对称三对角Toeplitz矩阵的条件数估计
关于Toeplitz矩阵的计算_21_25
n −1
第二步，计算 µ k = λ ， （ k = 1,2, " , n − 1 ） ；
−1 k
第 三 步 ， 求 出 循 环 Toeplitz 矩 阵 C 的 逆 矩 阵 C −1 = circ(η 0 ,η 1 , "η n −1 ) ，
η k = ∑ µ j ω − kj ， （ k = 1,2, " , n − 1 ） 。
x 0 = 0 ， x1 = 1 ， y 0 = 0 ， y1 = 1 1 x k +1 = − (αx k + γx k −1 ) ， （ k = 1,2, " , n − 1 ）
β
y k +1 = −
1
γ
(αy k + β y k −1 ) ， （ k = 1,2, " , n − 1 ）
p = c T Jx = γx n −1 + αx n ， q = y T Jr = β y n −1 + αy n
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第三章 特殊 Toeplitz 矩阵的逆矩阵的研究
特殊的 Toeplitz 矩阵有广泛的应用前景，特别在生物学、物理学、数学、社会 科学中的许多问题都和 Toeplitz 矩阵的理论有着密切的关系。在数理统计、石油、 地震物探及其它应用科学中，尤其是图象、数字信号处理中，常会遇到循环矩阵 这类特殊矩阵。带状 Toeplitz 方程组广泛应用于科学计算和工程计算中，尤其是在 双曲偏微分方程的数值求解中，随着科学技术的不断发展，问题的规模越来越大， 适应于大规模计算的并行算法也被陆续提出来。因此，对于这类特殊的 Toeplitz 矩 阵的研究是有必要的。
⎞ ⎛β ⎛γ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜α β ⎜ ⎟ ⎜ ，N =⎜ M= γ α β ⎟ ⎜ ⎜ % % % ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ γ α β⎠ ⎝ ⎝
计算广义实对称三对角矩阵特征值问题的分治算法
2002 年第 24 卷第 5 期 Vol 24, No 5, 2002
文章编号: 1007 130X( 2002) 05 0015 03
计算广义实对称三对角矩阵特征值问题 的分治算法
The Divide and Conquer Algorithm for Generalized Symmetric Tridiagonal Eigenvalue Problems
L ) ( x ) = x + n/ (- f ∗( x ) / f ( x ) )
( n - 1) [ ( n - 1) (- f ∗( x ) / f ( x ) ) 2 - n(f +( x ) / f ( x ) ) ] )
其中 f ( x ) 、f ∗( x ) 和 f +( x ) 均采用三项递推式, 且 计算量基本相同。当 x ( i , i + 1) 时, L + ( x ) 比 较接近 i + 1, L_( x ) 比较接近 i 。并且 Laguerre 迭 代是三次收敛的, 割线迭代法的渐进收敛率为 1. 618[ 3] 。显然, 要收敛到相同的精度, Laguerre 迭代 次数比割线迭代法少。但每迭代一次, Laguerre 迭 代算法的计算量显然要比割线法多。那么, 两者 比较, 到底有什么样的关系呢?
T^ - S^ 0
0T
W( )
定义 1[ 4] 对称矩阵 A 的惯性( v, !, ∀) 分别
表示矩阵 A 的小于 0、等于 0 和大于 0 的特征值 个数。
定理 1( Sylvester s 惯性定理[ 1] ) 如果 A Rn # n 是对称的, X Rn# n 是非奇异的, 那么矩阵
16
A 和 XT AX 有相同的惯性。 由引理 1 和定理 1 可得: 定理 2 设 不是( T^ , S^ ) 的特征值, 并令 V
Toeplitz矩阵
Toeplitz矩阵简介托普利兹矩阵，简称为T型矩阵，它是由Bryc、Dembo、Jiang于2006年提出的。
托普利兹矩阵的主对⾓线上的元素相等，平⾏于主对⾓线的线上的元素也相等；矩阵中的各元素关于次对⾓线对称，即T型矩阵为次对称矩阵。
简单的T形矩阵包括前向位移矩阵和后向位移矩阵。
在数学软件Matlab中，⽣成托普利兹矩阵的函数是：toeplitz(x,y)。
它⽣成⼀个以 x 为第⼀列，y 为第⼀⾏的托普利兹矩阵，这⾥x, y均为向量，两者不必等长。
由左边的 Toeplize 矩阵可知，Toeplize 矩阵不必是⽅阵；下⾯来看该矩阵的维度信息，如下图所⽰：代码：Pythonclass Solution(object):def isToeplitzMatrix(self, matrix):#右上三⾓形for j in range(0, len(matrix[0])):temp = matrix[0][j]x = 0y = jwhile x<len(matrix) and y<len(matrix[0]):if matrix[x][y]!=temp:return Falsex = x + 1y = y + 1#左下三⾓形for i in range(0, len(matrix)):temp = matrix[i][0]x = iy = 0while x<len(matrix) and y<len(matrix[0]):if matrix[x][y]!