格林函数与输运
格林函数及其应用课件
有限差分法
01
有限差分法是将微分方程或积分 方程转化为差分方程，然后求解 差分方程得到格林函数的数值解 。
02
有限差分法适用于求解偏微分方 程，特别是对于具有周期性或对 称性的问题，有限差分法可以大 大简化计算过程。
有限元法
有限元法是将微分方程或积分方程转化为有限元方程，然后求解有限元方程得到 格林函数的数值解。
对于某些领域，需要高精度的格林函数来保证计 算的准确性。
未来格林函数研究的方向与展望
算法优化
寻求更高效、稳定的算法来计算格林函数。
多领域交叉
加强与其他领域的合作，拓展格林函数的应用范围。
数值稳定性
研究如何提高格林函数计算的数值稳定性。
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量子力学散射问题的格林函数计算
总结词
介绍了量子力学散射问题中格林函数的 计算方法，以及其在散射理论中的应用 。
VS
详细描述
在量子力学中，格林函数用于描述粒子在 相互作用下的运动行为。通过计算格林函 数，可以研究粒子在散射过程中的能量和 动量变化，进一步理解物质的微观结构和 相互作用机制。
流体动力学波动问题的格林函数计算
工程学
在电路分析、控制理论和信号 处理等领域有广泛应用。
生物学
用于研究神经网络的传播和扩 散过程。
金融学
用于描述资产价格波动和风险 评估。
当前格林函数计算中存在的问题与挑战
高维问题
随着问题维度的增加，格林函数的计算变得极为 复杂。
不适定性
在实际应用中，格林函数的求解可能存在数值不 稳定性。
精度要求
有限元法适用于求解复杂的偏微分方程，特别是对于具有复杂边界条件的问题， 有限元法可以更好地处理边界条件。
格林函数方法)
第七章 格林函数方法
第一节 前言
从五十年代开始，量子场论中的格林函数方法被用于研究统计物理学中的 问题。到六十年代后期，格林函数理论在固体物理等多个领域得到了进一步的拓 展，被认为是一种强有力的数学工具[1]。例如，对许多准粒子问题，只需知道相 互作用过程中少数粒子的初态与末态间的跃迁振幅（相应的格林函数），就能得 到体系的一些特征，而对于固体物理中的很多问题，只有对应于费米能量附近的 系统格林函数与我们要研究的性质有关。这样，格林函数方法就成为研究系统性 质的直接有效的方法。 但是在很多的实际问题中，如一些较复杂的有限尺寸量子系统，要得出其格 林函数的解析表达式是很困难的，因此必须要通过数值计算来解决。格点格林函 数方法[2-17]是通过把系统分离成一些格点，然后通过计算这些格点及格点间的格 林函数，进而得出整个体系的格林函数的一种有效数值计算方法。它与其他的一 些数值方法如有限元法[18]、转移矩阵法[19,20]、散射矩阵法[21]、模式匹配法[22]等相 比较，格点格林函数方法能够很方便的处理磁场和无序（掺杂）等问题。在系统 的某个区域加入磁场时，只需要考虑一个 Peierls 相位因子。当系统的自由度很 大时， 用一般的格点格林函数方法求解系统的格林函数就对应一个很大维数的矩 阵计算。虽然计算机技术飞速发展，但是计算机的容量仍然制约着我们所能直接 处理的矩阵的维数。在这种情况下，迭代技术已经被越来越广泛地应用于处理这 一类问题。 递归格林函数方法也在这种要求下得到了很大的发展。 Lee、 Fisher[2,3] 和 MacKinnon[7]等作了开创性的工作，然后人们又发展了各种递归格林函数方法 来处理一些具体的结构或边界条件下的尺寸效应和多终端效应。 如 Soles[5,6]等用 递归格林函数方法计算了有 T-型突起的量子线的电子输运性质， Ando[9]则考虑了 在磁场调制下的量子点接触的电导。 在量子物理中，格林函数常常被定义为 v v v v v [ E − H (r )]G (r , r ' ; E ) = δ (r − r ' ) 其中 E 是复变量，H 是一个厄米的含时算符。 如果 E − H 的本征值是非零的，我们可以写出格林函数的等价定义式： 1 G= (2-2) E−H 如果 H 的本征函数ψ n 是正交完备的，且 λ n 是其相应的本征值，则
数学物理方法 12 格林函数法
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便 格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的 解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林 函数为点源函数．
（14.3.8）
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
二、二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
G(r ,0)dV (r )dV
T T
因为
(r )dV 1
T
G(r ,0)dV G(r,0)dV
令积分常数为0，得到
G(r ,0)
1 1 G(r ,0) ln c 2π r
1 1 ln 2π r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r , r0 ) 1 1 ln 2π | r r0 |
（14.3.9）
