实对称矩阵特征值计算方
矩阵特征值问题的数值方法.
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
矩阵特征值与特征向量的计算_OK
n阶方阵A的特征值是特征方程 PA()=det(A-E)=0
的根.
A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0
的非零解.
PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法通
过数值方法是求它的根。
通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。
若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，
“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，
可得
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11 m ax (11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
i
(
i 1
)
k
i
)
7
i2
所以
8.1.1 幂法
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
max(11
i
(
i 1
)
k
i
)
lim
k
xk
11 max (11 )
i2 1
max (1 )
y=x/max(x)为向量x例的如规,范设化向向量量x=. (2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-0.4,-
0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1.
幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算
yk
Axk1
mk max(yk ) xk yk / mk , k 1,2,3,
1 1 1 1
n
n1
n2
1
对应的特征向量为ξn, ξn-1,…, ξ1.
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
fortran 对称阵特征值
一、简介Fortran（Formula Translation）是一种面向科学计算的高级程序设计语言，其早期版本是由IBM公司于上世纪50年代开发的。
Fortran 语言被广泛应用于数值分析、科学计算、工程计算等领域，至今仍然有着重要的地位。
对称阵特征值问题是在科学计算中经常遇到的一个重要问题，下文将会对Fortran语言在解决对称阵特征值问题上的应用进行深入探讨。
二、对称阵特征值问题对于一个n阶实对称矩阵A，存在n个互不相等的特征值λ1, λ2,…,λn，对应n个线性无关的特征向量。
求解对称阵的特征值问题在科学计算中有着重要的应用，比如在物理学、化学、工程学等领域的数值模拟和计算中就经常遇到对称阵特征值的求解问题。
三、 Fortran语言在解决对称阵特征值问题上的优势1. 高效性：Fortran语言在科学计算领域以其高效运算而著称，尤其在处理大规模数值计算时具有明显的优势。
2. 数值精度：Fortran语言在处理浮点数运算时，具有非常高的数值精度，能够满足科学计算对数值精度的要求。
3. 丰富的数学库函数：Fortran语言提供了大量的数学库函数，包括对称阵特征值求解、矩阵运算等，极大地方便了科学家和工程师进行数值分析和计算。
四、 Fortran语言解决对称阵特征值问题的方法在Fortran语言中，求解对称阵特征值问题通常使用LAPACK库中的DSYEV函数。
DSYEV函数实现了求解实对称矩阵特征值和特征向量的功能，具有较高的效率和数值精度。
其使用方法如下：1. 调用DSYEV函数在Fortran程序中，首先需要通过调用DSYEV函数来求解对称阵的特征值和特征向量。
DSYEV函数的调用格式如下：CALL DSYEV(JOBZ, UPLO, N, A, LDA, W, WORK, LWORK, INFO)其中，JOBZ为字符型输入，表示是否计算特征向量；UPLO为字符型输入，表示对称矩阵A是上三角还是下三角；N为整型输入，表示矩阵A的阶数；A为双精度复合数数组，存储对称矩阵A；LDA为整型输入，表示数组A的第二维度；W为双精度数组，存储特征值；WORK为双精度复合数数组，存储临时工作空间；LWORK为整型输入，表示工作空间的长度；INFO为整型输出，表示函数是否执行成功。
矩阵特征值问题的数值计算
矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。
结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。
（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。
结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。
（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。
但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。
二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。
已知特征值和特征向量求实对称矩阵
已知特征值和特征向量求实对称矩阵特征值和特征向量是矩阵理论中重要的概念，它们在实际问题的求解中具有广泛的应用。
本文将从生动、全面和有指导意义的视角来讨论如何根据已知的特征值和特征向量求解实对称矩阵。
首先，我们来了解一下特征值和特征向量的概念。
在矩阵论中，特征值是矩阵的一个标量，而特征向量是该矩阵对应特征值的一个非零向量。
特征值和特征向量是矩阵的固有属性，可以描述矩阵在线性变换下的性质。
对于实对称矩阵，我们知道它的特征值都是实数，而且特征向量是两两正交的。
这一特性使得实对称矩阵在很多实际问题中具有重要的应用价值。
比如，在物理学中，实对称矩阵可以表示对称性问题，如刚体的转动、波函数的正交性等。
在机器学习中，实对称矩阵可以用于降维和特征提取等任务。
那么，如何根据已知的特征值和特征向量求解实对称矩阵呢？首先，我们需要确定矩阵的维度。
特征向量是一个列向量，而特征值是一个数量，它们的数量应该一致。
假设我们已知了n个特征值和对应的n个特征向量，那么我们可以得到一个n×n的实对称矩阵。
其次，我们可以利用特征值和特征向量的性质来重构实对称矩阵。
对于一个特征向量，我们可以将其与自身的转置相乘，然后再与对应的特征值相乘，得到一个分量为特征值的矩阵。
将所有这些分量的矩阵相加起来，就可以得到一个由特征值和特征向量构成的实对称矩阵。