=temp:return Falsex = x + 1y = y + 1return TrueC++class Solution {public:bool isToeplitzMatrix(vector<vector<int>>& matrix) { //右上三⾓形int temp,x,y;for(int j=0; j<matrix[0].size(); j++){ temp = matrix[0][j];x = 0;y = j;while(x<matrix.size() && y<matrix[0].size()){if(matrix[x++][y++]!=temp)return false;}}//左下三⾓形for(int i=0; i<matrix.size(); i++){temp = matrix[i][0];x = i;y = 0;while(x<matrix.size() && y<matrix[0].size()){if(matrix[x++][y++]!=temp)return false;}}return true;}};有⽤的链接：。
关于Toeplitz矩阵的计算_6_10
目录第一章 绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 Toeplitz矩阵简介 (2)1.3 本文的主要工作 (4)第二章 TOEPLITZ矩阵的逆矩阵的研究 (5)2.1 引言 (5)2.2 求逆矩阵的直接方法 (7)2.3 逆矩阵的表现形式 (8)2.4 逆矩阵的新分解式 (11)第三章 特殊TOEPLITZ矩阵的逆矩阵的研究 (16)3.1 循环Toeplitz矩阵的逆矩阵 (16)3.2 三对角Toeplitz矩阵的逆矩阵 (18)3.3 五对角Toeplitz矩阵的逆矩阵 (20)第四章 TOEPLITZ线性方程组的研究 (26)4.1 Toeplitz线性方程组的解法 (26)4.2 带状Toeplitz线性方程组的解法 (28)4.3 本章小结 (34)致 谢 (35)参考文献 (36)攻硕期间取得的研究成果 (39)III第一章绪论1.1 引言矩阵是数学上的一个重要概念，用矩阵的理论和方法来处理错综复杂的问题时，具有表达简洁，对问题实质刻画深刻等优点，已经成为科技领域内不可缺少的数学工具。
如今，随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普遍运用，数学的独特魅力，在借助于计算机这一强大的工具作用下，在解决科技生产中的重大实际问题的过程中得以充分的体现。
现今矩阵已是数学上的一个重要概念，由于它描述问题表达简洁，刻画实质深刻等优点，因此近几十年来已成为解决科技生产中的重大实际问题所常用的方法之一。
就这样，许多著名的数学工作者的参与，又为矩阵分析和计算的发展提供了有力的智力支持，而广大工程技术人员和科技人员的加入，又为矩阵分析和计算的应用开辟了广阔的应用前景。
矩阵计算的理论和方法与方程组的求解是数值代数的核心方向之一，已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为“大规模科学工程计算理论”的一个重要组成部分。
特别地，特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中都占有十分重要的地位，在数学、经济学、生物学、现代物理学等领域都有广泛的应用，对特殊矩阵研究的任何实质性进展都对矩阵理论及相关领域的发展起着重要的推动作用。
关于Toeplitz矩阵的计算_1_5
摘要本文的研究涉及三个方面的内容：Toeplitz矩阵的逆的求法与分解式、特殊Toeplitz矩阵的逆的求法与分解式、Toeplitz线性方程组的解法。
全文共分四章三个部分，创新成果着重体现在第二章、第三章及第四章。
第一部分（第一章）介绍有关Toeplitz矩阵和特殊Toeplitz矩阵的定义以及一些的简单性质。
第二部分（第二章和第三章）主要研究Toeplitz矩阵的逆的求法与分解式，特殊Toeplitz矩阵的逆的求法。
在第二章，本文先给出了Toeplitz矩阵的逆的求法和Toeplitz矩阵的逆的分解式。
本文得到一个新的结论，Toeplitz矩阵的逆矩阵显式表示为循环矩阵与下三角Toeplitz矩阵的乘积之和，并讨论了此分解式的稳定性。
在第三章，本文先给出循环Toeplitz矩阵和三对角Toeplitz矩阵的逆的求法，并且给出了显式逆。
还对五对角Toeplitz矩阵的逆进行了研究，给出了新的结论，得到五对角Toeplitz矩阵的逆的求法，而且显式地表示了五对角Toeplitz矩阵的逆。
第三部分（第四章）主要讨论了Toeplitz线性方程组的解法，介绍了用Zohar 算法、Akaike算法、Bareiss变换法、Gohberg-Kailath-Koltracht算法以及快速傅立叶方法来求解一般Toeplitz线性方程组。
同时，本文给出了新的算法来求解五对角Toeplitz线性方程组和循环五对角Toeplitz线性方程组。
