解三角形中角平分线之破题策略
专题06 三角形中的双角平分线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题06三角形中的双角平分线模型【模型1】双角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BO，CO 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理，可得A O ∠+︒=∠2190。
【模型2】一内角一外角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BP，CP 分别是ABC ∠，ACD ∠的平分线，∴ABC PBC ∠=∠21，ACD PCA ∠=∠21，ACD ACB PCB ∠+∠=∠21，ABC A ACD ∠+∠=∠∴)(21ABC A ACB PCB ∠+∠+∠=∠；∴ABC A ACB PCB ∠+∠+∠=∠2121)(180PCB PBC P ∠+∠-︒=∠ )212121(180ABC A ACB ABC P ∠+∠+∠+∠-︒=∠∴；)21(180A ACB ABC P ∠+∠+∠-︒=∠∴；)21180(180A A P ∠+∠-︒-︒=∠∴；A P ∠=∠∴21【模型3】双外角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BP，CP 分别是CBE ∠，BCF ∠的平分线，根据外角定理，CBE PBC ∠=∠21，BCF PCB ∠=∠21，又ACB A CBE ∠+∠=∠，ABC A BCF ∠+∠=∠，∴)(180PCB PBC P ∠+∠-︒=∠；∴)(21180)2121(180BCF CBE BCF CBE P ∠+∠-︒=∠+∠-︒=∠；∴)(21180ABC A ACB A P ∠+∠+∠+∠-︒=∠；∴)2(21180ABC ACB A P ∠+∠+∠-︒=∠；∴)1802(21180A A P ∠-︒+∠-︒=∠；∴︒-∠-︒=∠9021180A P ；∴A P ∠-︒=∠2190；【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE）=12×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【例2】如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（）A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论．【解析】解：连接AO并延长，交BC于点D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选：D．【例3】（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．【答案】（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【解析】解：（1）∵40A ∠=︒，∴18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=，∴()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒故答案为110°（2）12BPC A ∠=∠，证明：∵ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∴ACE ABC A∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∴1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∴1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠，∴()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠，∴12BPC A ∠=∠，故答案为：12BPC A ∠=∠；（3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠，故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠．一、单选题1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠A =m ，则∠BOC =（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC +∠ACB ，根据角的和差，可得∠DBC +∠BCE ，根据角平分线的定义，可得∠OBC +∠OCB ，根据三角形的内角和，可得答案．【解析】解：如图：，由三角形内角和定理，得∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-m ，由角的和差，得∠DBC +∠BCE =360°-（∠ABC +∠ACB ）=180°+m ，由∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，得∠OBC +∠OCB =12（∠DBC +∠BCE ）=90°+12m ，由三角形的内角和，得∠O =180°-（∠OBC +∠OCB ）=90°-12m ．故选：B ．2．如图：PC 、PB 是ACB ∠、ABC ∠的角平分线，40A ∠=︒，BPC ∠=（）A ．∠BPC =70ºB ．∠BPC =140ºC ．∠BPC =110ºD ．∠BPC =40º【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，再根据角平分线的性质可得12PCB ACB ∠=∠，12PBC ABC ∠=∠，进而可求PBC PCB ∠+∠的度数，再次在CBP ∆中利用三角形内角和即可求解．【解析】解：40A ∠=︒ ，18040140ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，又BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，12PCB ACB ∴∠=∠，12PBC ABC ∠=∠，11()1407022PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，180()110BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故选：C ．3．如图，△ABC 中，∠E =18°，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，则∠A 等于（）A ．36°B ．30°C ．20°D ．18°【答案】A 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠ECD =∠E +∠EBC ；由角平分线的性质，得∠ECD =12（∠A +∠ABC ），∠EBC =12∠ABC ，利用等量代换，即可求得∠A 与∠E 的关系，即可得到结论．【解析】解：∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∴∠ECD =12（∠A +∠ABC ）．又∵∠ECD =∠E +∠EBC ，∴∠E +∠EBC =12（∠A +∠ABC ）．∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12∠ABC ，∴12∠ABC +∠E =12（∠A +∠ABC ），∴∠E =12∠A =18°，∴∠A =36°．故选A ．4．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF 和CEF △都是等腰三角形②DE BD CE =+；③BF CF >；④若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．【解析】解：①∵BF 是∠ABC 的角平分线，CF 是∠ACB 的角平分线，∴∠ABF=∠CBF ，∠ACF=∠BCF ，∵DE ∥BC ，∴∠CBF=∠BFD ，∠BCF=∠EFC （两直线平行，内错角相等），∴∠ABF=∠BFD ，∠ACF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，∴△BDF 和△CEF 都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；②∵DE=DF+FE ，∴DB=DF ，EF=EC ，∴DE=DB+CE ，∴②选项正确，符合题意；③根据题意不能得出BF ＞CF ，∴④选项不正确，不符合题意；④∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∵∠ABF=∠CBF ，∠ACF=∠BCF ，∴∠CBF+∠BCF=12×100°=50°，∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∴④选项正确，符合题意；故①②④正确．故选C5．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒【答案】A【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A ＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC 是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋1 2∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【解析】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD ＝∠A ＋∠AEC ＝48°＋∠AEC ．∵∠AEC 是△BDE 的外角，∴∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∴∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∴∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .二、填空题6．如图，在ABC ∆中，A θ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；⋯；2019A BC ∠和2019A CD ∠的平分线交于点2020A ，则2020A ∠=__．（用θ表示）【答案】20202θ【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，由于∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推可知∠A 2020即可求得．【解析】∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ，∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ，∴∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ），∵∠A+∠ABC=∠ACD ，∴∠A=∠ACD-∠ABC ，∴∠A 1=12∠A ，以此类推∠A 2=12∠A 1=12•12∠A=212∠A,∠A 3=12∠A 2=21122⨯∠A=312∠A ，……，所以∠A n =12n A ∠，202020202020122A A θ∴∠=∠=．故答案为：20202θ．7．如图，在△ABC 中，A 70∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么BDC ∠＝_________度．【答案】125【分析】先利用三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，进而可求DBC DCB ∠+∠的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．