北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

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三角形的证明单元检测卷1．（ 4 分）（ 2013?）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A ． 80°B ． 80°或 20°C． 80°或 50° D ．20°2．（4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A ．如果 a＞0， b＞ 0，则 a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若 a=6，则 |a|=|b| 3．△ ABC 中，∠ A：∠ B：∠ C=1：2：3，最小边BC=4 cm ，最长边 AB 的长是A ． 5cmB ． 6cm C． 7cm D． 8cm4．（4 分）如图，已知AE=CF ，∠ AFD= ∠ CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF ≌ △ CBE 的是（）A ．∠ A= ∠ CB ． A D=CB C． BE=DF D． AD ∥BC5．（4 分）如图，在△ABC 中，∠ B=30 °，BC 的垂直平分线交AB 于 E，垂足为 D ．若ED=5 ，则 CE 的长为（）A ． 10B ．8C． 5D． 2.56.如图， D 为△ ABC 一点， CD 平分∠ ACB ， BE ⊥ CD，垂足为 D ，交 AC 于点 E，∠ A= ∠ ABE ．若 AC=5 ，BC=3 ，则 BD 的长为（）A ． 2.5B ． 1.5C． 2D． 17．（ 4 分）如图， AB=AC ，BE⊥ AC 于点 E，CF⊥ AB 于点 F，BE 、CF 相交于点 D，则① △ABE ≌ △ACF ；② △ BDF ≌ △ CDE；③点 D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的是（）A ．①B ．②C．① ②D．① ②③8．（ 4 分）如图所示，AB ⊥ BC ，DC ⊥ BC，E 是 BC 上一点，∠ BAE= ∠ DEC=60 °，AB=3 ， CE=4，则 AD 等于（）A ． 10B ． 12C． 24D． 489．如图所示，在△ ABC中，AB=AC，D、E是△ABC两点，AD平分∠ BAC ．∠ EBC= ∠ E=60 °，若 BE=6 ， DE=2，则 BC 的长度是（）A ． 6 B．8 C．9 D ．1010．（ 4 分）（ 2013?）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，∠ B=30 °，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是∠ BAC 的平分线；② ∠ ADC=60 °；③点 D 在 AB 的中垂线上；④ S△DAC：S△ABC =1： 3．A． 1 B ． 2C． 3 D ． 412．（ 4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（ 0，2），B（ 0， 6），动点 C 在直线 y=x 上．若以 A 、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是（）A． 2B． 3C． 4 D ． 513．（4 分）如图，在等腰Rt△ ABC 中，∠C=90 °， AC=8 ， F 是 AB 边上的中点，点 D， E 分别在 AC ，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE ， DF， EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△ DFE 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不可能为正方形，③DE 长度的最小值为 4；④四边形 CDFE 的面积保持不变；⑤△ CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．① ②③ B ．① ④⑤C．① ③④ D ．③ ④⑤二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）14．（4 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．152_ ．．（ 4 分）若（ a﹣ 1） +|b﹣2|=0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为16．（ 4 分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直平分线，交AC 于点 D，交 BC 于点E，∠ BAE=20 °，则∠ C= _________．17．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ ACF ， DE 过点 I，且DE ∥ BC ． BD=8cm ， CE=5cm ，则 DE 等于 _________ ．18．如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为1m，在容器壁离容器底部0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．19．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC 边上的点， CD=1 ，将△ ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△ PEB 的周长的最小值是．三、解答题（每小题7 分，共 14 分）20．（7 分）如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ， CD=CE ．求证：∠ A= ∠ B ．21．（ 7 分）如图，两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点，在∠ AOB 的部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站P，使货站P 到两条公路OA 、 OB 的距离相等，且到两工厂C、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．四、解答题（每小题10 分，共 40 分）22．（10 分）在四边形 ABCD 中，AB ∥ CD ，∠ D=90 °，∠ DCA=30 °，CA 平分∠DCB ， AD=4cm ，求 AB 的长度？23．（ 10 分）如图，在△ABC中，∠ C=90°，AD平分∠ CAB，交CB于点D，过点D 作 DE⊥AB 于点 E．（1）求证：△ACD ≌ △AED ；（2）若∠ B=30 °， CD=1 ，求 BD 的长．24．（ 10 分）如图，把一个直角三角形ACB （∠ ACB=90 °）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置． F， G 分别是BD ，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．（ 1）求证： CF=DG ；（ 2）求出∠ FHG 的度数．25．（ 10 分）已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC=45 °， DH 垂直平分 BC 交 AB 于点D， BE 平分∠ABC ，且 BE⊥ AC 于 E，与 CD 相交于点 F．（1）求证： BF=AC ；（2）求证：．五、解答题（每小题12 分 .共 24 分）26．（ 12 分）如图，在△ ABC 中， D 是 BC 是中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，DE⊥ DF 交 AB 于点 E，连接 EG、 EF．（1）求证： BG=CF ；（2）求证： EG=EF ；（3）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．27．（ 12 分）△ ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点（不与B、C 重合），以AD 为一边向 AD 的左侧作△ ADE ，使 AD=AE ，∠ DAE= ∠ BAC ，过点 E 作 BC的平行线，交直线AB 于点 F，连接 BE．（ 1）如图 1，若∠ BAC= ∠ DAE=60 °，则△ BEF 是_________三角形；（2）若∠ BAC= ∠ DAE ≠60°①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点 D 在线段 BC 的延长线上移动，△ BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八年级下册《第 1 章三角形的证明》2014 年单元检测卷 A（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）1．（ 4 分）（ 2013?）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A ． 80°B ．80°或 20°C． 80°或 50°考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：① 80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，② 80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或 20°．故选 B ．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．（ 4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A ．如果 a＞0， b＞ 0，则 a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若 a=6，则 |a|=|b|命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的3．（ 4 分）△ ABC 中，∠ A ：∠ B ：∠ C=1： 2： 3，最小边 BC=4 cm ，最长边 AB的长是（）A． 5cm B ． 6cm C． 7cm D考点：含 30 度角的直角三角形．分析：三个角的比以及三角形的角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角 30半．解答：解：根据三个角的比以及三角形的角和定理，得直角三角形中的最小角是30°，D ．20°边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即 8，故选 D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．4．（ 4 分）（ 2013?）如图，已知 AE=CF ，∠AFD= ∠ CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF ≌ △ CBE 的是（）A．∠ A= ∠ C B ． A D=CB C． B E=DF D考点：全等三角形的判定．分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答：解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF ，∴AF=CE ，A 、∵在△ADF 和△CBE 中考点：命题与定理．分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．解答：解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．若 a=6，则 |a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则 a=6，是假命题．故选： C．∴ △ADF ≌ △CBE （ ASA ），正确，故本选项错误；B 、根据 AD=CB ， AF=CE ，∠ AFD= ∠ CEB 不能推出△ADF ≌△ CBE ，错误，故C、∵ 在△ ADF 和△ CBE 中∴ △ADF ≌ △CBE （ SAS），正确，故本选项错误；D、∵ AD ∥BC ，∴ ∠A= ∠C，点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结∵论在△ADF 和△CBE 中又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的∴ △ADF ≌ △CBE （ ASA ），正确，故本选项错误；∵ AC=5 ， BC=3 ，故选 B ．∴ BD= （5﹣ 3） =1．点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，选故ASAD ，． AAS ，SSS．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．5．（ 4 分）（ 2012?）如图，在△ ABC 中，∠B=30 °， BC 的垂直平分线交AB 于 E，7．（ 4 分）如图， AB=AC ，BE⊥ AC 于点 E，CF⊥ AB 于点 F，BE、CF 相交于点 D，垂足为 D ．若 ED=5 ，则 CE 的长为（）则① △ABE ≌ △ACF ；② △ BDF ≌ △ CDE ；③点 D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的是（）A ． 10B ．8C． 5 D ．2.5A．① B ．②C．① ②D 考点：线段垂直平分线的性质；含30 度角的直角三角形．分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE ，根据含30 度角的直角三角形性质求出解答：解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE ，∠BDE=90 °（线段垂直平分线的性质），∵ ∠B=30 °，∴BE=2DE=2 ×5=10（直角三角形的性质），∴CE=BE=10 ．故选 A ．点评：本题考查了含 30 度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到题目比较典型，难度适中．6．（ 4 分）（ 2013?