关键词：Toeplitz矩阵，三对角矩阵，循环Toeplitz矩阵，五对角矩阵，逆IABSTRACTThis thesis presents a systematic research on Toeplitz matrices such as computing the inversion of Toeplitz matrices and solving the Toeplitz linear systems. The thesis consists three parts with four chapers.In part one (chapter one), we give the definitions of the Toeplitz matrix and the special Toeplitz matrix. The simple properties of the Toeplitz matrix are presented.The algorithms and the expressions for the inversion of Toeplitz matrix and special Toeplitz matrix are given in part two (chapter two and three). In chapter two, we introduce the methods computing the inversion of Toeplitz matrix and the factorization for the inversion of Toeplitz matrix. A new conclusion is obtained: the inversion of a Toeplitz matrix can be denoted as a sum of products of circulant matrices and upper triangular Toeplitz matrices. In chapter three, we give a new fast algorithm to computing the inversion of the five-diagonal Toeplitz matrix. The inversion of the tridiagonal Toeplitz matrix is also considered.In the last part (chapter four), the algorithms for solving the Toeplitz linear systems, circulant Toeplitz linear systems and the band Toeplitz linear systems are presented. At first, we introduce some classical methods for solving the Toeplitz linear equations. Then, two algorithms for solving the five-diagonal Toeplitz matrix linear equations are given.Keywords: Toeplitz matrix, tridiagonal matrix, circulant Toeplitz matrix, five-diagonal matrix, inversionII。
toeplitz 定理
toeplitz 定理
Toeplitz定理是数学中的一个重要定理，它涉及到矩阵和线性
代数领域。
Toeplitz矩阵是指对角线上的元素相等的矩阵，而Toeplitz定理则是关于这类矩阵的性质和特征的定理。
从数学角度来看，Toeplitz定理可以从多个角度进行解释和阐述。
首先，我们可以从定义上来解释Toeplitz矩阵，即矩阵的对角
线上的元素相等，而其它元素具有某种规律性。
接着，可以从线性
代数的角度来解释Toeplitz定理，即讨论Toeplitz矩阵的特征值、特征向量和对角化等性质。
此外，还可以从数值分析的角度来解释Toeplitz定理，讨论Toeplitz矩阵在数值计算中的应用和特殊性质。
另外，Toeplitz定理在信号处理、图像处理、通信系统等领域
也有重要应用，可以从应用角度来解释Toeplitz定理。
例如，在信
号处理中，Toeplitz矩阵可以用来描述离散信号的自相关矩阵，而Toeplitz定理则可以用来分析信号处理算法的性能和稳定性。
总之，Toeplitz定理涉及到数学中的矩阵理论、线性代数、数
值分析等多个领域，其在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
通过多角度的解释和阐述，可以更全面地理解和应用Toeplitz定理。
三对角toeplitz矩阵 python 迭代法 -回复
三对角toeplitz矩阵python 迭代法-回复三对角Toeplitz矩阵是一种特殊类型的方阵，其中除了对角线和相邻的两个对角线上的元素外，其余的元素都为零。
这种矩阵在数学、物理学和工程学等领域中具有重要的应用。
本文将介绍如何利用Python语言中的迭代法来解决三对角Toeplitz矩阵的问题。
在开始之前，我们首先需要了解一下三对角Toeplitz矩阵的定义和特点。
一个n\times n的三对角Toeplitz矩阵可以表示为：\[\begin{bmatrix}b_1 & c_1 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\a_1 & b_2 & c_2 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\0 & a_2 & b_3 & c_3 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & a_{n-2} & b_{n-1} &c_{n-1} \\0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & a_{n-1} & b_n \\\end{bmatrix}\]其中，a_i, b_i, c_i是已知的实数。
特别地，当a_i = c_i时，该矩阵称为对称三对角Toeplitz矩阵。
toepliz定理的证明
