考向22 解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)

考向22 解三角形【2022·全国·高考真题（理）】记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【解析】(1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.【2022·全国·高考真题】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【解析】(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥-=-． 当且仅当22cos 2B =时取等号，所以222a b c +的最小值为425-．解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式sin a b A =sin b A a b<<a b ≥a b >a b ≤解的个数 一解 两解 一解 一解 无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+-；2222cosB b c a ac =+-； 2222cosC c a b ab =+-．常见变形（1）2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =；（2）sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2c R=；222cosA 2b c a bc +-=； 222cosB 2c a b ac +-=； 222cosC 2a b c ab+-=． （2）面积公式：111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r ．） 2．相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角大角对大边sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理：A B C π++=①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+． ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B -=+=-； ③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=． 3．实际应用 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b kab +=，则△ABC 的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2B 5C ．4D ．5【答案】B 【解析】由题意得21sin 22ABCc Sab C ==，所以2sin c ab C =， 又因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos sin 2cos a b c ab C ab C ab C +=+=+， 所以()22sin 2cos 5a b k C C C abϕ+==+=+，其中tan 2ϕ=，且0k >，所以k 的取值范围为(5， 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】△ABC 中，222b c a bc +=+，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== 又0πA <<，则π3A =由2sin sin sin B C A =，可得2a bc =，代入222b c a bc +=+ 则有222b c bc bc bc +=+=，则()20b c -=，则b c = 又π3A =，则△ABC 的形状是等边三角形 故选：C3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为______．3【解析】2a =，则原等式为222sin 3sin 4sin A B C +=，由正弦定理得22234a b c +=，()22222222213334cos 228a b a b a b ca b C abab ab +-++-+===≥，当且仅当223b a =时取等号． 34．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点、、A B C 处各有一个水声监测点，B C 、两点到点A 的距离分别为 20 千米和 50 千米. 某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒.(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值; (2)求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离. (结果精确到 0.01 千米).【解析】(1)根据题意可得：20AB =(千米), 50AC =(千米), AP PC x ==(千米), 12BP x =-(千米), ∵cos cos PAB CAP ∠=∠，则22222222AB AP BP AC AP PC AB AP AC AP+-+-=⨯⨯ 即()222222201250220250x x x x xx+--+-=⨯⨯，解得31x =(2)在△PAC 中，22225cos 231AC AP PC CAP AC AP +-∠==⨯，则2421sin 1cos CAP CAP ∠=-∠= 设P 到AC 的距离为d (千米)，则11sin 22AP AC CAP AC d ⨯⨯∠=⨯∴42118.33d =静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为18.33千米5．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C AB C-=，a b <．(1)求角B ；(2)若3a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积． 【解析】(1)由cos 2cos tan sin C AB C-=，有tan sin cos 2cos B C C A =-，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B =-，故()cos 2cos cos B C A B +=，即cos 2cos cos A A B -=．因为a b <，所以A 为锐角，cos 0A ≠，所以1cos 2B =-．又因为()0,B π∈，所以23B π=． (2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，即2949162c c +-=-，故23400c c +-=，解得5c =或8c =-舍）．故11215335sin 223BCD ABC S S π==⨯⨯⨯⨯=△△ 6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求角A 的大小；(2)若23a =，6b c +=，求ABC 的面积. 【解析】(1)因为2cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin A A B C C B B C =+=+， 又πB C A +=-，所以()2sin cos sin πsin A A A A =-=． 因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠， 所以1cos 2A =，所以π3A =．(2)由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即()223a b c bc +-=， 因为23a =，6b c += 所以361283bc -==， 所以113sin 823222ABC S bc A ==⨯⨯=△7．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，6AB AC ⋅=，向量()cos ,sin s A A =与向量()4,3t =-互相垂直.