一模）如图， D 为△ ABC 一点， CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为 D ，交 AC 于点 E，∠ A= ∠ ABE ．若 AC=5 ， BC=3 ，则 BD 的长为（）A ． 2.5B ．1.5C． 2BE 考的点长，：即全可等求三出角形CE的判长定．与性质；角平分线的性质．专题：常规题型．分析：从已知条件进行分析，首先可得△ ABE≌ △ACF得到角相等和边相等，运用这些论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．解答：解：∵BE⊥ AC于E，CF⊥ AB于F∴ ∠AEB= ∠ AFC=90 °，∵AB=AC ，∠ A= ∠ A ，BE=CE∴和△求ABE出≌BE△长ACF，（①正确）∴AE=AF ，∴BF=CE ，∵BE⊥ AC 于 E， CF⊥AB 于 F，∠BDF= ∠ CDE，∴ △BDF ≌ △ CDE （②正确）∴DF=DE ，D ．1连接AD，考点：等腰三角形的判定与性质．分析：由已知条件判定△ BEC的等腰三角形，且BC=CE ；由等角对等边判定﹣BC）．解答：解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥ CD，∴BC=CE ．又∵ ∠A= ∠ABE ，∴AE=BE ．∴BD=BE=AE= （ AC ﹣ BC ）．∵AE=AF ，DE=DF ， AD=AD ，AE=BE ，则易求 BD=BE=AE=∴△AED≌（△ACAFD ，∴ ∠ FAD= ∠ EAD ，即点 D 在∠BAC 的平分线上（③正确）故选 D ．点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活不重不漏．8．（ 4 分）如图所示， AB ⊥ BC ，DC ⊥ BC，E 是 BC 上一点，∠ BAE= ∠ DEC=60 °，∵ △BEM 为等边三角形，AB=3 ， CE=4，则 AD 等于（）∴ ∠EMB=60 °，∵ AN ⊥ BC ，A ． 10B ．12C． 24 D ．48∴ ∠DNM=90°，∴ ∠NDM=30 °，考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形．∴ NM=2 ，分析：本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．∴ BN=4 ，解答：解：∵AB ⊥ BC， DC ⊥BC ，∠ BAE= ∠ DEC=60 °∴ BC=2BN=8 ，∴ ∠AEB= ∠ CDE=30 °故选 B ．∵ 30°所对的直角边是斜边的一半∴ AE=6 ， DE=8点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN 的长是解决又∵ ∠AED=90 °根据勾股定理10．（ 4 分）（ 2013?）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，∠ B=30 °，以 A 为圆心，任意∴ AD=10 ．长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 的故选 A ．长为半径画弧，两弧交于点P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D ，则下列说法中正确点评：解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，的个数是（）30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．① AD 是∠ BAC 的平分线；② ∠ ADC=60 °；③点 D 在 AB 的中垂线上；④ S△DAC：S△ABC =1： 3．9．（ 4 分）如图所示，在△ ABC 中， AB=AC ，D 、E 是△ ABC 两点， AD 平分∠ BAC ．∠ EBC= ∠ E=60 °，若 BE=6 ， DE=2，则 BC 的长度是（）A． 1 B ． 2C． 3DA ． 6B ．8C． 9考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2 ，进而得出△ BEM 角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．解答：解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥ BC，∵AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，∴AN ⊥ BC ， BN=CN ，∵ ∠EBC= ∠ E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵ BE=6 ， DE=2 ，∴DM=4 ，D ．考10点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．专题：压轴题．分析：① 根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；为等边三角形，②△ EFD利用角为平等分边线三的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠AD ③利用等角对等边可以证得△ ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性中垂线上；④利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答：解：① 根据作图的过程可知，AD 是∠ BAC 的平分线．故① 正确；②如图，∵在△ABC 中，∠ C=90°，∠ B=30 °，∴ ∠CAB=60 °．又∵AD 是∠ BAC 的平分线，∴ ∠ 1=∠ 2=∠ CAB=30 °，∴ ∠ 3=90°﹣∠ 2=60°，即∠ ADC=60 °．故② 正确；③ ∵ ∠1= ∠ B=30 °，∴AD=BD ，∴点 D 在 AB 的中垂线上．故③ 正确；④ ∵如图，在直角△ ACD 中，∠2=30 °，∴CD=AD ，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD ， S△DAC =AC ?CD=AC ?AD ．∴S△ABC =AC ?BC=AC ?AD=AC ?AD ，∴S△DAC： S△ABC =AC ?AD ： AC ?AD=1 ： 3．故④ 正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选 D ．∴ AB=6 ﹣ 2=4，以点 A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为C2，C3，∵ OB=6，∴点 B 到直线 y=x 的距离为6×=3，∵ 3＞ 4，∴以点 B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 没有交点，所以，点 C 的个数是1+2=3 ．故选 B ．点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思12．（ 4 分）（ 2013?）如图，在平面直角坐标系xOy 中， A （0， 2）， B（ 0，6），动13．（4 分）（ 2009?）如图，在等腰Rt△ ABC 中，∠C=90 °， AC=8 ， F 是 AB 边上点 C 在直线 y=x 上．若以 A、 B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的的中点，点 D，E 分别在 AC ，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE ，DF，EF．在个数是（）此运动变化的过程中，下列结论：①△ DFE 是等腰直角三角形；A ． 2B ．3C． 4 D ．5四边形 CDFE 不可能为正方形，②③DE 长度的最小值为 4；考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．④四边形 CDFE 的面积保持不变；专题：压轴题．⑤△ CDE 面积的最大值为 8．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB 的垂直平分线与直线其中正确的结论是（）y=x 的交点为点 C，再求出 AB 的长，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为点C，求出点 B 到直线 y=x的距离可知以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线没有交点．A．① ②③ B ．① ④⑤C．① ③④D 解答：解：如图， AB 的垂直平分线与直线 y=x 相交于点 C1，∵ A （ 0， 2）， B（ 0， 6），考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）分析：解此题的关键在于判断 △DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF ，由 SAS 定理可证 △ CFE 和“三角形中必有一个角小于或等于60°”时，首先应假14．（4 分）用反证法证明命题 △ ADF 全等，从而可证 ∠ DFE=90 °， DF=EF ．所以 △ DEF 是等腰直角三角形．可证设这个三角形中每一个角都大于 60° ．① 正确， ② 错误，再由割补法可知 ④ 是正确的；判断 ③ ， ⑤ 比较麻烦，因为 △ DEF 是等腰直角三角形 DE=DF ，当 DF 与 BC 垂直考，点即：DF 反最证小法时．， DE 取最小值 4，故 ③ 错误， △CDE 最大的面积等于四边形 CDEF 的面积减去 △ DEF 的最分小析面：积，熟由记反③证法可的知步⑤骤，直接填空即可．是正确的．故只有 ①④⑤ 正确．解答：解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个角都解答：解：连接 CF ；故答案为：每一个角都大于60°．∵ △ABC 是等腰直角三角形，点评：此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（ 2）从假设出∴ ∠ FCB= ∠ A=45 °， CF=AF=FB ；成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况 ∵ AD=CE ，定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．∴ △ADF ≌ △CEF ；15．（ 4 分）（ 2013?）若（ a ﹣ 1）2+|b ﹣ 2|=0，则以 a 、b 为边长的等腰三角形的周长∴ EF=DF ， ∠ CFE=∠ AFD ； ∵ ∠AFD+ ∠ CFD=90 °，为 5 ．∴ ∠CFE+ ∠ CFD= ∠ EFD=90 °，∴ △EDF 是等腰直角三角形．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三因此 ① 正确．当 D 、 E 分别为 AC 、 BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形．因此 ② 错误．∵ △ADF ≌ △CEF ，∴ S △CEF =S △ADF ∴ S 四边形 CEFD =S △AFC ，因此 ④ 正确．由于 △DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时， DF 也最小；即当 DF ⊥ AC 时， DE 最小，此时 DF=BC=4 ．∴ DE=DF=4 ；因此 ③ 错误．当 △CDE 面积最大时，由 ④ 知，此时 △ DEF 的面积最小．此时 S △CDE =S 四边形 CEFD ﹣S △DEF =S △ AFC ﹣ S △ DEF =16 ﹣8=8 ；因此 ⑤ 正确．故选 B ．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出a 、b 再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得， a ﹣ 1=0， b ﹣ 2=0，解得 a=1， b=2 ，① 若 a=1 是腰长，则底边为 2，三角形的三边分别为1、1、 2，∵ 1+1=2，∴ 不能组成三角形，② 若 a=2 是腰长，则底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、 1，能组成三角形，周长 =2+2+1=5 ．故答案为： 5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在16．（ 4 分）如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ， ∠ BAE=20 °，则 ∠ C= 35° ．点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由在Rt△ ABC中，∠ ABC=90°，∠ BAE=20 °，即可求得∠ C 的度数．考点：平面展开-最短路径问题．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，专题：压轴题．∴ AE=CE ，分析：将容器侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A ′，根据两点之间线段最短可知A′B ∴ ∠C=∠ CAE ，解答：解：如图：∵在 Rt△ ABE 中，∠ ABC=90 °，∠ BAE=20 °，∵高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器壁离容器底部0.3m 的点 B 处有一蚊子，∴ ∠AEC=70 °，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点 A 处，∴ ∠C+∠ CAE=70 °，∴ A′D=0.5m ， BD=1.2m ，∴ ∠C=35 °．∴ 将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A ′，故答案为： 35°．连接 A ′B，则 A ′B 即为最短距离，点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．A ′B==17．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ ACF ， DE 过点 I，且=1.3 （m）．DE∥ BC ． BD=8cm ， CE=5cm ，则 DE 等于 3cm ．故答案为： 1.3．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．