九级数学秋季班第一讲三角形的证明拔高练习(北师版)3页word文档
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5相似三角形判定定理的证明习题课件 (新版)北师大版
1.相似三角形的判定方法一: (1)_两__角分别_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:∵∠A_=_∠D,∠B_=_∠E, ∴△ABC_∽__△DEF.
2.相似三角形的判定方法二:
(1)_两__边__成比例且夹角_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:_AD__BE___AD_CF___,∠A_=_∠D, ∴△ABC_∽__△DEF.
由(1)知△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°,
在Rt△AEC中,EC2=AC2-AE2=a( 12-a)2 8 a2 ,
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在Rt△BEC中, B C E C 2 B E 28 a2 (3 a 1 a )2 23 a .
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【想一想】 在示范题2(2)的条件下,连接CD,此时四边形ABDC是什么特殊的 四边形? 提示:平行四边形. ∵AC∥BD,AC=BD, ∴四边形ABDC是平行四边形.
【备选例题】已知四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFHG都是 边长为1的正方形,则∠1+∠2+∠3是多少度?
【解析】由题意知AC= 2 ,CF=1,CH=2, 所以 CF AC ，
AC CH
又∠ACF=∠HCA,所以△ACF∽△HCA,
所以∠2=∠CAH,又因为∠1=∠3+∠CAH,
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°.
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/12022/3/12022/3/1
北师大版三角形的证明（全章节复习题）
北师⼤版三⾓形的证明（全章节复习题）等腰三⾓形（基础）知识讲解【学习⽬标】1. 了解等腰三⾓形、等边三⾓形的有关概念, 掌握等腰三⾓形的轴对称性；2. 掌握等腰三⾓形、等边三⾓形的性质，会利⽤这些性质进⾏简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三⾓形、等边三⾓形的判定⽅法及其证明过程. 通过定理的证明和应⽤，初步了解转化思想，并培养学⽣逻辑思维能⼒、分析问题和解决问题的能⼒.4. 理解反证法并能⽤反证法推理证明简单⼏何题.【要点梳理】要点⼀、等腰三⾓形的定义1.等腰三⾓形有两条边相等的三⾓形，叫做等腰三⾓形，其中相等的两条边叫做腰，另⼀边叫做底，两腰所夹的⾓叫做顶⾓，底边与腰的夹⾓叫做底⾓.如图所⽰，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三⾓形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶⾓，∠B、∠C是底⾓．2.等腰三⾓形的作法已知线段a,b(如图).⽤直尺和圆规作等腰三⾓形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆⼼，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三⾓形3.等腰三⾓形的对称性(1)等腰三⾓形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的⾼线.结论：等腰三⾓形是轴对称图形，顶⾓平分线(底边上的⾼线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三⾓形三条边都相等的三⾓形叫做等边三⾓形.也称为正三⾓形.等边三⾓形是⼀类特殊的等腰三⾓形，有三条对称轴，每个⾓的平分线(底边上的⾼线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三⾓形的底⾓只能为锐⾓，不能为钝⾓（或直⾓），但顶⾓可为钝⾓（或直⾓）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A-∠.（2）等边三⾓形与等腰三⾓形的关系：等边三⾓形是特殊的等腰三⾓形，等腰三⾓形不⼀定是等边三⾓形.要点⼆、等腰三⾓形的性质1.等腰三⾓形的性质性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等，简称“在同⼀个三⾓形中，等边对等⾓”．推论：等边三⾓形的三个内⾓都相等，并且每个内⾓都等于60°.性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上中线和⾼线互相重合.简称“等腰三⾓形三线合⼀”．2.等腰三⾓形中重要线段的性质等腰三⾓形的两底⾓的平分线（两腰上的⾼、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推⼴到⼀下结论：（1）等腰三⾓形底边上的⾼上任⼀点到两腰的距离相等。
九年级数学上册 第一章 证明(二)讲练课件 北师大版
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年5月9日星期一2022/5/92022/5/92022/5/9 •读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年5月2022/5/92022/5/92022/5/95/9/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/5/92022/5/9May 9, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
线交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个 数为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练 3．如图S1－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，
DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝ ___2_____.