【解析】70A ∠=︒ ，180110ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒．∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，1()552DBC DCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()125BDC DBC DCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：125．8．如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋12∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．【解析】∵CE 为外角∠ACD 的平分线，BE 平分∠ABC ，∴∠DCE ＝12∠ACD ，∠DBE ＝12∠ABC ，又∵∠DCE 是△BCE 的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE ＝12（∠ACD−∠ABC ）＝12∠1，故①正确；∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC ＝12ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠BOC ＝180°−（∠OBC ＋∠OCB ）＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故②、③错误；∵OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ，∴∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．9．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．【答案】110︒．【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【解析】解：∵OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=111()222ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠∵∠A=40°，∴∠OBC+∠OCB=1(18040)2︒︒-=70°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-70°=110°．故答案是110．10．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．【答案】5+【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【解析】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴DEF C DE EF AF AE DE=++=+△∵60BAC ∠=︒，AD 是角平分线∴30DAE ∠=︒∵10AD =∴5DE =，AE =∴5DEF C =+△11．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．【答案】15°【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=12（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=12∠E．【解析】解：如图：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=12×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=12（∠NCB +∠NCB ）=150°，∴∠E =180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF 、CF 分别平分∠EBC 、∠ECQ ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F ，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E ，即∠2=∠5+∠F ，2∠2=2∠5+∠E ，∴2∠F =∠E ，∴∠F =12∠E =12×30°=15°．故答案为：15°．三、解答题12．（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902BDC A -︒∠=∠．（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12D A ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=-∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12（∠A +2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A ①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A．13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为；②若∠A=76°，则∠BOC的度数为；③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？说明理由【答案】①135°；②128°；③∠BOC=90°+12∠A，理由见解析【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线的定义进行求解；②利用三角形的内角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行求解；③利用三角形的内角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度数,再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行求解．【解析】解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC=20°，∠OCB=12∠ACB=25°，又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=135°，故答案为：135°；②∵在△ABC中，∠A=76°，∴∠ABC+∠ACB=104°，∴由①知，∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=128°，故答案为：128°③∠BOC=90°+12∠A，理由如下：∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A．14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC +∠ACB ＝130°，求∠BPC 的度数．（2）当∠A 为多少度时，∠BPC ＝3∠A ？【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．【解析】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC +∠ACB ＝130°，1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠，180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠ ，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠，180()BPC PBC PCB Ð=°-Ð+Ð1180(90)2A =︒-︒-∠1902A =+∠︒ ∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠，36A ∴∠=︒．15．数学思想运用：(1)如图①所示，△ABC 的外角平分线交于G ，若∠A =80°，则∠BGC =______°，请你猜测∠BGC 和∠A 的数量关系：_______________．(2)如图②所示，若△ABC 的内角平分线交于点I ，若∠A =50°，则∠BIC =______°，请你猜测∠BIC 和∠A 的数量关系：__________________．(3)已知，如图③，△ABC 中，ACE ∠的平分线与的平分线交于点，请你猜测∠D和∠A 的数量关系：____________________．若，求的度数（写出求解过程）．【答案】(1)501902BGC A ∠=︒-∠(2)1151902BIC A ∠=︒+∠(3)12D ACE ∠=∠，35°【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，可知180100ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，继而求出260CBE BCF ∠+∠=︒由角平分线的定义得出112,322CBE BCF ∠=∠∠=∠，再由三角形内角和定理即可求解；（2）根据三角形内角和等于180°，可得180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，根据角平分线的意义可得116,822ABC ACB ∠=∠∠=∠，再由三角形内角和定理即可求解；（3）先由角平分线的定义可得1,122DBC ABC DCE ACE ∠=∠∠=∠，再根据三角形外角的性质得,ACE ABC A DCE DBC D ∠=∠+∠∠=∠+∠，利用角的和差即可求解；将70A ︒∠=代入数量关系即可求解．【解析】（1）180,80A ABC ACB A ∠+∠+∠=︒∠=︒180100ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒180,180ABC CBE ACB BCF ∠+∠=︒∠+∠=︒180180(180)180260CBE BCF A A ∴∠+∠=︒+︒-︒-∠=︒+∠=︒,BG CG 分别平分,CBE BCF∠∠112,322CBE BCF ∴∠=∠∠=∠1123()(180)13022CBE BCF A ∴∠+∠=∠+∠=︒+∠=︒23180BGC ∠+∠+∠=︒ 11180(23)180(180)905022BGC A A ⎡⎤∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+∠=︒-∠=︒⎢⎥⎣⎦故答案为：50，1902BGC A ∠=︒-∠（2）180,50A ABC ACB A ∠+∠+∠=︒∠=︒180130ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒,BI CI Q 分别平分,ABC ACB∠∠116,822ABC ACB ∴∠=∠∠=∠11168()(180)90222ABC ACB A A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠68180BIC ∠+∠+∠=︒ 11180(68)180(180)9011522BIC A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠=︒故答案为：115，1902BIC A ∠=︒+∠（3）,BD CD 分别平分,ABC ACE∠∠11,22DBC ABC DCE ACE ∴∠=∠∠=∠,ACE ABC A DCE DBC D∠=∠+∠∠=∠+∠ 111222ACE ABC A ∴∠=∠+∠12D A ∴∠=∠70A ︒∠= 35D ∴∠=︒故答案为：12D A ∠=∠16．ABC 中，50A ∠=︒．（1）如图①，若点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（2）如图②，若点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（3）如图③，若点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（4）若A β∠=.