分析：由 BI 、 CI 分别平分∠ABC 、∠ ACF ， DE 过点 I，且 DE∥ BC ，易得△ BDI 与△ECI 是等腰三角形，继而求得答案．19．（4 分）（ 2013?资阳）如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90 °，∠B=60 °，点 D 是 BC解答：解：∵BI 、 CI 分别平分∠ ABC 、∠ ACF ，边上的点， CD=1 ，将△ ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若∴ ∠ABI= ∠CBI ，∠ ECI= ∠ ICF ，点 P 是直线 AD 上的动点，则△ PEB 的周长的最小值是1+．∵ DE∥BC ，∴ ∠DIB= ∠CBI ，∠ EIC= ∠ ICF ，∴ ∠ABI= ∠DIB ，∠ ECI= ∠ EIC，考点：轴对称 -最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．∴ DI=BD=8cm ， EI=CE=5cm ，专题：压轴题．∴ DE=DI ﹣ EI=3 （cm）．分析：连接 CE，交 AD 于 M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和 D 重合时，PE+BP 故答案为： 3cm．的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出 BC 和 BE 长，点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰解三答角：形．18．（ 4 分）（ 2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m ，底面周长为1m，在容器壁离容器底部0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3m（容器厚度忽略不计）．解：连接CE，交 AD 于 M ，∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，∴ ∠ACD= ∠AED=90 °， AC=AE ，∠ CAD= ∠ EAD ，∴AD 垂直平分 CE ，即 C 和 E 关于 AD 对称， CD=DE=1 ，∴当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△ BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+∵ ∠DEA=90 °，∴ ∠DEB=90 °，直平分线上，即∠ AOB 的角平分线和CD 垂直平分线的交点处即为点P．∵ ∠B=60 °， DE=1 ，解答：解：如图所示：作 CD 的垂直平分线，∠ AOB 的角平分线的交点 P 即为所求．∴ BE= ， BD= ，即 BC=1+ ，点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握∴ △PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1++=1+ ，故答案为： 1+．四、解答题（每小题10 分，共40 分）点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30 度角的直角三角形性质ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ D=90 °，∠ DCA=30 °，22．（ 10 分）（ 2013?模拟）在四边形的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中．CA 平分∠ DCB ，AD=4cm ，求 AB 的长度？三、解答题（每小题 7 分，共 14 分）20．（7 分）（ 2013?）如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ，CD=CE ．求证：∠ A= ∠ B ．考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30 度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：过 B 作 BE ⊥ AC ，由 AD=4m 和∠ D=90 °，∠ DCA=30 °，可以求出 AC 的长，根据考点：全等三角形的判定与性质．以及等腰三角形的性质即可求出AD 的长．专题：证明题；压轴题．解答：解：∵∠ D=90 °，∠ DCA=30 °， AD=4cm ，分析：根据中点定义求出 AC=BC ，然后利用“SSS”证明△ACD 和△ BCE 全等，再根据全等三角形对应角相等证明∴ AC=2AD=8cm ，即可．∵ CA 平分∠ DCB ， AB ∥ CD ，解答：证明：∵ C 是 AB 的中点，∴ ∠CAB= ∠ ACB=30 °，∴ AC=BC ，∴ AB=BC ，在△ACD 和△BCE 中，，过 B 作 BE ⊥ AC ，∴ △ACD ≌ △ BCE （ SSS），∴ AE=AC=4cm ，∴ ∠A= ∠B ．∴ cos∠ EAB== ，点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三∴ cm．角形对应角相等的性质．点评：本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键是21．（7 分）（ 2013?）如图，两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点，在∠ AOB 的部有工利用锐角三角函数求出AB 的长．厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA 、 OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．（要求：不写作法，保留23．（ 10 分）（ 2013?）如图，在△ABC 中，∠ C=90 °，AD 平分∠CAB ，交 CB 于作图痕迹，写出结论）点 D，过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E．（ 1）求证：△ACD ≌ △ AED ；（ 2）若∠ B=30 °， CD=1 ，求 BD 的长．考点：作图—应用与设计作图．分析：根据点 P 到∠AOB 两边距离相等，到点C、D 的距离也相等，点 P 既在∠AOB 的角平分线上，又在CD 垂考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30 度角的直角三角形．分析：（1）根据角平分线性质求出CD=DE ，根据 HL 定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠DEB=90 °， DE=1 ，根据含 30 度角的直角三角形性质求出即可．解答：（ 1）证明：∵AD 平分∠CAB ， DE⊥ AB ，∠ C=90 °，∴ CD=ED ，∠ DEA= ∠ C=90°，∵在 Rt△ ACD 和 Rt△AED 中∴Rt△ACD ≌Rt △ AED （ HL ）；∴ ∠DHF= ∠ CBF=60 °，∴ ∠ FHG=180 °﹣∠DHF=180 °﹣ 60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．25．（ 10 分）已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC=45 °， DH 垂直平分 BC 交 AB 于点D ，BE 平分∠ ABC ，且 BE ⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F．（1）求证： BF=AC ；（2）求证：．（ 2）解：∵DC=DE=1 ， DE ⊥ AB ，∴ ∠DEB=90 °，考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．∵ ∠B=30 °，专题：证明题．∴ BD=2DE=2 ．分析：（ 1）由 ASA 证△ BDF ≌△ CDA ，进而可得出第（1）问的结论；点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30 度角的直角三角形性质的应用，注意：角（平2分）线在上△的ABC 中由垂直平分线可得 AB=BC ，即点 E 是 AC 的中点，再结合第一点到角两边的距离相等．解答：证明：（ 1）∵DH 垂直平分 BC ，且∠ABC=45 °，∴ BD=DC ，且∠ BDC=90 °，24．（ 10 分）（ 2013?）如图，把一个直角三角形ACB （∠ ACB=90 °）绕着顶点 B∵ ∠A+ ∠ABF=90 °，∠ A+ ∠ ACD=90 °，顺时针旋转 60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点D，点 A 旋转到点 E 的位置． F，∴ ∠ABF= ∠ ACD ，G 分别是 BD ，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．∴ △BDF ≌ △ CDA ，（ 1）求证： CF=DG ；∴ BF=AC ．（ 2）求出∠ FHG 的度数．（ 2）由（ 1）得 BF=AC ，∵ BE 平分∠ ABC ，且 BE⊥ AC ，考点：全等三角形的判定与性质．∴在△ABE 和△ CBE 中，，分析：（ 1）在△ CBF 和△DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；∴ △ABE ≌ △CBE （ ASA ），（ 2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠ DHF= ∠ CBF=60 °，从而求解．∴ CE=AE=AC=BF ．解答：（ 1）证明：∵在△ CBF 和△ DBG 中，点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应，∴ △CBF ≌ △ DBG （ SAS），五、解答题（每小题12 分 .共 24 分）∴ CF=DG ；26．（ 12 分）如图，在△ ABC 中， D 是 BC 是中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，DE⊥ DF 交 AB 于点 E，连接 EG、 EF．（ 2）解：∵ △CBF ≌ △ DBG ，∴ ∠BCF= ∠ BDG ，又∵ ∠CFB= ∠ DFH ，（1）求证： BG=CF ；（2）求证： EG=EF；（3）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）求出∠ C=∠ GBD，BD=DC，根据ASA证出△ CFD≌ △ BGD即可．（2）根据全等得出 GD=DF ，根据线段垂直平分线性质得出即可．（3）根据全等得出 BG=CF ，根据三角形三边关系定理求出即可．解答：（ 1）证明：∵BG ∥ AC ，∴ ∠C=∠ GBD ，∵ D 是 BC 是中点，∴BD=DC ，在△CFD 和△BGD 中∴ △CFD ≌ △ BGD ，∴BG=CF ．（ 2）证明：∵△ CFD ≌ △BGD ，∴DG=DF ，∵ DE⊥GF，∴EG=EF．（3）BE+CF ＞ EF，证明：∵ △ CFD≌△ BGD ，∴CF=BG ，在△BGE 中， BG+BE ＞ EG，∵EF=EG，∴BG+CF ＞EF ．①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点 D 在线段 BC 的延长线上移动，△ BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．分析：（1）根据题意推出△ AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证△EAB≌ △ D 即可推出△ EFB 为等边三角形，（ 2）① 根据（ 1）的推理依据，即可推出△ EFB 意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△ EAB ≌ △ DAC ，推出等量关系三角形．解答：解：（1）∵ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴ △AED 和△ABC 为等边三角形，∴ ∠C=∠ ABC=60 °，∠ EAB= ∠DAC ，∴ △EAB ≌ △DAC ，∴ ∠EBA= ∠ C=60°，∵EF∥ BC ，∴ ∠EFB= ∠ ABC=60 °，∵在△EFB 中，∠EFB= ∠ EBA=60 °，∴ △EFB 为等边三角形，点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．（ 2）①△ BEF 为等腰三角形，∵ AB=AC ， AD=AE ，∠BAC= ∠ DAE ，27．（ 12 分）△ ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点（不与B、C 重合），∴ △AED和△ABC为等腰三角形，以 AD 为一边向AD 的左侧作△ ADE ，使 AD=AE ，∠ DAE= ∠ BAC ，过点 E 作 BC∴ ∠C=∠ ABC，∠ EAB=∠ DAC，的平行线，交直线AB 于点 F，连接 BE．∴ △EAB≌ △DAC，（ 1）如图 1，若∠ BAC= ∠ DAE=60 °，则△ BEF 是等边三角形；∴ ∠EBA=∠ C，（ 2）若∠ BAC= ∠ DAE ≠60°∵ EF∥ BC，∴ ∠EFB= ∠ ABC ，∵在△EFB 中，∠EFB= ∠ EBA ，∴ △EFB 为等腰三角形，② AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点（不与 B、C 重合），以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ ADE ，使 AD=AE ，∠ DAE= ∠ BAC ，过点 E 作 BC 的平行线，交直线AB 于点 F，连接 BE ．∵ △BEF 为等腰三角形，∵ AB=AC ， AD=AE ，∠BAC= ∠ DAE ，∴ △AED 和△ABC 为等腰三角形，∴ ∠ACB= ∠ABC ，∠EAB= ∠ DAC ，∴ △EAB ≌ △DAC ，∴ ∠EBA= ∠ ACD ，∴ ∠EBF= ∠ ACB ，∵ EF∥ BC ，∴ ∠AFE= ∠ ABC ，∵ ∠ABC= ∠ACB ，∴ ∠AFE= ∠ ACB ，∵在△EFB 中，∠EBF= ∠ AFE ，∴ △EFB 为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．。

