最优捕鱼策略KYM)
最优捕鱼策略问题
最优捕鱼策略问题摘要本文以最优捕鱼策略为主题，在logistic模型基础上建立了可持续发展捕鱼策略模型,并借助计算机Matlab，运用二分法近似求得了模型最优解。
在此基础上提出了灵敏度函数S，并由此判断死亡率w和捕捞强度E的变化对产量变化的影响。
最后根据实际生产需求，分析死亡率w对最大产量Qm的影响。
对于问题1，我们首先考虑不存在捕捞情况下的模型，再加入捕捞强度分析，最后根据问题1的条件（每年开始捕捞时渔场中各种年龄组鱼群条数不变）建立方程组，得到可持续发展捕鱼策略模型，解得方程组后在w=0.8时绘图得到最大产量Qm=3.8871*10^11。
对于问题2，我们引用了灵敏度函数S(ω,Q),起意义为ω变化率与Q变化率的比值，例如S=0.1，即表示当死亡率变化1%的时候，产量Q变化0.1%。
发现在问题1取得最大产量的情况下，死亡率每增加1%，最大产量减少1.743%。
并给出了不同死亡率w和产量下S的函数。
对于问题3，方法与问题2相似，灵敏度函数S(E,Q)在问题1的情况下，捕捞强度系数E每增加1%，产量Q减少0.0010%。
并给出了不同捕捞强度E和产量Q下S的函数。
对于问题4,我们取不同的死亡率w，得到不同的最大产量Q,利用MATLAB用函数拟合的方法得到了相似度很高的4阶拟合函数Qm（w）仿照问题2求解了灵敏度函数S(E,Qm)，发现了在问题1求得最大产量的时候，死亡率的波动对最大产量的影响是相对较大的。
现实生产中可表现为一段时间内大量鱼群的死亡对渔民的收获量会造成比较大的损失。
为此我们找到了影响较小的点，当把死亡率控制在0.957附近时，鱼群的突然大数目死亡短时间内对渔民造成的损失最小。
对此我们提出了一些策略。
关键词：可持续发展捕鱼策略模型，灵敏度分析，函数拟合，微分方程。
一、问题重述以鳀鱼为例，制定一种最优的捕鱼策略，要求实现可持续捕捞，并且在此前提下得到最高的年收获量，并进一步考虑自然死亡率和捕捞强度系数，提出相关建议。
最优捕鱼策略
1．这种鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡,即死亡是一个连续的过程。
2．捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生.
3．1、2龄鱼体形太小，不能被捕。
4．3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中一次产卵
5．i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1,2,3，其中上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼
对于问题二,题中已给出各年龄组鱼群的初始值,我们利用问题一中所得到的迭代方程,可迭代地求出第i年初各年龄组鱼群的数量;再根据问题一中的捕捞量表达式，可写出5年的捕捞总量表达式,以5年捕捞总量最大为前提,利用matlab软件求解出此时的捕捞强度,然后再验证在此捕捞强度下会不会使5年后鱼群的生产能力有太大的破坏.
