高中数学同步辅导讲义1.1.1集合
集合基本概念及题型分类学生用讲义
一、基本知识
1.1.1 集合的相关概念
(1) 集合、元素的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就是这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集) 。构成集合的每个对象叫做集合的元素。
(2) 元素用小写字母a, b, c, 表示；集合用大写字母A,B,C, 表示。
(3) 不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集是一个特殊又很重要的集合，很多问题的考虑，要注意空集的情况，这是容易忽略的问题，在学习中还要记住常用集合的记法，在今后的学习中使用频率较高，如实数集和整数集的记号，正整数集和自然数集的记号。
(4) 集合的分类：
有限集
①按照集合中元素个数的多少，可分为集合；
无限集
数集
②按照集合中元素形式的不同，可分为集合；
点集
可列集
③集合还可以分为集合。
不可列集
(5) 元素的性质：
①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可。也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在集合中就确定了。例如，“山东的地级市”构成一个集合，济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中，北京、南京??不在这个集合中；“比较大的数”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的。
②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个，也就是说集合中的元素是不重
复出现的。例如：good 中的字母构成的集合为{g,o,d} ，而不是{g,o,o,d} 。集合的三个特性中，互异性往往
是我们考虑不周的地方，如含字母的集合中，求出字母的值，要代回原来的集合中检验。
③无序集合中的元素是无次序的，也就是说只要两个集合中的元素相同，这两个集合就相
{a,b,c} {b,a,c} {c,b,a} 。
(6) 常见集合的表示
1.1.2 集合与元素的关系元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种，如果a是集合A中的元素，就说a
属于A，记作a A，a 不是集合A中的元素，就说a 不属于A，记作a A 。
1.1.3 集合的表示法
a) 例举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，
其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ } ”内的表示集合的方法
2 x y 2 例如：方程x2 x 6 0的解的集合，可表示为{ 2,3} ，也可以表示为{3, 2} ；又如方程组
xy0 的解的集合表示为{( 1,1)} 。
果元素个数较多或无限个，且当构成集合的元素具有明显的规律时，也可采用例举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号。
思考：（1）a 与{a} 的不同；（2）与{ } 及{0} 的不同。
b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x A|p（x）}，p（ x）称为集合的特征性质，x称为集合的代表元素，A为x的范围，有时也写为{x|p（x）,x A} 。
例如：大于3的所有整数表示为：{x Z |x 3}；方程x2 5x 6的解集可表示为{x|x2 5x 6} 。注意：（1）弄
清集合是点集还是数集，点集用一个有序实数对来表示；（2）竖线后要准确说明集合中元素的共同特性；（3）若描述部分，出现元素记号以外的其它字母时，要对新字母说明其含义，并指出其取值范围。
说明：（1）错误表示{实数集} ；（2）可以省去竖线及左边部分，如{直角三角形} 。
c）图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图（Veen 图）。例如：
集合{1,2,3,4,5} 用图示法表示为：
1.2.1 集合间的基本关系：
① 子集：若对任意的x A有x B ，则称集合A为集合B的子集, 记作A B（或B A ），读作“ A含于B”
（或“ B包含A”）.
②集合相等的概念：如果集合A是集合B的子集（A B ），且集合B是集合A 的子集（B A ），此时，集合A与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B相等，记作A B
1.2.2 真子集：
如果集合A B ，但存在元素x B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，即如果A B且A B，那么集合A是集合B的真子集，记作A B（或 B A）.例如1,2,3 N、a,b a,b,c 等等. 子集与真子集的区别在于“ A B”允许A B或A B，而A B是不允许“ A B ”的，所以如果A B成立，则一定有A B 成立；但如果有A B 成立，A B 不一定成立.
