组合数学与计算机科学_2010111021741344
数学与计算机科学的紧密联系
数学与计算机科学的紧密联系数学与计算机科学是两门相互关联且互相促进的学科，它们之间有着紧密的联系和协同发展。
在计算机科学的发展过程中，数学提供了必要的理论基础和工具，而计算机科学则为数学提供了实践应用的平台和出口。
本文将从数学与计算机科学在算法设计、密码学和数据分析等领域的联系和应用，阐述数学与计算机科学的紧密关系。
一、算法设计中的数学应用在计算机科学领域，算法是解决问题的一组有序操作步骤。
而数学为算法设计提供了理论基础和方法论。
数学中的逻辑推理、数论和图论等概念，为算法设计者提供了解决问题的思路和方法。
例如，图论中的最短路径算法、拓扑排序和最小生成树等，在计算机网络和路由算法中有着广泛的应用。
同时，数学提供了对算法效率的衡量方法，例如时间复杂度和空间复杂度的分析，为选择合适的算法提供了依据。
二、密码学中的数学应用密码学是计算机科学中应用最广泛的领域之一，它涉及到信息的加密和解密。
数学在密码学中扮演着重要的角色，例如在对称加密算法中，利用数论中的模运算和离散对数问题，实现了高效和安全的数据加密。
同时，非对称加密算法中的公钥密码体制，如RSA算法，也是基于数学中的大素数分解难题。
数学为密码学提供了安全性的理论基础，保护了信息传输的机密性和完整性。
三、数据分析中的数学应用数据分析是计算机科学的重要应用领域之一，它涉及到对大量数据进行处理、挖掘和解释。
在数据分析中，数学提供了统计学和概率论的理论基础，为数据建模和预测提供了方法和工具。
例如，在机器学习和人工智能领域，线性代数和概率统计等数学概念被广泛应用于模型训练、特征选择和分类问题等方面。
数学为数据分析提供了数据处理和模型建立的方法，并发挥着至关重要的作用。
总结起来，数学与计算机科学有着密不可分的联系。
数学为计算机科学提供了理论基础和方法论，例如在算法设计、密码学和数据分析中的应用。
而计算机科学则为数学提供了实践应用的平台，加速了数学理论的发展和推广。
组合数学目录
组合数学目录组合数学是数学中一个重要的分支学科，它研究组合和组合学问题，是数学、统计学和计算机科学等多领域的基础知识。
它涉及到组合、排列、组合优化、计数、概率、可能性等几个方面的数学问题，既涉及基础理论，又涉及实际应用。
本文以《组合数学目录》为题，简要介绍组合数学的内容。
组合数学主要涉及以下内容：一、组合算法组合算法是数学中最重要的概念之一。
它包括排列组合、组合优化、计数法、差分组合和组合密码学等。
它们是用来解决一些具有复杂性的数学问题的一般性的工具。
二、统计概率统计概率是描述一系列实验结果的形式，通常是以概率的方式给出，即每个结果发生的可能性。
它的主要内容有：概率论、样本空间、事件、联合概率、独立性、贝叶斯定理、随机变量、期望值、方差和协方差等。
三、概率统计概率统计是一门研究统计数据的科学，它研究如何收集、整理、分析、综合和使用统计数据，用来预测某事物的行为结果。
其主要内容包括：抽样分布、数据描述、统计推断、过程能力分析、非参数检验、回归分析、时间序列分析、因子分析、聚类分析等。
四、可能性理论可能性理论是由计算机科学家香农提出的一种数学理论，它用于描述复杂系统中不同实体之间的相互联系。
它包括：可能性函数、可能性图、可能性规则、可能性函数的演算、可能性空间和可能性算法等。
五、计算机统计学计算机统计学是一门多学科的科学，它研究和提供一种全面的、系统的和科学的方法，来实现计算机中数据的可视化、分析、探索和推理，来改善计算机的决策能力。
它的主要内容有：可视化分析、统计模型、统计技术、数据挖掘和机器学习等。
总之，组合数学是一门多学科交叉的重要学科，其内容涵盖组合算法、统计概率、概率统计、可能性理论和计算机统计学等。
它是一个非常庞大的学科，以上只是其中的一些关键点，以便更好地了解组合数学。
组合数学具有很强的实际应用价值，对于科学研究和实际应用都有着重要的作用。
自然科学知识：计算机科学和数学的结合
自然科学知识：计算机科学和数学的结合计算机科学和数学的结合计算机科学和数学这两门看似各自独立的学科，实际上在现代科学领域却有着密不可分的联系。