在图②中补出符合要求的图形，并判断第(1)(2)两小题的结论是 否仍然成立．(不要求证明)
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
解：(1)易证△CMB≌△CAN，则AN＝BM. (2) 证 明 ： ∵ △ CMB≌△CAN ， ∴ ∠ ANC ＝ ∠ MBC. 又 ∵∠MCN＝∠FCB＝60°， BC＝CN， ∴△ECN≌△FCB，∴CE＝CF. 又∵∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形． (3)如图②所示，(1)小题的结论仍然成立，(2)小题不成立．
2、3、6、8、12、16、17、22 1、4、10、14、20、21 5、23 5、7、9、13、18、19
分类讨论、数形结合
第9题用分类讨论的思想方法；第10题将动手操作与逻辑推理相 结合考查等腰三角形的性质；第16题属于开放性问题，答案不唯 一；第22题将等腰直角三角形的性质与三角形全等结合；第23题 巧妙地对直角三角形较短直角边“加倍”；第24题将同侧作等边 三角形改为等腰三角形，既复习全等又复习相似.
三角形的证明综合测试(北师版)(含答案)
三角形的证明综合测试（北师版）一、单选题(共7道，每道10分)1.在三角形内部，到三角形各边距离相等的点是这个三角形( )A.各内角平分线的交点B.各边上高线的交点C.各边垂直平分线的交点D.各边上中线的交点答案：A解题思路：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.故选A.试题难度：三颗星知识点：角平分线的判定定理2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则AC与DC的关系是( )A.AC=2DCB.AC=3DCC. D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形3.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1，b>1，则a+b>2；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；④直角三角形两锐角互余.其中逆命题正确的有( )A.③④B.①③④C.②③④D.①②③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：逆命题4.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( )A.一个三角形中至少有两个钝角B.一个三角形中至多有一个钝角C.一个三角形中至少有一个钝角D.一个三角形中没有钝角答案：A解题思路：由反证法的定义知，反证法就是从结论的反面出发进行假设，∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设一个三角形中至少有两个钝角．故选A．试题难度：三颗星知识点：反证法5.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，则下图中阴影直角三角形满足一条直角边等于斜边的一半的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：30°角所对的直角边等于斜边的一半6.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD的长( )A. B.5C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②∠DFB=∠EFC；③△ADE 的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的是( )A.①②③B.①②③④C.①③D.①答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线加平行会出现等腰三角形二、填空题(共3道，每道10分)8.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为____.答案：14解题思路：试题难度：知识点：等腰三角形三线合一9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=____度.答案：45解题思路：试题难度：知识点：垂直平分线性质定理10.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG等于____度．答案：30解题思路：试题难度：知识点：全等三角形的判定定理。
探索三角形相似的条件及证明(解析版)-九年级数学(北师大版)
第20讲探索三角形相似的条件及证明1.相似三角形的概念.2.相似三角形的判定定理.3.进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.二、相似三角形的判定定理1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似）要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）考点1：利用两角相等证明相似例1．已知：如图所示，,AC BD 相交于点O ，连接,AB CD ，且ABD ACD ∠=∠，求证：AOB DOC ∽△△．【答案】见解析【分析】根据AA 判断两个三角形相似．【解析】证明：∵ABD ACD ∠=∠， AOB COD ∠=∠，∴AOB DOC ∽△△．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．例2．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，点D 在AC 边上，DE AC ⊥交BC 于点E ．求证：CDE CBA ∽△△．【答案】证明见解析【分析】由DE AC ⊥，∠B =90°可得出CDE B ∠=∠，再由公共角相等，即可证得CDE CBA ∽△△．【解析】∵DE AC ⊥，∠B =90°，∴90CDE B ∠=∠=︒．又∵∠C =∠C ，∴CDE CBA ∽△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形例5AB AD BD例求证：△【答案】见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．⊥于D．【解析】证明：∵CD AB∴90∠=∠=︒，ADC ACB∵A A∠=∠，∴ACD ABC△∽△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．例5．如图，Rt ABC∆中，CD是斜边AB上的高．求证：（1）ACD ABC△∽△；（2）CBD ABC△△．∽【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．【解析】证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．