Toeplitz定理的证明1. 引言Toeplitz定理是线性代数中一个重要的定理，它描述了Toeplitz矩阵的特殊性质。
本文将介绍Toeplitz矩阵的定义，并给出Toeplitz定理的证明。
2. Toeplitz矩阵的定义Toeplitz矩阵是一种特殊的方阵，它的每一条斜对角线上的元素都相等。
具体地，一个n阶Toeplitz矩阵可以表示为：T=[a0a−1a−2⋯a−(n−1) a1a0a−1⋯a−(n−2) a2a1a0⋯a−(n−3)⋮⋮⋮⋱⋮a n−1a n−2a n−3⋯a0]其中，a i表示Toeplitz矩阵第i条斜对角线上的元素。
3. Toeplitz定理的陈述Toeplitz定理指出，如果一个n阶Toeplitz矩阵的第一列和第一行的元素相同，即a i=a−i，则该矩阵是Hermite正定的。
4. Toeplitz定理的证明为了证明Toeplitz定理，我们需要先证明一个引理。
引理1：如果一个n阶Toeplitz矩阵的第一列和第一行的元素相同，即a i=a−i，则该矩阵是正定的。
证明：设X=[x0,x1,⋯,x n−1]T是任意非零的n维列向量。
我们需要证明X T AX>0，其中A是一个n阶Toeplitz矩阵。
由Toeplitz矩阵的定义可知，我们可以将A表示为：A=[a0a−1a−2⋯a−(n−1) a1a0a−1⋯a−(n−2) a2a1a0⋯a−(n−3)⋮⋮⋮⋱⋮a n−1a n−2a n−3⋯a0]我们可以将X T AX 展开为：X T AX =∑∑x i n−1j=0n−1i=0a i−j x j由于a i =a −i ，我们可以将上式改写为：X T AX =∑∑x i n−1j=0n−1i=0a |i−j |x j进一步改写为：X T AX =∑∑x i n−1j=0n−1i=0a i−j x j我们可以发现，上式实际上是一个二次型的展开形式。
由于a i =a −i ，所以二次型的系数矩阵是对称的。
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对称三对角Toeplitz矩阵的条件数估计杨兴东;丁三芹;刘诗卉;苏润青【摘要】In this paper,we studied the norm condition number of symmetry tridiagonal Toeplitz matrix.Then it gives the estimate for 2-norm and Frobenius norm of a symmetry tridiagonal Toeplitz matrix,as well as a numerical example.Tridiagonal Toeplitz matrix which possesses potential practical significance in other applied fields,for example,subjects of cubic spline interpolation,three differential equations,parallel computing,analysis of telecommunication control,heat conduction equationsand so on.%三对角Toeplitz矩阵在三次样条插值、三项差分方程、并行计算以及电信控制分析与热传导方程等学科有着重要的应用.目前,关于三对角Toeplitz矩阵的研究在国内外十分活跃.本文则研究对称三对角Toeplitz矩阵范数条件数,给出对称三对角Toeplitz矩阵的2-范数以及F-范数的估计式,同时给出数值例子.【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)002【总页数】6页(P1-6)【关键词】对称三对角Toeplitz矩阵;条件数;估计;2-范数;F-范数【作者】杨兴东;丁三芹;刘诗卉;苏润青【作者单位】南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044【正文语种】中文【中图分类】O151.21设a,b∈R,则n阶实对称矩阵称为对称三对角Toeplitz矩阵. 三对角Toeplitz矩阵在三次样条插值、三项差分方程、并行计算等数学领域以及电信控制分析、热传导方程等物理领域都有着重要应用[1-5]. 近年来,中外学者对三对角Toeplitz矩阵的研究十分活跃[1-10]. 文献[1-5]研究了三对角Toeplitz矩阵逆的表示方法. 文献[11-12]研究了次对角线为零的二对角Toeplitz矩阵的条件数估计.本文中,I表示n阶单位矩阵,Rn表示n维实向量集,Rm×n表示实数域上m×n矩阵集. |λ1(A)|≥…≥|λn(A)|表示A的特征值λi(A)之模的递降排序.σi(A)(i=1,…,n)表示A的奇异值,σ1(A)≥…≥σn(A)表示A的奇异值的降次排序. 显然,如果A为实对称矩阵,则σ1(A)=|λ1(A)|.设A=(aij)∈Rn×n,则记号‖表示A的Frobenius范数,简记为F-范数,其中tr(A)表示矩阵A的迹. ‖表示A的普范数,又称为2-范数.设A∈Rn×n,‖·‖为向量范数,则由向量范数诱导的矩阵范数矩阵A的条件数定义为众所周知[1-10],当矩阵范数为向量诱导范数时,显然谱范数为诱导矩阵范数,因而然而,Frobenius范数不是诱导范数. 一般地其反例见文献[9]. 早在1995年,Desmond J Hisham获得Frobenius范数条件数计算公式如下本文研究对称三对角Toeplitz矩阵2-范数以及Frobenius范数条件数,给出式(2)与式(3)的估计,使之计算更加简洁方便.