它们之间的互动和合作推动着科技的不断进步和发展。
本文将从计算机科学和数学的结合角度，探讨两者之间的关系和意义。
首先，我们不得不承认计算机科学和数学本身在方法和思维上有着十分相似的地方。
数学是一门研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科，它的思维方式包括抽象、逻辑、推导和证明等。
而计算机科学则是一门研究计算机和计算机程序的学科，也是需要使用类似的逻辑思维方式进行分析和解决问题。
因此，在计算机科学中，许多算法和数据结构都是引用了数学中的思想，如排序算法、图论、信息论等等。
其次，数学提供了计算机科学各个方面所需要的理论基础。
计算机科学中使用到的大量算法和数据结构，大多都是有数学依据的。
例如，计算机图形学需要使用复杂的矩阵运算，这就需要对数学中的矩阵理论进行深入的研究和应用。
再例如，计算机网络中的数据传输、加密、编码等领域，离不开数学中的信息论、代数、数论等方面的支持。
除此之外，数学在计算机科学中的应用也在不断拓展，推动着科技领域的不断进步和发展。
例如，深度学习中的神经网络算法，就是依据数学中神经科学和统计学理论推导而来的。
它的出现和应用使得人工智能技术取得了长足的进步和成果，对环境影响和资源利用也有了更好的管理和掌控方式。
又如，在计算机图形学领域，数学中的三角函数理论为计算机的渲染提供了重要的数学支撑。
这些理论的应用，使得计算机可以在屏幕上呈现出更加真实、自然的现实场景，提高了计算机应用在影视、游戏等领域的艺术层次和实际效果。
总之，计算机科学和数学的结合，在现代科学领域中起着十分重要的作用。
两者之间的相互渗透和应用不断地推动着科技的不断发展和进步。
这种自然科学知识的交融，不仅促进了科学的繁荣和进步，更揭示了自然界和人类文明的许多奥秘和真理。
我们希望更多的人加入到这些领域的研究中来，让我们共同探索科学的奇妙之旅。
数学与计算机科学的结合
数学与计算机科学的结合数学与计算机科学是两个互为补充的学科领域，它们的结合产生了许多创新和突破。
计算机科学的快速发展使得数学在解决实际问题上扮演了重要角色，而数学的精确性和抽象思维也为计算机科学提供了理论基础和发展方向。
本文将探讨数学与计算机科学的结合，以及它们之间的相互影响和应用。
一、数学在计算机科学中的应用在计算机科学中，数学被广泛应用于算法设计、数据结构、密码学等领域。
算法是计算机科学的核心内容之一，而数学提供了对算法的描述和分析方法。
比如，图论和离散数学中的概念被广泛用于设计和优化算法，线性代数在图像处理和机器学习中扮演重要角色。
此外，数据结构也是计算机科学中的关键概念，它描述了数据元素之间的关系和组织方式。
数学中的集合论和图论为数据结构的设计和分析提供了理论依据。
通过数学方法，我们可以评估和比较不同数据结构的效率和性能。
密码学是计算机科学中的一个重要分支，它研究信息的保密性和安全性。
数学中的数论、代数学和概率论等概念为密码学提供了密钥生成、加密算法和解密方法。
通过数学的严谨性，我们可以设计更加安全和可靠的密码系统。
二、计算机科学在数学中的应用计算机科学的快速发展也为数学提供了新的工具和方法。
计算机模拟和数值计算使得数学问题的求解更加快速和准确。
比如，通过计算机模拟，我们可以模拟天体运动、气候变化等复杂系统的行为，并获得准确的结果。
此外，计算机科学的图像处理和计算几何为数学研究提供了新的视角和方法。
通过计算机图像处理，我们可以对数学中的曲线、图形进行可视化展示，进一步理解数学的抽象概念。
计算几何则通过计算机的计算能力，探索了更加复杂的几何问题。
三、数学与计算机科学的前沿研究领域在数学与计算机科学的结合领域，还存在许多前沿研究和应用。
其中一个重要领域是机器学习和人工智能。
机器学习利用数学中的统计学、优化方法和模式识别等理论，通过计算机处理和分析大量数据来实现自动学习和预测。
人工智能的发展正推动数学和计算机科学的融合更加紧密。
数学强则国强，“组合数学”告诉我们：“人工智能”时代真的来临
