对称矩阵上三角存储公式
数据结构模拟试题(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
参考答案：
(0) [30 18 20 15 38 12 44 53 46 18* 26 86]
(1) [18 30][15 20][12 38][44 53][18* 46][26 86]
(2) [15 18 20 30][12 38 44 53][18* 26 46 86]
A:n-I B:n-I+1
C:n-i-1 D:I
7、 不带头结点的单链表first为空的判定条件是( )。
A:first == NULL; B:first->link == NULL;
C:first->link == first; D:D. first != NULL;
8、 树中所有结点的度之和等于所有结点数加( )。
A:0 B:1
C:－1 D:2
9、 一棵具有35个结点的完全二叉树的高度为( )。假定空树的高度为 -1。
A:5 B:6
C:7 D:8
数据结构模拟试题（1）
一、填空题:06分，每题02分
1、 从一个具有n个结点的单链表中搜索其值等于x的结点时, 在搜索成功的情况下, 需平均比较_______次。
2、 根据一组记录(56,42,50,64,48)依次插入结点生成一棵AVL树时，当插入到值为_______的结点时需要进行旋转调整。
31、 已知一个数据表为{48,25,56,32,40}，请写出在进行快速排序的过程中每次划分后数据表的变化。
(0) [48 25 56 32 40]
(1)
(2)
(3)
参考答案：
(0) [48 25 56 32 40]
对称正定矩阵15
9 10 9
yi =
bi − ∑ lik ⋅ yk
k =1
lii
b1 9 y1 = = l11 6
2
b2 − l21 ⋅ y1 y2 = l22
k =1
7*9 10 − 6 = 29 6
−3 = 174
y3 =
b3 − ∑ l3 k ⋅ yk l33
10 = 29
即
Ax = b i = 2,3,L, n
第五章 a11
a21 A= M an1
a12 解线性方程组的直接法 L a1n i −1 a22 L a2n bi − ∑lij x j § M j =1 M 5.5 平方根法 x = M i lii an2 L ann
r −1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
k =1
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1
r −1
k =1
由( 6 ) ~ ( 8 )式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
中间量lrk 得以控制, 不会放大 平方根法是数值稳定的
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤
思考
~ ~ ~ 原因为 D = diag (u11 , u 22 , L , u nn ) = D D
1 2 1 2
~ ~ ~ D = diag ( u11 , u22 ,L , unn )
因此不作A的LLT 分解
考虑改变分解方式
? ~ ~~ = LDLT A = L U = L DU 1 = LDU
数据结构本科期末综合练习二填空与判断题剖析
数据结构〔本科〕期末综合练习二〔填空与判断题〕填空题数据是__信息__的载体，它能够被计算机程序识别、存储和加工处理。
数据结构包括逻辑结构、__存储结构__和数据的运算三个方面。
数据结构的逻辑结构包括线性结构和__非线性__结构两大类。
数据结构的存储结构包括顺序、__链接___、索引和散列等四种。
5. 根本数据类型是计算机已经实现了的_数据结构__。
抽象数据类型的特点是__数据封装__、信息隐蔽、使用与实现别离。
算法的一个特性是__有穷性__，即算法必须执行有限步就结束。
面向对象的特征应包括对象、类、__继承__、消息通信。
属性与效劳相同的对象构成类，类中的每个对象称为该类的__实例__。
对象的私有状态只能通过该对象的__操作〔或效劳〕_才能改变。
模板类是一种数据抽象，它把__数据类型_当作参数，可以实现类的复用。
1 2.在类的继承结构中，位于上层的类叫做基类，其下层的类那么叫做__派生〔或子〕__类。
1 3.一维数组所占用的空间是连续的。
但数组元素不一定顺序存取，通常是按元素的__下标〔或顺序号〕__存取的。
在程序运行过程中不能扩充的数组是__静态__分配的数组。
这种数组在声明它时必须指定它的大小。
在程序运行过程中可以扩充的数组是__动态___分配的数组。
这种数组在声明它时需要使用数组指针。
16. 二维数组是一种非线性结构，其中的每一个数组元素最多有__两个__个直接前驱〔或直接后继〕。
17. 假设设一个nn的矩阵A的开始存储地址LOC(0,0) 及元素所占存储单元数d，按行存储时其任意一个矩阵元素a[i][j] 的存储地址为__LOC(0,0)+(i*n+j)*d __。
118.对称矩阵的行数与列数__相等_且以主对角线为对称轴，aij=aji，因此只存储它的上三角局部或下三角局部即可。
将一个n阶对称矩阵的上三角局部或下三角局部压缩存放于一个一维数组中，那么一维数组需要存储__n(n+1)/2_个矩阵元素。
上三角矩阵的奇异值分解 -回复
上三角矩阵的奇异值分解-回复上三角矩阵是一个矩阵，其除了主对角线及其上方的元素外，其余元素皆为零。