例例（1）如果ACP B ∠=∠，ACP △与 AP AC例ABC △【答案】见解析【分析】根据已知线段长度求出【解析】证明：在∵8,3,AB AD ==∴824AB AE ==，例【答案】详见解析【分析】由题中线段长度得出【解析】证明：∵8,BC AC =∴48224AC BC CD AC ====．∴BC AC AC CD=．∵C C ∠=∠，∴ABC DAC ∽．例（1）AB例1AD AE DE例【答案】①与⑤相似，因为三边成比例；其余三角形都不相似，理由见解析．例例于G，AD(1)求证：ABE DCG(2)ABD△，ABE【答案】(1)见解析(2)ADG，AFE，ACD【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．【解析】（1）解：证明：如下图，∵90∠=︒，ABC∴1+3=90∠∠︒，又∵DG AD ⊥，∴3490∠+∠=︒，∴14∠=∠∵BF AC ⊥，∴590BAC ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90C BAC ∠+∠=︒∴5C=∠∠∴~ABE DCG ．（2）∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，又90ABC ∠=︒，BF AC ⊥，DG AD ⊥，∴∠ABC =∠ADG =∠AFB =90°，∴ABD ADG △AFE ，∴∠3=∠AGD =∠AEF ，∴∠ADC =∠CGD =∠AEB ，又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C ，∴ABE DCG ACD故答案为：ADG ，AFE ，ACD ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．考点5：添加一个条件证明相似例15．如图，已知AC ，BD 相交于点O ，若补充一个条件后，便可得到AOB DOC ∽△△，则要补充的条件可以是_______．（填一个即可）【答案】A D ∠=∠（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【解析】解：补充条件A D ∠=∠即可；例_________【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】APC 和ACB 有公共角【解析】解：PAC CAB ∠=∠ ∴当ACP B ∠=∠时，APC V 故答案为：ACP B ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用例17．在△ABC 和△时，△ABC 与△DEF 相似．【答案】2cm 或4.5cm【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△例相似的是（例例【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．考点6：判断三角形相似例21．如图，已知MNP △．下列四个三角形，与MNP △相似的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定条件分别判断即可；【解析】根据图形可知，MN MP =，75P N ∠=∠=︒，∴180757530M ∠=︒-︒-︒=︒，∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得C 中的图形与MNP △相似；故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定条件，结合三角形内角和定理计算是解题的关键．例22．如图，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6AC =，12BC =，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【解析】解：在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，BC ＝12．例A．例正确的有（A．1个B．2个【答案】C【分析】①由题意得出AD CD BD AD=明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据论．例到DCF(1)BDG DEG ∽；(2)BG DF ⊥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．【解析】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅ ，FDC EBC ∴∠=∠．BE 平分DBC ∠，DBE EBC ∠=∠∴，FDC DBE ∴∠=∠，DGE DGB ∠=∠ ，BDG DEG ∴ ∽；（2）证明：EBC GDE ∠=∠ ，BEC DEG ∠=∠，90DGE BCE ∴∠=∠=︒．BG DF ∴⊥．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．例26．如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)求BAD ∠的度数；(2)如图2，若ACD ∠的平分线CE 交AD 于点F ，交AB 的延长线于点E ，连结DE ．①证明：BCD AED △∽△；∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，一、单选题1．（2018·浙江杭州·中考真题）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是．．．．A．∠ABP=∠CC．AP AB=AB AC【答案】D【解析】解：A．当∠ABP=又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；D ．无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选：D ．二、填空题三、解答题4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，E 是边AC 上一点，且BE BC =，过点A 作BE 的垂线，交BE 的延长线于点D ，求证：ADE ABC △△∽．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【解析】解：若选①BD B D CD C D''=''，一、单选题1．下列能判定ABC A B 'V :VA．AB∥CD①55A ∠=︒905535B \Ð=°-°=°35D Ð=°Q ，A．AB CDC ．90ABC DBC ∠+∠=︒D ．::AB BC BD CD=【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合平行线的性质可判断A ；结合角平分线的定义可判断B ；结合直角三角形两个锐角互余可判断C ；D 选项没有条件可判断ABC 和BCD △相似．【解析】∵AB CD ，∴ABC BCD ∠=∠，∵90ACB D ∠=∠=︒，∴ABC BCD △∽△，故A 能判断，不符合题意；∵BC 平分ABD ∠，∴ABC CBD ∠=∠．