数学强则国强，“组合数学”告诉我们：“⼈⼯智能”时代真的来临来源：数学真美当我们翻开世界历史，会发现⼀个有意思的现象，世界强国的背后，都有着强⼤的数学实⼒作为⽀撑。
17-19世纪的英国、德国、法国等世界强国，它们同样是“数学强国”。
⽽今天，在美国成为世界霸主的背后，其实也正是以强⼤的数学实⼒作为⽀撑的。
正如拿破仑所说：“⼀个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国⼒的强⼤。
数学的发展和国家繁荣昌盛密切相关。
”曾⼏何时，“微积分”的创⽴直接导致了英国“⼯业⾰命”的成功，英国也随之成为世界第⼀强国，帝国主义的野⼼迅速膨胀，侵略的铁蹄打开了我们的国门，给积贫积弱的中国带来了百年屈辱史。
今天，“离散数学”的快速发展已经取代了昔⽇“微积分”的主流地位。
如果说“微积分”的发展直接导致了“近代⼯业⾰命”的成功，那么“离散数学”中的“组合数学”的发展就是推动“计算机⾰命”的原动⼒。
“组合数学”与“计算机科学”相结合，使得冷冰冰的机器似乎拥有了思维，⼀个崭新的“⼈⼯智能时代”呼之欲出。
然⽽，“组合数学”到底是怎么⼀回事呢？现代数学体系可以分为两⼤类：⼀类是研究“连续对象”的，⽐如“微积分”等，另⼀类则是研究“离散对象”的，⽐如“离散数学”。
在“离散数学”中，其核⼼内容就是“组合数学”。
“组合数学”⽆处不在，它的主要应⽤就是在“各种复杂关系”中快速地找出“最优⽅案”。
所以组合数学完全可以看成是“量化”了的“关系学”、“运筹学”，“管理学”。
“四⾊定理”、“中国邮差问题”、“河洛图”等问题都属于“组合数学”的范畴。
以造出第⼀颗原⼦弹著称于世的美国国家实验室，⼀直都⾮常重视“组合数学”的研究。
世界上的其它国家，⽐如英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意⼤利、西班⽛等国家都建⽴了各种形式的“组合数学”研究中⼼。
在很早以前，澳⼤利亚、新西兰、新加坡、韩国、马来西亚以及我国⼤陆、台湾、⾹港等地区就已组建了很强的组合数学研究机构。
组合数学-计算机科学与技术学院
063301 组合数学32学时/ 2学分英文译名：Combinatorics适用领域：计算机应用技术、计算机软件理论、计算机系统结构、信息安全开课单位：计算机科学与技术学院教学目的：组合数学是现代数学中发展最快的数学分支，它的发展与计算机的发展密不可分，高速计算机使得各领域中组合问题的求解成为可能。
同时，计算机科学本身的发展又带来了大量具有挑战性的组合问题。
通过本课程的学习，目的是使学生掌握组合分析的基本原理和方法，了解组合设计的基础知识，培养学生的组合思维方法和组合技巧的运用。
预备知识或先修课程要求：高等数学，初等数论教学方式及学时分配：课堂授课32学时教学主要内容以及对学生的要求：学习内容：围绕组合数学的基本问题，重点介绍组合计数问题的求解方法、简介组合中存在问题和组合优化问题的求解。
对学生的要求：学生学习本课程应具备的先修知识是高等数学(I)、(II)、初等数论。
内容摘要：组合数学是一门研究离散对象的科学。
主要研究满足一定条件的组态（组合模型）的存在性问题、计数问题、构造问题及组合优化问题。
本课程介绍的主要内容包括：加法规则、乘法规则、一一对应规则；线排列和圆排列、不可重组合与可重组合、二项式及多项式定理、排列和组合的生成算法；重点介绍组合计数问题的求解方法，包括递推关系及其求解；用母函数求解递推关系，母函数在排列组合中的应用；物件性质的组合，特定、全非、恰K性质型容斥原理；鸽巢原理，Ramsey原理；polya定理，Burnside引理，母函数型的Polya定理；简介存在问题和组合优化问题，包括拉丁方设计，均衡不完全的区组设计，Hadamard矩阵。
考核方式：闭卷笔试，卷面100分，占总成绩80%，平时成绩占总成绩20%课程主要教材：组合数学.卢开澄．清华大学出版社主要参考书目：[1] 程序设计中的组合数学．吴文虎主编．清华大学出版社，2005[2] 组合数学．Richard A. Brualdi著.冯舜玺等译．机械工业出版社，2005。
