追赶法解三对角矩阵
TDMA追赶法
做三次样条曲线时，需要解三对角矩阵（Tridiagonal Matrices）。
常用解法为Thomas Algorithm，又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。
它是一种基于高斯消元法的算法，分为两个阶段：向前消元forward elimination和回代backward substitution。
本文以一个6乘6矩阵为例，介绍一下使用TDMA的求解过程。
1.范例求解步骤1：将矩阵变为上三角矩阵首先要把上面公式中的系数矩阵变为一个上三角矩阵。
第一行：将上式除以b1：可写作：所以矩阵方程可写为：第二行：将变换后的第一行乘以a2，再与第二行相减，即可消去x1，得：所以新的矩阵方程为：同理可推，第三行：第四行：第五行：第六行：最后得到新的上三角矩阵公式为：步骤2：求解x逆序可以求出，如下：2. 一般性公式：注意：使用TDMA求解，系数矩阵需时diagonally dominant，即：3. 实现代码（C语言）void tdma(float x[], const size_t N, constfloat a[], constfloat b[], float c[]){size_t n;c[0] = c[0] / b[0];x[0] = x[0] / b[0];for (n = 1; n < N; n++) {float m = 1.0f / (b[n] - a[n] * c[n - 1]);c[n] = c[n] * m;x[n] = (x[n] - a[n] * x[n - 1]) * m;}for (n = N - 1; n-- >0; )x[n] = x[n] - c[n] * x[n + 1];}。
三对角方程组的追赶法
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：三对角方程组的追赶法一、算法理论在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，解热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组11112222211111n n n n n n n n n b c x f a b c x f a b c x f a b x f -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 简记为Ax f =。
求解Ax f =：等价于解两个三角形方程组,Ly f y =求；,Ux y x =求.从而得到解三对角线方程组的追赶法公式：(1)计算{}i β的递推公式()111/,/,2,3,,1;i i i i i c b c b a i n βββ==-=- (2) 解Ly f =()()11111/,/,2,3,,;i i i i i i i y f b y f a y b a i n β--==--=(3)解Ux y =1,,1,2,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+==-=--我们将计算系数12112n n y y y βββ-→→→→→→ 及的过程称为追的过程， 将计算方程组的解11n n x x x -→→→ 的过程称为赶的过程。
#include <stdio.h>#include <math.h>#include<stdlib.h>#define N 20double a[N], b[N], c[N-1], f[N], r[N];int n;int i;void LUDecompose(); // LU分解void backSubs(); // 回代void main(){printf("请输入方程的维数n＝");scanf("%d",&n);getchar();if(n>N||n<=0){printf("由于该维数过于犀利, 导致程序退出!");return;}printf("\n输入下三角元素\n");printf("输入%d个a值: ", n-1);for (i=1; i<n; i++)scanf("%lf", &a[i]);getchar();printf("\n输入主对角线元素\n");printf("输入%d个b值: ", n);for (i=0; i<n; i++)scanf("%lf", &b[i]);getchar();printf("\n输入上三角元素\n");printf("输入%d个c值: ", n-1);for (i=0; i<n-1; i++)scanf("%lf", &c[i]);getchar();printf("\n输入%d个方程组右端项: \n", n);for (i=0; i<n; i++)scanf("%lf", &f[i]);getchar();LUDecompose();backSubs();printf("\n线性方程组的解为: \n");for (i=0; i<n; i++)printf("x%d=%lf\n", i+1, f[i]);}void LUDecompose(){ //α被b取代, β被c取代, 以节省存储空间c[0]=c[0]/b[0];for(i=1;i<n-1;i++){r[i]=a[i];b[i]=b[i]-r[i]*c[i-1];c[i]=c[i]/b[i];}r[i]=a[i];b[i]=b[i]-r[i]*c[i-1];}void backSubs(){ // y被f取代, x也被f取代, 以节省存储空间f[0]=f[0]/b[0];for(i=1; i<n; i++)f[i]=(f[i]-r[i]*f[i-1])/b[i];f[n-1]=f[n-1];for(i=n-2;i>=0;i--)f[i]=f[i]-c[i]*f[i+1];}四、 算法实现例1．用该程序计算三对角线方程组2100012100A 012100012100012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－－－＝－－－－－， 10000b ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭计算其方程组的解。
追赶法(Thomas算法)
二、解三对角线性方程组的追赶法 定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 a2 A= pn
p2 a3 pn 1 an
1 q1 1 q2 =PQ 1 qn 1 1
其中
p1 = b1 (i = 1,2,, n 1) qi = ci pi p = b a q (i = 2,3,, n ) i i i 1 i
解三对角线方程组Ax = f可化为求解两个三角形 方程组
Py = f
Qx = y
(1) 解 Py = f
p1 a2 ( P, f ) = p2 a3 pn 1 an f1 f2 f3 pn f n
得
{
y1 = f1 / p1
yi = ( f i ai yi 1 ) / piຫໍສະໝຸດ (i = 2,3,, n )
( 2) 解 Qx = y
1 q1 1 q2 1 qn 1 1
x1 y1 x2 = y2 x y n n
得
xn = y n
xi = yi qi xi +1
i = n 1 , , 2 ,1
作业： P50 习题11
§2-4
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法
一、对角占优矩阵
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为严格对角占优矩阵.
