2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期初考数学(文)试题

永春一中2017-2018学年度下学期期初考试试卷高二文科数学（必修5+选修1-1）考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题、填空题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列抛物线中，准线方程为1=x 的是（ ）A ．x y 22-=B ．x y 42-=C ． x y 22=D ．x y 42=2.若b a ,是实数，则"2">a 是"4"2>a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若等差数列{}n a 中，,262=+a a 则=4a （ ） A ．2 B ．1 C ．2 D ．2或2-4.下列关于命题的说法正确的是（ ）A ．若q p ∨是真命题，则q p ∧也是真命题B ．若q p ∧是真命题，则q p ∨也是真命题C.“若,022=--x x 则2=x ”的否命题是“,022≠--x x 则2=x ” D ．“200,0x x ∃∈≤R ”的否定是“0,2≤∈∀x x R ”5.若双曲线的中心在原点，离心率35=e ，左焦点是()0,5-F ，则F 到渐近线的距离是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．56.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+,,3,0623x y x y x 则y x z +=2的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡9,29B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9,29 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,518 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡9,5187.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若C B A ,,成等差数列，且满足A aB cC b cos 2cos cos =+，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角非等腰三角形 C.等边三角形 D ．等腰钝角三角形 8.若函数()x f 的导函数()x f '的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．1x 是()x f 的一个极值点B ．1x 和3x 都是()x f 的极值点 C.2x 和3x 都是()x f 的极值点 D ．1x ，2x ，3x 都不是()x f 的极值点 9.若命题“02,2≥++∈∀mx x x R ”为真命题，则m 的取值范围是（ ）A ．()+∞,22B ．()22,22- C. []22,22- D ．),22[]22,(+∞⋃--∞ 10.过椭圆205422=+y x 内一点)1,1(P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（ ）A ．0954=-+y xB ．0945=-+y x C.0154=+-y x D ．0145=--y x 11.《张丘建算经》中载有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第7天行走距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数）．（ ） A ． 10里 B ．8里 C.6里 D ．4里12.若定义在()+∞,0的函数()x f 的导数()x f '满足()10xf x '+>，且()11=f ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()1>e fB ．01<⎪⎭⎫⎝⎛e f C. ()()0,,1>∈∀x f e x D ．()()021,,1<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∃x f x f e x第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若0>x ，则28x x+的最小值为 ．14.若数列{}n a 的前n 项和,22n n S n +=则=4a ．15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 长等于 ．16.据气象部门报道，台风“天秤”此时中心位于C 地，并以25千米每小时的速度向北偏西30的方向移动，假设距中心r 千米以内的区域都将受到台风影响.已知B 地在C 地的正西方向，A 地在B 地的正西方向，若2小时后A ，B 两地均恰好受台风影响，则r 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在△ABC 中，3,7==AB BC ，且53sin sin =B C 。

（Ⅰ）求AC ； （Ⅱ）求△ABC 的面积ABC S ∆ 。

18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，且442251,,25,1b S b S S a ====.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-141n S 的前n 项和.19. 如图，在梯形ABCD 中，CD AB,对角线72=AC , 120=∠ADC ,772cos =∠CAB .（I ）求AD 的长；（Ⅱ）若32=BC ,求梯形ABCD 的面积.20.已知函数().13223-++=x x ax x f （I ）当21-=a 时，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）若函数()x f 在[]3,1上单调递增，试求出a 的取值范围.21.已知椭圆的两焦点为)0,3(1-F ，)0,3(2F ，离心率23=e 。

（I ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）设直线m x y l +=:与椭圆相交于P 、Q 两点，且PQ 等于椭圆的短轴长，求m 的值.22.已知函数()()()()().1ln ,1212R ∈+=-=k x k x g x x f （I ）若1=k ，求()x g 在x e =处的切线方程；（II ）证明：对任意正数k ，函数()x f 和()x g 的图象总有两个公共点.永春一中高二年期初考试数学（文科）参考答案一、选择题1-5:BABBC 6-10: DCACA 11、12：CC二、填空题13.8 14. 9 15. 4 16.50325<<r三、解答题17. 解：（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin AC ABB C =-----------------2分 ∴sin 3sin 5AB C AC B == ∴5353AC ⨯== -----------------5分（Ⅱ）由余弦定理，得222925491cos 22352AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⨯⨯,∴120A =︒。

-----------------8分 ∴1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅=1352⨯⨯-----------------10分 注：用海伦公式法，同样给分。

