求实对称三对角矩阵特征值的递归算法
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量要求求解一个实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
在介绍如何求解之前，首先我们来了解一下实对称三对角矩阵的定义。
实对称三对角矩阵是指矩阵的非零元素主对角线上的元素为a，副对角线上的元素为b，而其他元素均为0。
可以表示为如下形式：[a1b100...0][b1a2b20...0][0b2a3b3...0][00b3a4...0][..................][ 0 0 0 ... bn-1 an ]下面我们将介绍如何求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量有多种方法，其中一种常用的方法是通过迭代法，特别是Householder迭代法。
下面我们将介绍这种方法的主要步骤。
1. 首先，将实对称三对角矩阵转化为对称上Hessenberg矩阵。
对称上Hessenberg矩阵是一个具有类似三对角矩阵结构的对称矩阵。
2. 在转化得到的对称上Hessenberg矩阵上应用QR迭代，不断迭代直到矩阵的对角线元素基本上收敛于特征值。
3. 在每次QR迭代中，我们通过施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization）来构建Q矩阵，然后计算出新的矩阵R，并将其与Q相乘，得到下一次迭代的矩阵。
4.在QR迭代的最后一步，我们得到了一个上三角矩阵，其对角线上的元素即为所求的特征值。
5. 然后，我们可以通过反复应用幂迭代法（power iteration method）来求解对应于这些特征值的特征向量。
幂迭代法是一种求解线性代数特征向量的数值方法。
通过上述方法，我们可以求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
这种方法具有较高的数值稳定性和计算效率，因此在实际求解中被广泛采用。
需要注意的是，在特征值和特征向量的计算过程中，可能会出现一些特殊情况。
比如矩阵中的主对角线元素不是严格递增或递减的时候，对于这种情况，我们需要进行一些额外的处理。
计算广义实对称三对角矩阵特征值问题的分治算法
2002 年第 24 卷第 5 期 Vol 24, No 5, 2002
文章编号: 1007 130X( 2002) 05 0015 03
计算广义实对称三对角矩阵特征值问题 的分治算法
The Divide and Conquer Algorithm for Generalized Symmetric Tridiagonal Eigenvalue Problems
L ) ( x ) = x + n/ (- f ∗( x ) / f ( x ) )
( n - 1) [ ( n - 1) (- f ∗( x ) / f ( x ) ) 2 - n(f +( x ) / f ( x ) ) ] )
其中 f ( x ) 、f ∗( x ) 和 f +( x ) 均采用三项递推式, 且 计算量基本相同。当 x ( i , i + 1) 时, L + ( x ) 比 较接近 i + 1, L_( x ) 比较接近 i 。并且 Laguerre 迭 代是三次收敛的, 割线迭代法的渐进收敛率为 1. 618[ 3] 。显然, 要收敛到相同的精度, Laguerre 迭代 次数比割线迭代法少。但每迭代一次, Laguerre 迭 代算法的计算量显然要比割线法多。那么, 两者 比较, 到底有什么样的关系呢?