(1)求ABC 的面积； (2)若7b c +=，求a 的值.【解析】(1)因为4cos 3sin 0s t A A ⋅=-=，解得4tan 3A =， 因为0A π<<，所以4sin 5A =，3cos 5A =. 有因为cos 6AB AC bc A ⋅==，所以10bc =， 所以ABC 的面积114sin 104225S bc A ==⨯⨯=. (2)()22222cos 22cos 49201217a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=--=， 所以17a =.1．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，30,2,1B a b ===，则A 等于（ ）A ．45B ．135C ．45或135D ．120【答案】C【解析】由正弦定理sin sin a b A B=,得12sin 22sin 1a B A b === 因为21,(0,π)a b A =>=∈，故45A =或135， 故选：C2．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））ABC 中，若5,6AB AC BC ===，点E 满足21155CE CA CB =+，直线CE 与直线AB 相交于点D ，则CD 的长（ ） A 810B 15C 10D 30【答案】A【解析】在△ABC 中，由余弦定理得：2222525367cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯ 设CE CD λ=，0λ≠，因为21155CE CA CB =+，所以21155CD CA CB λ=+，即21155CD CA CB λλ=+， 因为A 、B 、D 三点共线， 所以211155λλ+=， 解得：13λ=，所以2355CD CA CB ， 即()()2355CD CA CB CD -=- 32AD DB =因为AB =5， 所以AD =3，BD =2在三角形ACD 中，由余弦定理得：22271282cos 925235255CD AD AC AD AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 因为0CD >，所以810CD =. 故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c bc -=-且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】A【解析】由2222a b c bc -=-，得2222b c a bc +-=， 所以由余弦定理得22222cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为(0,π)A ∈， 所以π4A =，因为cos sin =b C a B ，所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A B =， 因为sin 0B ≠，所以π2cos sin sin 42C A ===， 因为(0,π)C ∈，所以π4C =， 所以πππππ442B AC =--=--=, 所以ABC 为等腰直角三角形， 故选：A4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为 （ ）A ．206B ．406C ．20(13)+海里D ．40海里【答案】A【解析】由题意可知40,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD =∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以45,60CAD ADB ∠=︒∠=︒， 在ACD △中，由正弦定理得40sin 30sin 45AD =︒︒，得2AD =在Rt BCD 中，因为45,90BDC BCD ∠=︒∠=︒， 所以2402BD CD = 在ABD △中，由余弦定理得222cos AB AD BD AD BD ADB +-⋅∠1800320022024022=+-⨯⨯⨯ 2400206=故选：A5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin 2sin a B C ==，以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．M 是BC 中点，MA MB ⋅的最大值为3D ．当2A C =时，ABC 23【答案】BD【解析】以C 为原点，以CB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则()()0,0,2,0C B ， 设(),A x y ，由sin 2sin B C =，得2b c =，即2AC AB =，22222(2)x y x y +=-+2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即点A 在以8,03⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以43为半径的圆上（除去,P Q 两点）.如图所示：对于A ：以(1,0)为圆心，1为半径作圆，记该圆与圆2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的交点为A ，则 ABC 为直角三角形，A 错误；对于B ：由图得ABC 面积的最大值为1442,233S B =⨯⨯=正确；对于C:M 是BC 中点，MA MB ⋅的值为MA 在MB 上的投影与MB 的积，又点A 在以8,03⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以43为半径的圆上（除去,P Q 两点），故3MA MB ⋅<，C 错误；对于D ：若2A C =，则222sin sin22sin cos ,2cos 2,2a b c A C C C a c C c ab+-==∴==⋅，2a =，2,b c = 33b c ∴==222,,2b ac B π∴=+∴=11232223S ac ∴==⨯=D 正确.故选：BD6．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面圆直径为23A ，B ，C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线PC 上一点，则下列说法正确的是（ ） A ．当A ，B 为底面圆直径的两个端点时，120APB ∠=︒ B ．△P AB 3C ．当△P AB 面积最大值时，三棱锥C -P AB 62+D ．当AB 为直径且C 为弧AB 的中点时，MA MB +15【答案】ACD【解析】对于A ，记圆锥底面圆心为O ，3sin AO APO AP ∠==60APO ∠=︒，所以120APB ∠=︒，故A 正确；对于B ，设()0120APB θθ∠=︒<︒≤，则截面三角形的面积1sin 2sin 22S PA PB θθ=⋅=≤，故B 不正确； 对于C ，由选项B 中推理可知，此时22AB =C 到AB 的距离的最大值为()()2233231-，从而可知三棱锥C -P AB 的体积最大值为()11623122132+⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝故C 选项正确；对于D ，由题意可得△P AC 和△PBC 全等，在△P AC 中，2PA PC ==，6AC =4461cos 2224APC +-∠==⨯⨯，进而15sin APC ∠=记PC 边上的高为h （垂足为Q ），则1515sin 2h PA APC =∠==，所以215MA MB h +=≥M 与Q 重合时取等号，故D 选项正确； 故选：ACD ．7．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（ ） A ．222<+a b ab B ．22++>ab a b C ．224++≥a b c D ．22++≤a b c 【答案】ABC【解析】对于A ，222<+a b ab ，即222-<a b ab ，也就是()2ab a b abc -<=， 另一方面，在ABC 中，0,>-<ab a b c ，则()-<ab a b abc 成立，故A 正确； 对于B ，222++>+≥=ab a b ab c abc B 正确；对于C ，222224++≥+≥a b c a bc abc ，当且仅当222a b c ===时取等号，故C 正确； 对于D ，边长为2,22abc =，但12222++=+a b c D 错误． 