为了得到Toeplitz矩阵条件数估计,我们需要若干引理.引理1[7] 设n阶对称三对角Toeplitz矩阵A如(1)所示,λi(A)为A的特征值,则说明:当n→∞时,,因此,当,即|a|>2|b|时,A为严格对角占优矩阵,从而它是非奇异的. 引理2[8] 设A如引理1所设,当时,记A-1=(bij),则引理3[10] 设A为n阶方阵,‖·‖为诱导矩阵范数,I为n阶单位矩阵,且‖A‖<1. 则引理4[11] 设A=(aij)∈Rn×n为对称矩阵,则定理1 设对称三对角Toeplitz矩阵并且>1,则证由引理1,A的特征值,设则设αk=(t1k … tnk)T为A的对应于特征值λk(A)的特征向量,并设令Q=(α1 … αn),则Q为正交矩阵,且QTAQ=diag(λ1(A),…,λn(A)).由于>1以及由引理1可知A可逆.记B=A-1=(bij),由引理2及引理4得另一方面,记α=e1+en(ei表示n阶单位矩阵的第i列),则‖且显然故由勾股定理[12]由式(6)故故由式(2)与式(5)以及式(7)即得式(4). 证毕.定理2 设A∈Rn×n以及实数a与b如定理1所设,且则证记B=I-A,则A=I-B且由引理1,B的特征值为于是故由引理3得由式(2)以及式(9)、式(10)即可得证. 证毕.注1 在定理2假设之下,当a2+b2≤1时,则从而这时应用式(4)的估计条件数cond2(A)的下界较应用式(8)估计更精确. 当时,如果a≥1则于是有这时应用式(8)估计条件数cond2(A)的下界较应用式(4)估计更精确. 注2 当1-a≥0时,式(8)为当1-a<0时,式(8)为定理3 设A∈Rn×n以及实数a与b如定理1所设,则证显然,由A的结构以及F-范数的性质,‖.设A的特征值为λi(A)(1≤i≤n),则A-1的特征值为于是存在正交矩阵Q,使由式(3)、式(5)以及式(9)即得式(11). 证毕.定理4 设A∈Rn×n以及实数a与b如定理2所设,则证由定理3的证明以及式(3)、式(9)以及式(10)即得所证. 证毕.注3 当1-a≥0时式(12)为当1-a≤0时式(12)为例设,则.利用MATLAB计算得,由定理1,得由定理3,得【相关文献】[1] JITENG J,TOMOHIRO S. Moawwad El-Mikkawy inversion of K-trdiagonal matrices with toeplitz structure[J]. Computers and matlewatics with applications,2013,65:116-125.[2] DEMMEL J W. Numerical linear algebra[J]. Philadelphia:SIAM,1997:307-320.[3] EL-MIKKAWY M E A. A generalized symbolic homas algorithm[J]. ApplMath,2012(3):342-345.[4] FISCHER C F,USMANI R A. Properties of some tridiagonal matrices and their application to boundary value problems[J]. SIAM J Mumer Anal,1969,6(1):127-142. [5] WITTENBURG J. Inverses of tridiagonal toeplitz and periodic matrices with applications to mechanics[J]. J Appl Math Mech,1998,62(4):575-587.[6] YAMAMOTO T. Inversion formulas for tridiagonal matrices with applications to boundary value problems[J]. Numer Funct Anal Optim,2001,22:357-385.[7] MEYER C D. Matrix analysis and applied linear algebra[J]. Philadelphia:SIAM,2000:279-307.[8] SALKUYEH D K. Positive integer powers of the tridiagonal toeplitz matrix[J]. Lnt Math Forum,2006,22:1 061-1 065.[9] DESMOND J H. Condition numbers and their conditions numbers[J]. Linear algebra and its applications,1995(214):193-213.[10] ROGER A H,CHARLES R J. Toeplitz in matrix analysis[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1991:290-310.[11] FANG Q. A note on the condition number of a matrix[J]. Journal of compatational and applied mathematics,2003(157):231-234.[12] DING Z Y,YANG X D,CHEN C,et al. The estimations for the norm condition number of a matrix[J]. Mathematica applicata,2014,27(4):874-879.。