请直接写出图①，②，③中P ∠的度数，(用含β的代数式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；②1902P β∠=︒-；③1122P A β∠=∠=【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB ）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P 的度数；（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=12（∠CBD+∠BCE ）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=12∠A ，即可得出结果；（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．【解析】解:（1）50A ∠=︒ ，18050130ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，11()1306522PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=⨯∠+∠=⨯︒=︒，180()115P PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒；（2）18050130ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒ ，360130230CBD BCE ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，1()1152PBC PCB CBD BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒，18011565P ∴∠=︒-︒=︒；（3） 点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCF ACF ∠=∠，PCF P PBC ∠=∠+∠ ，ACF A ABC ∠=∠+∠，2()P PBC A ABC ∴∠+∠=∠+∠，1252P A ∴∠=∠=︒；（4）若A β∠=，在（1）中，11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；在（2）中，同理得：1902P β∠=︒-；在（3）中，同理得：1122P A β∠=∠=．17．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D ；【简单应用】（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P 的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．【拓展延伸】（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为：（用α、β表示∠P ）；②在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=23αβ+②∠P=1802B D︒+∠+∠【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．【解析】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°．（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=23αβ+．故答案为：∠P=23αβ+．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=1802B D︒+∠+∠．故答案为：∠P=1802B D︒+∠+∠．18．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【答案】（1）130°；（2）1902Q A∠=︒-∠；（3）60°或120°或45°或135°【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣12∠A，求出∠E＝12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12∠MBC＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．19．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB=．【答案】（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【解析】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；（3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．。
全等三角形中角平分线问题的处理方法
全等三角形中角平分线问题的处理方法【全等三角形中角平分线问题的处理方法】1. 引言全等三角形中角平分线问题是几何学中的一个经典问题，旨在探讨如何将一个三角形的角平分线构造出来并求解相关问题。
这个问题在几何学中具有重要的应用价值和理论意义。
本文将从简单到复杂、由浅入深地介绍全等三角形中角平分线的处理方法，以帮助读者更全面、深刻和灵活地理解这一问题。
2. 基本定义与性质我们来回顾一下全等三角形的基本定义与性质。
全等三角形是指具有完全相同的大小和形状的三角形。
根据全等三角形的定义，对于两个全等三角形来说，它们的对应边长相等，对应角度相等。
这一性质是我们处理全等三角形中角平分线问题的基础。
3. 三角形角平分线的构造下面，我们开始介绍全等三角形中角平分线的构造方法。
考虑一个任意三角形ABC，我们的目标是构造出三角形ABC的角B的平分线。
（1）方法一：直接角平分线法我们可以借助直尺和圆规，以及平行线的性质来构造角平分线。
具体的步骤如下：a. 以顶点B为圆心，做一个与边AC相交于点D的圆；b. 以点D为圆心，与圆交于点E，连接BE；c. 连接线段BC和BA；根据圆周角的性质，角EBD是角ABC的一条平分线。
（2）方法二：割取角平分线法除了直接角平分线法之外，我们还可以使用割取角平分线的方法构造角平分线。
具体步骤如下：a. 过顶点B做一条与边AC相交于点F的直线；b. 以BF为半径，顶点B为圆心画一个圆；c. 连接圆与边BC、BA的交点分别为点D和点E，连接线段ED；根据圆内接四边形对角相等的性质，角BED是角ABC的一条平分线。
4. 角平分线的性质与应用了解了全等三角形中角平分线的构造方法之后，我们来探讨一些与角平分线相关的性质与应用。
（1）性质一：角平分线相交于三角形内心不仅在全等三角形中，对于任意三角形来说，角平分线的三条线段的交点恰好是三角形的内心。
这个性质是由角平分线与三角形内接圆的性质相关联的。
（2）性质二：角平分线的长度关系若一个角的平分线将另外两个角的平分线相交于点P，那么点P到三角形各边的距离满足以下关系：AP：BP：CP＝AB：BC：CA。
解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用(解析版)
专题01三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用【解题策略】 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,对我们以后深入研究三角形的一些特征有很大帮助,因此,我们需要从不同的角度认识这三种线段.在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.题型01三角形的高在求线段长中的应用【典例分析】【例1-1】（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，90,8,10,ACB AC AB CD ∠=°==是斜边的高，则CD =（ ）A ．3B ．4.2C ．4.8D ．5【答案】C 【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出BC ，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键．【详解】解：∵90,8,10ACB AC AB ∠=°==，∴6BC ，∵CD 是斜边的高， ∴1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ， ∴8610CD ×=， ∴48 4.810CD ==； 故选C【例1-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，5AB =，4AC =，3BC =，则点C 到AB 边距离为 ．【答案】125/225/2.4 【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，由三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：在ABC 中，90ACB ∠=°， ∴ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，1122ABC S AC BC AB h ∴=⋅=⋅ ，即345h ×=，125h ∴=， 故答案为：125． 【例1-3】（22-23八年级上·河南·阶段练习）如图，在ABC 中，8AC =，4BC =，高3BD =．(1)作出BC 边上的高AE ；(2)求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)6AE =【分析】（1）过点A 作BC 边的垂线，交BC 延长线于E 即可；（2）利用等积法求得AE 的长度即可．【详解】（1）解：如图， 过点A 作BC 边的垂线，交BC 延长线于E ，∴线段AE 即为BC 边上的高，（2）解：∵11S 22ABC BC AE AC BD =⋅=⋅ ，8AC =，4BC =，3BD =， ∴1148322AE ×=××， ∴6AE =．【点睛】本题考查了作三角形的高及求高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题【变式演练】【变式1-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，CD 是斜边的高，则CD 的长为（ ）A ．245B ．125C ．5D ．10【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．先根据勾股定理求出10AB =，然后根据三角形面积进行计算即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，∴10AB =， ∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ， ∴6824105AC BC CD AB ．故选：A【变式1-2】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，6,5,4AB AD BC ===，则CE 的长为 ．【答案】103/133【分析】本题考查了三角形的面积计算，根据1122ABC S AB CE BC AD =×=× ，即可求解． 【详解】解：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥， ∴1122ABC S AB CE BC AD =×=× ， ∵6,5,4AB AD BC ===， ∴1164522CE ××=××， ∴103CE =． 故答案为：103【变式1-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在ABC 中，AD 为边BC 上的高，连接AE ．(1)当AE 为边BC 上的中线时，若6AD =，ABC 的面积为24，求CE 的长；(2)当AE 为BAC ∠的平分线时，若66C ∠=°，36B ∠=°，求DAE ∠的度数．