将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为
u (r ) 1 1 f (r0 )ln dS0 S0 2π | r r0 |
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场． 对于拉普拉斯方程 第一边值问题的解为 第三边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )
G (r , r0 ) ]dS0 n 0
格林函数法
为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。 说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下 所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯 方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位 于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷 在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该 设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所 示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的 点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学 知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置 一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持 电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点 热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分 布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理： 格林函数代表r0处的点源在r处 所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下 的互易定理：
多体量子力学中的格林函数方法
多体量子力学中的格林函数方法多体量子力学是研究多粒子体系中粒子之间相互作用的力学理论。
在这个理论框架下，我们需要处理多个粒子的波函数，同时考虑它们之间的相互作用。
为了解决这个问题，物理学家们提出了多种方法，其中一种重要的方法就是格林函数方法。
格林函数方法最早由德国物理学家赫尔曼·哈库斯（Hermann Hankel）于1859年提出，后来由多位物理学家进一步发展和推广。
格林函数可以用来描述量子态的演化和性质，是求解多体问题的有力工具。
在多体量子力学中，格林函数是描述粒子行为的函数。
它可以用来计算不同时间和位置下粒子的性质，比如粒子的动量、位置和电荷等。
格林函数的形式由一般的波函数演化方程决定。
它可以被分为两个部分：单粒子格林函数和相互作用格林函数。
单粒子格林函数描述了一个单粒子在外势场下的行为。
它可以被定义为粒子在某个时刻从一个位置传播到另一个位置的概率幅。
通过计算单粒子格林函数，可以得到粒子的一些重要性质，比如能谱和态密度等。
相互作用格林函数描述了多个粒子之间的相互作用。
在多体问题中，粒子之间的相互作用是一个非常重要的因素。
通过计算相互作用格林函数，可以探究粒子之间的相互作用强度和方式。
相互作用格林函数的求解可以通过一系列的近似方法，比如平均场理论、扰动方法和重整化群等。
格林函数方法在各个领域都有广泛的应用。
在凝聚态物理中，格林函数方法可以用来研究电子系统和其他凝聚态物理体系的性质。
通过计算格林函数，可以得到电子的输运性质、激发态和自能等重要信息。
格林函数方法在量子化学、固体物理、统计物理和粒子物理等领域也都有着重要的应用。
虽然求解格林函数的问题是一个复杂的任务，但是近年来，在计算机科学和数值方法的发展下，越来越多的精确和高效的方法被提出。
比如，基于数值求解的格林函数方法、基于图像处理的格林函数方法、基于机器学习的格林函数方法等。
这些方法为求解多体问题提供了新的思路和工具。
总结起来，格林函数方法是解决多体量子力学问题的一种重要方法。
数学物理方法格林函数
演化问题的格林函数
演化问题的格林函数也可以用冲量定理法得到 问题 等价问题
Gt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G | t 0 ( x )
Gtt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G |t 0 0 G | t t 0 ( x )
演化问题的基本解
无界输运问题的求解
2 ut a u xx f ( x, t ) u |t 0 0
f ( x, t ) d d f ( , ) ( x ) (t )