北师大八下数学三角形证明大题培优一

BD AFE GC1．如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.（1）FG 与DC的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是；（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.2.把两个含有45°角的直角三角板如图l 放置，E 、C 、A 三点在一条直线上，AC=10，EC=8，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．(12分) (1)观察图1，AF 和BE 有什么样的位置关系?试证明。

(2)观察图2，先将△DEC 绕着点C 顺时针旋转45°，记为△D’E’C’，再沿着CA 边向右平移。

设平移的距离为x ，求在整个平移过程中△D’E’C’与△ABC 重叠部分的面积S 与平移的距离x 之间的关系式，并直接写出x 的取值范围。

(3)观察图3，若△D’E’C’平移到CA 边上某一点处停止平移，然后将△D’E’C’绕着点C’顺时针旋转，设旋转角为a (0°≤a <180°)。

在旋转过程中，C’D’所在的直线与BA 所在的直线相交于点P ，当a 为多少度时，△PC'A 为等腰三角形?直接写出a 的度数。

BACGFED CBH E3.已知正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，BA 在y 轴上，点B 与原点O 重合，点D 在第一象限．△ABE 是等边三角形，点E 在第二象限．M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点．（Ⅰ）如图①，若BC ，当AM CM +的值最小时，求点M 的坐标；（Ⅱ）如图②，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ，AM ，CM ． ①求证△AMB ≌△ENB ；②当AM BM CM ++的最小值为13+时，直接写出此时点E 的坐标．4.问题发现：如图1，在△ABC 中，∠C =90°，分别以AC ，BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ．（1）△ABC 和△DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”）（2）拓展探究：若∠C ≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC 与BD 为10，分别以四边形ABCD 的四条边为边向外侧作正方形ABFE 正方形BCHG 、正方形CDJI ，正方形DALK ，运用（2）的图① 图②ABCD EFG结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．图1图2图35.已知，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△EFG ，并将它沿直线AB 向左平移，直线EG 与BC 交于点H ，连接AH ，CG ．（1）如图①，当AB=BC ，点F 平移到线段BA 上时，线段AH ，CG 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；（2）如图②，当AB=BC ，点F 平移到线段BA 的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；6.如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AEￌBD，垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF。

北师大版八年级下册[三角形的证明]培优

北师大版八年级下册[三角形的证明]培优《第1章三角形的证明》培优一、选择题（每小题4分，共48分）的是（）则CE的长为（）∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（）③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）AB=3，CE=4，则AD等于（）∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）10．（4分）（2019•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．12．（4分）（2019•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中15．（4分）（2019•雅安）若（a﹣1）+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= _________ ． 217．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于 _________ ．19．（4分）（2019•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC 边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．三、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）（2019•攀枝花模拟）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE 平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是 _________ 三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题(附答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题（附答案）1．如图，DE ∥GF ，A 在DE 上，C 在GF 上△ABC 为等边三角形，其中∠EAC ＝80°，则∠BCG 度数为（）A ．20°B ．10°C ．25°D ．30°2．如图，已知∠COB =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =200，则∠AOB =（）A ．400B ．600C ．1200D ．13503．如图，等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（）A ．13B ．14C ．15D ．164．如图，在ABC ∆中，AB ，AC 的垂直平分线DF ，EG 交于点M ，点F ，G 在BC 上.若46GAF ∠=︒，则M ∠的度数为( )A ．67°B ．65°C ．55°D ．45°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则P 点到AB 的距离为( )A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC中，AB=AC，∠C=75°，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．75°D．150°7．等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（）A．120°B．150°C．60°D．90°8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AC=4，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点D，则D到AB的距离为（）A．2B．4C．43D．239．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P若点P的坐标为（﹣2a，4a﹣6），则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣210．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A ．10-15 B ．10-5C ．5-5D ．20-10 11．如图，直线12l l ∕∕，点A 在直线2l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12,l l 于点,C B ，连接,AC BC . 若54ABC ∠=︒，则1∠的度数为____________.12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是 13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，若BC=5cm,则BD+DE=______.14．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________15．如图所示，点O 是直线AB 上的点，OC 平分∠AOD ，∠BOD=40°，则∠AOC=________ °．16．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，BC ＝4cm ，AB ＝_____cm ．17．在Rt △ABC 中，∠C=900 ,∠B=600 ,BC=2㎝，则AB=______㎝.18．如图，在ABC ∆中，060A ∠=，D 为ABC ∆内一点，且030DBC DCB ∠=∠=，长CD 交AB 于点E ，延长BD 交AC 于点F ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，当82DF DE +=时，DH =_________．19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若△ABC 的周长为36，BC ＝13则△BCD 周长为_______.20．如图，已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=40，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，AD ：DC=5：3，则D 点到AB 的距离是_____．21．如图，四边形ABCD 中，2,60,13,3AB AD A BC CD ==∠=︒==.(1)求ADC ∠的度数;(2)求四边形ABCD 的面积= . (第二问直接写答案)22．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =∠C =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠DEC =______°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变______（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以，请说明理由．23．已知a ，b 满足|a ﹣7|+5b -+（c ﹣42）2＝0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．24．如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥CD 交BC 的延长线于点F ，连接CD ．（1）求证：DE ＝CF ；（2）求EF 的长．25．在ABC ∆中，已知A α∠=.（1）如图1，ABC ACB ∠∠、的平分线相交于点D ．①当80α=o 时，BDC ∠度数= 度（直接写出结果）；②BDC ∠的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACE ∠角平分线交于点F ,求BFC ∠的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将FBC ∆以直线BC 为对称轴翻折得到GBC ∆，GBC ∠的角平分线与GCB ∠的角平分线交于点M （如图3），求BMC ∠的度数（用含α的代数式表示）．26．已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（I）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE=CN；②求CN的长；（II）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长。

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升测试( 含答案)

15．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为_____．
16．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．
22．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD平分∠ABC．
（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是；
（2）问题解决：如图，求证：AD=CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角时，点A的坐标为________________.
18．如图，直线直线于点，点、点是直线上的点，作直线且，作直线于点，在射线上取一点，使，的延长线交直线于点．若，则 ___________ .
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；
（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优(2021年整理)

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三角形的证明单元检测卷(提高)1等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（)A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0,则a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则|a|=｜b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC5．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5,则CE的长为（）A．10B．8C．5D．2.56.如图,D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D,交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3,则BD的长为（）A．2。

5B．1。

5C．2D．17．如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC,E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）A．10B．12C．24D．489．如图所示，在△ABC中,AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6B．8C．9D．1010．（如图，在△ABC中,∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．412．如图，在平面直角坐标系xOy中,A（0，2），B（0，6）,动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（)A．2B．3C．4D．513．如图，在等腰Rt△ABC中,∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE．连接DE，DF,EF．在此运动变化的过程中,下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形,③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题14．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．15．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_ ．16．如图,在R t△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E,∠BAE=20°，则∠C=_________ ．17．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm,CE=5cm，则DE等于_________ ．18．如图，圆柱形容器中，高为1。

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷【附答案】

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优

《第1章三角形的证明》培优一、选择题（每小题4分，共48分）的是（）则CE的长为（）∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（）③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）①②③AB=3，CE=4，则AD等于（）∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）10．（4分）（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．12．（4分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．15．（4分）（2013•雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_________．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=_________．17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于_________．19．（4分）（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是_________．三、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）（2013•攀枝花模拟）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是_________三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．。

