【全国百强校word】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题三(衡水金卷信息卷)理数试题

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}|lg 1A x y x ==-，集合{}|531B x x =->，则AB =（ ） A ．(),1-∞ B ．()4,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()4,11,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点； 41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564.在区间[]0,1上随机取一个数k ，则方程2213421x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为（ ） A ．124 B ．112 C.16 D ．145.抛物线24y x =的焦点到双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．36.已知()()52701271x a x a a x a x a x +-=++++，a R ∈，若012670a a a a a +++++=，则在6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．15- B ．15 C.30- D ．307.已知22cos a xdx ππ-=⎰，()f x 是以a 为周期的奇函数，且定义域为R ，则()()20172018f f +的值为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．20188.已知函数()2cos cos f x x x =+，把函数()f x 的图象的横坐标伸长到原来的2倍，然后将图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若当[]0,x π∈时，方程()g x k =有两个不同的实根，则k 的取值范围为（ ） A ．[)1,2 B ．[]1,1- C.11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2018201722⨯-B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯- D ．2019201722⨯+10.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．2143πB ．1273π C.1153π D ．1243π 11.已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2 C.()0,4- D ．()4,112.已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A ．[)64ln 3,++∞B ．[)5ln 5,++∞ C.[)66ln 6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(),4a x x =+，()1,b x y =+，其中0x >，且a 与b 共线，则当y 取最小值时，a b -为 ．14.已知圆的方程为222x y r +=，过圆上一点()00,x y 的切线方程为200xx yy r +=.由类比法可经过椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221xx yy a b+=.若过椭圆22143x y +=的第一象限内的点(),P m n 的切线经过点32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则331m n++的最小值为 ． 15.已知x ，y 满足约束条件20,440,10,x y x y x ky +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩其中0k >，若使得23y z x +=+取得最小值的解(),x y 有无穷多个，则k 的值为 ．16.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c +=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos 24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S .等比数列{}n b 的各项均为正数，且11b =，公比为()1q q ≠.若1212a a q +=-，22S b q =.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}21n n a b +的前n 项和.18. 已知在几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且PD ⊥平面ABCD ，//PD EB ，且2PD EB =，PE 与平面ABCD .（1）求证：平面PAC ⊥平面AEC ；（2）求二面角A PE C --的大小.19. 某学校高三有1000名学生，按性别分层抽样从高三学生中抽取30名男生，20名女生期未某学科的考试成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图.（1）试计算男生考试成绩的平均分x 与女生考试成绩的中位数（每组数据取区间的中点值）；（2）根据频率分布直方图可以认为，男生这次考试的成绩服从正态分布()2,6.5Z N x ，试计算男生成绩落在区间()65.5,78.5内的概率及全校考试成绩在()65.5,78.5内的男生的人数（结果保留整数）；（3）若从抽取的50名学生中考试成绩优势（90分以上包括90分）的学生中再选取3名学生，作学习经验交流，记抽取的男生人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.参考数据，若()2,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=，()330.9974P Z μσμσ-<≤+=.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦点与双曲线22122x y -=的焦点重合，过椭圆C 的右顶点E 任意作直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点.（1）试求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆C 于点M 、N 、P 、Q ，试求四边形MPNQ 的面积S 的取值范围.21. 已知函数()()()2121ln 12f x x a x a x =-++-，其中a 为实数. （1）若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为2y x =，试求函数()f x 的单调区间；（2）当[]0,1a ∈，[]12,2,3x x ∈，且12x x ≠时，若恒有()()22111ln1x f x f x x λ--<-，试求实数λ的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,4x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 与劣弧AB 围成的图形的面积.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()()210f x x m x m =+-->，不等式()1f x ≤的解集为133x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （1）求实数m 的值；（2）若不等式()3f x ax a ≤+对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBBBC 6-10:BADDD 11、12：CC二、填空题4 15.2 16.(]12,24三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵1212a a q +=-，22S b q =⋅.∴6d q =-，22112q b q q -=⋅=.整理得2120q q +-=，解得3q =或4q =-（舍去）.∴3d =，()()*3313n a n n n N =+-=∈，∴()1*3n n b n N -=∈.（2）设数列{}21n n a b +的前n 项和为n T ，由26n a n =，13n n b +=，得1216323n n n n a b n n ++=⨯=⨯，∴234123436323n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯，()34123234322323n n n T n n ++=⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减，得2341222323232323n n n T n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ()2223132313n n n +⨯-=-⨯-223923n n n ++=--⨯()22139n n +=---. ∴2219322n n n T +-=⨯+. ∴数列{}21n n a b +的前n 项和为()2*219322n n n N +-⨯+∈. 