0
t
2 Gt a G ( x ) (t ) G |t 0 0
2 ( x ) t exp 2 4a (t ) u d d f ( , ) 2a ( t ) 0
u( x, t ) d d f ( , )G( x, ; t, )
0
t
( x ) 2 exp 2 4 a ( t ) G 2a ( t )
应用（求解数学物理方程的格林函数法）
稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到 原问题 方程
u f ( r )
点源问题
G ( r r ' )
点电荷电场
V q (r r ' ) / 0
解
u
f (r ' )d ' 1 q G V 4 | r r ' | 4 | r r ' | 4 0 | r r ' |
格林函数
第十四章 格林函数--偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：A: 数理方法中的分离变量法：正交的多项式或无穷级数解，但需要齐次边界条件。
B: 理论物理中的Green 函数方法：既是简单的有理形式解，又允许任意的边界条件！ 1，Green 函数（GF ）的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布。
特别是它在空间是源函数；在时空是传播函数。
(See below)数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解。
2，GF 的分类：边界值GF ：(,')G r r 即源函数；初始值GF ：(,;',')G r t r t 即传播函数。
3，Green 函数的性质：1）对称性：(,')(',)G r r G r r =，它与定解问题相关，即与厄米性相关。
(See 4 below)2）时间传播函数没有对称性：(,;',')(',';,)G r t r t G r t r t ≠.（因果律引起） 3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在。
这是因为既有点源：(')r r δ-矛盾于又无流：|0.n G ∂∑∂= 本征值问题存在，但是没有激发，物理上自相矛盾！平面波(),ik xat Ae 球面波1()ik xat Ar e -和柱面波1/2()ik at A e ρρ-均是LaplaceEquation 的解，但不是Possion Equation 的解。
球、柱面波分别来自于1x时（散射问题）渐近行为：(1,2)[(1/2)/2](1,2)[(1)/2]21(),().i x m i x l ml xxH x e h x e πππ±-+±-+4，Green 函数的边值条件：选取边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。
第十二章 格林函数法
故得到
( x ) G ( x x ) ( x )d G ( x x ) ( x ) 0 G ( x x ) ( x ) ds n n S
V
这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。 讨论几点：
12
该式左边第二项为 1 1 ( x) ( x x )d ( x )
0
V
0
得到
1 1 G ( x x ) ( x )d ( x ) 0 0 V G ( x x ) ( x ) G ( x x ) ( x ) ds n n S
2 0
2
2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷， 或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面 规则(电场能用等效电荷代替)+边界条件。
3
二、 Green函数法能解的情况
能用Green定理求解静电边值问题的情况: 给定区域V内电荷分布 (x ) 和区域V的边界面S 上各点的电势 φs 或电势法向导数
1 2 G ( x , x ) ( x x) 0 G ( x , x) 1 G ( x , x) 0, 或 S n 0S S
所在的位置， x 代表观察点，在（3）式和（4）式中，
(5)
7
五、Green公式和边值问题的解
G 0 在一个单位电荷在空间所激发的电势。因此 n S 即代表单位电荷在边界上所激发的电场，由Gauss定 理知道
1 G( x x )ds n 0 S n G( x x )ds 0 S G( x x ) 0 n S
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《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运内容提要：1概述；2单粒子性质的格林函数表述；3用格林函数推导迁移率中1-α项1概述 1． 1金属中电子输运特性对于金属*m e τμ-=， μσ0en -=，τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记忆。