故选：ABC ．8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，O 为其外心，220OA OB OC ++=，若2BC =，则OA =________． 【答案】147【解析】设ABC 外接圆的半径是R ，222OA OB OC OA ++=⇒=02OB OC --22OA ⋅=2244OB OC OB OC ++⋅22R 224R R =++234cos cos 4R BOC BOC ∠⇒∠=-．设2BOC θ∠=，则在等腰BOC 中，14sin θ= 所以2142sin BC OA θ==． 214. 9．（2022·河北·高三期中）已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b cp ++=，则ABC 的面积()()()S p p a p b p c ---ABC 的周长为15，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则ABC 的面积为___________________． 153【解析】解：可令sin sin 4,A B k +=sin sin 6,B C k +=sin sin 5,C A k += 将上式相加：15sin sin sin ,2A B C k ++= 由此可解的：357sin ,sin ,sin ,222A kB kC k === 由正弦定理：::3:5:7,a b c = 又因为：15,a b c ++=解得：a =3，b =5，c =7.所以1522a b c p ++== 代入海伦公式解得：S 15315310．（2022·全国·高三专题练习（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2224a b c +=，则tan B 的最大值为______． 15【解析】∵2224a b c +=，∴2224c a b =-，∴222222222223215cos 2251548a a c a c b c a B ac ac ac c a c -+-+-+===≥，当且仅当2235c a =时等号成立， 又()0,A π∈，所以15cos [,1)4B ∈，215cos [,1)16B ∈∴2221cos 11615tan 11cos cos 1515B B B B -==-≤-=. 故答案为：1515． 11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案：①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ； ④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】②③【解析】对于①，由正弦定理可得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC AB A AB=>，此时B 有两解， 则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于②，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC ABA C=可知AB 唯一确定； 对于③，若已知C ∠、AC 、BC ，由余弦定理可得222cos AB AC BC AC BC C +-⋅ 则AB 唯一确定；对于④，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定. 故答案为：②③.12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC ＝2，3cos 5BCD ∠=-.(1)若45CBD ∠=︒，求BD 的长；(2)若5cos ACD ∠=AB ＝4，求AC 的长. 【解析】(1)∵3cos 5BCD ∠=-，∴24sin 1cos 5BCD BCD ∠=-∠.又∵45CBD ∠=︒，所以())22sin sin 45sin cos CDB BCD BCD BCD ∠=∠+∠+∠︒ ∴在BCD △中，由正弦定理sin sin BC BDCDB BCD=∠∠，可得82BD =BD 的长为82(2)()354255cos cos 55ACB BCD ACD ∠=∠-∠=- ∴5cos ACB ∠=.∵在ABC 中，BC ＝2，AB ＝4， ∴2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠， 可得2516422AC AC =+-⨯⨯25AC =∴AC 的长为513．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)2223S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若22a b c =，求sin C ． 【解析】(1)因为)2223S a c b +-， 所以)22213sin 2ac B a c b +-，)2223sin 3tan 32a c b B B B ac +-=⇒=又因为0B π<<，所以3B π=.(2)因为22a b c =，所以sin 22sin A B C =，即2sin 22sin 33C C ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，316sin 2sin 2C C C +=23cos 2sin 6C C C π⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为203C π<<，662C πππ-<-<，所以64C ππ-=，即512C π=. 5123226sin sinsin 1264222C πππ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数()()sin cos f x t x x t R =-∈ (1)若函数()f x 为偶函数，求实数t 的值；(2)当3t =时，在ABC 中（,,A B C 所对的边分别为a 、b 、c ），若()223f A c ==，，且ABC 的面积为23a 的值．【解析】(1)任取()sin cos x R f x t x x ∈-=--， 因为函数()f x 为偶函数.所以()()0f x f x t -=⇒=（法二：特值法，再验证）由函数()f x 为偶函数知ππ-=22f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（可取不同特殊值）得t t -=，t =0 又当0=t 时，()cos f x x =-，函数()f x 为偶函数，0t ∴=． （法三：观察法，需举反例）()sin cos f x t x x =-，0=t 时，函数()f x 为偶函数，()cos f x x =-任选()cos x R f x x ∈-=-，，则有()()cos x R f x x f x ∈-=-=， 当0t ≠时，举反例，如ππππ-+0--06666f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 此时()f x 为非奇非偶函数，所以，函数()f x 为偶函数时0=t ；(2)当3t =时,()π3cos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()22f A =，则有()ππ2sin 220π63A A A ⎛⎫-=∈⇒= ⎪⎝⎭，，由题意18sin 2323S bc A b ===，在ABC 中，22222881732cos 3233329a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，则73a =． 15．（2022·全国·高三专题练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【解析】(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425． 16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin 3sin b A B ，求ABC 面积的最大值．