计量地理学统计分析方法2回归分析

设a、b分别为参数A和B的最小二乘估计值，于 是便得到一元线性回归模型。它是代表x与y之 间关系的最佳拟合直线，通常称为回归直线
yˆ a bx
•a为常数,它就是y的截距 •b为回归系数，也就是直线的斜率，它表示在x中变更一个单 位则在y中变更b个单位
•b>0，表示要素一齐增加或一齐减小 •b<0，表示一个要素增加而另一个则要减小 •b值的大小，反映了变化率的大小
Ln( y) a bx
y eaebx Aebx
（二）一元线性地理回归模型的建立
假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变 量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本 结构形式为：
y A Bx yˆ
– A、B为选定参数 – α＝1，2，…，n为n组观测数据（x1，y1），
（x2，y2）， … （xn，yn） – εα为随机变量
7.84 3056.16
12.96 1.96
26.01 210.25 497.29 723.61 795.24 702.25 445.21 179.56
月份
总和 平均值
气温(x)
地温(y)
xy
1
-4.7
-3.6
2
-2.3
-1.4
3
4.4
5.1
4
13.2
14.5
5
20.2
22.3
6
24.2
26.9
7
26.0
28.2
8
24.6
26.5
9
19.5
21.1
10
12.5
13.4
11
4.0
4.6
12
-2.8
-1.9
138.8
155.7
11.57
12.98
x2 16.92
– 从一组地理数据出发，确定这些要素（变量）间的定 量数学表达式，即回归模型
– 根据一个或几个要素（自变量）的值来预测或控制另 一个要素（因变量）的取值
– 从某一地理过程中的许多要素中，找出哪些要素（变 量）是主要的，哪些要素是次要的，这些要素之间又 有些什么关系
回归分析的分类
– 一元地理回归模型和多元地理回归模型
Ln( y) a bLn(x)
y eaebLn(x) Axb
若将地理要素（x，y）的数据点绘在单对数格纸 上，而其横坐标取对数分格，其纵坐标为普通分 格时呈直线，则一元地理回归模型为对数函数型
y a bLn(x)
若将地理要素（x，y）的数据点绘在单对数格 纸上，而其横坐标为普通分格，其纵坐标取对 数分格时呈直线，则一元地理回归模型为指数 函数型
3.22 22.44 191.40 450.46 650.98 733.20 651.90 411.45 167.50 18.40
5.32 3323.19
y2 22.09
5.29 19.36 174.24 408.04 585.64 676.00 605.16 380.25 156.25 16.00
b.回归分析主要是研究要素之间联系的形态、确 定要素之间关系的方程式，即回归方程，可用于 对未来进行预测，对某些要素进行控制。回归分 析有自变量与因变量之分。回归分析尚有地理预 测的性质
从相关可以获得回归的一些重要信息，反之从 回归也能获得相关的一些重要信息。故它们之间 是紧密相连的两个概念
回归分析的主要内容
yi
xi
yi
解此方程组，即可得到
a y bx
b
xi yi
xi2
1 n
xi
1 n
2
xi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱyi
xi yi nxy xi2 nx 2
(xi x)( yi y) lxy
(xi x)2
lxx
b
lxy lxx
rxy
lxy lxx lyy
b2
r2
lyy lxx
2、一元线性回归模型的具体建立方法与步骤
一、地理回归分析的意义和作用
相关分析揭示了地理要素之间相互关系的密切程度。 若能在某些难测难控的要素与其他易测易控的要素 之间建立一种近似的函数表达式，可以比较容易地 通过那些易测易控要素的变化情况，了解那些难测 难控要素的变化情况
回归分析方法，是研究要素之间具体的数量关系的 强有力的工具，运用这种方法能够建立反映地理要 素之间具体的数量关系的数学模型，即回归模型
回归分析
– 就是对具有相互联系的要素，根据其联系的形 态，选择一个合适的数学模式，用来近似地表 达要素间平均变化关系。这个数学模式称为回 归模型（回归方程）
回归分析与相关分析的区别与联系
– 研究对象和内容上:
a.相关分析主要是研究要素（变量）之间是否存 在关系和关系的密切程度，没有自变量与因变量 之分
i 1
i 1
n
n
n
i1
yi a bxi xi xi yi a xi b xi2 0
i 1
i 1
i 1
整理后可得
na ( xi )b yi
(
xi )a (
xi2 )b
xi yi
此方程通常称为正规方程组。又可写成矩阵形式
n xi
xi xi 2
a b
二、一元地理回归模型的建立
（一）一元地理回归模型类型的判断方法 作图法 差分法 曲度法 计算器法等
作图法
若将地理要素（x，y）的数据点绘在普通方格纸 上，散点图呈直线，则一元地理回归模型为直线 型
y a bx
若将地理要素（x，y）的数据点绘在双对数格纸 上，散点图呈直线，则一元地理回归模型为幂函 数型
第三章 统计分析方法
§1 地理要素间的相关分析 §2 地理要素间的回归分析 §3 时间序列分析法 §4 系统聚类分析方法 §5 主成分分析方法 §6 马尔可夫预测方法 §7 地理系统的空间趋势面分析
§2 地理要素间的回归分析
地理回归分析的意义和作用 一元地理回归模型的建立 多元地理回归模型的建立
yˆ 是y的估计值，亦称回归值。
1、参数a和b的最小二乘估计
实际观测值yi与回归值^yi之差ei=yi- ^yi ，刻画了 yi与^yi的偏离程度，即表示实测值与回归估计值 之间的误差大小。参数a与b的最小二乘拟合原 则要求yi与^yi的误差ei的平方和达到最小，即
n
n
2
Q ei2 ( yi yˆi )
i 1
i 1
n
2
( yi a bxi ) min
i 1
根据取极值的必要条件，要使Q取最小值，必须 使Q对a、b的一阶偏导数分别等于零，即
Q
a
Q
b
2 2
n
i 1 n
i 1
yi yi
a a
bxi bxi
xi
0
0
n
i 1 n
yi a bxi
n
n
yi na b xi 0