组合数学在计算机科学中的应用 案例解析
组合数学在计算机科学中的应用案例解析随着计算机科学技术的飞速发展，组合数学在计算机科学中的应用越来越广泛。
组合数学是数学中的一个分支，涉及到集合、排列、组合等概念。
在计算机科学中，组合数学的应用可以帮助解决众多实际问题，提高算法效率，优化系统设计，下面将通过一些案例来解析组合数学在计算机科学中的应用。
1. 图论中的旅行商问题旅行商问题是图论中一个经典的优化问题，即怎样遍历所有城市且路径最短。
在计算机科学中，解决旅行商问题需要用到组合数学中的排列组合知识。
通过计算不同城市之间的距离，可以构建一个图模型。
然后利用组合数学的知识，对所有可能路径进行排列组合，找出最短路径。
这种方法可以大大提高计算效率，缩短求解时间。
2. 编码理论中的纠错码编码理论是计算机科学中重要的分支，用于解决数据传输中的错误检测和纠正问题。
纠错码的设计需要用到组合数学中的排列组合和概率知识。
通过组合数学的方法，可以设计出能够在数据传输过程中检测和纠正错误的编码方案。
这不仅可以提高数据传输的可靠性，还可以提高系统的容错能力。
3. 计算机网络中的路由算法在计算机网络中，路由算法是实现网络数据包传输的重要技术。
传统的路由算法中，通常使用的是固定路径来传输数据包，这样会造成网络拥堵和效率低下。
而组合数学中的组合优化算法可以帮助解决这个问题。
通过组合数学的方法，可以找出最优的路径组合来实现数据包的传输，提高网络传输的效率和质量。
4. 图像处理中的数字水印技术数字水印技术是一种在图像或者音视频数据中嵌入特定信息的技术，用于保护知识产权和防止盗版。
在数字水印技术中，使用了组合数学中的置换和排列组合方法。
通过组合数学的知识，可以将水印信息嵌入到图像中的特定位置，使其不易被人察觉。
同时，还能够根据图像的特征和组合数学的方法，对图像进行鉴别和认证。
总结起来，组合数学在计算机科学中的应用极为广泛且重要。
通过组合数学的知识，可以提高算法效率，优化系统设计，解决实际问题。
组合数学在计算机中的应用
组合数学在计算机中的应用组合数学是数学中的一个分支，研究的是组合对象的性质以及它们之间的关系。
在计算机科学中，组合数学具有广泛的应用。
本文将介绍一些主要的应用领域，包括图论、密码学、网络分析和算法设计等。
首先，图论是组合数学中的一个重要分支，研究的是图的性质以及图的运算。
图论在计算机科学中有广泛的应用，比如路由算法、图像处理、计算机视觉等。
图论能够描述和解决一些复杂问题，例如最短路径问题、最小生成树问题、网络流问题等。
通过图论的技术，可以优化计算机网络的通信效率，提高计算机图像的处理速度，改善计算机视觉的识别精度。
其次，密码学是研究信息的保密性和完整性的学科，也是组合数学的一个重要应用领域。
密码学中的很多问题都可以通过组合数学的方法进行解决。
例如，基于组合数学的置换密码和替代密码可以保护通信数据的机密性。
另外，基于组合数学的哈希函数可以保证数据的完整性。
组合数学的方法可以帮助设计更安全的密码算法，保护计算机系统的安全性。
另一个重要的应用领域是网络分析。
网络分析研究的是复杂网络的结构和特性，可以用于分析和预测社交网络、物流网络、电力网络等。
组合数学的方法可以揭示网络中的隐藏模式和规律，帮助我们更好地理解和优化网络的运行。
通过网络分析，可以发现网络中的关键节点和社团结构，预测网络中的信息传播和疾病传播等重要问题。
此外，组合数学还在算法设计中起着重要的作用。
许多经典算法的设计和分析都离不开组合数学的方法。
例如，动态规划算法、贪心算法、分支界限算法等都可以使用组合数学的技术进行设计和优化。
组合数学的方法可以帮助我们分析算法的时间复杂度和空间复杂度，提高算法的效率和性能。
算法设计是计算机科学中的一个核心问题，组合数学提供了许多重要的工具和技术。
综上所述，组合数学在计算机科学中具有广泛的应用。
通过组合数学的方法，我们可以解决许多复杂的计算机问题，优化计算机系统的性能，保护计算机系统的安全性。
未来随着计算机科学的发展，组合数学在计算机中的应用将会进一步扩展和深化。