北师大版八年级下册三角形的证明培优提高

三角形的证明单元检测卷1.（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是８0°，则它顶角的度数是(）A．80°B．8０°或２0°Ｃ．80°或50°D．２0°２.(4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0,ｂ＞０,则a+b＞0 B. 直角都相等C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则｜ａ｜=｜b｜3.△ABC中，∠A:∠Ｂ：∠Ｃ=１：２：3，最小边BC=４ｃm,最长边AＢ的长是A．5cm B．6cm C. ７cｍD．8cm4.(4分)如图，已知AE＝ＣF，∠AFＤ=∠CＥB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CＢＥ的是()A. ∠A=∠C B．ＡD=ＣB Ｃ．ＢE＝DＦD．ＡD∥BC5．（4分)如图，在△ABC中，∠B=３０°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D．若ＥＤ=５，则ＣE的长为( )Ａ．10 B. 8 C. 5 D．２.56.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB，BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E，∠A=∠ABE.若ＡC=5,ＢＣ=3,则BＤ的长为（)A．2．5 Ｂ．1．５C．2D．１7．(4分)如图，AＢ=ＡC,BE⊥ＡC于点E,CＦ⊥AB于点Ｆ，BE、CF相交于点D,则①△ＡBE≌△ＡＣF;②△BDＦ≌△CDE;③点D在∠ＢＡＣ的平分线上．以上结论正确的是（）A．① B. ②C．①② D. ①②③8.（4分)如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC,Ｅ是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=３,CE＝４,则AD等于（）A. 10 B．1２ C. 24 D. 489．如图所示，在△ABC中,AB=AＣ,D、Ｅ是△AＢC内两点,AD平分∠BAＣ.∠EBC=∠E=6０°,若BE＝６，DE＝2,则BC的长度是(）A. 6B. 8C. ９D. 10１0．(4分)（2013•遂宁)如图，在△ABC中，∠C=9０°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AＢ、AC于点M和N，再分别以Ｍ、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P，连结ＡＰ并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是(）①ＡＤ是∠BAＣ的平分线；②∠ADＣ=60°;③点Ｄ在AB的中垂线上;④S△DAC：S△ＡBC=1：３．A. 1 Ｂ. 2 C. 3 D．4１２．（４分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A（０，2），B(0，6），动点C在直线ｙ=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是( )A. 2 B．3Ｃ．4 D. 5１3．(４分)如图,在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°,ＡC=8，F是ＡB边上的中点,点D,E分别在AC,BＣ边上运动，且保持ＡD＝CE．连接ＤE,DＦ，EF．在此运动变化的过程中,下列结论：①△DＦE是等腰直角三角形；②四边形CＤＦE不可能为正方形，③DＥ长度的最小值为４；④四边形ＣDFE的面积保持不变；⑤△CDＥ面积的最大值为８.其中正确的结论是（)A．①②③ B. ①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题（每小题4分，共24分）１4.（４分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于6０°”时，首先应假设这个三角形中___.15.（4分）若（ａ﹣1)２＋｜ｂ﹣2｜=０，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_ ．１6．（4分)如图，在Rt△ABC中,∠AＢＣ=90°，DE是AC的垂直平分线，交AＣ于点D，交ＢC于点Ｅ，∠BAE=20°,则∠C=＿_＿＿＿__＿_ ．１7．（4分）如图,在△ABＣ中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ＡＣF，DE过点I,且DE∥BC.BD=8cｍ,CE=5cm,则DE等于__＿＿_____．1８．如图，圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿０.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．1９.如图,在Ｒt△ABＣ中,∠C=90°,∠Ｂ=6０°，点Ｄ是BC边上的点，ＣD=1，将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在ＡＢ边上的点E处，若点P是直线ＡD上的动点,则△ＰEB的周长的最小值是.三、解答题（每小题７分,共14分)20．(7分)如图，Ｃ是AB的中点，AD=ＢＥ，CD=CE．求证：∠A=∠B.２1．（7分)如图，两条公路OＡ和OB相交于Ｏ点，在∠AOB的内部有工厂Ｃ和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路ＯA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．四、解答题(每小题１0分,共４０分)22.(10分)在四边形ABＣＤ中,AＢ∥CＤ,∠Ｄ=90°,∠DCA=３0°，CA平分∠DＣB,AD=４cm，求AB的长度? 23.(1０分）如图，在△AＢC中，∠C=90°,AＤ平分∠CAB,交CＢ于点D,过点D作ＤE⊥AB于点Ｅ.(１）求证:△ＡCＤ≌△ＡＥD;（2)若∠Ｂ=３0°,CＤ=１,求BD的长．2４．(１0分）如图,把一个直角三角形ACＢ(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点Ａ旋转到点E的位置.Ｆ,G分别是BＤ,BＥ上的点,ＢF=ＢG,延长CF与DG交于点H．（1）求证:CF=DG;(２）求出∠FHG的度数．25.（10分)已知:如图,△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AＢ于点D，BE平分∠ＡBC，且BＥ⊥ＡＣ于E，与CD相交于点F．（1）求证:ＢF＝AC；(2)求证：.五、解答题（每小题１2分.共24分）26.（1２分）如图,在△ＡBＣ中，D是BC是中点,过点D的直线GF交AC于点Ｆ，交AＣ的平行线BG于点G，DE⊥DF交ＡB于点Ｅ，连接ＥG、ＥF．（1)求证：BＧ=ＣF；（2)求证：EG=EF；(3)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.27.（12分）△ABC中，AＢ=AC，点D为射线BC上一个动点(不与B、C重合),以ＡD为一边向AD的左侧作△AＤＥ，使AＤ=ＡE，∠D ＡE＝∠BAC,过点E作BC的平行线，交直线ＡＢ于点F,连接BE.（１)如图1，若∠BAＣ＝∠DAＥ=６0°，则△BEＦ是___＿＿_＿__三角形; （２)若∠BAC=∠DAE≠６０°①如图２,当点Ｄ在线段BC上移动，判断△ＢＥＦ的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△ＢＥF是什么三角形?请直接写出结论并画出相应的图形.北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2０１4年单元检测卷A（一)参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分,共４8分）１.（４分）(201３•钦州）等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是（)A. 8０°B. 8０°或20°C．80°或50°D．20°考点: 等腰三角形的性质．专题：分类讨论.分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答:解:①80°角是顶角时,三角形的顶角为80°,②8０°角是底角时，顶角为１８０°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或２０°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．(4分)下列命题的逆命题是真命题的是()A．如果ａ>0，b>0，则a+b＞0 Ｂ. 直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D. 若ａ＝6，则|ａ｜=|ｂ|考点: 命题与定理．分析:先写出每个命题的逆命题,再进行判断即可.解答：解；A.如果a＞0，b>0,则a+b>0：如果a+b>０，则a＞0，b＞0,是假命题；Ｂ．直角都相等的逆命题是相等的角是直角,是假命题；Ｃ.两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行,是真命题;Ｄ.若ａ=6,则｜a｜＝|ｂ｜的逆命题是若｜a|=｜b|,则ａ=6，是假命题. 故选:C.点评：此题考查了命题与定理,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的命题,错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.3．（4分)△ＡBC中,∠Ａ：∠B：∠Ｃ=1:2：3，最小边BC=４cｍ,最长边AB的长是（）A．５cm B. ６cm C．７cm D.考点: 含30度角的直角三角形.分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角的一半．解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是边是斜边的一半,得最长边是最小边的2倍，即８，故选D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角3０°所对的直角边是斜边的一半.４．(4分)（2013•安顺）如图，已知AＥ=CF，∠AFＤ=∠CＥB，那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ＡDF≌△CBE的是(）Ａ. ∠Ａ＝∠C B．ＡD=ＣB C. BＥ＝DF D.考点：全等三角形的判定．分析:求出AＦ=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答：解:∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EＦ，∴AF=CＥ,A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF ≌△ＣＢE （ASA ）,正确，故本选项错误； B 、根据ＡD=CB ，AF=C Ｅ,∠AFD ＝∠ＣEB 不能推出△A ＤF ≌△ＣBE,错误，故本选项正确； C 、∵在△ADF 和△CBE 中 ∴△A ＤF ≌△CBE(SAS)，正确,故本选项错误;D 、∵ＡD ∥ＢC ， ∴∠A ＝∠C ，∵在△ADF 和△ＣＢＥ中∴△A ＤＦ≌△C ＢE （ASA ）,正确，故本选项错误; 故选B.点评: 本题考查了平行线性质,全等三角形的判定的应用,注意：全等三角形的判定定理有SA Ｓ,ASA ，AAS,SSS ．5.(4分）（2012•河池）如图,在△A ＢＣ中，∠B ＝30°,B Ｃ的垂直平分线交A Ｂ于E,垂足为Ｄ．若ＥD=５,则C Ｅ的长为（ )Ａ． 10 B ． 8 C. 5 D. 2.5考点：线段垂直平分线的性质；含３0度角的直角三角形.分析：根据线段垂直平分线性质得出BE ＝ＣE,根据含30度角的直角三角形性质求出BE 的长，即可求出CE 长．解答：解：∵DE 是线段BC 的垂直平分线， ∴BE ＝CE,∠ＢD Ｅ=90°（线段垂直平分线的性质）, ∵∠Ｂ=30°，∴ＢE ＝２D Ｅ=2×5=10(直角三角形的性质)，∴CE=BE=１０．故选A ．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用,关键是得到题目比较典型,难度适中.6.（4分）(2０13•邯郸一模)如图，Ｄ为△ABC 内一点,CD 平分∠ＡCB,ＢＥ⊥CD,垂足为D,交AC 于点E,∠A ＝∠ABE ．若AC=5，ＢC=３,则BD 的长为( ） A ． 2.5 Ｂ．１.5 Ｃ． 2 D ．考点：等腰三角形的判定与性质. 分析：由已知条件判定△BEC 的等腰三角形，且ＢＣ=CE ；由等角对等边判定AE=BE,则(AC ﹣BC).解答: 解:如图，∵C Ｄ平分∠ACB,BE ⊥CD ， ∴BC ＝ＣE ．又∵∠A=∠ABE ， ∴ＡE ＝BE.∴BD=BE=ＡＥ=（AC ﹣BC)．∵ＡＣ＝５，BC=３，∴BD ＝（5﹣３）=１．故选D ．点评: 本题考查了等腰三角形的判定与性质.注意等腰三角形“三合一”性质的运用.７.（4分）如图,ＡＢ＝AC,ＢＥ⊥AC 于点E ，C Ｆ⊥AB 于点F ，BE 、CF 相交于点Ｄ,则①△ABE ≌△A ＣF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠ＢＡC 的平分线上．