【答案】(1)4CE =(2)15DAE ∠=°【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识． （1）先根据三角形面积公式计算出8BC =，然后根据AE 为边BC 上的中线得到CE 的长；（2）先根据三角形内角和定理计算出78BAC ∠=°，再利用角平分线的定义得到39CAE ∠=°，接着计算出CAD ∠，然后计算CAE CAD ∠−∠即可．【详解】（1） AD 为边BC 上的高，ABC 的面积为24，1242BC AD ∴⋅=， 22486BC ×∴==， AE 为边BC 上的中线，142CE BC ∴==； （2） 66C ∠=°，36B ∠=°，∴180180663678BAC C B °−°°°°∠=∠−∠=−−=，∴AE 为BAC ∠的平分线， ∴1392CAE BAC ∠=∠=°，90ADC ∠=°，66C ∠=°， ∴906624CAD ∠°°=°=−，∴392415DAE CAE CAD ∠=∠−∠=°−°=°题型02三角形的高在求角的度数中的应用【典例分析】【例2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC∠交AC 边于E ，60BAC ∠=°，22ABE ∠=°，则DAC ∠的大小是（ ）A ．10°B ．12°C ．14°D ．16°【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据角平分线的定义可得2ABC ABE ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAC BAC BAD ∠=∠−∠计算即可得解．【详解】解：BE 平分ABC ∠，222244ABC ABE ∴∠=∠=×°=°，AD 是BC 边上的高，90904446BAD ABC ∴∠=°−∠=°−°=°，604614DAC BAC BAD ∴∠=∠−∠=°−°=°．故选：C【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知ABC 中，50A ∠=°，AB ，AC 边上的高所在的直线交于H ，则BHC ∠=度． 【答案】130°或50°【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分ABC 是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．分两种情况考虑：①ABC 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出90ADB ∠=°，90BEC ∠=°，然后根据直角三角形两锐角互余求出ABD ∠的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②ABC 是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出BHC A ∠=∠即可．【详解】解：①如图1，ABC 是锐角三角形时，BD 、CE 是ABC 的高线，90ADB ∴∠=°，90BEC ∠=°， 在ABD △中，50A ∠=° ，905040ABD ∴∠=°−°=°，4090130BHC ABD BEC ∴∠=∠+∠=°+°=°；②ABC 是钝角三角形时，BD 、CE 是ABC 的高线，90A ACE ∴∠+∠=°，90BHC ∠+∠=°，ACE HCD ∠=∠ ， 50BHC A ∴∠=∠=°，综上所述，BHC ∠的度数是130°或50°，故答案为：130°或50°【例2-3】（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，在ABC 中，50ABC ∠=°，CE 为AB 边上的高，AF 与CE 交于点G ．若80∠=°AFC ，求AGC ∠的度数．【答案】120°【分析】由高的定义可得90BEC ∠=°，由三角形内角和可得BCE ∠的度数，再根据三角形内角和可得出CGF ∠的度数，由平角的定义可得出AGC ∠的度数．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键【详解】解：CE 是AB 边上的高，90BEC ∴∠=°，在ABC 中，50ABC ∠=°， 18040BCE ABC BEC ∴∠=°−∠−∠=°，80AFC ∠=° ，18060CGF AFC BCE ∴∠=°−∠−∠=°，180120AGC CGF ∴∠=°−∠=°【变式演练】【变式2-1】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图，在ABC 中，5525B C AD ∠=°∠=°，，是BC 边的高，AE 平分BAC ∠，则DAE ∠的度数为（ ）A ．12.5°B ．15°C ．17.5°D ．20°【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据AE 平分BAC ∠求出BAE ∠的度数，根据AD BC ⊥求出BAD ∠的度数，由DAE BAE BAD ∠=∠−∠即可得出结论．【详解】在ABC 中，55B ∠=°，25C ∠=°，1805525100BAC ∴∠=°−°−°=°．AE 平分BAC ∠，1502BAE BAC ∴°∠=∠=． AD 是边BC 上的高，90ADB ∴∠=°，90905535BAD B ∴∠=°−∠=°−°=°，503515DAE BAE BAD ∴∠=∠−∠=°−°=°．故选：B【变式2-2】（22-23）八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且38B ∠=°，74C ∠=°，则DAE ∠= ．【答案】18°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质定理，利用三角形内角和定理求出68BAC ∠=°，利用角平分线的性质得出34EAC ∠=°，再利用三角形内角和定理求出16DAC ∠=°，进一步即可求出DAE ∠．【详解】解：∵38B ∠=°，74C ∠=°∴18068BACB C ∠=°−∠−∠=°， ∵AE 是BAC ∠的平分线， ∴1342EAC BAC ∠=∠=°， ∵AD 是ABC 的高，∴90ADC ∠=°， ∴18016DAC C ADC ∠=°−∠−∠=°，∴341618DAE EAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°，故答案为：18°【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC °∠=，70C ∠=°．(1)求EAD ∠的度数；(2)求BOA ∠的度数．【答案】(1)10°(2)125°【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由角平分线的定义得30CAE BAE ∠=∠=°，结合直角三角形的两个锐角互余，得20CAD ∠=°，即可作答．（2）先由角平分线的定义得55OAB OBA +=°∠∠，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵AE 是BAC ∠的平分线，60BAC ∠=° ∴30CAE BAE ∠=∠=° ∵AD 是高，70C ∠=°∴在Rt ACD △中，20CAD ∠=° ∴302010EAD CAE CAD ∠=∠−∠=°−°=°（2）解：∵AE BF 、是角平分线 ∴11 110552()2OAB OBA CAB CBA ∠+∠=∠+∠=×°=° ∴180125()BOAOAB OBA ∠=°−∠+∠=° 题型03三角形的高在求相关线段的比值中的应用【典例分析】【例3-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，,AE CD 是ABC 的高，5,3AE CD ==，则AB BC=（ ）A ．53B ．45C ．35D ．25【答案】A【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法列出比例式，进行求解即可．【详解】解：∵,AE CD 是ABC 的高， ∴1122ABC AB B S CD C AE ⋅=⋅= ，∴53AB AE BC CD ==； 故选：A【例3-2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 相交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F .若5AB =，4BC =，6AC =，则CE ：AD ：BF 的值为 .【答案】12:15:10【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：BF AC ⊥，再根据三角形的面积公式，可得5432ABCS AD CE BF === ，进而即可得到答案． 【详解】解： 在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ， BF AC ∴⊥，5AB = ，4BC =，6AC =，∴1122ABC S BC AD AB CE BF =⋅=⋅=⋅ ， ∴5432ABCS AD CE BF === ， CE ∴：AD ：BF =12:15:10，故答案是：12:15:10【例3-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 与CE 是ABC 的高．(1)若7cm,10cm,8cm AB BC CE ===，求AD ； (2)若2,3,AB BC ABC ==△的高AD 与CE 的比是多少？【答案】(1)28cm 5(2)12【分析】（1）利用三角形面积公式1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ，即可求解； （2）利用三角形面积公式1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ 求解即可． 【详解】（1）解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ， ∴1178=1022AD ××××， ∴285AD cm =； （2）解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ， ∴112=422CE AD ××××， ∴12AD CE =． 【点睛】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键【变式演练】【变式3-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）在ABC 中，高2,4AD CE ==．则边:AB BC 是（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．3:1 D ．1:3【答案】A【分析】本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ，2,4AD CE ==， ∴42AB BC =， ∴:2:41:2AB BC==， 故选：A ．【变式3-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在ABC 中，2AB =，4BC =，ABC 的高AD 与CE的比是 ．【答案】1:2【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得11=22ABC S AB CE BC AD ×=×△，即可求解．【详解】解：∵11=22ABC S AB CE BC AD ×=×△ ∴2142AD AB CE BC ===， 故答案为：1:2【变式3-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，AD 是ABC 的中线，DE AC DF AB ⊥⊥，，E ，F 分别是垂足．已知2AB AC =，求DE 与DF 的长度之比．【答案】2:1【分析】根据三角形面积法进行求解即可． 【详解】解：∵AD 是ABC 的中线， ∴ABD ACD S S ， ∵DE AC DF AB ⊥⊥，，∴1122ABD ACD S AB DF S AC DE =⋅=⋅△△，， ∴1122AB DF AC DE ⋅=⋅， ∵2AB AC =， ∴2:1DE ABDF AC==． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键题型04三角形的高在求相关线段和的问题中的应用【典例分析】【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，ABC ∆中，2ABAC ==，P 是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若1ABC S ∆=，则PE PF +值为（ ）A ．1B ．1.2C ．1.5D ．2【答案】A【分析】连接AP ，则ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+，依据Δ1=2ACP S AC PF ×，Δ1=2ABP S AB PE ×，代入计算即可得到1PE PF +=．【详解】解：如图所示，连接AP ，则ABCACP ABP S S S ∆∆∆=+，∵PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ， ∴Δ1=2ACP S AC PF ×，Δ1=2ABP S AB PE ×，又∵1ABC S ∆=，2ABAC ==， ∴111=+22AC PF AB PE ××， 即111=2+222PF PE ××××，∴1PE PF +=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算【例4-2】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰ABC 中，4ABAC ==，30BAC ∠=°，D 是BC 上任意一点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF +=．【答案】2【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．作BH AC ⊥于H ，利用含30度的直角三角形的性质得到122BH AB ==，根据ABCABD ACD S S S =+ ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，列出等式，由此即可解决问题．【详解】解：过B 作BH AC ⊥于H ，30BAC ∠=° ，122BH AB ∴==， ∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，ABCABD ACD S S S =+ ， ∴111222AC BH AB DE AC DF ⋅=⋅+⋅， 则111444222BH DE DF ×⋅=×⋅+×⋅， 则2BH DE DF =+=， 故答案为：2【例4-3】（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在ABC 中，2ABAC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ．若6ABC S = ，求PE PF +的长．【答案】6PE PF +=【分析】根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅ ，结合已知条件，即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图，连接AP ，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅ ， 2AB AC == ，6ABC S = ，∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅6PE PF =+=【变式演练】【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）Rt ABC △中，90C ∠=°，D 是BC 上一点，连接AD ，过B 、C 两点分别作直线AD 的垂线，垂足为E 、F ，若8BC =，6AC =，9AD =，则BE CF +的值是（ ）A ．6B ．163C ．8D ．203【答案】B【分析】本题考查三角形的面积，根据两种不同三角形的面积：12ABCS AC BC =⋅ ，ABCABD ACD S S S =+ ，建立等式是解决问题的关键．【详解】解：∵90C ∠=°，8BC =，6AC =， ∴11682422ABC AC B S C ⋅=××==， 又∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，9AD =，∴ABC ABD ACD S S S =+ 即：()111924222AD BE AD CF BE CF ⋅+⋅=××+= ∴163BE CF +=， 故选：B ．【变式4-2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在ABC 中，5ABAC ==，F 是BC 边上任意一点，过F 作FD AB ⊥于D ，FE AC ⊥于E ，若10ABC S =△，则FE FD +=．【答案】4【分析】连接AF ，根据ABC ABF ACF S S S =+ ，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键． 【详解】解：连接AF ，如图：则10ABF A ABC CF S S S =+= △△， 12ABFS AB FD =×△，12ACF S AC FE =×△， ∴111022AC FE AB FD ×+×=，∵5ABAC ==， ∴551022FE FD +=， ∴4FE FD += 故答案为：4题型05三角形的中线在求线段长中的应用【典例分析】【例5-1】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，ABC 中，159AB BC ==，，BD 是AC 边上的中线，若ABD △的周长为35，则BCD △的周长是（ ）A ．20B ．29C ．26D ．28【答案】B【分析】本题考查了中线的意义，根据BD 是AC 边上的中线，得到AD CD =，根据ABD △的周长为AB BD AD ++；BCD △的周长为BC BD CD ++，计算周长的差，得到()()1596AB BD AD BC BD CD BC ++−++=−=−=，结合ABD △的周长为35，计算35629−=即可． 【详解】∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD CD =，∵ABD △的周长为AB BD AD ++；BCD △的周长为BC BD CD ++，∴()()1596AB BD AD BC BD CD AB BC ++−++=−=−=， ∵ABD △的周长为35， ∴BCD △的周长为35629−=, 故选B【例5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，已知5cm AD =，6cm CE =，则ABC 的面积为 ．【答案】230cm【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 先根据中线的定义求出212BC CE cm ＝＝，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：AE 是ABC 的中线，6cm CE =，212cm BC CE ∴，AD 是ABC 的高，∴2130cm 2ABC S AD BC， 故答案为：230cm【例5-3】（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知ABC ，AD 是BC 边上的中线，且4AC =，若ABD △的周长比ACD 的周长大5，求AB 的长． 【答案】9AB =【分析】本题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据中线的性质得到BD CD =，根据三角形的周长公式计算得到答案．【详解】解：如图，∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD CD =，∵ABD △的周长比ACD 的周长大5，∴()()5AB BD AD AC AD CD ++−++=， ∴5AB AC −=， ∵4AC =， ∴9AB =【变式演练】【变式5-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是中线，若3AD =，6ABC S = ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出4BC =，根据AE 是中线即可求解． 【详解】解：∵162ABC S BC AD =××=，3AD =， ∴4BC = ∵AE 是中线， ∴122BE BC == 故选：B【变式5-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在ABC 中，AD 为BC 边的中线．若ABD △与ADC △的周长差为3,8AB =，则AC = ． 【答案】5或11AD 为BC 边上的中线，得BD CD =，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当AB AC >时，∵ABD △与ADC △的周长差为3，∴()3AB BD AD AC CD AD ++−++=， ∵AD 为BC 边上的中线，∴BD CD =，∴()3AB BD AD AC CD AD AB AC ++−++=−=，∵8AB =，∴835AC =−=,②当AC AB >时，同理可得3AC AB −=，则8311AC =+= 故答案为：5或11【变式5-3】（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在ABC 中()AB BC >，2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，求AC 和AB 的长．【答案】40AC =，25AB =【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①50AC CD +=，②35AC CD +=，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程．【详解】解：设BDCD x ==，则24AC BC x ==， BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，AB BC >，①当50AC CD +=，35AB BD +=时， 450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==×=，10BD CD ==，35351025AB BD ∴=−=−=，2520AB BC ∴=>=，满足条件；20254540BC AB AC +=+=>= ，满足三边关系，40AC ∴=，25AB =；②当35AC CD +=，50AB BD +=时， 435x x +=，解得：7x =，44728AC x ∴==×=，7BD CD ∴==，5050743AB BD =−=−=，28144243AC BC AB +=+=<= ，∴不满足三角形的三边关系，∴不合题意，舍去，综上：40AC =，25AB =题型06三角形的中线与高在证明线段相等中的应用【典例分析】【例6】如图，ABC ∆中，AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，且40ABC S ∆=，CM AD ⊥于M ．（1）ABD S ∆= ；（2）若5AE =，求CM 的长；（3）若BN AD ⊥交AD 的延长线于N ，求证：CM BN =．【分析】（1）根据三角形中线的性质得出面积即可；（2）根据三角形面积公式得出CM 即可；（3）根据三角形面积公式进行证明解答．【解答】（1）解：AD 为中线，且40ABC S ∆=，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==×=， 故答案为：20；（2）解：AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，40ABC S ∆=， ∴111024AEC ACD ABC S S S ∆∆===，12AECS AE CM ∆=⋅， ∴15102CM ×⋅=， 4CM ∴=；（3）证明：AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点， ∴12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==， 12ABDS AD BN ∆=⋅，12ACD S AD CM ∆=⋅， ∴1122AD BN AD CM ⋅=⋅， CM BN ∴=．