T^ - S^ 0
0T
W( )
定义 1[ 4] 对称矩阵 A 的惯性( v, !, ∀) 分别
表示矩阵 A 的小于 0、等于 0 和大于 0 的特征值 个数。
定理 1( Sylvester s 惯性定理[ 1] ) 如果 A Rn # n 是对称的, X Rn# n 是非奇异的, 那么矩阵
16
A 和 XT AX 有相同的惯性。 由引理 1 和定理 1 可得: 定理 2 设 不是( T^ , S^ ) 的特征值, 并令 V
三对角矩阵的特征值公式
三对角矩阵的特征值公式英文回答：The eigenvalue formula for tridiagonal matrices is a useful result in linear algebra. A tridiagonal matrix is a matrix in which the only non-zero elements are on the main diagonal, the diagonal above the main diagonal, and the diagonal below the main diagonal.To find the eigenvalues of a tridiagonal matrix, we can use the Thomas algorithm. The Thomas algorithm is an efficient method for solving tridiagonal systems of equations, but it can also be used to find the eigenvalues of a tridiagonal matrix.The eigenvalue formula for a tridiagonal matrix is given by the following equation:λ = d + 2√(bc)。
where λ is the eigenvalue, and d, b, and c are the elements of the tridiagonal matrix. The elements b and c are the non-zero elements on the diagonal above and below the main diagonal, respectively.This formula can be derived by solving the characteristic equation of the tridiagonal matrix. The characteristic equation is obtained by setting the determinant of the matrix minus λ times t he identity matrix equal to zero. By solving this equation, we can find the eigenvalues of the tridiagonal matrix.中文回答：三对角矩阵的特征值公式是线性代数中的一个重要结果。
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）摘要在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。
QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。
QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。
特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。
关键词：特征值；特征向量；QR分解Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Eigenvalue AndEigenvectorABSTRACTValues in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algorithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation is very large, and is not easy to find the exact solution.Key words:eigenvalue; eigenvector; QR decomposition目录1 绪论 (1)1.1 问题重述 (1)1.2研究方法 (1)2 QR方法 (3)2.1 QR分解的概念 (3)2.2 Givens方法 (3)2.3豪斯霍尔德方法（镜像变换） (5)2.2.1 Householder 矩阵和Householder变换 (5)2.2.2QR算法 (6)3 QR算法C实现过程 (8)3.1主要参数 (8)3.2组成模块 (8)3.3程序改错 (8)4 测试运行 (11)参考文献……………………………………………………………………………….…….. 附录…………………………………………………………………………….……………..1 绪论1.1 问题重述（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR 方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
通过这次课程设计实现用QR方法求解实对称三对角矩阵的全部特征值和特征向量。
QR方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效 方法之一。QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
对矩阵A进行拟上三角化得到A（n」）后，使用带双步位移的QR方法的迭代公式为:
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
摘要
在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。QR方法是一种变换方法，是计算
一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。QR方法具有收敛快，算法
稳定等特点•由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它 们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时， 计算量非常大，且不易求其精确解。
2.2.2QR算法.……6
3QR算法C实现过程 ……8
3.1主要参数:••……8
3.2组成模块………..8
3.3程序改错.……..8
4测试运行...11
参考文献
附录
求实对称三ห้องสมุดไป่ตู้角矩阵的特征值和特征向量（一）
1.1问题重述
（2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从70到80阶）
一4 11
1 4 1
+ 4■+
Ai =A（n」）
2
Mk二Ak-sAktl
Mk二QkRk（对Mk作QR分解）
Ak1= QkAkQk
Ax八x（1.2）
则■称为矩阵A的一个特征值，x称为矩阵A的属于■的特征向量。
由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确 解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量 非常大，且不易求其精确解。故在工程技术上，计算矩阵的特征值和特征向量主要使用 数值解法，得到其在某一精度水平上的近似解。常用的算法有：幕法、反幕法、Jacobi
矩阵递归法
矩阵递归法矩阵递归法是一种常用的数学方法，用于解决与矩阵相关的问题。
它通过将问题分解为更小的子问题，并利用递归的思想来解决这些子问题，最终得到原始问题的解决方案。
本文将详细介绍矩阵递归法的原理和应用。
一、矩阵递归法的基本原理矩阵递归法基于递归的思想，通过将一个大问题划分为若干个相同或相似的小问题，并逐步解决这些小问题，最终得到原始问题的解。
在矩阵递归法中，我们将矩阵划分为更小的子矩阵，并利用递归的方式处理这些子矩阵。
具体而言，我们可以将一个n×n的矩阵划分为四个n/2×n/2的子矩阵，然后分别对这四个子矩阵进行处理。
这种划分方式可以不断递归下去，直到子矩阵的规模足够小，可以直接求解为止。
然后，我们将这些子矩阵的解合并起来，得到原始问题的解。
矩阵递归法在计算机科学和数学领域有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 矩阵乘法矩阵乘法是矩阵递归法的一个经典应用。
我们可以将两个矩阵分别划分为四个子矩阵，并对这些子矩阵进行递归计算。
然后，将这些子矩阵的计算结果合并起来，得到最终的乘积矩阵。
2. 矩阵求逆矩阵求逆是矩阵递归法的另一个重要应用。
我们可以将一个矩阵分解为若干个子矩阵，并对这些子矩阵进行递归求逆。
然后，将这些子矩阵的逆矩阵合并起来，得到原始矩阵的逆矩阵。
3. 矩阵分解矩阵分解是矩阵递归法的另一个应用场景。
我们可以将一个矩阵分解为若干个子矩阵，并对这些子矩阵进行递归处理。
然后，将这些子矩阵的分解结果合并起来，得到原始矩阵的分解结果。
三、矩阵递归法的优缺点矩阵递归法具有以下优点：1. 算法简洁：矩阵递归法通过将问题分解为子问题，并利用递归的方式解决子问题，使得算法的表达更加简洁清晰。
2. 可扩展性强：矩阵递归法可以根据问题的规模，灵活地划分矩阵，从而适应不同规模的问题求解。
然而，矩阵递归法也存在一些缺点：1. 时间复杂度较高：由于矩阵递归法需要多次递归求解子问题，因此其时间复杂度较高，特别是在处理大规模矩阵时。
对称矩阵的特征值问题
4 分而治之法
分而治之法由 Cuppen 于 1981 年首次提出, 但直到 1995 年才出现稳定的 实现方式, 是目前计算 所有特征值和特征向量 的最快算法.