以上结论正确的是（ )A ． ① B. ② C ． ①② Ｄ. ①②③考点: 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质. 专题：常规题型.分析：从已知条件进行分析,首先可得△ＡＢE ≌△ACF 得到角相等和边相等,运用这些结论,进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案.解答: 解:∵BE ⊥ＡC 于Ｅ,CF ⊥ＡB 于F ∴∠AEB=∠AF Ｃ=90°， ∵AB=AC ，∠A=∠A, ∴△ABE ≌△A ＣF （①正确） ∴AE ＝ＡＦ, ∴ＢF ＝CE ， ∵B Ｅ⊥AC 于Ｅ,CF ⊥AB 于F ，∠BDF ＝∠CDE, ∴△ＢDF ≌△ＣDE （②正确) ∴DF ＝DE, 连接AD ，∵A Ｅ=A Ｆ,ＤＥ＝DF ，AD ＝AD, ∴△AED ≌△AF Ｄ， ∴∠ＦA Ｄ=∠ＥAD, 即点Ｄ在∠BAC 的平分线上（③正确）故选D ．点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活不重不漏．8.（4分）如图所示,AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是ＢC 上一点,∠BA Ｅ=∠ＤEC=60°，AB ＝3,C Ｅ＝4，则AD 等于（）Ａ. 10 Ｂ． 12 Ｃ． 2４Ｄ考点: 勾股定理；含３0度角的直角三角形．分析: 本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质. 解答：解:∵AB ⊥BC ，D Ｃ⊥B Ｃ,∠BA Ｅ＝∠DEC=6０° ∴∠ＡEB=∠ＣDE ＝30° ∵30°所对的直角边是斜边的一半 ∴AE=６，D Ｅ=8 又∵∠AED=９0°根据勾股定理 ∴A Ｄ=10. 故选A.点评: 解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边性质．９.（4分)如图所示，在△A ＢC 中，ＡＢ＝ＡC ，D 、Ｅ是△ＡB Ｃ内两点,ＡD 平分∠BA Ｃ．∠E ＢＣ=∠E ＝６０°，若BE=6,DE ＝２,则BC 的长度是( ）A ． 6 B. 8 C ．９ D ． 10 考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 分析: 作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出ＢE=6,ＤE=2，进而得出△BEM 为等边三角形,△EF Ｄ为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．解答：解:延长ED 交B Ｃ于M,延长AD 交BC 于N,作DF ∥BC ， ∵AB=AC,ＡＤ平分∠ＢAC ， ∴ＡN ⊥B Ｃ,BN=CN, ∵∠EB Ｃ=∠E=６0°， ∴△BEM 为等边三角形, ∴△EF Ｄ为等边三角形, ∵BE=6,D Ｅ=２, ∴D Ｍ=4,∵△ＢEM 为等边三角形， ∴∠EMB ＝60°， ∵AN ⊥BC, ∴∠DNM=90°, ∴∠ND Ｍ＝30°， ∴NM=2， ∴BN=4， ∴BC=２ＢN=8，故选B ．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质,能求出MN 的长是解决问１0.(4分）(２０1３•遂宁）如图，在△ＡB Ｃ中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点Ｍ和Ｎ,再分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结A Ｐ并延长交B Ｃ于点D,则下列说法中正确的个数是（ ) ①AD 是∠BA Ｃ的平分线；②∠ADC=6０°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △ＤAC :S △ＡB Ｃ=1:3. A ．１ B ． 2 C ． 3 D ．考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图. 专题: 压轴题．分析: ①根据作图的过程可以判定AD 是∠ＢＡC 的角平分线; ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠A Ｄ③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答：解：①根据作图的过程可知,ＡＤ是∠BAC 的平分线．故①正确;②如图，∵在△AB Ｃ中，∠Ｃ=90°，∠B=30°, ∴∠CA Ｂ=６0°.又∵ＡD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1=∠2＝∠CA Ｂ＝30°，∴∠3＝９0°﹣∠2＝６0°，即∠ADC ＝6０°. 故②正确;③∵∠1=∠B ＝30°， ∴A Ｄ=B Ｄ，∴点Ｄ在ＡB 的中垂线上. 故③正确;④∵如图,在直角△AC Ｄ中，∠2=3０°, ∴CD=AD,∴B Ｃ=CD ＋BD=AD+AD=ＡD,Ｓ△DAC ＝AC •CD=ＡC •ＡD ． ∴S △ＡB Ｃ=ＡC •BC=ＡC •A Ｄ=AC •A Ｄ, ∴S △DAC :Ｓ△A ＢC =AC •AD ：AC •A Ｄ=1:３．故④正确.综上所述,正确的结论是：①②③④,共有4个. 故选Ｄ．点评: 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．12.（４分)（20１3•龙岩)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(0，2)，B(０,6)，动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（）A ． 2B ． 3 Ｃ． 4 D ．考点: 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题: 压轴题．分析: 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得ＡB 的垂直平分线与直求出AB 的长，以点Ａ为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=ｘ的交点为点的距离可知以点B 为圆心,以ＡＢ的长为半径画弧，与直线没有交点.解答: 解:如图，A Ｂ的垂直平分线与直线y=x 相交于点Ｃ１,∵A(0,2），B(0，6), ∴AB=6﹣２=４，以点A 为圆心,以AB 的长为半径画弧,与直线y=x 的交点为C ２，Ｃ３, ∵OB=６,∴点B 到直线y=ｘ的距离为6×=3，∵3>４，∴以点B 为圆心,以ＡB 的长为半径画弧，与直线y ＝x 没有交点，所以,点C 的个数是1+2=３．故选B ．点评: 本题考查了等腰三角形的判定,坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观. １3．(4分）(2００9•重庆)如图,在等腰Ｒt △AB Ｃ中,∠C=90°，ＡC ＝8，F 是AB 边上的中点,点D ，E 分别在AC,BC 边上运动,且保持AD=C Ｅ.连接DE,D Ｆ，ＥF.在此运动变化的过程中,下列结论： ①△ＤFE 是等腰直角三角形； ②四边形CD ＦＥ不可能为正方形, ③DE 长度的最小值为4； ④四边形C ＤFE 的面积保持不变; ⑤△CD Ｅ面积的最大值为８.其中正确的结论是( ）A. ①②③ B ． ①④⑤ C. ①③④D ． ③④⑤考点：正方形的判定;全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形. 专题：压轴题;动点型.分析：解此题的关键在于判断△ＤEF 是否为等腰直角三角形,作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△ＣF Ｅ和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°,DF ＝EF.所以△ＤＥＦ是等腰直角三角形．可证①正确，②错误,再由割补法可知④是正确的;判断③,⑤比较麻烦,因为△ＤEF 是等腰直角三角形ＤE=DF,当DF 与ＢC 垂直小值4,故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形C ＤEF 的面积减去△ＤE Ｆ的正确的．故只有①④⑤正确.解答: 解:连接ＣF;∵△A ＢC 是等腰直角三角形,∴∠FCB=∠Ａ=4５°,CF=AF=F Ｂ； ∵AD=CE,∴△ADF ≌△C ＥF;∴ＥF=DF,∠ＣF Ｅ=∠ＡF Ｄ；∵∠AFD+∠CFD ＝９0°,∴∠ＣFE+∠CF Ｄ=∠EF Ｄ=９0°, ∴△E ＤF 是等腰直角三角形. 因此①正确. 当D 、E 分别为A Ｃ、ＢC 中点时,四边形C ＤＦE 是正方形. 因此②错误． ∵△A ＤF ≌△ＣEF ， ∴S △CEF =S △ADF ∴Ｓ四边形CE ＦD ＝S △AFC , 因此④正确. 由于△ＤEF 是等腰直角三角形，因此当ＤＥ最小时，D Ｆ也最小；即当ＤF ⊥AC 时,DE 最小，此时DF ＝BC ＝4.∴ＤE=ＤF=４；因此③错误.当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DE Ｆ的面积最小．此时S △ＣDE =S 四边形CE ＦD ﹣S △DEF =S △AFC ﹣S △DE Ｆ=1６﹣8=8；因此⑤正确.故选B ．点评: 本题考查知识点较多，综合性强,能力要求全面,难度较大.但作为选择题可采用排除法等特有方法,使此题难度稍稍降低一些.二、填空题(每小题4分,共24分)14．(4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中每一个内角都大于６０° ．考点：反证法．分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可. 解答：解:根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立,即三角形的每一个内角都大于６0°．故答案为：每一个内角都大于60°. 点评: 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：(1）假设结论不成立；（2)从假设出发推出矛盾;（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种，那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定. 15.(４分）（2０１3•雅安)若（a ﹣1）2＋|b ﹣2|=0,则以ａ、b 为边长的等腰三角形的周长为 5 .考点：等腰三角形的性质；非负数的性质:绝对值;非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题: 分类讨论．分析: 先根据非负数的性质列式求出ａ、b 再分情况讨论求解即可．解答: 解：根据题意得，a ﹣1=０，ｂ﹣2=０，解得a=1,b=2,①若a ＝1是腰长,则底边为２，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1＝2,∴不能组成三角形,②若a ＝2是腰长,则底边为１,三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+２＋1=5. 故答案为：５.点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质,以及三角形的三边关系，难点在于１6．(4分）如图,在Rt △A ＢC 中,∠ＡBC=90°,DE 是AC 的垂直平分线，交ＡC 于点D,交BC 于点E ，∠BAE ＝20°，则∠C= 35° .考点: 线段垂直平分线的性质. 分析：由DE 是AC 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质，可得AE=C Ｅ，又由在０°，∠B ＡE=２０°,即可求得∠C 的度数．解答: 解:∵ＤＥ是AC 的垂直平分线，∴ＡE ＝C Ｅ,∴∠C ＝∠CAE ， ∵在R ｔ△ABE 中,∠A ＢＣ=90°，∠BAE=20°,∴∠AE Ｃ=70°,∴∠C ＋∠C ＡE=70°， ∴∠C=35°. 故答案为:３5°．点评: 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握１7.(4分）如图，在△ABC 中，ＢI 、CI 分别平分∠ＡBC 、∠ACF,ＤE 过点I,且DE ∥BC.B Ｄ=８ｃm,CE=5cm ，则DE 等于 3ｃm .考点：等腰三角形的判定与性质;平行线的性质. 分析: 由ＢI 、C Ｉ分别平分∠AB Ｃ、∠AC Ｆ，DE 过点I ，且D Ｅ∥BC ，易得△BDI 与△ECI 是等腰三角形，继而求得答案.解答: 解：∵ＢI 、ＣI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ABI=∠C ＢI ，∠ECI ＝∠ＩCF,∵DE ∥BC ，∴∠ＤI Ｂ=∠CBI ，∠ＥIC ＝∠ICF, ∴∠ABI ＝∠DIB,∠EC Ｉ＝∠ＥI Ｃ, ∴DI ＝BD=8ｃm,EI=C Ｅ＝５cm ， ∴ＤE=DI ﹣ＥI ＝3(cm)．故答案为:3c ｍ.点评: 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形.１8.(４分）(２0１3•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2ｍ，底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0．3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点Ａ处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m(容器厚度忽略不计）．