∵90ACB D ∠=∠=︒，∴C ABC BD ∽△△，故B 能判断，不符合题意；∵90ABC DBC ∠+∠=︒∴90ABD Ð=°，∴90ABC CBD Ð+Ð=°．∵90ABC CAB ∠+∠=︒，∴CAB CBD ∠=∠．∵ABC BCD △∽△，故C 能判断，不符合题意；∵::AB BC BD CD =，结合题意没有满足使ABC 和BCD △相似的条件，∴不能判断，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．7．含60︒角的直角三角板6)0(ABC A ∠=︒与含45︒角的直角三角板BCD 如图放置，它们的斜边AC 与斜边BD 相交于点E ．下列结论正确的是（）A ．ABE CDE ∽B ．ABE BCE△∽△C ．BCE DCE△∽△D ．ABC DCB∽△△【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．【解析】解：由图可知：90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB CD ，∴,ABE CDE BAE DCE ∠=∠∠=∠，∴ABE CDE ∽；故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．8．张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE BC ∥，DF AC ∥．求证：ADE DBF ∽．证明：①又∵DF AC ∥，②∵DE BC ∥，③∴∠=∠A BDF ，④∴ADE B ∠=∠，⑤∴ADE DBF ∽．A ．③②④①⑤B ．②④①③⑤C ．③①④②⑤D ．②③④①⑤【答案】B 【分析】由DE BC ∥，DF AC ∥，得出ADE B ∠=∠，∠=∠A BDF ，证出ADE DBF ∽．【解析】证明：②∵DE BC ∥，④∴ADE B ∠=∠，①又∵DF AC ∥，③∴∠=∠A BDF ，⑤∴ADE DBF ∽．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．9．如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（）A ．ACD ABC△△∽B ．ADE ACG ∽ C ．ACE ABG∽△△D ．ADE CGE∽△△【答案】D 【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽ ，即可判断B ；由CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，可直接证明ACE ABG ∽△△，即可判断C ；没有条件证明ADE CGE ∽△△，即可判断D ．【解析】∵ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，故A 正确，不符合题意；∵AG 平分BAC ∠，∴DAE CAG ∠=∠．∵AED CAG ACD ∠=∠+∠，AGC DAE B ∠=∠+∠，∴AED AGC ∠=∠，∴ADE ACG ∽ ，故B 正确，不符合题意；∵CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，∴ACE ABG ∽△△，故C 正确，不符合题意；在ADE V 和CGE 中只有AED CEG ∠=∠，不能证明ADE CGE ∽△△，故D 错误，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．【解析】解：如图①，1OAB BAC ∠=∠，1AOB ABC ∠=∠时，1AOB ABC ∆∆∽．如图②，AO BC ∥，2BA AC ⊥，则2ABC OAB ∠=∠，故2AOB BAC ∆∆∽；如图③，3AC OB ∥，390ABC ∠=︒，则ABO CAB ∠=∠，故AOB ∆∽△3C BA ；如图④，490AOB BAC ∠=∠=︒，4ABO ABC ∠=∠，则AOB ∆∽△4C AB ．故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似．二、填空题11．如图，已知ADE C ∠=∠，则AED ∽_______，理由是______．【答案】ABC 两角分别对应相等的两个三角形相似【分析】结合相似三角形的判定即可求解．【解析】解：=,A A ADE ∠∠∠= AED ABC ∴∆∆∽（两角分别对应相等的两个三角形相似）故答案是：①ABC ；②两角分别对应相等的两个三角形相似．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，属于基础知识理解题型，难度不大．相似三角形的判定可以和全等三角形的判定类比学习；全等强调边相等，而相似强调边成比例．12．如图，D 是ABC ∆的边AB 上一点，【答案】,B ACB∠∠【分析】运用“两角对应相等，两三角形相似【解析】若∠1=ADC ∆∽ACB ∆.【点睛】本题考查了有两角对应相等的三角形相似13．ABC ∆的边长分别为【答案】BC kCD=或BAC∠=【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．【解析】解：添加BC k CD=，【答案】①②③【分析】根据相似三角形的判定定理逐个排查即可．【解析】解：∵A A∠=∠,AED∠17．如图，在ABC 中，EF GH IJ BC P P P ，则图中相似三角形共有______对．【答案】6【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中△AEF 、△AGH 、△AIJ 和△ABC 任意两个三角形都相似．【解析】解：在△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，∴△AEF ，△AGH ，△AIJ ，△ABC 中的任意两个三角形都相似．∴相似三角形共有6对．故答案为：6.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似是解题关键．18．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ，△ABD 与△DBC 相似，但不全等，∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.三、解答题【答案】ABC 和A B C ''' '相似，理由见解析【分析】根据三角形相似的判定计算判定即可．【解析】ABC 和A B C ''' 相似．理由如下：∵50A ∠=︒，60B B '∠=∠=︒，∴18070C B A ∠=︒-∠-∠=︒，∵70C '∠=︒，∴70C C '∠=∠=︒，∴ABC A B C '''∽△△．（1）求证：ADEV∽ABC （2）求EC的长度．【答案】证明见解析．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．【解析】∵在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，∴AD ⊥BC ．又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．24．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，BD DC ⊥．求证：ABD △∽DCB △．【答案】见解析.【分析】由平行线的性质得到∠ADB ＝∠DBC ，结合∠A ＝∠BDC ＝90°，从而可得到△ABD ∽△DCB ．【解析】∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，∵BD DC ⊥，∴=90BDC ∠︒，∵90A ∠=︒，∴A BDC ∠=∠，∴ABD △∽DCB △．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，。