【点评】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答．题型07三角形的角平分线在解与平行线相关问题中的应用【典例分析】【例7-1】（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，在ABC 中，DE BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若36FG DE ==，，则EB DC +的值为（ ）A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．由角平分线，平行线的性质可得EGB CBG ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，，则BE EG DC DF ==，，根据EB DC EG DF EF FG DE EF +=+=++−，计算求解即可．【详解】解：∵BG CF 、是ABC ∠和ACB ∠的平分线，∴ABG CBG ACF BCF ∠=∠∠=∠，， ∵DE BC ∥，∴EGB CBG ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，， ∴BE EGDC DF ==，， ∴9EB DC EG DF EF FG DE EF +=+=++−=，故选：C【例7-2】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的角平分线分别交ED 于点G ，F ，若4BE =，6CD =，3FG =．则ED 的长为 ．【答案】7【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证EBG 和DFC 是等腰三角形，从而可得4EB EG ==，6DC DF ==，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：BG 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，ABG CBG ∴∠=∠，ACF BCF ∠=∠，ED BC ∥，EGB CBG ∴∠=∠，DFC BCF ∠=∠，ABG EGB ∴∠=∠，ACF DFC ∠=∠，4EB EG ∴==，6DC DF ==，3FG = ，4637DE EG DF FG ∴=+−=+−=，故答案为：7【例7-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．(1)求证：DE BC ∥；(2)若65A ∠=°，45AED ∠=°，求EBC ∠的度数． 【答案】(1)见解析(2)35°【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，由等边对等角可得DBE DEB ∠=∠，从而得出CBE DEB ∠=∠，即可得证；（2）由平行线的性质可得45ACB AED ∠=∠=°，由三角形内角和定理得出70ABC ∠=°，最后由角平分线的定义计算即可得出答案．【详解】（1）证明：BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，DB DE = ，DBE DEB ∴∠=∠，CBE DEB ∴∠=∠，DE BC ∴∥；（2）解：DE BC ∥，45ACB AED ∴∠=∠=°，18070ABC ACB A ∴∠=°−∠−∠=°，BE 平分ABC ∠，11703522EBC ABC ∴∠=∠=×°=°．【变式演练】【变式7-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若37FG ED ==，，则EB DC +的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．由角平分线、平行线的性质可得EGB GBC ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，，则EB EG DF DC ==，，根据EB CD ED FG +=+，计算求解即可．【详解】解：∵BG 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，∴ABG GBC ACF BCF ∠=∠∠=∠，， ∵ED BC ∥，∴EGB GBC ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，， ∴EB EGDF DC ==，， ∴10EB CD EG DF EG FG DG ED FG +=+=++=+=．故选：B【变式7-2】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为 ．【答案】9【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得MBE MEB NEC ECN ∠=∠∠=∠，，由等角对等边得出BM ME EN CN ==，，再由MN BM CN =+，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键．【详解】解：ABC ACB ∠∠ 、的平分线相交于点E ，MBE EBC ECN ECB ∴∠=∠∠=∠，，MN BC ，EBC MEB NEC ECB ∴∠=∠∠=∠，，MBE MEB NEC ECN ∴∠=∠∠=∠，，BM ME EN CN ∴==，，MN ME EN ∴=+，即MNBM CN =+， 9BM CN += ，9MN ∴=，故答案为：9【变式7-3】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是边AC 上一点，若40ADE ∠=°，求证：DE AB ∥．【答案】见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出80BAC ∠=°，由角平分线的定义得出1402BAD BAC ∠=∠=°，从而得出40ADE BAD ∠=∠=°，即可得证． 【详解】证明：∵在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，∴180465480BAC ∠=°−°−°=°． ∵AD 平分BAC ∠， ∴1402BAD BAC ∠=∠=°． ∵40ADE BAD ∠=∠=°． ∴DE AB ∥题型08三角形的角平分线与高再求角的度数中的应用【典例分析】【例8-1】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，70B ∠=°，34C ∠=°，则DAE ∠=（ ）A ．18°B ．34°C ．20°D ．38°【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题．利用垂直求得9056DACC ∠=°−∠=°是正确解答本题的关键．在ABC 中，根据三角形内角和定理得到BAC ∠的度数，进而求出DAC ∠的度数，在直角ACD 中根据三角形内角和定理得到DAC ∠的度数，则DAE ∠的度数就可以求出．【详解】解：在ABC 中，70B ∠=°，34C ∠=°，∴18076BACB C ∠=°−∠−∠=°， 又∵AE 平分BAC ∠， ∴1382EAC BAC ∠=∠=°， 在直角ACD 中，9056DACC ∠=°−∠=°， ∴18DAE DAC EAC ∠=∠−∠=°．故选：A【例8-2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,若60,16B DAE ∠=°∠=°,则C ∠= ．【答案】28?/28度【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和等知识，解题的关键从已知条件入手，逐步推得待求的结论．先由AD 是高与=60B ∠°求得BAD ∠，再求得BAE ∠，再由角平分线AE 推得BAC ∠，最后由三角形的内角和求得C ∠的度数．【详解】∵AD 是高，∴90ADB ∠=°， ∵=60B ∠°，∴9030BADB °∠=−∠=°． ∵16DAE ∠=°， ∴46BAE BAD DAE =+=°∠∠∠． ∵AE 是角平分线，∴46CAEBAE ==°∠∠， ∴92BAC BAE CAE =+=°∠∠∠， 在ABC 中，180180609228CB BAC =°−−=°−°−°=°∠∠∠． 故答案为：28°【例8-3】（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，70C ∠=°，60ABC ∠=°，求DAE ∠的度数．【答案】5°【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的角平分线等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理求出50BAC ∠=°，再根据直角三角形的性质可得30BAD ∠=°，然后根据角平分线的定义可得1252BAE BAC ∠=∠=°，最后根据DAE BAD BAE ∠=∠−∠求解即可得．【详解】解：∵在ABC 中，70C ∠=°，60ABC ∠=°， ∴18050BACC ABC ∠=°−∠−∠=°， ∵在ABC 中，AD 是高，即AD BC ⊥，∴9030BADABC ∠=°−∠=°， ∵在ABC 中，AE 是角平分线，即AE 是BAC ∠的角平分线，∴1252BAE BAC ∠=∠=°， ∴5DAE BAD BAE ∠=∠−∠=°【变式演练】【变式8-1】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线．若60BAC ∠=°，70C ∠=°，则EAD ∠的大小为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由AD 是高，70C ∠=°，可得20CAD ∠=°，再由AE 是BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=°，从而得30CAE ∠=°，进而可求EAD ∠的度数． 【详解】解：AD 是ABC 的高，70C ∠=°，90ADC ∴∠=°，18020CAD ADC C ∴∠=°−∠−∠=°，AE 是BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=°， 1302CAE BAC ∴∠=∠=°， 10EAD CAE CAD ∴∠=∠−∠=°．故选：B【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，角平分线AE ，BF 相交于点O ，30BAE ∠=°，20DAC ∠=°，则AOB ∠ 的度数是 ．【答案】125°【分析】本题考查的是三角形的高的含义，角平分线的含义，先计算70C ∠=°，60BAC ∠=°，50ABC ∠=°，25ABO ∠=°，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：AD 是ABC 的高，90ADC ∴∠= ，180ADC C CAD ∠+∠+∠=° ，20DAC ∠=°，180902070C ∴∠=°−°−°=°，∵AE 平分BAC ∠，30BAE ∠=°， ∴60BAC ∠=°， 180ABC C CAB ∠+∠+∠°= ，180706050ABC ∴∠=°−°−°=°，BF 分别平分ABC ∠， ∴1252ABO ABC ∠=∠=°， 180ABO BAO AOB ∠+∠+∠= ，1802530125AOB °°°°∴∠=−−=．故答案为：125°【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 的角平分线，若38B ∠=°，70C ∠=°．求AEC ∠和DAE ∠的度数．【答案】74AEC ∠=°，16DAE ∠=° 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得BAC ∠的度数，根据角平分线定义求出EAC ∠的度数，在Rt ADC 中，可求得DAC ∠的度数，最后根据角的和差关系求解即可．【详解】∵38B ∠=°，70C ∠=°，∴18072BACB C ∠=°−∠−∠=°， ∵AE 是角平分线，∴1362EAC BAC ∠=∠=°． ∵AD 是高，70C ∠=°， ∴9020DAC C ∠=°−∠=°， ∴362016EAD EAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°， 901674AEC ∠=°−°=°。