【解析】(1)由221cos 2a b bc ac B -+=，可得22222122a cb a b ac bc ac +--=⋅-， 得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==， 由于0πA <<，所以π3A =．(2)由sin 3sin b A B =，可得sin 3a B B =，又sin 0B >，则3a = 则222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥-，（当且仅当b c =时等号成立） 则3bc ≤，（当且仅当3b c ==则11333sin 322ABC S bc A =≤⨯=△ 即ABC 3317．（2022·上海金山·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2sin 30b A a =，且B 为锐角. (1)求角B 的大小；(2)若333c a b =，证明：ABC 是直角三角形. 【解析】(1)由正弦定理可知，sin sin a bA B=， 2sin 30,2sin sin 3sin b A a B A A =∴=又在ABC 中，sin 0,2sin 3A B >∴=3sin B = B 为锐角，3B π∴=.(2)333c a b =所以由正弦定理得：31sin sin sin 2C A B A ==+， 又()1311,sin sin sin 3222A B C C C C C ππ⎛⎫=-+∴=++=++ ⎪⎝⎭， 即1311sin ,sin 2232C C C π⎛⎫=∴-= ⎪⎝⎭， 20,,,3333C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可得36C ππ-=，即2C π=ABC ∴为直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=．(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 周长的取值范围．【解析】(1)在ABC 中，由正弦定理及(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=得：2(2)(2)2a c a c a c b -+-=，整理得：222a cb ac +-=，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==，而0πB <<，解得π3B =，所以π3B =.(2)由（1）知2π3A C +=，即2π3A C =-，因ABC 为锐角三角形，即2ππ032π02C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ62C <<，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得：sin sin sin sin a b c c A B C C++=++， 则232π2333[sin()sin ](cos sin )sin 23sin 222a b c C C C C C C ++=+-+=++()232cos 31cos 32333sin 2sin cos tan 222C C C C C C ⨯+=+=+=+， 当ππ62C <<时，ππ1224C <<，ππtan tan tan 1224C <<，而tantanπ3134tan tan()231234311tan tan 34ππππππ--=-===-++， 即23tan 12C -<<，因此，1123tan 2C <<+，则33623a b c +<++<+， 所以ABC 周长的取值范围是(33,623)++.19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地OABC ，OA 、OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米，且BAO BCO ∠=∠．设BAO α∠=（02πα<<）．(1)当4AB =，3πα=时，求AC 的长；（结果精确到0.1米）(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值． 【解析】(1)在ABC 中，4AB =，8BC =，523326ABC πππππ∠=---=，由余弦定理，得2222cos 80323AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+8032311.6AC +．因此AC 的长约为11.6米．(2)连接OB ．由题意，6AB BC ==，344ABO CBO πππαα∠=∠=--=-， 在△OBC 中，由正弦定理sin sin OB BCBOCα=∠，得62sin OB α=． 于是132sin 24S OB BA πα⎛⎫=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭362sin sin 4αα3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22362sin cos sin 22ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭236sin cos 36sin ααα=+()18sin 2181cos 2αα=+-182sin 2184απ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，02πα<<．当242ππα-=，即38πα=时，S 取到最大值，最大值为18218+．因此，当38πα=时，养殖场OABC 最大的面积为18218+平方米20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =337AB =37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？ 【解析】(1)由余弦定理，222222169371cos 22422437337AD AB BD A AD AB +-+-====-⋅⨯⨯，故120A =，又由正弦定理有sin120sin BD AD ABD =∠，故23sin sin12037AD ABD BD ∠==，所以扇形的半径23sin 3376337r AB ABD =⋅∠==(2122637223S ππ=⨯⨯⨯=(2)设BDA θ∠=，则18013545ABD θθ∠=--=-，故10sin AD θ=，()10sin 45AB θ=-，故平行四边形绿地ABCD 占地面积()()21101010021002sin1352sin 2sin cos sin sin 452sin cos sin 2S θθθθθθθθ=⋅⋅⋅⋅=⋅=--⋅-()200200sin 2cos 212sin 2451θθθ==+-+-，因为()0,45θ∈，故要ABCD 面积最小，则当()sin 2451θ+=，即24590θ+=，22.5θ=时ABCD 面积取得最小值，即22.5BDA ∠=多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A【解析】如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A.2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC =，2AB =，则BC =（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．3【答案】D【解析】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.3．（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =，则AC =___________，cos MAC ∠=___________.【答案】 21323913【解析】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以213AC =在AMC 中，由余弦定理得222239cos 2223213AC AM MC MAC AM AC +-∠===⋅⨯⨯.