在求解实对称矩阵的过程中，我们还需要注意一些细节。
首先，由于特征值和特征向量是成对出现的，我们需要按照对应关系进行配对。
其次，我们得到的实对称矩阵可能是不完全相等的，因为特征值和特征向量通常都有一定的误差。
因此，在实际应用中，我们需要考虑到这些误差，并对其进行适当的处理。
综上所述，已知特征值和特征向量求解实对称矩阵是一个重要的问题。
在实际应用中，我们可以利用特征值和特征向量的性质，通过按照一定的规则进行组合和计算，得到一个满足要求的实对称矩阵。
这一过程需要注意特征值和特征向量的配对关系以及误差的处理。
矩阵特征值计算
其 中 每个 对角 块 ������������������ 均 为方阵 ， 则矩 阵 ������ 的 特征 值为各 对 角块 矩阵 特征 值的合 并 ，即 ������(������) = ⋃������ ������=1 ������(������������������ ). 定理 5.5： 矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵������和������为相似矩阵， 即存在非奇异矩阵������使得������ = ������−1 ������������，则 (1) 矩阵������和������的特征值相等，即 ������(������) = ������(������) ; (2) 若������为������的特征向量，则相应地，������������为������的特征向量. 通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵 ������ 并不总是 可对角化 的 (diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定 理.. ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ，若������ ̃������ 是特征方程的������������ 重 定义 5.2: 设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 有 m 个（mn）不同的特征值������ ̃������ 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称������ ̃������ 的特征子空间(ℂ������ 的子空间)的维数 根，则称������������ 为������ ̃������ 的几何重数(geometric multiplicity). 为������ ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ，特征值������ ̃������ , (������ = 1, ⋯ , ������)的代数 定理 5.6：设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的 m 个不同的特征值为������ 重数为������������ ，几何重数为������������ ，则 (1) ∑������ ������=1 ������������ = ������，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀������，������������ ≥ ������������ . (2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑������ ������=1 ������������ 个基(特征向量)放在 一起，它们构成一组线性无关向量. (3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得������个线性无关的特征向量，它们是 全空间ℂ������ 的基. 定义 5.3：若矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的某个代数重数为 k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于 k（即几何重数小于代数重数） ，则称 ������为亏损阵（defective matrix） ，否则称其为非亏损阵 （nondefective matrix）. 定理 5.7：设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 可对角化，即存在非奇异矩阵������ ∈ ℂ������×������ 使得 ������−1������������ = ������, 其中������ ∈ ℂ������×������ 为对角阵, 的充要条件是������为非亏损矩阵. 此时，������的对角线元素为矩阵������的特 征值，而矩阵������的列向量为 n 个线性无关的特征向量. 定理 5.7 中方程的等价形式为������ = ������������������−1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是������为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏 损矩阵，例如例 5.2 中的矩阵，它的特征值 2 的代数重数为 2，而几何重数仅为 1. 这种矩阵
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8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
⊲
实对称矩阵特征值计算方 法
∗ ∗ P1 A =
∗ ∗ ∗ . . . ∗ ∗
∗ ∗ ∗ .. . ∗ ∗
··· ··· ··· .. . . ··· ..
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8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
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实对称矩阵特征值计算方 法
性质8.2.1 对一个给定矩阵A ∈ Rn×n , 存在一个正交阵Q ∈ Rn×n , 使 得 R11 R12 · · · R1m R22 · · · R2m QT AQ = , . .. . .. Rmm 其中对角子块Rii 为1 × 1或2 × 2矩阵. 性质右端的矩阵称为Schur矩阵. 当Rii 是1 × 1矩阵时, Rii 就是A的特 征值; 当Rii 为2 × 2矩阵时, 其特征值是一对共轭复数, 也是A的特征 值. 基本收敛是指对角子块下方元素趋于零, 上方元素不一定收敛. 注: 若{Ak }基本收敛, 我们就得到了矩阵A的所有特征值的近似, 进 而可以用反幂法求出对应的特征向量.