4。1。3。问题二分析:
对于问题二,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，又要使总收益最高，这就有可能发生满足了前者满足不了后者之类的情况.我们处理方法是先确定一个策略使其收益最高，再检验此捕鱼策略是否能保证5年后鱼群的生产能力不受到太大的破坏,若它让鱼群的生产能力受到了严重破坏,我们再求另外一种策略。但从理论分析可知，5年后将在鱼群尽可能接近可持续鱼群的情况下来使捕捞量达到最大。对于破坏大小,我们采用1龄鱼群数量变化率来衡量,即以第六年初1龄鱼群数量的变化量与承包时鱼群数量初值之比表示,因为2，3，4龄鱼群的数量在很大程度上受承包初1龄鱼影响，根据关系,可以知道5年后2,3,4龄鱼群的数量肯定会有较大变化。只要该比值小于5%，我们就认为鱼群的生产能力没有受到太大破坏。
该鱼群本身有如下数据：
各年龄组鱼的自然死亡率为0。8（1/年），其平均质量分别为5。07，11。55，17。86，22。99（单位:g）；1,2龄鱼不产卵，平均每条4龄鱼产卵量为（个），3龄鱼为其一半;卵孵化的成活率为（n为产卵总量）；
最优捕鱼策略(1)
第二步 得出最终模型 • 根据可持续捕捞的要求, 给出约束条件及其目标函数
最优捕鱼策略(1)
由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相
同，综上可得：
第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k) 的
递推关系
(4最优捕鱼策略(1)
由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系 式(4)得
从而第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0 (k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0 (k) 的递
最优捕鱼策略(1)
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
最优捕鱼策略(1)
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中
各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重 量）。 （2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产 能力不能受到太大破坏。
已 知 承 包 时 各 年 龄 组 鱼 群 数 量 分 别 为 ： 122 ， 29.7 ， 10.1 ， 3.29 （×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才 能使总收获量最高。
Qk —k年度鱼产卵总量
p —鱼卵的成活率
Mi—第i 龄鱼的平均重量(i=1，2，3，4) Ei —第i 龄鱼的捕捞强度系数 ai —对i 龄鱼的年捕捞量(i=3，4） W—年总收获量，即W=M3a3+M4a4 WW — 5年的总收获量为，即
最优捕鱼策略_数学建模
精心整理西安邮电大学（理学院）数学建模报告摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
???问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克,11.55克,17.86克,22.99克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；m……i龄鱼每条鱼的平均重量in……9月底该种鱼总共产卵数量*n……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量k……对i龄鱼活鱼的捕捞强度系数i四、问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。
那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量⎪⎩⎪⎨≤≤-=---129,1,1,1,,j c x x i j i j i i i j i j i 这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了。
最优捕鱼计划
最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4 个年龄组，称1龄鱼，…,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量(单位:g)分别为5.07,11.55,17.86,22.99,各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为510109.1⨯个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2 龄鱼和1龄鱼不产卵, 产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量比n 之比）为()n +⨯⨯11111022.1/1022.1渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。
通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼，其两 个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.(1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).(2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。