备注：①注意强调：任何集合是它本身的子集；②强调元素与集合间的关系，和集合与集合间关系的区别，以及符号表示上的不同。
1.3.1 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
记作：A B 读作：“ A并B ”即：A B x A,或x B 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A
与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一
个元素）。
1.3.2 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。
记作：A B 读作：“ A交B ”即：A B x A,且x B
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
用维恩图表示为：
1.3.3 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记
作U 。
A 相对
1.3.4 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合于
全集U 的补集, 简称为集合A 的补集。
1.3.5 集合运算注意点：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关
键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn
图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
1.3.6 集合基本运算的一些结论：
A B A，A B B，A A A，A , A B B A，(C U A) A
A A B，
B A B，A A A，A A, A B B A，(
C U A) A
若A B A，则一定有A B ，反之也成立
若A B B，则A B ，反之也成立
若x (A B) ，则x A 且x B
若x (A B)，则x A或x B
二、题型分类
考点一：集合的基本概念
例1、若a,b R 集合{1,a b,a} {0,b,b} ，求b a的值.
a
例2、已知集合A {a,a d,a 2d}, B { a, aq, aq2} ，其中a 0，若A B，求q的值
练 1. 设集合U {2,3, a2 2a 3}，A {| 2a 1|,2} ，C U A {5} ，求实数a的值. 考点二：集合与元素、集合与集合之间的
关系
题型一：关系判断
例1、已知下列集合：（1）A1 {n|n 2k 1,k N,k 5}；A2 {x|x 2k,k N,k 3} ；（3）A3 {x|x 4k 1或x 4k 1,k N,k 3} ；
问：1）用列举法表示上述各集合；
2）如果k Z,那么A1 ，A2 ，A3所表示的集合分别是什么？并说明A3与A1的关系。
练1、集合A {x|x 3k 2,k Z}, B {y|y 3u 1,u Z}, S {y|y 6m 1,m Z}之间的关系是A、S B A B 、S=B A C 、S B=A
D 、S B=A
k 1 k 1
练2、设集合M {x|x ,k Z}, N {x|x ,k Z}，则（）
2 4 4 2
A．M N B．M N C．M N D．M N
例2、已知集合M {x|x a2 3a 2,a R}, N {x|x b2 b,b R}，则M , N的关系是
A、M N B 、M N C 、M=N D 、不确定
题型二：已知关系求参数范围
例1、已知：集合A {a 2,2a2 5a,12}, 3 A，求a.
练1、已知A {a 2,12},且 3 A，则a的取值范围是_________________
练2、（1）已知A {a 2,（a 1）2,a2 3a 3} 且1 A，求实数a 的值；
（2）已知M {2,a,b}, N {2a,2,b2}且M N，求a,b的值.
练3、设全集U {1,2,k2 k 16} ，集合A {1,k 2}，A U，C U A {4}，则k等于 ___________________ ．
练4、已知A {2,4,a3 2a2 a 7}, B { 4,a 3,a2 2a 2,a3 a2 3a 7},若A B {2,5} ,求实数a 的值, 并求A B.
练5、设集合A {x R|x2 ax a2 19 0}, B {x|x2 5x 6 0}，C {x R|x2 2x 8 0}，且A B ,A C ，求a的值．
练6、设集合M {x|x 3m 1,m Z}, N {y|y 3n 2,n Z} ，若x0 M,y0 N ，则x0y0与集合N 的关系是；
关系是；
2
例2、若集合A {x|x2 x 6 0}, B {x|mx 1}, 且B A，则m的取值的集合是_______________________ 。
练1、已知集合P {x|x2 5x 4 0}, Q {x|x2 (b 2)x 2b 0}且有P Q ，求实数b的取值范围。
练2、设集合M {x| 1 x 7}, S {x|k 1 x 2k 1}，若M S ，求k的取值范围
2 2 2
练3、已知集合A {x|log2(x2 2x 3) log 2 5} ，B {x|x2 ax 2a2 0} , 若A B ，求实数a的
取值范围。
练4、设全集U R,集合M {y|y 2x,x 0}, P {x|x2 1} ，则下列关系中正确的是( )
A. M P
B. P M
C. M P
D. C U M P
练5、设A {x| 2 x a}, B {y|y 2x 3,x A}，C {z|z x2,x A}若C B，求实数a的取值范围。
练6、已知A {x|x2 2x a 0}, B {x|x2 3x 2 0},且A B，求实数a的取值范围。
练7、已知集合A {x|x2 4mx 2m 6 0}, B {x|x 0},若A B 求实数m的取值范围
练8、设A {x|x2 px q 0} ,M {1,3,5,7,9}, N {1,4,7,10} ，若A M ,A N A，求p,q的值。
练9、集合A {1,3, a}, B {1,a2} ，问是否存在这样的实数a，使得B A,且A B {1,a}？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．
练10、已知全集U R,A {x||x a| 2}, B {x||x 1| 3},且A B ，则a的取值范围是
A、[0 ，2] B 、（-2 ，2） C 、（0，2] D 、（0，2）
例3、设集合A= x|x2 3x 2 0 ,B x|x22（a 1）x （a25） 0 .