2 2 + · · · + a c = ± ( a2 n) . r +1
1 1
2 2 通常取c = −sgn(ar+1 )(a2 r +1 + · · · + an ) . 该变换保持a的前r 个分量 不 变 , 将 第 r + 1个 分 量 之 后 的 分 量 变 为 零 , 将 第 r + 1个 分 量 变 为 c , 这 个c 确保 a 2 = b 2 .
首先利用豪斯道夫变换P1 (正交阵)将矩阵A第1列次对角线下方元素 变为零, 再令
−1 T , = P1 AP1 A1 = P1 AP1
显然
T AT 1 = P1 (P1 A) .
这表明A1 与P1 A的结构一致, 即保持第1列次对角线下方元素为零. 我们可以看下面示意图:
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求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
⊲
8.2.2 求矩阵全部特征值与特征向量的QR方法 任给一个矩阵A, 我们知道存在正交矩阵Q将该矩阵变换为上三角矩 阵, 即 A = QR. 利用矩阵的QR分解, 我们可以求出矩阵A所有的特征值及特征向量, 我们称之为QR方法. 对给定的矩阵A, 记A0 = A, 对其进行QR分解得到A0 = Q0 R0 , 令A1 = R0 Q0 , 显然
实对称矩阵特征值计算方 法
回忆豪斯道夫变换的几何意义, 它将一个向量关于以u为法向的平面 做了镜像(保持长度不变), Hx = σv, 其中x是我们的向量, v 是给定的任一个单位向量, σ = x 2 . 由此我 们可以确定镜面的法向量 x − σv . u= x − σv 2
第25讲 • 2018.12.12
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8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
⊲
对矩阵做QR分解并计算RQ, 运算量很大. 通常先利用豪斯道夫变换( 镜像变换) H = I − 2uuT
T 其中 u 2 2 = uu = 1, 将A变化为拟上三角阵(海森伯格矩阵), 即次对 角线下方全为零的矩阵.
∗ ∗ ∗ . . .
∗ ∗ ∗ , . . . ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ T . (P1 A) = . . ∗ ∗
ห้องสมุดไป่ตู้
∗ ∗ ∗ . . . ∗ ∗
∗ ∗ . . . ∗ ∗
··· ··· .. . . ··· ..
∗ ∗ . . .
∗ ∗ . . . ∗ ∗ ∗ ∗
由豪斯道夫变换的构成知u的第一个元素为零, 因此uuT 矩阵的第一 行和第一列均为零, H 是一个2 × 2的块对角阵, 第一个对角块为一阶 单位阵( 对于后面用到的豪斯道夫变换, 也具有这样的分块结构, 只不 过第一个对角块是一个r阶单位阵). 因此, P1 左乘(P1 A)T 保持了矩阵第一行(前r行)保持不变, 从 而A1 与P1 A具有相同的结构, 即第1列(前r列)次对角线下方元素为零. 如此再求P2 使得P2 A1 各列第1,2个元素不变, 但第2列第3个及以后元 素为零, 并记A2 = P2 A1 P −2 , A2 也同样保持了P2 A1 的结构. 如此继 续, 最多n − 2次即可得到与A相似的拟上三角阵An−2 .
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8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
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实对称矩阵特征值计算方 法
特别地, 对任一向量a = (a1 , a2 , · · · , an )T , 以及 量b = (a1 , · · · , ar , c, · · · , 0, · · · , 0)T , 可以找到一个u构成豪斯道夫变 换H 使得Ha = b( a 2 = b 2 ), 仅需取 u= a−b , a−b 2 H = I − 2uuT ,
1 A1 = R0 Q0 ⇒ Q0 A1 = Q0 R0 Q0 = A0 Q0 ⇒ Q0 A1 Q− 0 = A0 ⇒ A1 ∼ A0 .
实对称矩阵特征值计算方 法
若Ak−1 = Qk−1 Rk−1 , 令Ak = Rk−1 Qk−1 , 同样我们知道 Ak ∼ Ak−1 . 即我们得到了一个相似的矩阵序列{Ak }(具有相同特征值).
求一般矩阵特征值的计算 方法 实对称矩阵特征值计算方 法
计算方法
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⊲ 计算方法
QR方法
求一般矩阵特征值的
实对称矩阵特征值计算方 法
8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
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8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法