考虑不可约对称三对角矩阵
a1 b1
T
= b1
... ...
...
am−1 bm−1
bm−1 am bm
假定 T1 和 T2 的特征值分解已经计算出来
即 T1 = Q1Λ1Q⊺1 , T2 = Q2Λ2Q⊺2 , 下面考虑 T 的特征值分解.
[]
[
]
T=
T1 0 0 T2
+
bmvv⊺
=
Q1Λ1Q⊺1
0
[
0
]
Q2Λ2 ([
17/93
Wilkinson 位移:
[
]
取
a(nk−)1 b(nk−)1 b(nk−)1 a(nk)
的最接近 a(nk) 的特征值作为位移.
通过计算可得 Wilkinson 位移为
σ
=
a(nk)
+
δ
−
√ sign(δ) δ2
+
(b(nk−)1)2,
其中
δ
=
1 2
(a(nk−)1
− a(nk)).
出于稳定性方面的考虑, 我们通常用下面的计算公式
σ
3;
(b√(nk−)1)2 sign(δ) δ2 +
(b(nk−)1)2 .
定理 采用 Wilkinson 位移的 QR 迭代是整体收敛的, 且至少是线性收 敛. 事实上, 几乎对所有的矩阵都是渐进三次收敛的.
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例 带 Wilkinson 位移的隐式 QR 迭代算法收敛性演示. Matlab 代码: Eig_TriQR.m
HouseholderQR法求实对称矩阵特征值和特
Householder QR法求实对称矩阵特征值和特Householder+QR法求实对称矩阵特征值和特征向量(C程序代码)2010-12-01 10：29嗯，上一个雅可比法求n xn实对称矩阵的特征值和特征向量，是很有限制的。
虽然这个方法可靠，精度好，但是对于高于十几阶的矩阵，它就显得力不从心了，因为收敛速度比较慢。
所以对于高阶的实对称阵的特征值和特征向量的求解，目前用得比较多的还是先Householder法把对称阵变成"三对角阵"，再用QR法求取特征值。
因为赶工的原因，这两个程序我没有亲自动手写(众：怎么每次都这么多理由捏)。
这里就顺便推荐一本书：《常用算法程序集(C语言描述)》，清华大学出版社出版。
这本书的内容比较广，虽然原理上讲得不详细，但是对于赶工的程序员来说那是一条不错的捷径。
有点可惜的是此书的代码写得比较凌乱，可读性极其糟糕，有空的话(又要等"有空")某U很想把里面的代码再改写封装一下…因为实在是太实用了…为了表示对作者的尊敬，这里贴出来的代码除了函数名之外，对内容就不作修改了。
#include stdlib.h#include math.h typedef double mydouble；int qr(int n,mydouble*b,mydouble*c,mydouble*q,mydouble eps,int l){int i,j,k,m,it,u,v；mydouble d,f,h,g,p,r,e,s；c[n-1]=0.0；d=0.0；f=0.0；for(j=0；j=n-1；j++){it=0；h=eps*(fabs(b[j])+fabs(c[j]))；if(h d)d=h；m=j；while((m=n-1)&&(fabs(c[m])d))m++；if(m！