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为弱对角占优矩阵.
matlab追赶法解101阶三对角方程组
在探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组之前，我们首先需要了解什么是追赶法和什么是三对角方程组。
追赶法又称托马斯算法，是一种用于求解带状矩阵（即只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵）的线性方程组的方法。
而三对角矩阵就是只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵。
在实际应用中，求解带状矩阵的线性方程组是非常常见的，特别是在数值计算和科学工程领域。
现在，让我们深入探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组的方法和具体步骤。
一、MATLAB追赶法解101阶三对角方程组1. 概念介绍101阶三对角方程组是一个非常大的线性方程组，通常使用传统的高斯消元法来求解会耗费大量的时间和计算资源。
而MATLAB追赶法通过利用三对角矩阵的特殊性质，可以有效地简化计算过程，并且节省大量的内存和计算资源。
2. 追赶法步骤（1）将原方程组化为追赶法所需的形式；（2）利用追赶法求解三对角线性方程组。
二、追赶法求解101阶三对角方程组的实现过程1. 将原方程组化为追赶法所需的形式对于101阶三对角方程组，我们首先需要将其化为追赶法所需的形式。
这个过程涉及到选取合适的追赶元和追赶子以及对原方程组的变形，将其化为追赶法能够直接处理的形式。
2. 利用追赶法求解线性方程组一旦将原方程组化为追赶法所需的形式，我们就可以利用追赶法对其进行求解。
追赶法的核心是通过追赶子的迭代计算，逐步求得线性方程组的解。
在MATLAB中，可以使用内置的追赶法求解函数，也可以编写自定义的追赶法算法来实现对101阶三对角方程组的求解。
三、个人观点和理解在实际工程和科学计算中，追赶法是一种非常有效的求解带状矩阵线性方程组的方法。
对于大规模的三对角方程组，特别是高阶的情况，传统的直接求解方法往往会遇到内存和计算资源的限制，而追赶法能够通过精巧的迭代计算，在保证解的精度的显著提高计算效率。
在MATLAB中，通过调用内置的追赶法函数，可以快速地求解大规模的三对角方程组，极大地方便了工程实践中的数值计算工作。
【良心出品】MATLAB 追赶法求解三对角方程组的算法原理例题与程序
3）三对角形线性方程组123456789104100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014x x x x x x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥--⎢⎢⎥⎢⎢⎥-⎣⎦⎣⎦7513261214455⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎣⎦*(2,1,3,0,1,2,3,0,1,1)T x =--- 二、数学原理设系数矩阵为三对角矩阵1122233111000000000000000n n n nn b c a b c a b A a b c a b ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则方程组Ax=f 称为三对角方程组。
设矩阵A 非奇异，A 有Crout 分解A=LU ，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵，记1122233110000100000001000000100,00000000000001n n nn b L U γαβγββγβ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂==⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭可先依次求出L ，U 中的元素后，令Ux=y ，先求解下三角方程组Ly=f 得出y ，再求解上三角方程组Ux=y 。
事实上，求解三对角方程组的2追赶法将矩阵三角分解的计算与求解两个三角方程组的计算放在一起，使算法更为紧凑。
其计算公式为：1111,1111,111,2,3,,,1,2,,1ii i i i i i i ii i i i i n ni i i i c f b y i n c a b a f y y x y i n n x y x βγββαβγγβαβγ--+⎧===⎪⎪=⎪⎪⎪==-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎪=⎪⎪=--⎪=-⎪⎩对对(*)三、程序设计function x=chase(a,b,c,f)%求解线性方程组Ax=f,其中A 是三对角阵 %a 是矩阵A 的下对角线元素a(1)=0 %b 是矩阵A 的对角线元素%c 是矩阵A 的上对角线元素c(n)=0 %f 是方程组的右端向量 n=length(f);x=zeros(1,n);y=zeros(1,n); d=zeros(1,n);u= zeros(1,n); %预处理 d(1)=b(1); for