2024–2025学年九年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)专题04 三角形的证明(解析版)
专题04三角形的证明目录【考点1等腰三角形中求角度、边长】...................................................................................................................3【考点2等腰三角形的判定和性质】.......................................................................................................................7【考点3等边三角形中求角度、边长】.................................................................................................................11【考点4等边三角形的判定和性质】.....................................................................................................................16【考点5全等的性质和HL 综合】..........................................................................................................................21【考点6与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】.........................................................................................26【考点7利用线段的垂直平分线的性质求解】.....................................................................................................32【考点8利用角平分线的性质求解】.....................................................................................................................34【考点9线段的垂直平分线的判定和性质】.........................................................................................................37【考点10角平分线的判定和性质】.......................................................................................................................41【过关检测】..............................................................................................................................................................461.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形.5.直角三角形全等的判定图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在'''Rt ABC Rt A B C ∆∆与中，'',''AC A C AB A B == ，'''(.)Rt ABC Rt A B C H L ∴∆∆≌6.直角三角形的性质定理及推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒.7.勾股定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在Rt ABC ∆中，,c a c b >>勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒ ，222c a b ∴=+勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在Rt ABC ∆中，222c a b =+ ，90C ∴∠=︒8.线段的垂直平分线⎧⎨⎩线段垂直平分线的：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两端点的距离相等；线段垂直平分线的：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上性质定理判.定定理9.角的平分线⎧⎪⎨⎪⎩角的平分线的：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等；角的平分线的：在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.性质定理性质定理考点剖析【考点1等腰三角形中求角度、边长】例题1：（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 和AC 上，且AD AE =，若40BAD ∠=︒，则EDC ∠的度数是．【答案】20︒【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边；正确确定相等关系列出方程是解题的关键．设EDC x ∠=，B C y ∠=∠=，根据ADE AED x y ∠=∠=+，ADC B BAD ∠=∠+∠即可列出方程，从而求解．【详解】解：设EDC x ∠=，B C y ∠=∠=，AED EDC C x y ∠=∠+∠=+，又AD AE = ，ADE AED x y ∴∠=∠=+，则2ADC ADE EDC x y ∠=∠+∠=+，又ADC B BAD ∠=∠+∠ ，240x y y ∴+=+︒，解得20x =︒，EDC ∴∠的度数是20︒．故答案为：20︒．