考点: 平面展开-最短路径问题．专题：压轴题.分析：将容器侧面展开,建立Ａ关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′Ｂ的长度即为所求．解答: 解：如图： ∵高为1．2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0．3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0．3m 与蚊子相对的点Ａ处， ∴A ′D=0.5m ，B Ｄ=１.2m, ∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′, 连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，Ａ′B===1.３(m). 故答案为:1.3．点评: 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开,利用轴对称的性质和勾股键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19.（４分）(2０13•资阳)如图,在R ｔ△ABC 中,∠C=90°,∠B ＝60°,点Ｄ是BC 边上的点，C Ｄ=1，将△ＡBC 沿直线AD 翻折，使点C 落在ＡB 边上的点Ｅ处,若点P 是直线AD 上的动点，则△PE Ｂ的周长的最小值是 1+ ．考点: 轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换(折叠问题）.专题: 压轴题．分析：连接CE ，交A Ｄ于Ｍ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时，PE ＋ＢP 的值最小，即可此时△BＰE 的周长最小,最小值是B Ｅ+P Ｅ+PB=BE+CD+DE=BC ＋BE,先求出BC 和B Ｅ长,代入求出即可．解答:解:连接C Ｅ,交A Ｄ于M, ∵沿ＡD 折叠C 和Ｅ重合,∴∠ACD ＝∠ＡＥＤ=9０°，ＡＣ=AE,∠CAD=∠EA Ｄ， ∴ＡＤ垂直平分ＣＥ，即C 和E 关于A Ｄ对称,CD ＝D Ｅ=１,∴当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小,即此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=B Ｅ+CD+ＤE=BＣ+ＢE ，∵∠ＤEA=９0°， ∴∠ＤEB=90°， ∵∠B=60°，DE ＝1， ∴BE=,ＢD=,即ＢC=1＋,∴△ＰEB 的周长的最小值是ＢC+BE=1++＝１+,故答案为：1+.点评: 本题考查了折叠性质,等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置,题目比较好，难度适中.三、解答题(每小题7分，共14分） 2０.（7分）（20１3•常州）如图,C 是AB 的中点,A Ｄ=BE,CD=CE ．求证：∠A ＝∠Ｂ．考点: 全等三角形的判定与性质．专题: 证明题；压轴题.分析：根据中点定义求出A Ｃ=ＢＣ，然后利用“SS Ｓ”证明△ＡC Ｄ和△BCE 全等,再根据明即可．解答：证明:∵Ｃ是AB 的中点,∴A Ｃ=BC,在△ACD 和△B ＣE 中，, ∴△ＡＣＤ≌△B ＣE(ＳSS ）, ∴∠Ａ=∠B ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质,比较简单,主要利用了三边对应相等,两三角形应角相等的性质．21．(7分）(2013•兰州）如图，两条公路OA 和O Ｂ相交于O 点，在∠ＡOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站Ｐ,使货站P 到两条公路O Ａ、O Ｂ的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站Ｐ的位置.（要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论）考点: 作图—应用与设计作图．分析：根据点P 到∠AO Ｂ两边距离相等,到点Ｃ、D 的距离也相等,点Ｐ既在∠AO Ｂ的角平分线上,又在CD 垂直平分线上，即∠AO Ｂ的角平分线和C Ｄ垂直平分线的交点处即为点P ．解答：解：如图所示：作CD 的垂直平分线,∠AOB 的角平分线的交点Ｐ即为所求．点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹．四、解答题(每小题10分,共40分) ２２.（１０分）(２０１3•攀枝花模拟）在四边形AB ＣＤ中，AB ∥C Ｄ，∠Ｄ=90°，∠DCA=30°,ＣA 平分∠DCB,AD ＝4c ｍ, 求AB 的长度？考点: 勾股定理；等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形. 专题：压轴题．分析：过B 作BE ⊥AC ，由A Ｄ=4ｍ和∠D=90°，∠DCA ＝３０°,可以求出ＡC 的长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出AD 的长. 解答: 解:∵∠D=90°，∠DC Ａ＝30°，ＡＤ=４cm, ∴ＡC=2ＡD=8cm, ∵C Ａ平分∠ＤＣＢ,A Ｂ∥CD, ∴∠CA Ｂ=∠AC Ｂ=3０°, ∴AB ＝BC ，过B 作ＢE ⊥ＡC ，∴A Ｅ=AC=４ｃm ，∴cos ∠EAB==，∴cm ．点评: 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质,解题的关键是利用锐角三角函数求出AB 的长. 23．（１0分）(2０１３•温州)如图,在△ABC 中，∠C ＝90°,A Ｄ平分∠ＣAB ，交ＣB 于点Ｄ,过点Ｄ作DE ⊥AB 于点E ． (１)求证:△A ＣD ≌△A ＥD ；(２）若∠Ｂ=３０°,CD=1,求BD 的长.考点: 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析: （1）根据角平分线性质求出CD=ＤE ，根据HL 定理求出另三角形全等即可；(2)求出∠D ＥB ＝90°,ＤE=1，根据含3０度角的直角三角形性质求出即可. 解答： (1）证明:∵AD 平分∠C ＡB,ＤE ⊥ＡB ，∠C=90°, ∴CD=ＥD,∠DEA=∠Ｃ=9０°, ∵在R ｔ△AC Ｄ和Rt △AED 中∴Rt △ＡCD ≌R ｔ△AED （H Ｌ); (2）解:∵ＤＣ=D Ｅ＝1，DE ⊥AB, ∴∠ＤEB=90°, ∵∠B=30°, ∴ＢD=2DE=2．点评: 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质,含30度角的直角三角形性质的应用，注意:角平分线上的点到角两边的距离相等．２4．(１０分）(2０1３•大庆)如图，把一个直角三角形ＡC Ｂ(∠ACB=９0°)绕着顶点B 顺时针旋转６0°,使得点Ｃ旋转到AB 边上的一点D ，点Ａ旋转到点Ｅ的位置．Ｆ,G 分别是ＢD,ＢＥ上的点,BF=B Ｇ,延长C Ｆ与DG 交于点H. （１)求证:CF=D Ｇ； (2）求出∠FHG 的度数.考点: 全等三角形的判定与性质．分析：（1）在△CBF 和△DBG 中，利用S ＡＳ即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得； (2)根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF ＝∠C ＢF=6０°,从而求解．解答: (1)证明:∵在△ＣBF 和△ＤBG 中， , ∴△CBF ≌△D ＢG(ＳAS), ∴CF ＝ＤG ；（2）解：∵△ＣBF ≌△DB Ｇ, ∴∠BCF=∠B ＤＧ，又∵∠C ＦB=∠ＤFH, ∴∠DHF ＝∠CBF=60°, ∴∠FHG=180°﹣∠DHF=18０°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．25.（10分)已知:如图,△AB Ｃ中，∠ABC ＝45°，ＤH 垂直平分ＢC 交AB 于点D ，BE 平分∠ＡＢC,且B Ｅ⊥AC 于E,与C Ｄ相交于点F. （1）求证：BF=A Ｃ; （2)求证:.考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.专题：证明题．分析: (1）由AS Ａ证△BD Ｆ≌△CD Ａ，进而可得出第（1）问的结论；（２)在△ＡBC 中由垂直平分线可得ＡB ＝ＢＣ，即点E 是A Ｃ的中点，再结合第解答：证明:(1）∵ＤH 垂直平分ＢＣ,且∠AB Ｃ=45°,∴BD=DC,且∠BDC=90°,∵∠A+∠AB Ｆ=90°,∠A+∠ＡＣD=９0°,∴∠ＡＢF=∠A ＣD,∴△BDF ≌△CD Ａ，∴B Ｆ＝AC ．(２)由(１）得BF＝AC，∵ＢE平分∠AＢC,且ＢE⊥ＡC，∴在△ＡBE和△CＢE中,,∴△ＡBE≌△CBE(ＡSＡ),∴CE=ＡE=AC=ＢＦ.点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题,应熟练掌握.五、解答题（每小题12分.共２４分）26.（12分）如图，在△ABC中,D是BC是中点,过点Ｄ的直线GF交ＡC于点F，交AC的平行线BG于点G,DE⊥ＤF交AB于点E，连接EG、EF.（1）求证:BＧ＝CＦ；（２）求证:EG=EF;(３）请你判断BE+CF与EＦ的大小关系,并证明你的结论.考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析:(1）求出∠C＝∠GBＤ，ＢD=DＣ,根据ASA证出△CFD≌△ＢＧD即可．（2)根据全等得出GD=ＤＦ,根据线段垂直平分线性质得出即可.(3）根据全等得出BG=ＣF，根据三角形三边关系定理求出即可．解答:(1）证明:∵BG∥ＡC，∴∠C=∠GBD，∵D是BＣ是中点，∴BD=DC，在△ＣFD和△ＢＧD中∴△CFD≌△ＢGＤ，∴BG＝CF．（2）证明：∵△CＦD≌△BGD，∴DG＝DF，∵DE⊥GF，∴EG＝ＥF．(3）BE＋ＣF＞EF，证明:∵△CFD≌△BＧＤ，∴ＣＦ=BG，在△BGE中，BG+BE＞ＥG,∵EF=ＥG,∴BG+CＦ>EF.点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角主要考查学生的推理能力.27.(１2分）△ABＣ中，ＡB=ＡC,点D为射线BC上一个动点(不与B、Ｃ重合),以ＡD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=ＡE,∠DＡE＝∠BAC,过点E作BC的平行线,交直线AB于点F，连接BＥ.(１）如图1，若∠BAC=∠DAＥ=６0°，则△BEF是等边三角形；(２)若∠ＢAＣ=∠ＤAＥ≠60°①如图2,当点D在线段BＣ上移动，判断△BＥＦ的形状并证明；②当点Ｄ在线段ＢC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?请直接写出结论并画出相应的图形．考点: 等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定. 分析: (1)根据题意推出△ＡE Ｄ和△ＡB Ｃ为等边三角形，然后通过求证△ＥAB ≌△DAC ，结合平行线的性质，即可推出△EFB 为等边三角形，(2)①根据（１）的推理依据，即可推出△EF Ｂ为等腰三角形,②根据题意画出图形,然后根据平行线的性质,通过求证△ＥA Ｂ≌△DAC ，推出等量关系，即可推出△EFB 为等腰三角形. 解答：解:（1)∵AB=AC ，ＡD=ＡＥ，∠ＢAC=∠DAE ＝60°,∴△AED 和△ABC 为等边三角形, ∴∠C=∠ＡBC=60°,∠EAB=∠DAC, ∴△EAB ≌△DAC ， ∴∠E ＢA=∠C=6０°， ∵EF ∥ＢC ，∴∠ＥFB ＝∠ＡＢC=60°，∵在△ＥF Ｂ中，∠EFB=∠ＥBA=60°， ∴△EFB 为等边三角形，（2）①△BEF 为等腰三角形,∵AB=A Ｃ，ＡD=AE,∠BAC=∠ＤＡE ， ∴△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴∠Ｃ=∠ABC,∠ＥAB ＝∠D ＡＣ, ∴△EAB ≌△DAC ， ∴∠EBA ＝∠Ｃ， ∵EF ∥BC,∴∠ＥFB ＝∠A ＢＣ,∵在△EFB 中，∠E ＦＢ＝∠ＥB Ａ，∴△EFB 为等腰三角形,②ＡＢ=AC ，点D 为射线ＢC 上一个动点(不与B 、C 重合),以AD 为一边向ＡD AD=AE,∠DAE ＝∠BAC,过点Ｅ作BC 的平行线,交直线ＡB 于点Ｆ，连接ＢE ． ∵△B ＥF 为等腰三角形，∵A Ｂ=AC,ＡD ＝A Ｅ,∠BA Ｃ=∠DA Ｅ, ∴△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴∠ACB=∠ABC,∠EAB ＝∠DAC ， ∴△E ＡB ≌△ＤＡC, ∴∠EBA ＝∠ACD ， ∴∠E ＢＦ＝∠ＡCB ， ∵E Ｆ∥BC ，∴∠ＡF Ｅ=∠AB Ｃ， ∵∠ＡBC=∠AC Ｂ，∴∠AFE=∠ACB, ∵在△ＥF Ｂ中，∠EB Ｆ＝∠A ＦE ， ∴△EF Ｂ为等腰三角形．点评: 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形据题意画出图形,通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论.ﻬ参与本试卷答题和审题的老师有：ｙangwy;ｚｃx;gｂl２10；dｂz1018；星期八；zjx11１;sｄ2０1１;py1６8;ｋuaile；HLiｎg；ｙｅyue；lhz691８；ｃaiｃl;ｌaｎｔin;MMＣH;Lｉｎaliu;zhjh；ZHAOJJ(排名不分先后)菁优网2014年2月１9日。