i=1:n-1 u(i)=c(i)/d(i);d(i+1)=b(i+1)-a(i+1)*u(i); end%追的过程y(1)=f(1)/d(1); for i=2:ny(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/d(i); end%赶的过程 x(n)=y(n); for i=n-1:-1:1x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1); end>> a=[0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1];>> b=[4,4,4,4,4,4,4,4,4,4];>> c=[-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,0];>> f=[7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5];>> x=chase(a,b,c,f)x =2.00001.0000-3.00000.00001.0000-2.00003.0000-0.00001.0000-1.0000四、结果分析和讨论追赶法求解的结果为x=（2,1，-3,0,1，-2,3,0,1，-1）T。
基于高斯消去法的追赶法
基于高斯消去法的追赶法
基于高斯消去法的追赶法是一种求解三对角矩阵线性方程组的方法。
三对角矩阵的特点是除了主对角线上的元素外，只有两个相邻的副对角线上有非零元素。
追赶法的思想是通过对三对角矩阵进行分解，将其转化为两个上、下三角矩阵的乘积形式，从而简化方程组的求解过程。
具体步骤如下：
1. 首先，对于三对角矩阵A的第一行进行变换，使得A的第一个元素为1。
2. 然后，对于i = 2, 3, ..., n，进行追赶过程，将A的第i 行的第i-1个元素（副对角线上）消去，将A的第i-1行的第i个元素（副对角线上）消去，并更新A的第i行的第i个元素（主对角线上）。
3. 最后，通过回代法求解得到方程组的解。
追赶法的优点是简单、高效，适用于解决大规模的三对角线性方程组。
它在科学计算和工程领域中有广泛的应用，例如求解抛物型偏微分方程、求解材料传输过程等。
追赶法求解三对角方程及其算例
追赶法求解三对角方程组要求：对于给定的三对角系数矩阵和右端项，可以求解线性代数方程组一、 追赶法的数学理论设系数矩阵为三对角矩阵112223311100000000000000n n n nn b c a b c a b A a b c a b ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则方程组Ax=f 称为三对角方程组。
设矩阵A 非奇异，A 有Crout 分解A=LU ，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵，记1122233110000100000001000000100,00000000000001n n nn b L U γαβγββγβ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂==⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭可先依次求出L ，U 中的元素后，令Ux=y ，先求解下三角方程组Ly=f 得出y ，再求解上三角方程组Ux=y 。
事实上，求解三对角方程组的2追赶法将矩阵三角分解的计算与求解两个三角方程组的计算放在一起，使算法更为紧凑。
其计算公式为：1111,1111,111,2,3,,,1,2,,1ii i i i i i i ii i i i i n ni i i i c f b y i n c a b a f y y x y i n n x y x βγββαβγγβαβγ--+⎧===⎪⎪=⎪⎪⎪==-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎪=⎪⎪=--⎪=-⎪⎩对对(*)二、 追赶法的算法和流程图1.预处理生成方程组的系数i u 及其除数i d ，事实上，按式(*)可交替生成i d 与i u ：1d →1u →2d →…→1-n u →n d其计算公式为⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+++1,...,2,1,,/c u b 111i i 11n i u a b d d d i i i i i 2.