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Dijkstra算法： Dijkstra算法： 算法
OSPF协议是Dijkstra算法在网络路由中的一个具体实现 OSPF协议是Dijkstra算法在网络路由中的一个具体实现
中国邮递员问题（已从算法上解决） 中国邮递员问题（已从算法上解决）
给定一个连通图, 在每边e 上赋予一个非负的( ei ) , 要求一个圈 , 过 每边至少一次, 每边至少一次, 并使圈的总权最小
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若干示例——递归： Josephus问题 递归： 若干示例 递归 问题
在这里我们考虑它的变形：我们从围成一个圆的编号 在这里我们考虑它的变形： 个人开始，然后依次排除剩下的人中的第 为1到n的n个人开始，然后依次排除剩下的人中的第 直到仅剩下一个幸存者。 10的 二个直到仅剩下一个幸存者 例如，下面是n 二个直到仅剩下一个幸存者。例如，下面是n = 10的 开始状态： 开始状态：
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若干示例——递归：汉诺塔 递归： 若干示例 递归
现在又出现了一个问题：怎样做才最好？也就是说，为了 现在又出现了一个问题：怎样做才最好？也就是说， 完成这个任务，多少次移动是必要而且充分的？ 完成这个任务，多少次移动是必要而且充分的？ 为了回答这个问题，我们引入适当的表示法： 为了回答这个问题，我们引入适当的表示法： Lucas规则下将 设Tn 为在 Lucas规则下将 n 个盘子从一根杆转移到另一 根杆的最小移动次数。 根杆的最小移动次数。 很明显， =0， =1， 3。 很明显， T0=0，T1=1，T2 = 3。
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若干示例——Stern-Brocot数系 数系 若干示例
我们可以把Stern-Brocot树视为代表有理数的一 我们可以把Stern-Brocot树视为代表有理数的一 个数系,因为每个正的，简约分数恰好出现一次， 个数系,因为每个正的，简约分数恰好出现一次，当 我们从树的根转到一个特殊分数是，让我们用字母L 我们从树的根转到一个特殊分数是，让我们用字母L 表示下到左分支或右分支，于是L 和R表示下到左分支或右分支，于是L和R的一个串 唯一确定树中的一个位置，例如，LRRL意味着我 唯一确定树中的一个位置，例如，LRRL意味着我 们从1/1下到左边的 下到左边的1/2，然后下到右边的2/3， 们从1/1下到左边的1/2，然后下到右边的2/3， 然后下到右边的3/4，然后下到左边的5/7， 然后下到右边的3/4，然后下到左边的5/7，我们 能把LRRL考虑为 考虑为5/7的一种表示方法 的一种表示方法， 能把LRRL考虑为5/7的一种表示方法，每一个正 分数以此方式表示为唯一的一个Ｌ 的串. 分数以此方式表示为唯一的一个Ｌ和R的串.
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若干示例——递归： Josephus问题 递归： 若干示例 递归 问题
列出递归方程：
假设n的二进制展开为
则有
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若干示例——递归：Catalan数 递归： 若干示例 递归 数
假设我们有 次相乘计算它的乘积. 个变量 ，通过 次相乘计算它的乘积. 以致完全指定相乘的次序, 把括号插入乘积 以致完全指定相乘的次序,问有多少 种方式？ 种方式？ 一个栈的容量为n 依次进栈， 一个栈的容量为n，现有元素 依次进栈，问总共有多少种不 同的出栈序列？ 同的出栈序列？ 一个凸n边形有多少种不同的三角剖分方式？ 一个凸n边形有多少种不同的三角剖分方式？ n个叶子节点的完全二叉树的个数? 个叶子节点的完全二叉树的个数?