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常见的矩阵分解方法，用于分解任意矩阵为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另一个是对角矩阵。
这篇文章将介绍上三角矩阵的奇异值分解，并一步一步解释其原理与过程。
上三角矩阵的奇异值分解可以用于数据降维、矩阵逆、矩阵近似等很多应用中。
在深度学习、图像处理、数据分析等领域中，奇异值分解被广泛应用。
要进行奇异值分解，首先需要明确上三角矩阵的定义。
一个m ×n 的上三角矩阵T可以表示为：T = [ t11 t12 t13 (1)0 t22 t23 (2)0 0 t33 (3)...0 0 0 ... tnn ]其中，tij代表矩阵T第i行第j列的元素。
奇异值分解的目标是将矩阵T分解为以下三个矩阵的乘积：T = UΣV^T其中，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T 是V的转置，是一个n×n的正交矩阵。
正交矩阵满足U^TU=I、VV^T=I，对角矩阵Σ的非零元素称为奇异值，通常按降序排列。
接下来，我们将一步一步解释上三角矩阵的奇异值分解过程。
首先，我们计算矩阵T的转置T^T乘以矩阵T的乘积，记作M = T^TT，得到一个对称矩阵：M = [ m11 m12 m13 (1)m12 m22 m23 (2)m13 m23 m33 (3)...mn1 mn2 mn3 .. mnn ]在对称矩阵M上，我们求解其特征值和特征向量，并按特征值的降序排列。
特征向量对应的特征值构成一个对角矩阵Λ。
接下来，我们将矩阵T乘以特征向量矩阵V，记作T' = TV。
T'是一个正交矩阵，满足T'^TT'^T=I。
然后，我们求解矩阵T'的转置乘以T'的乘积Z = T'^TT'，得到一个对角矩阵。
数据结构模拟试题(1)
C:基数排序 D:归并排序
二、判断题:10分，每题01分
14、 数组是一种静态的存储空间分配，就是说，在程序设计时必须预先定义数组的数据类型和存储空间大小，由编译程序在编译时进行分配。
15、 在顺序表中，逻辑上相邻的元素在物理位置上不一定相邻。
(2*n－J－1)*J/2+I
因此，A[8][5]在数组B中对称元素A[J][I]的位置为
(2*10－5－1)*5/2+8=43
29、 已知一个有序表(15,26,34,39,45,56,58,63,74,76,83,94)顺序存储于一维数组a[12]中，根据折半搜索过程填写成功搜索下表中所给元素34, 56, 58, 63, 94时的比较次数。
A:n-I B:n-I+1
C:n-i-1 D:I
7、 不带头结点的单链表first为空的判定条件是( )。
A:first == NULL; B:first->link == NULL;
C:first->link == first; D:D. first != NULL;
双关键码结点数：2
四、小型计算题:40分，每题08分
27、 设有一个二维数组A[10][20]，按列存放于一个连续的存储空间中，A[0][0]的存储地址是200，每个数组元素占1个存储字，则A[6][2]的地址是多少。
参考答案：
226
答案说明：
按列存储时，计算A[i][j]地址的公式为
10、 对于具有e条边的无向图，它的邻接表中有 ( ) 个边结点。
A:e-1 B:e
C:2(e-1) D:2e
11、 图的深度优先搜索类似于树的（ ）次序遍历。
对称矩阵
对称矩阵对称矩阵元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。
1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
目录特性矩阵的转置和对称矩阵数据结构中的对称矩阵编辑本段特性C++数组应用之特殊矩阵的压缩存储[1]1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。
两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
用<,>表示Rn上的内积。
的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。
任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT) 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
如果X是对称矩阵,那么AXA T也是对称矩阵.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
所谓对称变换，即对任意α、β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。
投影变换和镜像变换都是对称变换。
编辑本段矩阵的转置和对称矩阵把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。
(其中T为上标)【矩阵转置的运算律】(即性质):1.(A')'=A2.(A+B)'=A'+B'3.(kA)'=kA'(k为实数)4.(AB)'=B'A'若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。
刚度矩阵的性质和存储
! ! !