输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等：∑=--ii 11ττ即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。
绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。
T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。
在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。
低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。
不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。
这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。
这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。
杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。
声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。
这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。
上述金属中的杂质不含磁性杂质。
磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。
1． 2半导体输运特性半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。
晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。
声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。
光学波也通过两种方式散射电子：二种不等价原子之间的相对移动所引起的形变势（光学波形变势散射）；在极性晶体中伴随光学波的极化所产生的微扰势（极性光学波散射）。
后者只有纵光学波（LO 声子）才产生，横光学波不产生。
对于离子性晶体，这时电子与LO 声子形成极化子（详见后文）。
各种散射机制中，电离杂质散射﹑声学声子形变势散射﹑压电散射中驰豫时间与电子能量的关系可统一地写成[2]r E 0ττ=对于不同的散射机构0τ和r 有不同的值。
电离杂质散射r =3/2；声学声子形变势散射r =-1/2；压电散射r =1/2。
光学声子形变势散射形式比较复杂，这里略。
对于极性光学声子散射不能有驰豫时间的定义。
对于不同的散射机构，i τ随温度的变化关系不同。
电离杂质散射I τ～2/3T ；声学声子形变势散射as τ～2/3-T ；压电散射PZ τ～2/1-T 。
光学声子形变势散射形式比较复杂，这里略。
在低温下I τ值最小，所以低温下主要散射机构是电离杂质散射。
典型半导体中各种散射机构下迁移率温度的变化关系如图2（p.135 in Ref.2）所示。
一般地0en -=σμ中电子浓度0n 可通过霍尔效应精确测定，0n σ叫做霍尔迁移率，它与我们常规定义的电导率迁移率相差一个常数因子。
图3(Fig.7.9 in Ref.3)是CdTe 霍尔迁移率的温度依赖关系。
1． 3极性光学波散射长期以来电导问题是用Boltzmann 方程处理的[4]。
1958年Edward 首先将格林函数方法应用于输运问题。
Kadanoff 和Baym 用格林函数方法证明，在金属中只有k F l >>1时Boltzmann 方程才是正确的，这里k F 是费米波矢，l 是平均自由程。
现在格林函数已经用于推导很多不同系统的输运性质，包括Boltzmann 方程不适用的情况。
格林函数方法的优点是，用它可以推导出输运系数的准确表达式，然后在各种条件下作近似计算。
严格的计算必须同时考虑晶格振动和杂质对电子的散射。
单独考虑这两种散射时计算方法非常相近。
下面只考虑晶格振动（LO 声子）的散射，不考虑杂质散射，电子哈密顿为Frohlich 极化子的哈密顿[3])(12/100+-+++++∑+∑+∑=q q p qpq p q qq p pp p a a c c qM a a c c H νωε (7.2.1)2/12/3020)2()(4B m M ωπα =)11()2(02/102εεωα-=∞ B m eBp m p 22=ε 其中0ω为LO 声子的频率。
我们讨论弱耦合(1<<α)的情况，所以极化子尺寸很大，是所谓的大极化子。
1． 4极化子迁移率理论有许多关于极化子迁移率的理论[3]，例如 （1）通过求解Boltzmann 方程(BE)；（2）通过计算电流-电流关联函数（见后文）；><⎰-=)0().(1)(0u u i j j T e d i ττνωπτβωτ式中u 是(x,y,z )之一，当系统各向同性时><>=<)0().(31)0().(j j T j j T u u ττττ所以 ><⎰-=)0().(31)(0j j T e d i i ττνωπτβωτ。
令δωωi i +→则可由电流-电流关联函数得到推迟的电流-电流关联函数。