18.解：（1）取PD 的中点H ，连接EH ，BD ，∵PD ⊥平面ABCD ，//PD EB ，∴PE 在平面ABCD 内的身影为DB ，∵//DH BE ，又2PD EB =，∴//DH BE ，∴四边形BEHD 为平行四边形，∴//EH BD ，∴PEH ∠为PE 与平面ABCD 所成的角.∵DB==，∴tanPHPEHEH∠===1PH=，∴2PD=，设BD AC O=，连接PO，EO.∵AC BD⊥，AC PD⊥，BD PD D=，∴AC⊥平面EBDP，∵EO⊂平面EBDP，∴AC EO⊥.∵22226PO=+=，22213EO=+=，(2219PE=+=.∴222PO EO EP+=，∴EO PO⊥，又PO AC O=，∴EO⊥平面PAC.又∵EO⊂平面AEC.∴平面PAC⊥平面AEC.（2）∵DA，DC，DP两两垂直，以点D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,2P，()2,0,0A，()2,2,1E，()0,2,0C，则()2,0,2PA=-，()2,2,1PE=-，()0,2,2PC=-，设平面AEP的法向量为(),,m x y z=，则0,0,PA mPE m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,220,x zx y z-=⎧⎨+-=⎩取2x=，得()2,1,2m=-.设平面CEP的法向量为(),,n a b c=，0,0,PC n PE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,220,b c a b c -=⎧⎨+-=⎩取1a =-，得()1,2,2n =-.设二面角A PE C --的平面角为θ， ∵cos ,n m n m n m⋅<>=0==， ∴cos 0θ=，即二面角A PE C --的大小为2π. 19.解：（1）男生 的平均分为()450.01550.01650.02750.03850.02950.011072⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 女生成绩的中位数为818281.52+=. （2）由（1）知72x =，可知()272,6.5ZN . 可知成绩落在()65.5,78.5内的概率为()()65.578.572 6.572 6.50.6826P Z P Z <<=-<<+=，所求考试成绩在()65.5,78.5内的男生的人数大约为310000.68264105⨯⨯≈（人）.（3）根据频率分布直方图可知男生的考试成绩在[]90,100的人数为300.13⨯=，女生的人数为4，可知随机变量0,1,2,3ξ=.()04374035C P C ξ===， ()12343718135C C P C ξ===， ()21343712235C C P C ξ===， ()3034371335C C P C ξ===. 随机变量的分布列为()0123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）∵双曲线22122x y -=的焦点为()2,0±， ∴椭圆C 中，2c =，可知其右顶点为(),0E a ，设直线l 的方程为x ty a =+，同24y x =联立整理，可得2440y ty a --=.设(),A A A x y ，(),B B B x y ，4A B y y a =-，4A B y y t +=.由0OA OB ⋅=，可知0A B A B x x y y +=， 即()2016A B A B y y y y +=，可知240a a -=.∴4a =，22212b a c =-=.可知椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）易知左焦点()2,0F -.①当直线MN ，PQ 中的一条直线的斜率不存在时，可知186242S =⨯⨯=； ②当直线MN ，PQ 的斜率均存在且不为零时，设MN 的直线方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立()221,16122,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简得()2222341616480kx k x k +++-=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，21221634k x x k -+=+，2122164834k x x k-=+. 可知2MN x =-()2224134kk+==+.将k用1k-代换可得()2224143kPQk+=+，()()222224124111223443k kS MN PQk k++=⋅=⨯⨯++()()()222228813443kk k+=++()()()22222242228812881122512121k kk k k k++==++++24222288288112121212kk k kk==++++++.∵22124kk++≥（当且仅当1k=±时，取等号），∴2211142kk<≤++.∴221491212142kk<+≤++，可得221152288241491212kk≤<+++.综合可知面积S的取值范围为1152,2449⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解：（1）函数()f x的定义域为{}|1x x>，()()'211af x x ax=-++-，()()'22212f a a=-++=，可知1a=-. ()2'12111xf x xx x-=+-=--.当220x->，即x>时，()'0f x>，()f x单调递增；当1x <<()'0f x <，()f x 单调递减.所以函数()f x的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(. （2）函数()()'211a f x x a x =-++- ()222311x a x a x -+++=-. 令()()22231h x x a x a =-+++，()41a a ∆=-， 当[]0,1a ∈时，可知()410a a -≤，故()222310x a x a -+++≥恒成立， 可知()'0f x ≥，()f x 在区间()1,+∞上为单调递增函数，不妨设21x x >，且[]12,2,3x x ∈， 则()()22111ln 1x f x f x x λ--<-变为()()()()2121ln 1ln 1f x f x x x λλ-<---， 即()()()()2211ln 1ln 1f x x f x x λλ--<--，设函数()()()ln 1g x f x x λ=--()()()2121ln 1ln 12x a x a x x λ=-++--- ()()()2121ln 12x a x a x λ=-++--， 由()()21g x g x <，得()g x 在[]2,3x ∈时为单调递减函数，即()()2'213101x a x a g x x λ-+++-=≤-， 即()221310x a x a λ-+++-≤， 也即()232210x a x x λ-+-+-≤对[]2,3x ∈与[]0,1a ∈恒成立. 因为320x -<，可知0a =时，()23221x a x x λ-+-+-取最大值， 即2210x x λ-+-≤ . 221x x λ≥-+对[]2,3x ∈时恒成立，由()222114x x x -+=-≤，可知4λ≥，即λ取值范围为[)4,+∞.22. 解：（1）由题意知24cos 4cos ρθρρθ=⇒=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得圆C 的直角坐标方程为2240x x y -+=，由,44x t x y y t =⎧⇒+=⎨=-⎩， 故直线l 的变通方程为40x y +-=.（2）由()22224024x x y x y -+=⇒-+=， 故圆心()2,0C ，半径2r =.圆心C 到直线:40l x y +-=的距离为d 所以90ACB ∠=，AB ==所以弦AB 与劣弧AB 围成的图形的面积21242ACB r S S πππ∆=-=-⨯=-. 23.解：（1）由题意，得()21f x x m x =+--2,,32,1,2, 1.x m x m x m m x x m x --≤-⎧⎪=+--<<⎨⎪-++≥⎩作出()f x 的大致图象如图所示，由不等式()1f x ≤的解集为133x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或及图象，可知1321,3321,m m ⎧⨯+-=⎪⎨⎪-++=⎩解得2m =. （2）直线()33ax a a x +=+过点()3,0-，且在函数()y f x =图象的上方，且a 可看作直线()3y a x =+的斜率，而过点()3,0-和点()1,3的斜率为34k =. 当2x ≤-时，若直线()3y a x =+在4y x =-上方，则1a ≤； 当2x >-时，()()3a x f x +≥恒成立，只需34a ≥，所以实数a 的取值范围为3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。