理在数学中有着广泛的应用，它可以应用于组合数学中的排列和组合计 算，概率论中的概率分布计算，统计学中的样本方差和总体方差计算，以及物理 学中的量子力学和统计力学等领域。
02
二项式定理的公式与性质
统计力学
在统计力学中，二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率，以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法，如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，二项式定理用于计算系统的传递函数。
03
创新研究方法
随着数学研究方法的不断创新，二项式定理的研究方法也将不断更新和
完善，以适应新的研究需求和挑战。
THANKS
感谢பைடு நூலகம்看
二项式定理的化简技巧
合并同类项
在展开二项式定理后，可以将同类项 合并，以便简化表达式。
利用代数恒等式化简
利用二项式定理的逆用
在某些情况下，可以利用二项式定理 的逆用对表达式进行化简，如 $(ab)^n = sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$。
在展开过程中，可以运用代数恒等式 对表达式进行化简，如 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
二项式定理展开与化简的应用
解决组合计数问题
二项式定理可以用于解决组合计 数问题，例如计算从 $n$ 个不同 项中选取 $k$ 个的不同方式的数
二项式定理PPT课件
第21页
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数学
解析：(x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有三个取 y，一个取 x2，一个取 x 即可，所以 x3y3 的系数为 C53C21C11＝10×2×1＝20.
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数学
考点二 二项展开式的系数和问题 1.二项式系数和
命题点 2.各项的系数和 3.部分项的系数和
当 r＝1 时，T2＝ 当 r＝2 时，T3＝ 故系数最大的项为 T2 或 T3.
数学
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数学
2．在本例(2)中，求展开式中的常数项．
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解：由 Tr＋1＝Cr6x6－r·ir 可知，当 r＝6 时． 常数项为 T7＝C66·i6＝－1.
数学
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数学
3．在本例(4)中，求展开式中含x3y3的系数．
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数学
[例 2] 在(2x－3y)10 的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和．
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数学
解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
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数学
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)Crnan－rbr 是二项展开式的第 r 项．(×) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．(√) (4)在(1－x)9 的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×) (5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.(×)
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n
n
n
n
A． 4n B。 3 4 n
4n C。 1
3
4n 1
D.
3
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第四项的系数；
（2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3的系数及二项式系数新疆 王奎新屯敞 x
1
三、二项展开式系数的性质：
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
其中b 为除数， r 为余数， r 0, b ，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，
要注意转换成正数
例题：求 201363 除以 7 所得的余数
例题： 若 n 为奇数，则 7n C1 7n1 C 2 7n2 Cn1 7 被 9 除得的余数是 （ ）
n
n
n
A．0 B。2 C。7 D.8
②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k 的和或差的形式， 再利用二项式定理展开，这里的k 通常为 1，若 k 为其他数，则需对幂的底数k 再次构造
和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了
③要注意余数的范围，对给定的整数a,b(b 0) ，有确定的一对整数 q 和 r ，满足a bq r ，
C 0 Cn ,C1 Cn1 ,C 2 Cn2 , Ck Cnk ,
n
nn
n
n
n
n
n
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
n
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：
Ck n max
Cn2 ；
n1
n1
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即
（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式a bn 展开，得到一个多项式；
另一方面，也可将展开式合并成二项式a bn
二、二项展开式的通项：T k 1
Ck ankbk n
二项展开式的通项Tk1 Cnk ankbk (k 0,1,2,3 n) 是二项展开式的第 k 1 项，它体现了
二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些 特 定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面 有广 泛应用
n
n
n
n
例题：写出(x y)11 的展开式中：
1 二项式系数最大的项； 2 项的系数绝对值最大的项； 3 项的系数最大的项和系数最小的项； 4 二项式系数的和； 5 各项系数的和
四、多项式的展开式及展开式中的特定项
（1）求多项式(a a a )n 的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用
Ck n max
Cn 2 Cn 2
③二项展开式的各系数的和等于 2n ，令 a 1， b 1即 C0 C1 Cn (11)n 2n ；
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
n
④ 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等 ， 令 a 1 ， b 1 即
C 0 C 2 C1 C 3 2n1
二项式定理
一、二项式定理：
a b n C n0a n Cn1an1 b Cnk ank kb C nnb n（ n N ） 等号右边的多项式叫做
a bn 的二项展开式，其中各项的系数C nk(k 0,1,2,3 n) 叫做二项式系数。
对二项式定理的理解：
1 二项展开式有n 1项 2字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 到 0；字母b 按升幂排列，从 第
0
1
2
7
（1） a1 a2 L a7 ； （2） a1 a3 a5 a7 ； （3）| a0 | | a1| L | a7 | .
六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面： 1 进行近似计算 2 证明某些整除性问题或求余数
3证明有关的等式和不等式。如证明： 2n 2nn 3, n N 取 2n 1 1n 的展开式 中
一项开始，次数由 0 逐项加 1 到 n 3二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数 a, b ，等式都成立，通过对a, b 取不同 的 特 殊 值 ， 可 为 某 些 问 题 的 解 决 带 来 方 便 。 在 定 理 中 假 设 a 1，b x ， 则
1 x n Cn0 xn Cn1 x Cnk x nk Cnnx n（ n N ）
24x
有理项。
（2）求
x
1 x
3 2 的展开式的常数项。
【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k
五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定
例题：已知(1 2x)7 a a x a x2 L a x7 ，求：
例题：当 n N 且 n >1，求证2 (1 1 )n 3 n
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定
4
综合测 一、选择题：本大题共 12 个小题，每试小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
的四项即可。 2、各种问题的常用处理方法
3
（1）近似计算的处理方法
当 n 不是很大，| x |比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n 的近似值。
例题： (1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是
A．1.23
B．1.24
C．1.33
D．1.34
（）
（2）整除性问题或求余数的处理方法 ①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
12
n
二项式定理展开。
例题：求多项式(x2
1 x2
2)3
的展开式
（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的 通 项再分析。
例题：求 (1 x)2 (1 x)5 的展开式中 x3 的系数
2
例题：（1）如果在
x
1
n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的
对通项Tk1 Cnk ankbk (k 0,1,2,3n) 的理解：
1 字母b 的次数和组合数的上标相同
2 a 与 b 的次数之和为n
3 在通项公式中共含有a, b, n, k,Tk 1 这 5 个元素，知道 4 个元素便可求第 5 个元素
例 1． C1 3C 2 9C 3 3n1Cn 等于 （ ）