(完整word版)巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题
B巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学 严云霞【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1)； 模型二:当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三:当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、 如图1,△ABC 中,BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。
（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
在△BCD 中：∠D ＝180°－(∠CBD ＋∠BCD)＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－21（180°－∠A ）＝180°－21×180°＋21∠A＝90°＋21∠A（方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点EE DCBA解:∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC, ∠BCD ＝21∠ACB 。
∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB 又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ）＝∠BAC+21（180°－∠BAC ）＝90°＋21∠BAC例２、如图,ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线， 试说明:∠D=90°－21∠A 。
解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE ∠BCD ＝21∠BCF又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180° 在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ） ＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF)＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ）＝180°－21(∠A ＋180°）DCBA＝90°－21∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。
在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。
首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。
在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。
接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。
角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。
通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。
除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。
在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。
通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。
三角形角平分线专题讲解
二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
图1-1BDBC分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
解三角形的角平分线问题(最新版)
解三角形专题------角平分线与三角形4心秒杀秘籍一：张角定理在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，连接AD ，设βα=∠=∠CAD BAD ,，则一定有ABAC AD βαβαsin sin )sin(+=+，（证明：等积法） 【例1】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC=120°，BD△BC 交AC 于点D ，且BD=1，则2a +c 的最小值为 .【例2】在在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知点D 在BC 边上，AD△AC ，sin△BAC=322，AB=23，AD=3，则CD 的长为【例3】（2015年全国课标卷II ）在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分△BAC ，△ABD 的面积是△ACD 面积的2倍.（1）求CBsin sin 的值；（2）若22,1==DC AD ，求BD 和AC 的长.秒杀秘籍二：角平分线张角定理，当βα=时， ①)(21cos c AD b AD +=α（角平分线张角定理） ②ααtan sin )(212AD c b AD S ABC ≥+=∆（角平分线面积） 证明：αααααααtan sin 2sin 2sin sin )(21sin )11(212sin 21∆∆==≥+=+⋅==S AD S AD bc AD c b AD AD c b bc bc S 【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b cosC=a ,点M 在线段AB 上，且△ACM=△BCM ，若b=6CM=6，则cos△BCM=（ ）46.47.43.410.D C B A 【例5】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，△ABC 的平分线交AC 于点D ，BD=1，则a +c 的最小值为 .【例6】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 的面积的最小值为（ ）36.35.34.33.D C B A秒杀秘籍3：角平分线之斯库顿定理如图，AD 是△ABC 的角平分线，则DC BD AC AB AD ⋅-⋅=2.就其位置关系而言：中方=上积-下积 求证：AC AB DC BD AD ⋅=⋅+2,,~ACAEAD AB ADC ABE =∴∆∆ 即,)(,AC AB DE AD AD AC AB AE AD ⋅=+⋅∴⋅=⋅证毕注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.【例7】在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=6，△A 的平分线AD 交BC 于点D ，则AD= . 【例8】在△ABC 中，△C=2△B ，AC=3，BC=5，求AB 之长. 秒杀秘籍4：角平分线之倍角定理)(2);(2);(2222b c c a C A a b b c B C c a a b A B +=⇔=+=⇔=+=⇔=，这样的三角形称为“倍角三角形”【例9】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ）2524.257.257.257.D C B A ±-【例10】设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=1，A=2C ，则△ABC 周长的取值范围为（ ）]33,22.()33,22.()33,0.()22,0.(++++++D C B A【例11】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若bc b a +=22且)2,3(ππ∈A ，则ba的取值范围是 .【12】如图，四边形ABCD 中，CE 平分△ACD ，AE=CE=32，DE=3，若△ABC=△ACD ，则四边形ABCD 周长的最大值为（ ）3315.318.3312.24.++D C B A例1、设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为_______例2、若点O 在ABC ∆的内部，且053=++OB OC OA ，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是________. 例3、若点O 在ABC ∆的内部，且02 =++OC m OB OA ，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________. 例4、（2016清华大学自主招生）若点O 在ABC ∆的内部，2:3:4::=∆∆∆AOC BOC AOB S S S ,设AC AB AO μλ+=，则实数λ=_____，μ=_____.例5、已知ABC Δ的外接圆的圆心为O ，且60∠=A ，若)∈β,α(βαR AC AB AO +=，则βα+的最大值是 能力提升1、已知ABC ∆中，I 为内心，,4,3,2===AB BC AC 且AC y AB x AI +=,则，则y x +的值为______ .2、设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC PA ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是_______.3、在ABC ∆中，H BC AC AB ,2,3,4===为ABC ∆的垂心，AC y AB x AH +=，则xy=______. 4、已知G 是ABC ∆的重心，点N M ,分别在边AC AB ,上，满足AN y AM x AG +=,1=+y x ，若,43AB AM =则ABC ∆和AMN ∆的面积之比是____________.5、正三角形ABC 内一点M ，满足CB n CA m CM +=，45=∠MCA ，则nm=______________. 6、已知ABC ∆的外接圆O 的半径为1，且BC BA BO μλ+=，若60=∠ABC ，则μλ+的最大值是________. 7、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3π=∠A ，且OC y OB x OA +=，则y x -2的取值范围是_______________.三角形的四“心”，四“线”① 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.② P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．③ 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．④ 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。
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AB
AC
BD DC
5 7
BD
5 ,CD 2
7 2
，根据斯库顿定理：
AD2
AB·AC
BD·CD. 代
入数据得： AD 105 ．故答案为 105 ．
2
2
【例 8】如图，在 △ABC 中， C 2B ， AC 3 ， BC 5 ，求 AB 之长.