1)若A B {2} ，求实数a 的值；
2)若A B A，求实数a 的取值范围；
3)若U R,A (C U B) A，求实数a的取值范围
题型三：集合子集个数
例1、已知{a,b} A {a,b,c,d,e}，则满足条件的集合A的个数是_________________ 。
练1、集合A {(x,y)|2x y 5,x N,y N},则A的非空真子集的个数为( )
Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ７练2、设集合A {x|x Z且10 x 1}, B {x|x Z且|x| 5}，则A∪ B中的元素个数是
A、11
B、10 C 、16 D 、15
练3、集合M {1,2,3,4,5} 的子集的个数为
A、15
B、16 C 、31 D 、32
例2、对于两个非空数集A、B ，定义点集如下：A B {(x,y)|x A，y B},若A {1,3}, B {2,4} ，则点
集A B 的非空真子集的个数是____ 个
22
练 1 、已知集合M {(x,y)|y x}，集合N {(x,y)|x2 y2 2y 0} ，那么M N 的子集的个数为
练2、已知集合M {( x,y)|y 1 k(x 1)} ，集合N {( x,y)|x2 y2 2y 0}，那么M N的子集的个数为。
考点三：集合的基本运算
题型一：集合元素属性
例1、方程x2 2x 1 0 的解集中，有个元素
练1、设由2，4，6构成的集合为A，若实数a满足a A时，6 a A，则a ___________ 练2、集合A {x| y x2 1}, B {y|y x2 1}, C {( x, y)| y x2 1}, D { y x2 1} 是否表示同一集合？
例2、设集合M {( x,y)|y 3x 4},N {(x,y)|y 3x 2}，则M N=( )
A. ( 1,1)
B. (x 1,y 1)
C. { 1,1}
D. {( 1,1)}
练2、设集合M {x|y 2x 1,x Z}, N {y|y 2x 1,x Z} ，则与的关系是( )
A. N M
B. M N
C. M N
D. M N 题型二：数轴在集合运算中的应用
例1、已知A {x|a x a 3} , B {x|x 1 或x 5} .
(1) 若AI B ,求a的取值范围;(2) 若AUB B ,求a的取值范围.练1、已知A { 2 x 5}, B {x|m 1 x 2m 1}, B A,求m.
例2、①已知集合A {y|y 2x23x 1}, B {y|y x22x 3,x R} ,则A B = _________________
②已知集合A {x|y 2x23x 1}, B {y|y x22x 3,x R} ,则A B = ________________________
练2、集合M {x||x 3| 4}, N {y|y x 2 2 x},则M N = __________________________ 题型三：韦恩图在集合运算中的应用
例1、在100 个学生中，有乒乓球爱好者60 人，排球爱好者65 人，则两者都爱好的人数最少是____ 人。
例2、(1)设全集U {不超过5的自然数}，A {x|x2 5x 6 0}, B {x|x2 7x 12 0}，则
A B = ________ ，A B = ___________ ，(C U A) B =____________ ，(C U A) (C U B) = _____________ ；
1
( 2 )设全集U R ，已知M {x| f(x) }, N {x|g(x) ln(1 x)} ，则M N = ___________________________________
1x
(C U M ) N = _____________ 。
练1、设全集U {1,2,3,4,5,6,7,8} ，集合S {1,3,5}, T {3,6} ，则C U(S T)=( )
A．B．{2,4,7,8} C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8}
练2、已知全集U R,且A {x||x 1| 2}, B {x|x2 6x 8 0}，则(C U A) B=( )
A. [ 1,4]
B. (2,3)
C. (2,3]
D. ( 1,4)
练3、设全集U {x|1 x 8,x Z}, (C U A) (C U B) (4,8),A (C U B) (3,5), A B {1,2} ，则
A B = ____________ ．
题型四：以集合为载体的创新题
