2019-2020学年度最新高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列等比数列的基本问题练习

解 (1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①
当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.②
①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以＝(n≥2).
因为a1＝1，2a2＋a1＝2，所以a2＝.
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，Sn＝＝2－.
答案 A
二、填空题
6.(20xx·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________.
解析 设等比数列{an}的公比为q，∴⇒解得
∴a1a2…an＝
＝＝，
当n＝3或4时，取到最小值－6，
此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.
答案 64
三、解答题
9.(20xx·新课标全国Ⅱ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，
(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋<.
证明 (1)由an＋1＝3an＋1，
得an＋1＋＝3.
又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列.
an＋＝，
因此{an}的通项公式为an＝.
解析 设数列{an}的首项和公差分别为a1，d，
则
则nSn＝n＝－n2.
设函数f(x)＝－x2，则f′(x)＝x2－x，
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)min＝f，
但6＜＜7，且f(6)＝－48，f(7)＝－49，
因为－48＞－49，所以最小值为－49.
答案 －49
答案 D
5.(20xx·浙江卷)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|Bn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A.a1d＞0，dS4＞0B.a1d＜0，dS4＜0
C.a1d＞0，dS4＜0D.a1d＜0，dS4＞0
解析 ∵a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，整理得a1＝－d，∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－＜0，故选B.
答案 B
4.(20xx·福州二模)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )
(1) 证明：1≤≤2(n∈N*)；
(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N*).
证明 (1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.
由an＝(1－an－1)an－1得
an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.
由0＜an≤得
＝)＝∈[1，2]，
A.6B.7
C.8D.9
解析 由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.
∴或解之得：或
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.
A.{Sn}是等差数列B.{S}是等差数列
C.{dn}是等差数列D.{d}是等差数列
解析 由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列，故选A.
A.n(n＋1)B.n(n－1)
C.D.
解析 由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，
即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.
∴Sn＝2n＋×2
＝2n＋n2－n＝n(n＋1).
答案 A
3.(20xx·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )
A.3B.4
C.5D.6
解析 由已知得Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，
故公比q＝－2，又Sm＝＝－11，故a1＝－1，
又am＝a1qm－1＝－16，代入可求得m＝5.
答案 C
2.(20xx·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( )
(2)由(1)知＝.
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.
所以＋＋…＋<.
10.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
——教学资料参考参考范本——
2019-2020学年度最新高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列等比数列的基本问题练习
______年______月______日
____________________部门
一、选择题
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于( )
若为等差数列，则S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差数列，则2＝S1＋＋S3＋，即2＝1＋＋＋，解得λ＝2.
又λ＝2时，Sn＋2n＋＝2n＋2，
显然{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，
使得数列{Sn＋λn＋}成等差数列.
11.(20xx·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*).
即1≤≤2.
(2)由题意得
a＝an－an＋1，所以Sn＝a1－an＋1.①
由－＝和1≤≤2得
1≤－≤2，所以n≤－≤2n，
因此≤an＋1≤(n∈N*).②
由①②得≤≤(n∈N*).
7.数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n，都有am＋n＝am·an，若Sn＜t恒成立，则实数t的最小值为________.
解析 令m＝1，可得an＋1＝an，所以{an}是首项为，公比为的等比数列，所以Sn＝＝＜，故实数t的最小值为.
答案
8.(20xx·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________.