用顶点表示通信设备、用边表示通信链路。 假定该图是完全图, 假定该图是完全图,即任意两点间都有一条 边相连。在某些应用场合, 边相连。在某些应用场合,顶点两两配合对 作为一个整体。保证在某些链路出故障不 能使用时, 能使用时,任两对配对顶点间都至少有一条 链路畅通无阻, 链路畅通无阻,如右图所示 (x1,x2)， (y1,y2) ，(z1,z2)各组 对 共 个 间设备 链 种颜 标记 †§标记蓝 †§标记蓝 间设备 问题， 问题，则 (x1,x2)顶 间没
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若干示例——组网 组网 若干示例
RamseyŠq•±‰å RamseyŠq•±‰å 应 组网
图x1x2z1z4‹DŽMˆ¼‰n 个单 C4 ‰0证 ‰0证 r(C4,C4)=6。因此, 如果只有 )=6。因此, 两个中间设施,那么存在一个5 两个中间设施,那么存在一个5 个顶点 的网络使得可以安排一种不出现单色C4 的网络使得可以安排一种不出现单色C4 的连接方式。 而r(C4,C4,C4)=11， )=11， 存在一个10 存在一个10 个 顶点的网络,它使用3 顶点的网络,它使用3 个中间设施且没有 单色的C 单色的C4
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若干示例——递归：汉诺塔 递归： 若干示例 递归
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若干示例——递归：汉诺塔 递归： 若干示例 递归
汉诺
void hanoi(int n,char A,char B,char C) hanoi( { if(n==1) { printf("Move printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,A,C); %c\n",n,A,C); } else { hanoi(nhanoi(n-1,A,C,B); printf("Move printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,A,C); %c\n",n,A,C); hanoi(nhanoi(n-1,B,A,C); } }
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若干示例——递归： Josephus问题 递归： 若干示例 递归 问题
处死的过程如下：
1
10
2 3 4
9 8 7 6 5
9
5
排除的次序是2，4，6，8，10，3，7，1，9，所以5是 幸存者。
问题是：如何确定幸存者的号码J(n)
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注意：上述公式没有使用‘＝’，而使用了‘≤’,因为
上述构造方法仅仅能证明 2Tn－1 ＋1 次移动是充分的，并 没有说明 2 Tn－1＋1次移动是必要的。
有更好的方法吗？
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若干示例——递归：汉诺塔 递归： 若干示例 递归
实际上没有更好的方法。
在某个时刻我们一定要移动最大的盘，当移动最大盘时， 在某个时刻我们一定要移动最大的盘，当移动最大盘时， n－1 个稍小的盘一定在一根杆上，而且至少用了Tn－1次 个稍小的盘一定在一根杆上，而且至少用了T 移动来把这些盘子放到那根杆上（这是根据T 的定义）。 移动来把这些盘子放到那根杆上（这是根据Tn－1的定义）。 移动最大盘的次数肯定不会少于1 移动最大盘的次数肯定不会少于1次。 在最后一次移动最大盘之后，还必须把n 个稍小盘( 在最后一次移动最大盘之后，还必须把n－1个稍小盘(一 定还在一根杆上)转移回最大盘上， 定还在一根杆上)转移回最大盘上，这同样至少需要 Tn－1 次移动。 因此有： 次移动。 因此有：
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组 数学 与计 机科学 机科学
许瑞 xrmzp@
Table of Contents
1
组 数学概
2
计 机科学 机科学
3
干
4
干问题 干问题
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组 数学概
组 数学研究 数学研究 问题 对
Šê‰å… 问题 计数 构 ŒŸ优 ŒŸ优 问题 问题 问题
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若干示例——区组设计 区组设计 若干示例
问题用15种饲料对动物做实验 问题用15种饲料对动物做实验，分5个阶段进行，每个阶段以3中饲 种饲料对动物做实验， 个阶段进行，每个阶段以3 料的混合物喂养7只同类动物。实验要求： 料的混合物喂养7只同类动物。实验要求：
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10
若干示例——递归：汉诺塔 递归： 若干示例 递归
Tn-1
1
Tn-1
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11
若干示例——递归：汉诺塔 递归： 若干示例 递归
根据前面的分析和图示，我们看到至多用2Tn-1+1 根据前面的分析和图示，我们看到至多用2 次移动就可以完成转移n个盘子的任务（n>0） 次移动就可以完成转移n个盘子的任务（n>0）:
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若干示例——递归：QuickSort分析 递归： 若干示例 递归 分析
QuickSort的平均比较次数满足递归： QuickSort的平均比较次数满足递归： 的平均比较次数满足递归
利用简单的技巧可以解得
若定义 则有
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若干示例——图论 图论 若干示例
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若干示例——递归：Fibonacci数 递归： 若干示例 递归 数
定义： 定义：
小的情形
意义：在一个网络中，消息接收者每过一个时间周期就将消息传递给 意义：在一个网络中， 一个新的节点，则在第n个周期知道消息的节点数即为Fibonacci数 一个新的节点，则在第n个周期知道消息的节点数即为Fibonacci数 Fn 推广:在一个网络中,消息所有者每过l个时间周期就将消息传递给m 推广:在一个网络中,消息所有者每过l个时间周期就将消息传递给m个 新的节点,则在第n个周期知道消息的节点数为多少？ 新的节点,则在第n个周期知道消息的节点数为多少？ 若考虑各个节点的差异性呢？ 若考虑各个节点的差异性呢？mi，ni