1（2011）设集合A 1,2,3,4,5,6 , B 4,5,6,7 ,则满足S A且SI B 的集合S为（A）57 （B）56 （C）49（D）8
2（2011安徽文）集合U , , , , , ，S , , , T , , ,则S I（C U T）等于
（A）, , , （B）, （C）（D）, , , ,
2
3（2011北京理）已知集合P {x|x2 1}，M {a}，若PUM P，则a的取值范围是
A. （ , 1]
B. [1, ）
C. [ 1,1]
D. （ , 1] U [1, ）
4（2011北京文）已知全集U=R，集合P x x2 1 ，那么C U P
A. , 1
B. 1,
C. 1,1
D. , 1 U 1, 5（2011福建文）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝
A. {0 ，1}
B. { －1，0，1}
C. {0 ，1，2}
D. { －1，0，1，2}
6（2011福建理）已知U y y log2x,x 1 ，P y y 1,x 2 ，则C U P
1 1 1
A. ,
B. 0,
C. 0,
D. ,0 ,
A.2,
B.0,2
C. 0,
D. ,0 2,
x2
7（2011江西理）若集合A {x| 1 2x 1 3}，B {x| 0}，则A B
x
A.{x| 1 x 0}
B. { x|0 x 1}
C. {x|0 x 2}
D. {x|0 x 1}
8（2011全国Ⅰ文）已知集合A x x 2,x R,B x| x 4,x Z |，则AI B （A）（0，2）（B）[0 ，2] （C）|0，2|（D）|0 ，1，2|
9（2011 天津理）设集合A x x a 1,x R ，B x x b 2,x R ．若A B ，则实数a,b必满足（）．
Ａ．a b 3 Ｂ．a b 3 Ｃ．a b 3 Ｄ．a b 3
10（2010 浙江理数）（1）设P={x︱x<4},Q={x︱x 2<4}，则
（A ） p Q （B ）Q P （C ） p C R Q （D ） Q C R P
11（2010辽宁理数） 1.已知 A ， B 均为集合 U={1,3,5,7,9} 的子集，且 A ∩B={3}, eu B ∩ A={9}, 则 A=
（ A ）{1,3} （B ）{3,7,9} （C ）{3,5,9} （D ）{3,9}
12（2010江西理数） 2.若集合 A= x| x 1，x R ，B= y|y x 2，x R ，则A B =（ ）
A. x| 1 x 1
B. x|x 0
C. x|0 x 1
D.
13（2010 天津文数） 设集合 A x||x-a|<1,x R ,B x|1 x 5,x R .若A B ，则实数 a 的取值范 围是
（A ） a|0 a 6 （B ） a|a 2,或a 4 （C ） a|a 0,或a 6 （D ） a|2 a 4
2
14（ 2010 江苏卷） 1、设集合 A={-1,1,3} ， B={a+2,a 2+4},A ∩ B={3} ，则实数 a = ________ .
15（2009 年广东卷文 ）已知全集 U R ，则正确表示集合 M { 1,0,1}和 N x|x 2 x 0 关系的韦恩
（Venn ） 18（2009重庆卷文）若 U {n n 是小于 9的正整数 } ，A {n U n 是 奇数 } ， B {n U n
是 3的倍数 } ，则 e U （AU B ） ．
19（2008年江西卷 2）定义集合运算 : A B z z xy,x A,y B .设 A 1,2 ,
B 0,2 , 则集合 A B 的所有元素之和为 （ ）
A ．0
B ． 2
C ．3
D ．6
20（2005上海）已知集合 M x||x 1| 2,x R ，P x| 5 1,x Z ，则 M P 等于（ ） x1
A ． x|0 x 3,x Z
B ． x|0 x 3,x Z
C ． x| 1 x 0,x Z
D ． x| 1 x 0,x Z
设集合 S ＝ { x ｜ x 5 }， T ＝ x <－ 5 } B. {x ｜ < x < 3} D. {x ｜ x ｜（x 7）（x 3） 0}.则 S T ＝
（ ） 17（2009 辽宁卷文）已知集合 M ＝﹛x| －3
A. ﹛ x|x <－ 5 或 x >－ 3﹜
B. x| － 5 C.﹛ x| －3< x <5﹜ D. x|x <－ 3 或 x > 5﹜ （ ） 16（ 2009 四川卷 文） 3< x <5 } － 7< x < 5 } A. { x ｜－ 7< C. { x ｜ － 5 12