追的过程顺序生成方程组右端：i y →2y →…→n y据式(*)的计算公式为n i d y a f y d f y i i i i i ,...,3,2,/)(/1111=⎩⎨⎧-==-逆序得出方程组的解i x :n x →1-n x →…→1x其计算公式按式为1,2,1,1，⋯--=⎩⎨⎧-==+n n i x u y x y x i i i in n 三、 追赶法的Matlab 实现function x=chase(a,b,c,f)%求解线性方程组Ax=f,其中A 是三对角阵 %a 是矩阵A 的下对角线元素a(1)=0 %b 是矩阵A 的对角线元素%c 是矩阵A 的上对角线元素c(N)=0 %f 是方程组的右端向量 N=length(f);x=zeros(1,N);y=zeros(1,N); d=zeros(1,N);u= zeros(1,N); %预处理 d(1)=b(1); for i=1:N-1u(i)=c(i)/d(i);d(i+1)=b(i+1)-a(i+1)*u(i); endy(1)=f(1)/d(1); for i=2:Ny(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/d(i); end %赶的过程 x(N)=y(N); for i=N-1:-1:1x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1); end四、 追赶法的算例实现算例 用追赶法求解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1016432153-1-21-2-31-1-2x x x x 解答令a=[0,-1,-1,-3]; b=[2,3,2,5]; c=[-1,-2,-1,0]; f=[6,1,0,1];在命令窗口运行语句 x=chase(a,b,c,f) 得结果为 x=5 4 3 2。
数值分析实验报告之追赶法求三对角矩阵
xi yi ui xi1 , i n 1, ,1 ，显示求解结果，过程结束。
实 验 总 结
本次试验也是针对求解线性方程组解的问题。当一个矩阵的结构比较特殊时，利用 特殊的方法进行对待，这样可以提高解题的速度，本次实验所针对的一类矩阵是比较特 殊的， 因此用了追赶法进行求解。 因为对实验的核心算法有所了解， 在编程实现的时候， 基本上没有遇到算法的逻辑错误。在网上找到了几组实验数据，我分别对它们进行了测 试，在确定结果无误之后，然后求解老师实验所给数据。本次实验使我对线性方程组的 求解有了进一步的认识，增加了一种方程组的求解方法，对更加深入的学习线性方程组 有很大的帮助。
u1 ci y yi 1 c1 y , y1 1 , ui , yi i , i 2, , n 1, b1 b1 bi ui 1ai bi ui 1ai
yn
yn yn1an ，然后求解 xi yi ui xi 1 , i n 1, ,1 。 bn un1an
实验原理
b1 c1 x1 y1 x1 u1 x2 y1 x u x y a2 b2 c2 x2 y 2 2 2 3 2 化为 x an1 bn1 cn 1 xn1 y n 1 u n 1 xn y n 1 n 1 an bn xn y n xn y n
实验步骤
Step5:
方程组，过程结束，否则转到 Step5:； 2i；
Step6: 计算; ui ci / bi ui1ai , yi ( yi yi1 ) / bi ui1ai Step7: 判断 i 是否大于 n ，若是，转到 Step8，否则，令 r 1 r ，返回 Step6。 Step8:
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实验追赶法解三对角方程组
一、实验目的
学会用追赶法解三对角方程组,并应用该算法于实际问题.
二、实验要求
给定三对角方程组，应用追赶法解得方程组的解。
三、实验内容
1、追赶法
2、以课本数值试验2为实例
3、如果有错，修改直至运行成功，查看运行结果；
四、实验环境
matlab
五、实验步骤和方法
1、程序设计
2、带入实例
3、撰写实验报告。
六、实验预习要求
得到实例的解
一、[源程序]
function x = my_zgf2(A,d,flag)
%MY_ZGF2 Summary of this function goes here
[m,n]=size(A); %计算矩阵的大小
if nargin==2; %输入变量等于2的时候，A中储存所有元素的值for i=1:n
a(i)=A(i+1,i);
b(i)=A(i,i);
c(i)=A(i,i+1);
end
a(1)=0; %补充不足的值
b(n)=A(n,n);
c(n)=0;
else
c=[A(1,:) 0]; %flag==1时
b=A(2,:);
a=[0 A(3,:)];
end
u(1)=b(1);
for i=2:n %第一次追赶，得到上、下三角矩阵
l(i)=a(i)/u(i-1);
u(i)=b(i)-c(i-1)*l(i);
end
y(1)=d(1); %解Ly=d
for i=2:n
y(i)=d(i)-l(i)*y(i-1);
end
x(n)=y(n)/u(n); %解Ux=y
for i=n-1:-1:1
x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/u(i);
end
二、带入实例
A =
-2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 0
5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000
-2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 0
d= 8.1400 0 0 0 0 0 0 0
>> d=A(4,:);
my_zgf2(A,d,1)
ans =
2.0350 1.0174 0.5086 0.2541 0.1267 0.0626 0.0298 0.0119 >>。