例题2：（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等腰ABC 中，AB AC =，D 为BC 上一点，且60ADB ∠=︒，若6AD =，4CD =，则BC 的长是．【答案】14【分析】此题考查了含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过A 点作AE BC ⊥于E ，根据含30度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解．【详解】解：过A 点作AE BC ⊥于E ，60ADB ∠=︒ ，30DAE ∴∠=︒，6AD = ，132DE AD ∴==，347CE DE CD ∴=+=+=，在等腰ABC 中，AB AC =，214BC CE ∴==．故答案为：14．1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）在ABC 中，AB AC =，70B ∠=︒，在直线BC 上取一点P ，使CP CA =，连接AP ，则BAP ∠的度数为．【答案】15︒或75︒【分析】根据等腰三角形的性质可以得到ABC 各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出BAP ∠的度数即可．本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解答本题的关键是正确画出图形，利用分类讨论的方法解答．【详解】解：如图所示，当点P 在点B 的左侧时，AB AC = ，70ABC ∠=︒，70ACB ABC ∴∠=∠=︒，180180707040BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1CA CP = ，111180180705522ACP CAP CP A ︒-∠︒-︒∴∠=∠===︒，11554015BAP CAP CAB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；当点P 在点C 的右侧时，AB AC = ，70ABC ∠=︒，70ACB ABC ∴∠=∠=︒，180180707040BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，2CA CP = ，221703522ACB CAP CP A ∠∴∠=∠==⨯︒=︒，22354075BAP CAP CAB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；由上可得，BAP ∠的度数是15︒或75︒，故答案为：15︒或75︒．2.（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在ABC 边AC 上，,,AE BC BC AD CED BAD =∠=∠∥.若30ACB ∠=︒，则BCD ∠的度数为．【答案】105︒【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、三角形的外角性质、平行线的性质，根据平行线的性质得DAE ACB ∠=∠，再根据三角形的外角的性质得EDA BAC ∠=∠，再利用AAS 可得ADE CAB △≌△，进而可得AC AD =，进而可得180752DACACD ADC ︒-∠∠=∠==︒，再根据BCD ACB DCA ∠=∠+∠即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．【详解】解：BC AD Q ∥，DAE ACB ∴∠=∠，CED BAD ∠=∠ ，且BAD BAC DAE ∠=∠+∠，CED EDA DAE ∠=∠+∠，EDA BAC ∴∠=∠，在ADE V 和CAB △中，EDA BAC DAE ACB AE CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADE CAB ∴ ≌，AC AD ∴=，180752DACACD ADC ︒-∠∴∠=∠==︒，3075105BCD ACB DCA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：105︒．3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知AOB ∠为60︒，点P 在边OA 上，12OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =．若MN 为4，则OM 为．【答案】4【分析】本题主要考查的是含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质；过P 作PD OB ⊥，交OB 于点D ，先说明30OPD ∠=︒，再根据含30度直角三角形的性质可得OD 的长；由PM PN =，利用等腰三角形三线合一可得D 为MN 中点，再根据MN 求出MD 的长，最后根据OM OD MD =-即可解答．【详解】解：如图：过P 作PD OB ⊥交OB 于点D ，在Rt OPD 中，60AOB ∠=︒∴30OPD ∠=︒，∵12OP =，162OD OP ∴==，PM PN = ，PD MN ⊥，4MN =，122MD ND MN ∴===，624OM OD MD ∴=-=-=．故答案为：4．4．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E 、F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 的周长的最小值为．【答案】8【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质；连接AD ，由于ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ⊥，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC ∴⊥，1141222ABC S BC AD AD ∴=⋅=⨯⨯= ，解得6AD =，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，AD ∴的长为CM MD +的最小值，CDM ∴△的周长最短11()6462822CM MD CD AD BC =++=+=+⨯=+=．故答案为：8．【考点2等腰三角形的判定和性质】例题：（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，在Rt AOP △中，以OA 为边作等边OAB ，以AP 为边作等边APQ △，连QB 并延长交OP 于点C ．(1)求证：OP BQ =；(2)判断COB △的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)COB △是等腰三角形【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质：（1）根据等边三角形的性质得OA BA =，AP AQ =，60OAB PAQ ∠=∠=︒，进而可得OAP BAQ ∠=∠，再利用SAS 可证得OAP BAQ ≌，进而可求证结论；（2）由（1）得：OAP BAQ ≌，60AOB ABO ∠=∠=︒，进而可得90ABQ AOP ∠=∠=︒，进而可得30BOC OBC ∠=∠=︒，进而可求解；熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．