【解析】作 ACB 的平分线 CD 交 CD 于 D ， ACB 2B，DCB B， BD CD ，由斯库顿定理得：
DAC
， △ABD
中，
BD sin BAD
AD sin B
，sin B
AD sin BAD BD
， △ADC
中，
DC sin DAC
AD sin C
， sin
C
AD sin DAC DC
； sin B sin C
DC BD
1 2
．
（2）由（1）知，BD 2DC 2 2 2 ．过 D 作 DM AB 于 M ，作 DN AC 于 N ， AD 平分 BAC ， 2
BD DC
5 7
，解得： BD
5 2
，在 ABD
中，由余弦
定理可得： AD AB2 BD2 2 ABBDcos B 52 (5)2 2 5 5 1 105 ．故答案为： 105 ．
2
25 2
2
BD DC 6
法二：利用角平分线定理
．
【解析】如图，ABD 30 ，CBD 90 ，根据张角定理，sin120 = sin 30 sin 90 ，故 1 + 1 = 3 ，
1
a
c
2a c 2
根据柯西不等式，可得
2a
c
1 2a
1 c
1 1 2 4 ，故 2a c 8 3 ，当仅当 c = 2a 时等号成立. 3
【解析】法一：设 A ，则 0 ，C 2 ， ABC 2 ，BD 平分 ABC 交 AC
3
3
3
3
于点 D ， BD 2 ，ABD CBD ，在三角形 ABD 中， ADB 2 ，
．
【解析】由题意得 1 ac sin 2 1 a sin 1 c sin ，即 ac a c ，得 1 1 1，
2
3 2 32 3
ac
得 a c (a c)( 1 1) 2 c a 2 2 a c 2 2 4 ，当且仅当 a c 时，取等号，故答案为 4．
倍．
（1）求 sin B ； sin C
（2）若 AD 1 ， DC 2 ，求 BD 和 AC 的长．
2
【解析】（1）如图，过 A 作 AE BC 于 E ， S△ABD
S△ADC
1 BD AE 2 1 DC AE
2 ， BD 2DC ， AD 平分 BAC
2
BAD
2
2
bc
2
AD bc sin a
AD
2S sin2 a sin 2a
= AD S tan a ， S AD2tan ，当仅当 b c 时等号成立.
【例 4】（2018•安阳二模）已知如图，在 △ABC 中， 角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，b cosC a ， 点 M 在线段 AB 上， 且 ACM BCM ． 若 b 6CM 6 ，则 cos BCM （ ）
仅当 a c 时等号成立，故 S 1 ac sin B 4 3 ，故选 B ． 2
角平分线之斯库顿定理
如图， AD 是 △ABC 的角平分线，则 AD2 AB·AC BD·CD. 就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积.
已知：在 △ABC 中， AD2 BD·DC AB·AC 中， AD 是 BAC 的平分线，求证： AD2 BD·DC AB·AC 【 证 明 】 作 △ABC 的 外 接 圆 ， 延 长 AD 交 圆 于 E ， 连 BE ， 如 图 E C、1 2 △ABE∽△ADC AB AE · 即 AD·AE AB·AC AD（· AD DE） AB·AC AD2 AD·DE AB·AC
1c 2
AD
sin
1b 2
AD
sin
，Hale Waihona Puke cos 1
2
AD 2x
AD x
3 4x
， 由余弦定理可得：
(2x)2 12 ( 2 2x1
2)2
3 ， x 1 ， AC 1， BD 的 4x
长为 2 ， AC 的长为 1．
根据张角定理：①当 a = b 时， cosa = 1 AD + AD ，（角平分线张角定理） 2b c
2
1 cl sin 2
1 bl sin 2
，
同除以 1 bcl 得： sin (a +b ) = sin a + sin b ．
2
l
bc
【例 1】（2019•深圳模拟）在中 △ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，ABC 120 ，BD BC
交 AC 于点 D ，且 BD 1，则 2a c 的最小值为
A． 10
4
B． 3 4
C． 7
4
D． 6
4
【解析】如图所示，令 ACM BCM ，则 sin 2 = sin sin 2cos = 1 1 ，由于 b cosC a ，
CM b
a
1 6a
( ) 故 B 90 ，a CM
cos
cos
， 2 cos
例1图
例2图
【例 2】（2013•福建）如图， 在 △ABC 中， 已知点 D 在 BC 边上，AD AC ，sin BAC 2 2 ，AB 3 2 ， 3
AD 3 ，则 CD 的长为
．
【解析】sin BAD sin
1
22 3
2
1 3
，DAC
1 6
1 cos
，解得： cosa
=
-
2 3
舍
， cosa = 3 . 4
【例 5】（2019•江苏模拟）在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， ABC 2 ， ABC 的 3
平分线交 AC 于点 D ， BD 1，则 a c 的最小值为
3 2
(2
6 2sin(2
)
) 1
， 0
3
，
6
6
2
6
5 6
，
1 2
sin(2
)1 ，当 sin(2 6
)
6
1 时，即
6
时， Smin =
3 (2 6) 4 2
3，
故选： B ．
法二：根据角平分线张角定理可得： cos 1 ( BD BD ) 1 1 1 ac 2(a c) 4 ac ac 16 ，当 2a c ac 2
90
，根据张角定理，sin BAC AD
= sin BAD b
sin 90 c
，
故 1 + 1 = 2 2 ， b = 3 2 ，故 CD = AD2 + AC 2 = 3 3.
3b 3 2 9
【例 3】（2015•新课标Ⅱ） △ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC ， △ABD 面积是 △ADC 面积的 2
ac
ac
ca
【例 6】（2019•云南一模）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 对的边分别为 a ， b ， c ， ABC 2 ， BD 平分 3
ABC 交 AC 于点 D ， BD 2 ，则 ABC 的面积的最小值为 ( )
A． 3 3
B． 4 3
C． 5 3
D． 6 3
3
3
3
根据正弦定理
AB sin( 2 )
BD sin
，
AB
2sin( 2 ) 3
sin
2 sin(
)
3
sin
，在三角形 CBD
中，CDB
3
，
3
由正弦定理
BC
sin(
)
BD
sin(
)
， BC
2 sin(
)
3
sin(
)
，S
1 2
ABBC sin
2 3
3 4
2
sin( 3
sin
)
2sin( )
3
sin(
)
3
3
3
3
3
1
1 2
cos
2
3 sin 2 2
2 1 cos 2 3 sin 2 1