]})({Im[lim 0ωωπσωret →-=(久保公式)0→ω说明得到的是直流电导。
在久保公式中，为了求直流电导需要先计算交流电导，然后取极限0→ω。
若开始就从直流电场出发则计算要麻烦一些。
久保的上述理论又叫线性响应理论。
（3）通过计算力-力关联函数；><⎰-=)0().(31)(0F F T e d i R i ττωτβωτ令δωωi i +→则可由力-力关联函数得到推迟的力-力关联函数。
]})({Im[lim 10202ωωρωret R n e →-=力-力关联函数的严格推导是由Mahan 给出的。
（4）通过求解量子Boltzmann 方程(QBE)。
QBE 与BE 的差别是：BE 是关于分布函数 ),,(t r v f 的微分方程；而 QBE 是关于Wigner 分布函数 ),,,(t r k f ω的微分方程。
这些理论各自不同，但在弱耦合 (1<<α)和低温（10>>βω）极限下结论是一致的，这些理论都预言0000)1(2lim 0μωατμβωα≡--=-=→→e m em e B B T (7.2.2)00021ωατN =110-=βωe N(7.2.2)对于检验理论是有用的，但在同实验比较方面无能为力，原因是（1）在温度2/10≈βω范围，迁移率的计算只考虑了光学声子散射。
这是一个低温理论，我们需要能在更高温下计算迁移率的理论（2）我们感兴趣的大多数材料的极化子耦合常数都在中间耦合（31≤≤α）的范畴内。
所以我们需要一个在中间耦合下适用的计算迁移率的理论。
在这方面最成功的是费曼路径积分方法。
对于中间耦合和高温的情况，格林函数并不擅长，所以我们下面的计算仍限于低温弱耦合的情况。
我们通常采用的方法是1964年Langreth 和Kadanoff 用过的方法（1）利用格林函数从久保公式出发推导(7.2.2)式。
迁移率可写成幂级数形式++++=-221001ααααμa a a a(7.2.3)得到(7.2.2)即得到上面级数的首项（1-α项）；（2）在上面基础上获得量级为0α的所有修正项。
定义0002N m e B ωαμ-=则L-K 结果为)(61120ααμμO +-= (7.2.4)这个结果同用下面方法，即由*me τμ-=，然后将*,m τ分别按α展开：)(120αττO +=，α611*+=B m m )(2αO +得到的结果精确符合。
我们将推导L-K 公式中的第一项（即1-α项）。
2 单粒子性质 (see, Section 7.2 of Ref.[3])我们用格林函数来表述单粒子性质。
因为是在低温单声子情况下，所以用零温格林函数。
首先看电子自能。
自能算符∑是一个非局域的且与能量k E 有关的非厄密算符。
由于∑非厄密，k E 一般为复数，∑实部代表多体效应引起的能级移动，而∑虚部为粒子在该状态寿命的倒数。
电子自能的实部为),()(sin )()],(Re[202/101)1(2/12/30ααεωωεεωαωN O p p p p ++-∑-=- 在零温上式退化为)],,(3121[)],(Re[22)1(0p p p O p ωεεωεωωαω+∑-+-=(7.2.6)根据自能我们可写出有效质量*m 和重整化系数（或重整化因子）Z 的表达式)(211)211()1(211000αααεωO Z p p +-=+=∂∑∂-=--== αααεω611211311)1()(00*-≈++=∂∑∂+===p p B z m m (7.2.7)我们用到的另一个量是寿命τ，电子寿命定义为)]},(Im[2){()(1∑-=p E p p Z p τ (7.2.8)1)1()(-=∂∑∂-=p E pp Z ωε 这里Z(p)是重整化系数。
(7.2.8)式中我们计算的是p E =ω点的自能（虚部），而不是0→ω点的自能（虚部）。
E p 是粒子的基态能量，它可从方程∑+=)],(Re[p p p E p E ε中自恰计算求得。
这个方程近似为∑+=)1()],(Re[ret p p p E p E ε。
作为一级近似，E p 也可由下法得出：将E p 展开为幂级数形式)(242*20p O p mE E p ++= 显然p p E E 00lim →==∑)1(0)],0(Re[ret E 。
根据参考文献[3]第六章算出的一阶电子自能∑--=)1(2/1002/300)()],0(Re[retE E ωεω即2/1002/300)(E E --=ωεω从中展开得到020)(ααωO E +-=所以)(242*20p O p mE p ++-= αω。
由(7.2.8)式我们看到Z(p)与寿命的定义有关。
下面我们看Z(p)的物理意义。
由谱函数的定义∑+∑--∑-=-=2)][Im()],(Re {)],(Im[2)],(Im[2),(ωεωωωp p E p G p A p ret (7.2.9)在∑→0Im 的极限下，谱函数变成一个δ函数（表示能量守恒）和重整化系数的乘积)(2)()]},(Re[{2),(lim 0Im p p p Z p p A εωδπωεωπδω-∑⨯=--=∑→推迟格林函数定义为),(2)(),(ωπωθωp A e i d t t p G ti ret -∞∞-⎰= (7.2.10)根据格林函数的衰减我们可定义弛豫时间。