八下第一章《三角形的证明》培优提高----等腰三角形(二)

八下第一章《三角形的证明》培优提高----等腰三角形（二）一、选择题1．等腰三角形有两条边长为5cm 和9cm ，则该三角形的周长是（） A ．19cm B ．23cm C ．19cm 或23cm D ．18cm 2．等腰三角形的顶角是100°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是（）A ．30°B ．100°或40°C ．40°D ．80°4、△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数是（）（A ） 35° （B ）40° （C ）70 ° （D ）110°5．如图 C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=15°，则∠GEF 的度数是（） A ．75° B ．90° C ．105° D ．108°EDCABHFG第5题第6题第7题二、填空：6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，则∠A= .7.如图，D 、E 在BC 上，AD=BD ，AE=CE ，若∠ADE=45°，∠AED=110°，则∠B= ，∠C= ；若∠ADE=40°，则∠BAC= ；若∠BAC=120°，则DAE= .8.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= . 9、等腰三角形有一个角是70度，则其他两个角的度数是 .10.等腰三角形的周长是20厘米，有一边长是8厘米，则其他两边长为 . 11.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8厘米，BC 的垂直平分线DE 交AB 于D ，则CD= .12.△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=10厘米，则AC= . 13． A （-3, -3）和B 点是关于直线x ＝1轴对称的点, 则点B 的坐标是______14．等腰三角形有一底角的外角为100°，那么它的顶角的度数为________．8．在△ABC 中，∠A=65°，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，AC 上，BD=BE ，CD=CF ，•则∠EDF=_______． 15．已知等腰三角形的一个角为58 0，则它的底角度数_______．16 Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=22cm ，则AB 的长度是____ 17．三角形三内角的度数之比为3∶2∶1，最大边的长是20cm ，则最小边的长是_______cm 18、等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成21㎝和12㎝，则三角形的底边长为㎝。

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三角形的证明单元检测卷 1．（4分）（2013•）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A． 80° B． 80°或20° C． 80°或50° D． 20° 2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是 A． 5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm 4．（4分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A． ∠A=∠C B． AD=CB C． BE=DF D． AD∥BC 5．（4分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（） A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5 6.如图，D为△ABC一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（） A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D． 1 7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（） A． ① B． ② C． ①② D． ①②③ 8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（） A． 10 B． 12 C． 24 D． 48 9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（） A． 6 B． 8 C． 9 D． 10 10．（4分）（2013•）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC

：

S△ABC

=1：3．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4； ④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（） A． ①②③ B． ①④⑤ C． ①③④ D． ③④⑤ 二、填空题（每小题4分，共24分） 14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 ___． 15．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 _ ． 16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= _________ ．

17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于 _________ ． 18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．三、解答题（每小题7分，共14分） 20．（7分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B． 21．（7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．四、解答题（每小题10分，共40分） 22．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？ 23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长． 24．（10分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数． 25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分） 26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是 _________ 三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60° ①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明； ②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）（2013•）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A． 80° B． 80°或20° C． 80°或50° D． 20°

考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．

2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若a=6，则|a|=|b|

考点：命题与定理．分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．解答：解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题； B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题； C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题； D．若a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题．故选：C．点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的 3．（4分）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（） A． 5cm B． 6cm C． 7cm D．考点：含30度角的直角三角形．分析：三个角的比以及三角形的角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角30半．解答：解：根据三个角的比以及三角形的角和定理，得直角三角形中的最小角是30°，根边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半． 4．（4分）（2013•）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A． ∠A=∠C B． AD=CB C． BE=DF D．考点：全等三角形的判定．分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答：解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE， A、∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故C、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误； D、∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 5．（4分）（2012•）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（） A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5 考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．解答：解：∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质）， ∵∠B=30°， ∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质）， ∴CE=BE=10．故选A．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中． 6．（4分）（2013•一模）如图，D为△ABC一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（） A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D． 1 考点：等腰三角形的判定与性质．分析：由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=BE=AE=（AC﹣BC）．解答：解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD， ∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE， ∴AE=BE． ∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）． ∵AC=5，BC=3， ∴BD=（5﹣3）=1．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．