已知承包时各年龄组鱼群的数量（单位：条）分别为：99991029.3101.10107.2910122⨯⨯⨯⨯，，， 如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。
摘要本文讨论了渔业资源开发项目中在实现可持续收获的前提下对某种鱼的最优捕捞策略。
一、问题简要分析对于问题一，要实现可持续捕捞，即每年开始捕捞时渔场的各年龄鱼群条数不变。
因此我们算出了各个龄鱼的随时间变化的趋势，得出各龄鱼组的数量。
因为捕鱼在1到8月期间，所以把一年的时间分为了捕鱼期和产卵期。
最优捕鱼策略原稿
最优捕鱼策略原稿捕鱼作为一项常见的娱乐活动，已经成为许多人闲暇时消遣的选择。
然而，对于那些希望在捕鱼中获得最佳结果的人来说，制定一种最优捕鱼策略是非常重要的。
以下为一些关键的策略，可以帮助提高捕鱼的成功率。
1.了解目标鱼种：不同的鱼类有着不同的特点和习性。
因此，在捕鱼之前，首先要了解目标鱼种的喜好、聚集地以及食物偏好。
这将有助于找到更多的目标鱼，并提高捕获的概率。
2.选择合适的钓具：根据目标鱼种的大小和习性，选择合适的钓具对成功捕鱼至关重要。
如果目标鱼种较大而有力，选择一根更坚固的渔杆和更强大的渔线是必要的。
另外，鱼饵的选择也是一项关键决策，只有符合目标鱼种的偏好，才能吸引它们上钩。
4.运用适当的技巧：在捕鱼过程中运用适当的技巧是非常重要的。
例如，使用正确的投掷技巧可以使鱼饵更加准确地落入目标位置。
此外，在操作钓杆和渔线时要注意技巧，保持稳定和平稳的动作，以提高捕鱼的概率。
5.尊重渔业法规：为了保护渔业资源和环境，许多地区都设有相关的渔业法规和限制。
在进行捕鱼活动时，要了解和遵守当地的渔业法规，遵循合理的捕鱼限额和尺寸限制。
只有通过遵守法规，才能保护渔业资源的可持续性并促进保护生态平衡。
6.保持耐心和冷静：捕鱼是需要耐心和冷静的活动。
有时鱼儿不一定会立刻上钩，这时候保持耐心是非常重要的。
遇到挫折时，要保持冷静，分析原因并尝试调整策略，而不是仓促行事。
最后，捕鱼策略的最重要的一点是享受过程。
不论是单独垂钓还是与朋友家人一起垂钓，都要专注于过程的乐趣和享受，而不仅仅局限于对捕鱼结果的追求。
总之，最优捕鱼策略需要综合考虑多种因素，包括了解目标鱼种、选择合适的钓具、确定合适的时间和地点、运用适当的技巧、遵守渔业法规以及保持耐心和冷静。
通过制定最优的捕鱼策略，我们可以提高捕获的概率并获得更好的捕鱼体验。
最优捕鱼问题策略
最优捕鱼策略问题捕鱼问题【摘要】当今社会的发展越来越多的依赖于节约资源，保护环境。
而在渔业生产方面，采取何种捕捞生产策略以实现渔业的可持续发展关系重大，因此有必要进一步的研究最优的捕鱼策略既兼顾鱼类的可持续收获又达到最大的经济收益。
针对问题一,由题目给定的条件及查阅的相关资料作出基本假设，并依据假设与已知数据作出微分方程模型，得出描述各龄鱼的数量与时间的关系式，并通过鱼的产卵孵化及生长条件进一步得出鱼在各个时刻的数量。
由以上关系式及积分计算出捕捞量函数。
以捕捞量最大作为优化目标，以各龄鱼的数量关系方程作为约束条件及可得到一个非线性的数学规划模型。
用MATLAB，软件进行编程求解即可得到符合要求的各龄鱼数量以及最大捕捞量。
结果如下表所示：最大捕捞量Q 3.8871×1011捕捞强度系数l17.35X1(0) 1.1961×1011X2(0) 5.3743×1010X3(0) 2.4148×1010X4(0)8.4266×107针对问题二，题目已经给出各个年龄组鱼的数量的初值，只需设出每年的固定捕捞强度，并由问题1的关系式得出相应的鱼群各年龄组的数量等式作为优化问题的约束条件。
以五年间的捕捞量最大和五年后的鱼群年龄分布与可持续捕捞的鱼群的一龄鱼数量最接近作为优化问题的双目标，并赋予两个目标不同的权重，得到了综合效益评价函数。
并利用MATLAB软件编程求解，得出最优的捕捞强度系数。
当权重120.5c c==时，121.604910Q=×。
最后，针对已建立的模型及得到的数值计算结果进行分析检验，并结合模型建立、计算求解等过程中遇到的问题评价模型的优缺点，并提出了模型改进与推广建议。
关键词：微分方程多目标非线性规划年自然生存率年捕捞生存率目录1问题重述 (3)1.1问题背景 (3)1.2待解决的问题 (3)2分析假设 (3)2.1问题分析 (3)2.2模型假设 (3)3符号说明 (4)4模型一的建立与求解 (4)4.1问题一的分析 (4)4.2模型一的建立 (5)4.3模型一的求解 (7)5模型二的建立与求解 (8)5.1问题二的分析 (8)5.2模型二的建立 (8)5.3模型二的求解 (9)6模型的检验 (10)6.1模型一的检验 (10)6.2模型二的检验 (10)7模型的评价 (11)7.1模型的优点 (11)7.2模型的缺点 (12)8模型的改进与推广 (12)8.1模型的改进 (12)8.2模型的推广 (12)9参考文献 (12)10附录 (12)10.1附录1（问题一程序代码） (12)10.2附录2（问题二程序代码1） (13)10.3附录3（问题二程序代码2） (13)1问题重述1.1问题背景为了保护自然环境，使自然资源达到最优配置以实现可持续发展，在给定的条件下研究一种合理的捕鱼策略势在必行。
最优捕鱼策略的研究（1）
最优捕鱼策略的研究摘要建立决策优化模型，在保证“持续捕捞”的前提下，使捕捞量达到最大。
分析过程中，我们深度分析了自然死亡率与捕捞强度系数，将捕捞强度系数视为捕捞死亡率，给我们解决实际问题带来了很大的方便。
针对问题一，问题一涉及的是渔业管理，即对一固定的渔场如何实现在保证可持续发展的同时得到最大的收益。
我们的基本思路是：考虑鱼类生灭过程中两个相互制约的因素，捕捞能力与自然死亡造成的减少量和产卵孵化成功的增长量，从而确定在什么样的约束条件下进行最优规划。
我们用微分方程来描述鱼群数量随时间变化的动态特征规律，在此基础上用年捕捞总量作为目标函数，以稳定性可持续发展作为约束条件进行最优捕鱼的非线性规划。
针对问题二，问题二讨论的是各年龄组的自然死亡率对收获量的影响。