=j){do{if(it==l)return 1；it=it+1；g=b[j]；p=(b[j+1]-g)/(2.0*c[j])；r=sqrt(p*p+1.0)；if(p=0.0)b[j]=c[j]/(p+r)；else b[j]=c[j]/(p-r)；h=g-b[j]；for(i=j+1；i=n-1；i++)b[i]=b[i]-h；f=f+h；p=b[m]；e=1.0；s=0.0；for(i=m-1；i=j；i--){g=e*c[i]；h=e*p；if(fabs(p)=fabs(c[i])){e=c[i]/p；r=sqrt(e*e+1.0)；c[i+1]=s*p*r；s=e/r；e=1.0/r；}else{e=p/c[i]；r=sqrt(e*e+1.0)；c[i+1]=s*c[i]*r；s=1.0/r；e=e/r；}p=e*b[i]-s*g；b[i+1]=h+s*(e*g+s*b[i])；for(k=0；k=n-1；k++){u=k*n+i+1；v=u-1；h=q[u]；q[u]=s*q[v]+e*h；q[v]=e*q[v]-s*h；}}c[j]=s*p；b[j]=e*p；}while(fabs(c[j])d)；}b[j]=b[j]+f；}for(i=0；i=n-1；i++){k=i；p=b[i]；if(i+1=n-1){j=i+1；while((j=n-1)&&(b[j]=p)){ k=j；p=b[j]；j=j+1；}}if(k！=i){b[k]=b[i]；b[i]=p；for(j=0；j=n-1；j++){u=j*n+i；v=j*n+k；p=q[u]；q[u]=q[v]；q[v]=p；}}}return 0；}void householder(mydouble*a,int n,mydouble*q,mydouble*b,mydouble*c){int i,j,k,u；mydouble h,f,g,h2；for(i=0；i=n-1；i++){for(j=0；j=n-1；j++){u=i*n+j；q[u]=a[u]；}}for(i=n-1；i=1；i--){h=0.0；if(i 1){for(k=0；k=i-1；k++){u=i*n+k；h=h+q[u]*q[u]；}}if(h+1.0==1.0){c[i]=0.0；if(i==1)c[i]=q[i*n+i-1]；b[i]=0.0；}else{c[i]=sqrt(h)；u=i*n+i-1；if(q[u]0.0)c[i]=-c[i]；h=h-q[u]*c[i]；q[u]=q[u]-c[i]；f=0.0；for(j=0；j=i-1；j++){q[j*n+i]=q[i*n+j]/h；g=0.0；for(k=0；k=j；k++)g=g+q[j*n+k]*q[i*n+k]；if(j+1=i-1){for(k=j+1；k=i-1；k++)g=g+q[k*n+j]*q[i*n+k]；}c[j]=g/h；f=f+g*q[j*n+i]；}h2=f/(h+h)；for(j=0；j=i-1；j++){f=q[i*n+j]；g=c[j]-h2*f；c[j]=g；for(k=0；k=j；k++){u=j*n+k；q[u]=q[u]-f*c[k]-g*q[i*n+k]；}}b[i]=h；}}for(i=0；i=n-2；i++)c[i]=c[i+1]；c[n-1]=0.0；b[0]=0.0；for(i=0；i=n-1；i++){if((b[i]！=0.0)&&(i-1=0)){for(j=0；j=i-1；j++){g=0.0；for(k=0；k=i-1；k++)g=g+q[i*n+k]*q[k*n+j]；for(k=0；k=i-1；k++){u=k*n+j；q[u]=q[u]-g*q[k*n+i]；}}}u=i*n+i；b[i]=q[u]；q[u]=1.0；if(i-1=0){for(j=0；j=i-1；j++){q[i*n+j]=0.0；q[j*n+i]=0.0；}}}}参数说明：void householder(mydouble*a,intn,mydouble*q,mydouble*b,mydouble*c)；a-n xn实对称矩阵，用线性的方法存储(嗯，其实静态数组就是这样的)。