故答案为：2132394．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________． 23【解析】因为222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦24231234242S ⎡⎤+-⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯ 235．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．31【解析】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()4433211m m ≥=-+⋅+ 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.6．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________2122212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 得7BC =由正弦定理△ABC 1721sin3π=. 故答案为217．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 360B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】22【解析】由题意，13sin 32ABCSac B === 所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =.故答案为：228．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【解析】(1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【解析】(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-== ()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．10．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．【解析】(1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =， 由正弦定理知4sin 5A C =，则55sin A C ==(2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=． 11．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63ABC 的周长．【解析】(1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =， 可得3cos C =6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCS ab C a ===，解得43a =由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴=所以，ABC 的周长为36a b c ++=.12．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin A C =b ． 【解析】(1)由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则2221233333S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 133B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，132cos 4ac B ==，则12sin 28ABCS ac B ==； (2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则223294sin sin sin sin sin 423b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 13．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+【解析】(1)由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． (2)由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【解析】(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD ==则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等 所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDSEF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251225122533tan 23tan 4tan 4tan θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan θ=时取得等号，此时315tan 15538.7AE θ===≈ 即当3tan θ=时，梯形AEFD 2253则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.14⨯≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.1415．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 22A B C =2b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【解析】（I ）因为sin :sin :sin 22A B C =::22a b c =2b =，2,2a c ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos 242222a b c C ab +-===⨯⨯； （III ）3cos 4C =，27sin 1cos C C ∴-，7337sin 22sin cos 24C C C ∴===，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=， 所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭37311321182-=⨯=. 16．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =， 2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则237sin 1cos C C =-= 因此，1137157sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈，故2a =. 17．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 33【解析】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 23sin 2sin3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin33c R R π=， 则周长23423a b c R R ++=+=+ 解得2R =，则2,3a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 3322342a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯++⨯=⎪⎝⎭18．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【解析】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，。