自然死亡率不会是一成不变的。
我们的思路是分别对各个年龄组鱼群的自然死亡率做灵敏度分析。
将自然死亡率看成变量重新建模进行最优规划，利用LINGO求值列表MATLAB 画图的方式将一表两图展示出来得出初步的分析结果。
利用衡量相对改变量的办法对新目标函数求导算出敏感度。
再根据四种鱼不同的敏感度得出不同年龄鱼群自然死亡率对最大年收获量以及最优捕鱼强度系数的影响。
针对问题三，问题三研究的是不同的捕捞系数对年收获量的影响，我们的想法是在死亡率为0.8的前提下，求出年收获量与捕捞强度系数之间的函数关系式，同样利用LINGO求值列表，再用MATLAB拟合出图象，利用衡量相对改变量的办法算出年收获量对捕捞强度系数的敏感度，进而得出捕捞强度系数的变化对年收获量的影响关系。
针对问题四，问题四要求我们对渔业发展部门提出鳀鱼捕捞策略建议。
我们首先查阅相关资料，得到现实情况下的鳀鱼死亡率、鳀鱼资源储存量等相关数据，了解鳀鱼资源发展现状，并结合我们所建立的最优捕鱼策略模型对渔业管理部门提出相应建议以保证鳀鱼资源的可持续发展和人类经济效益的最大化。
关键词：捕捞强度系数、死亡率、年最大收获量、最优解、灵敏度分析、LINGO⒈问题的重述随着人口的发展，人类对资源巨大需求和大规模开采消耗已导致资源基础的退化。
最优捕鱼策略原稿
最优捕鱼策略原稿在捕鱼游戏中，深入研究和掌握最优捕鱼策略是非常重要的。
这将帮助玩家提高捕鱼效率，最大化收益。
下面将介绍一些常用的最优捕鱼策略。
1.鱼群分析在开始游戏之前，玩家应该仔细观察鱼群的分布和行为习惯。
通常来说，不同种类的鱼群在不同的水域和深度中出现。
一些稀有鱼种可能只出现在特定的时间和地点。
通过分析鱼群的分布，玩家可以选择最佳的捕鱼点。
2.利用技能道具游戏中通常会提供各种技能道具，如加速器、锁定器等。
玩家可以根据当前情况选择使用合适的道具。
例如，当有大量的鱼从不同方向游过时，可以使用加速器来追赶和捕捉尽可能多的鱼。
而当有一种稀有鱼在附近出现时，可以使用锁定器保证捕获的准确性。
3.注意合理的瞄准和开火在捕鱼游戏中，精确的瞄准和准确的开火是关键。
不同种类的鱼有着不同的血量和价值。
一些大型和稀有的鱼可能需要多次射击才能捕捉到。
因此，在选择目标之前，玩家应该考虑鱼的血量和价值，并选择最合适的武器和开火方式。
4.多人合作一些捕鱼游戏提供了多人模式，玩家可以与其他玩家合作来捕捉鱼群。
合作可以提高捕鱼效率，同时也可以减少竞争压力。
通过与队友之间的配合，玩家可以选择分工合作，将捕鱼策略最大化。
5.持续学习和改进技巧捕鱼游戏是一个技巧活，玩家应该在游戏中不断学习和改进自己的技巧。
通过观察其他玩家的策略和经验，玩家可以发现新的捕鱼技巧。
此外，一些游戏平台还提供了捕鱼技巧教程和讨论区，玩家可以通过参与讨论来分享和学习经验。
在最优捕鱼策略的基础上，也需要注意一些常见的陷阱和误区。
例如，有些玩家可能会盲目追求高价值的鱼类，而忽略了捕获其他鱼类的机会。
另外，一些玩家也可能会过度依赖技能道具，忽视了自身的技巧提升。
因此，在制定捕鱼策略时，玩家应该避免这些陷阱，综合考虑各种因素。
在游戏中，最优捕鱼策略的实践需要积累经验和路径探索。
通过不断尝试和调整策略，玩家可以逐渐提升自己的捕鱼效率和技巧。
同时，也要保持耐心和冷静，在游戏中享受捕鱼的乐趣。
【实验】数学建模实验报告最优捕鱼策略
【关键字】实验最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MA TLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。
二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。
考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，… ，4龄鱼的某种鱼。
该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。
而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比率称为捕捞强度系数。
使用只能捕捞3、4龄鱼的网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均质量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为1.109ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,29.7,10.1,3.29（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比率相对很小，可假设全部死亡。
d、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
（且可设xi（t）：在t时刻i龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n：每年的产卵量；k：4龄鱼捕捞强度系数；2ai0：每年初i龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max（total（k））=17.86t∈[0，1]，x1（0）= n ×t∈[0，1]，x2（0）= x1（1）t∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1）s.t. t∈[2/3，1]，x3（-）= x3（+）t∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）t∈[2/3，1]，x4（-）= x4（+）四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1.