18.（I ）由⎩⎨⎧=+==,251051151d a S a 解得,2=d所以.12-=n a n ………………………………………………………………………………………………………………………………4分因为,16,442==S S 所以,16,442==b b 因为{}n b 是各项均为正数的等比数列，所以,224===b b q 所以.222n n n q b b ==-……………………………………………………………………………………………………………………7分（Ⅱ）(),21212n n n S n =-+=……………………………………………………………………………………………8分所以()()()(),12112121121211411412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-=-n n n n n S n …………………………………………9分 所以2114114114121=-+⋅⋅⋅+-+-n S S S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211215131311n n .12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn ……………………………………………………………………………………………………12分19.（I ）因为AB ,所以,CAB DCA ∠=∠所以,73sin ,772cos =∠=∠DCA DCA 由,sin sin DCA AD ADC AC ∠=∠得：,732372AD =解得：.4=AD …………………………………………………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）法一：由余弦定理，得,120cos 42162822⋅⋅⋅-+==CD CD AC即,01242=-+CD CD 解得：2=CD 或6-=CD （舍去）.在ABC ∆中，由余弦定理，得,cos 722281222CAB AB AB BC ∠⋅⋅-+==即：,01682=+-AB AB 解得4=AB ,又梯形的高,3260sin =⋅= AD h 所以().36322421=⋅+=∆ABCD S …………………………………………………………………………………12分 法二：同法一求得2=CD ，,32=h 又,32h BC ==故,4,22=-=∴⊥BC AC AB AB BC故().36322421=⋅+=∆ABCD S ………………………………………………………………………………………12分 20.（I ）当21-=a 时，函数().13123-++-=x x x x f(),122++-='x x x f令(),0>'x f 即,0122<--x x 解得;2121+<<-x 令(),0<'x f 解得21+>x 或.21-<x 所以当21-=a 时，函数()x f 的单调递增区间是()21,21+-， 单调递减区间是()21,-∞-和()+∞+,21. ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）法一：(),1222++='x ax x f 函数()x f 在[]3,1上单调递增， 等价于()01222≥++='x ax x f 在区间[]3,1∈x 恒成立， 等价于2212x x a --≥在区间[]3,1∈x 恒成立.等价于[]3,1,212max2∈⎪⎭⎫⎝⎛--≥x x x a 令(),21121222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=x x x x x g 因为(),0114413232>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---='x x x x x g 所以函数()2212x x x g --=在区间[]3,1∈x 上单调递增， 故()()1873max-==g x g所以a 的取值范围是.,187⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-…………………………………………………………………………………………12分 法二：(),1222++='x ax x f 函数()x f 在[]3,1上单调递增，等价于()01222≥++='x ax x f 在区间[]3,1∈x 恒成立， 令().1222++=x ax x h 则命题等价于()0min ≥x h 在区间[]3,1∈x 恒成立. （1）当0≤a 时，由()()⎩⎨⎧≥+=≥+=,07183.0321a h a h 解得;0187≤≤-a（2）当0>a 时因为函数图像的对称轴,1021<<-=ax 此时只有满足()⎩⎨⎧≥+=>03210a h a ，解得0>a .综上所述a 的取值范围是.,187⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-…………………………………………………………………………………12分 21.解：（I ）设椭圆方程为12222=+by a x )0(>>b a ，则3=c ，23=a c ，∴1,2222=-==c ab a ∴所求椭圆方程为1422=+y x . ……6分 （Ⅱ）由⎩⎨⎧=++=4422y x m x y ，消去y ，得0)1(48522=-++m mx x ， 则0)1(806422>--=∆m m 得52<m （*）设),(),,(2211y x Q y x P ，则5821mx x -=+，5)1(4221-=m x x ，2]5)1(16)58[(2)()(22221221=---=-+-=m m y y x x PQ解得：215,8m =满足（*）430±=∴m ……12分 22.（I ）1=k 时，则()(),1,1ln xx g x x g ='+= ()x g 在e x =处的切线的斜率(),1ee g k ='=又e x =时，(),1ln +=e e g 即切点()2,e ， 所以()e g 在e x =处的切线方程为：()e x e y -=-12，即.11+=x ey ……………………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）法一：记()()(),21ln 212k x k x x g x f x F ---=-= 则()xkx x F -='（已知0>k ）.因为()x g 有意义，,0>x 所以()(),00,0k x x F k x x F <<⇔<'>⇔>'所以()x F 在(]k ,0单调递减，在[)+∞,k 单调递增，故()().21ln 212121ln21min ---=---==k k k k k k k k Fx F 记(),21ln 2121---=k k k k G ().ln 211)1(ln 2121k k k G --=+--='因为(),00.ln 2112-<<⇔>--='e k k k G所以()k G 在(]2,0-e 单调递增，在[)+∞-,2e 单调递减， 故()()()012121ln 212122222max <-=---==-----e e e eeG k G 故()0<k G 恒成立，即()().0min <=k Fx F又0→x 时，()+∞→+∞→x x F ,时，()+∞→x F ，故()x F 在(]k ,0和[)+∞,k 各有一个零点，即()x f 和()x g 的图像在(]k ,0和[)+∞,k 各有且只有一个公共点. ……………………………12分法二：函数()x f 和()x g 的图像总有两个公共点，等价于()=x f ()x g 总有两个实数根.()=x f ()(),1ln 21212+=-⇔k k x x g 显示ex 1=不是该方程的根. 当e x 1≠时，()().1ln 21212+-=⇔=x x k x g x f 记().1ln 21212+-=x x x H 则().2121ln )1(ln )1(ln 2121ln 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++='x x x x x x x x x x H再记()(),02121ln 2>++=x xx x K 因为(),10111323>⇔>-=-='x xx x x x K 所以()x K 在(]1,0单调递增，在[)+∞,1单调递减所以()()(),011min >==≥K x K x K 即(),0>'x H从而()x H 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 均单调递增，又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，0→x 时，()ex x H 1,0→→时，()+∞→x H ， 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1ex 时，ex 1→时，()+∞→-∞→x x H ,时，()+∞→x H ， ()x H 的草图如图：故对任意的正数k ，直线k y =与()x H 的图像总有两个公共点，即方程1ln 21212+-=x x k 总有两个根， 即函数()x f 和()x g 的图像总有两个公共点，命题得证. …………………………………………………12分。