【详解】（1）证明：OAB 和APQ △都是等边三角形，OA BA ∴=，AP AQ =，60OAB PAQ ∠=∠=︒，OAP PAB BAQ PAB ∴∠+∠=∠+∠，即OAP BAQ ∠=∠，在OAP △和BAQ 中，OA BA OAP BAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS OAP BAQ ∴ ≌，OP BQ ∴=．（2）由（1）得：OAP BAQ ≌，60AOB ABO ∠=∠=︒，AOP 是直角三角形，且90AOP ︒=∠，90ABQ AOP ∴∠=∠=︒，906030BOC AOP AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，18030OBC ABQ ABO ∠=︒-∠-∠=︒，30BOC OBC ∴∠=∠=︒，OC BC ∴=，∴COB △是等腰三角形．【变式训练】1．（22-23八年级上·北京密云·期末）如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，BAC ∠与ABC ∠的角平分线AD 、BE 分别交BC 、AC 边于点D 和点E ．(1)求证：BEC 是等腰三角形；(2)用等式表示线段AB AC BD 、、之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)AB BD AC+=【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出EBC C ∠=∠，进而得出EB EC =，即可得出结论；（2）延长AB 至F ，使BF BD =，连接DF ，利用等边对等角和三角形的外角得出F C ∠=∠，再证明AFD ACD △≌△，根据全等三角形的性质得出AF AC =，再根据线段的和差即可得出AB BD AC +=．【详解】（1）解：证明：在ABC 中，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，80ABC ∴∠=︒，BE 平分ABC ∠，40EBC =∴∠︒，EBC C ∴∠=∠，EB EC ∴=，BEC ∴ 是等腰三角形．（2）AB BD AC +=，证明：延长AB 至F ，使BF BD =，连接DF ，F BDF ∴∠=∠，80ABC F BDF ∠=∠+∠=︒ ，280F ∴∠=︒，40F ∴∠=︒，40C ∠=︒ ，F C ∴∠=∠，AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，AD AD = ，(ASA)AFD ACD ∴△≌△，AF AC ∴=，AB BF AC ∴+=，即AB BD AC +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，已知点O 在等边ABC 的内部，105AOB ∠=︒，BOC α∠=，以OC 为边作等边COD △，连接AD ．(1)求证：AD BO =；(2)当150α= 时，试判断AOD △的形状，并说明理由；【答案】(1)证明见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）证明BOC ADC ≌，即可得证；（2）根据BOC ADC ≌，得到150ADC BOC ∠=∠=︒，进而得到90ADO ∠=︒，利用360AOB BOC ︒-∠-∠，求出AOC ∠，推出45AOD ∠=︒，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵ABC ，COD △为等边三角形，∴,,60AB AC BC OC OD CD BAC ABC ACB COD OCD CDO ====∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴60OCB DCA ACO ∠=∠=︒-∠，在BOC 和ADC △中：OC CD OCB DCA BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BOC ADC V V ≌，∴AD BO =；（2）解：AOD △是等腰直角三角形，理由如下：∵BOC ADC ≌，∴150ADC BOC α∠=∠==︒，∴90ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒，∵105AOB ∠=︒，∴360105AOC AOB BOC ∠=︒-∠-∠=︒，∴45AOD AOC DOC ∠=∠-∠=︒，∴9045OAD AOD AOD ∠=︒-∠=︒=∠，∴AD OD =，∴AOD △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．【考点3等边三角形中求角度、边长】例题1：（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE AD =，则AED =∠．【答案】75︒/75度【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形任意一边的三线合一得到DAC ∠。
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九年级数学秋季班第一讲三角形的证明拔高练习（北师版）试卷简介:本卷只有两道探究题，每题25分，满分50分。
测试时间30钟。
本套试卷立足三角形中的几何证明，考察了学生对三角形中知识的掌握和灵活运用程度。
学习建议:本讲主要内容是三角形证明中知识的综合运用，在中考时出现形式也灵活多变，大家需要熟练掌握这些知识，多加练习，学会灵活运用。
一、探究题(共2道，每道25分)
1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，
求证：MN²=AM²+BN²；
思路点拨：考虑MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．
请你完成证明过程：
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2.（2019绥化）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G连接EG，CG，如图1，易证EG=CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想.并加以证明．
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1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。
不如积阴德于冥冥之中，此乃万世传家之宝训也。
2、积德为产业，强胜于美宅良田。
3、能付出爱心就是福，能消除烦恼就是慧。