k ji ! kn1i
! ! !
k jj ! kn1 j
! ! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
kn1n1 ⎥⎦
过虚功原理得到证明。
6
3、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值
由性质(1)可知，任一主对角线上元素kii是使 节点位移Δi为一单位位移，其它节点位移为零时必须 在第i号位移方向施加的力Pi。它的方向自然应与位移 方向相同，因而是正值。
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0 ! kii ! kij ! kim ! 0⎥ i
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
[k ]2n×2n = ⎢0 ! k ji ! k jj ! k jm ! 0⎥ j
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
"
! !
kmi "
! "
kmj "
! "
kmm "
! "
0⎥
"
个节点的节点数大得多，因而，结构刚度矩阵中很大
t
一部分元素是零，即所谓的稀疏矩阵。
9
5、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵
从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知，处于静力 平衡状态的无约束单元可以发生任意的刚体位移。 与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样，无约束结 构的结构刚度矩阵[K]也是奇异矩阵，即[K]的行列 式为零。
矩阵的三角分解方法
§4矩阵的三角分解矩阵的三角分解定理：设n nA R ×∈,如果A 的前n-1个顺序主子式det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U(1)(2)()1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−1L A U −=，A LU=2112100101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(1)(1)11121(2)(1)222()0nn n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
因A 非奇异，所以1U 可逆，从而112121L L U U −−=112121112121(,)L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==（2）A 奇异因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()0n nn a = 设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
对它们进行矩阵分块，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222(1)(1)1122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L U L U −−−−=(1)(1)(1)(1)2121,n n n n L L U U −−−−⇒==由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L a L a −−−−=(1)(1)21n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)1122n n n n m U m U −−−−=(1)(1)21n n m m −−⇒=由(1)(1)(1)(1)222111n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故2121,L L U U == 证毕。
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对称矩阵上三角存储公式
对称矩阵上三角存储方式是指只存储矩阵的上三角部分，由于矩阵是对称的，因此下三角部分可以通过对称性质推导得到。
对称矩阵上三角存储方式的公式如下：
设对称矩阵 A\in R^{n\times n}，则有
A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
对称矩阵上三角存储方式将 A 存储为一个一维数组 a，其中 a 的前n 个元素为矩阵的第一行，接下来 n-1 个元素为矩阵的第二行的除了第一个元素以外的剩余元素，以此类推，最后一个元素为矩阵最后一行的最后一个元素。
即
a=[a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n},a_{22},\cdots,a_{2n},\cdots,a_ {(n-1)(n-1)+1},\cdots,a_{(n-1)n},a_{nn}]
对于对称矩阵 A 的第 i 行，第 j 列 (i\le j) 的元素可以通过上三角存储数组 a 中的下标 k 算出，即
k=\frac{(i-1)n-i(i-1)/2+j}
这里 (i-1)n-i(i-1)/2 表示前 i-1 行元素个数之和，加上 j 就是当
前元素所在的位置，且因为是上三角存储，因此要去掉下三角部分。
对称矩阵 A 的第 i 行，第 j 列 (i\ge j) 的元素可以通过对称性质得到，即 a_{ij}=a_{ji}。