先建立一个buyu.m的M文件：function y=buyu(x);global a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=-0.8*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=-0.8*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-(0.8+0.4*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=-0.8*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-(0.8+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=-0.8*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=1.109*10^5*(0.5*a31+a41);Equ=a10-nn*1.22*10^11/(1.22*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int(0.42*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=17.86*t3+22.99*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个buyu1.m的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：2.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =-3.6757e+011y =-3.9616e+011y =-4.0483e+011y =-4.0782e+011y =-4.0802e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =y =-4.0667e+011k =18.25976795085083total =4.080548655562244e+011 a10 =1.195809275167686e+011a20 =5.373117428928620e+010a30 =2.414297288420686e+010a40 =8.330238542343275e+007则k=18.25976795085083时，最高年收获量为total=4.080548655562244×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：1.195809275167686×10115.373117428928620×10102.414297288420686×10108.330238542343275×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。
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存活率 pi ~同一时段的 xi+1与 xi之比
x* 1, p0 , p0 p1,L p0 p1L p99 T
（与pi 的定义 xi1(k 1) pi xi (k) 比较）
Leslie模型的应用：公园大象管理
南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望 为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每 年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都 要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用 捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。
02
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p0 p1 p2
03
,L
,
p0 p1 p2 L
100
p99 )
1是A的一个特征值，相应的特征向量为
a0 a1 a2 L
1
0
0L
a99 a100
0
0
er=1,1,L ,1T
A
M 1LM
0
0 0
1 0
0L 1L
0 0
M M M O O
0
0
M
与特征值0相应的特r征向量为 X0=M e
(ii)
lim
t
X
(t
பைடு நூலகம்
)
/
0t
=
cX0
,
其中c是与X(0)有关的常数,即当t充分大时，
X (t) c0t X 0.
定理1的证明：
由非负矩阵的谱性质，L矩阵有最大的特征值是单重的且为正数。
设为 0 0, 则下面只需求出一个相应的特征向量 。
令 M diag(1, p0 对L作相似变换得0
,
p0 p1
年龄 总量1 母象1 总量2 母象2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16
三. 最优捕鱼策略
为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、 林业等资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是， 在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
100
p0 p1 L p97b98
99
L
p0b1
2
b0
则矩阵L的非零特征值所满足的特征方程可写为 f () 1.
由于 0 0 是L的最大正特征值，所以
100
f (0 ) 1, 即 a0 1. j 0
定理3(ii)的证明：
设L的特征值和特征向量分别为
0 , X 0 ; 1, X1; L ; 100 , X100 .
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象 也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只 成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
公园有一些关于大象的资料，供建模参考： 1 几乎不再迁入或迁出大象； 2 目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例； 3 初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35% 4 母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一
假设bk是k岁人口的年生育率，pk是k岁人口的年存活率， 设xk(t)为第t年年龄为k的人口数量，k=0,1,2,….,100(忽略百 岁以上的人口)。根据人口发展变化的特点：时间和年龄同步
增长得到模型如下：
xk
1
x0 (t
(t 1)
1) pk xk
100 k 0
bk
xk
(t
)
(t), k 0,1,...,
2) x(t 1) 0x(t)
~ 各年龄组种群数量按同一倍数
xi (t 1)
0xi (t)
增减，0——称固有增长率——
人口控制的依据
与基本模型 x(t 1) Lx(t) 比较
3）0=1时x(k 1) x(k ) cx* ~ 各年龄组种群
x* 1, p0, p0 p1,L p0 p1L p99 T 数量不变
次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月； 5 避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年
生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的； 6 避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；
7 初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀, 大约在95%以上,大象一般只活到70岁；
定理1 L矩阵存在唯一的正的特征根 0 ,
它对应的一个特征向量为
X 0 (1, p0
0 , p0 p1
02 , L , p0 p1 L
p99
99 0
).
定理2 若 1是矩阵的任意一个特征根，则必有 1 0.
定理3 若L第一行中至少有两个顺次的 bi , bi1 0, 则
（i）若 1 是矩阵的任意一个特征根，则必有 1 0;
0 0 0 L 1 0 =(1, p0 , p0 p1 , p0 p1 p2 ,L , p0 p1 p2 L p99 )
其中
a0
b0
0
,
aj
bj
p1 p2 L
j1 0
p j , 100 a0 1.
j0
0
02
03
100
100
这里验证 a0 1. 考虑矩阵L的特征多项式 j0
b0 b1 b2 L p0 0 L
ka 2 k a1
xk (t)
还可预测任意年龄
区间[a1,a2]的人口数。例如
老年人口
A(t)
k k
100 60
xk
(t
)
少年人口
A(t)
k k
14 0
xk
(t
)
劳动力人口
A(t)
k k
59 18
xk
(t
)
模型的稳态分析
Leslie模型不但能够给出近期的人口变化情况，它也能够 给出长时期之后包含年龄构成的人口的稳定分布，为此需要 研究Leslie矩阵的特征值性质。
由定理3(i)可知 | i | 0 (i 1, 2, L , 100), 故
lim
t
X
(t
)
/
0t
=
cX0
,
其中c=c0是与X(0)有关的常数.
稳态分析——t充分大种 群按年龄组的分布
lim
k
x(t )
0t
cX 0
cx*
1) x(t) c0t x*
~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x* 称稳定分布, 与初始分布无关。
年龄 总量1 母象1 总量2 母象2
30 31 32 33 34 35 36 46 42 44 44 46 49 47 24 22 20 22 24 24 23 38 35 37 33 20 33 30 17 16 18 18 15 18 12
37 38 39 48 46 41 25 21 24 29 29 26 17 16 13
完全忽略这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每个 人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口变动的 影响，因此假设：
同一年龄的人有相同的死亡机会和生育能力，且男女人口 数相等。这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口 总数，而且能够预测老年人口、学龄人口等不同年龄组的人 口信息。
模型建立
稳态分析
3）0=1时 Lx* x*, x* 1, p0 , p0 p1,L p0 p1L p99 T
f (1) 1 b0 b1 p0 L b100 p1 p2 L p99 1
人均净生育率为1~ 1个个体在整个 存活期内的繁殖数量为1
4) x(k ) c0k x*, x* [1, p0 , p0 p1,L , p0 p1 L p99 ]T
为按年龄分组的分布向量，令
b0 b1 L
p0
0
0 L
p1
O
0 p2
M
O
0 L
b99 b100
0
0
0 M
p99 0
则得Leslie模型的矩阵形式：
Leslie矩阵 （L矩阵）
x(t 1) Lx(t).
模型预测
根据Leslie模型预测第s年后的人口分布，得
x(t s) Ls x(t)
而且利用 A(t)
年龄 总量1 母象1 总量2 母象2
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9
99
xj (0) xj0, j 0,1,...,100
Leslie模型
其中pk=1-dk是k岁人口的年存活率，dk为k岁人口的年死亡 率。由于妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁，因此不
bk=0,k>49或k<15。
令 x(t) (x0 (t), x1(t), x2 (t),L x100 (t))T
最优捕鱼策略
二.人口预测的Leslie矩阵模型
问题提出：
利用数学模型描述、预测我国人口 的变化规律，并提出相应的控制方案。
模型假设
Malthu模型与Logistic模型的不足： （1）仅有人口总数，不能满足需要； （2）没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不 同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。