指数函数题型归纳
专题05 指数与指数函数及其复合函数题型归纳
专题05 指数与指数函数及其复合函数综合问题一、学法指导与考点梳理重难点一 根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 重难点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. 重难点三 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质二、重难点题型突破重难点突破1 指数与指数幂运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n3.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1) 4.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)5.幂的运算性质（1）s r a a ＝s r a +a (＞0，r ，s ∈Q )；（2）sr a )(＝rs a a (＞0，r ，s ∈Q )； （3）rab )(＝rr b a a (＞0，r ，s ∈Q )．例1-1．（1）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【解析】对于A 0a ，而当0a <时，56a 无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确．故选：D ．（2）．（2019秋•凌源市月考）已知0a >( )A ．712aB ．512a C ．56a D ．13a【解析】原式1151532622212a a a aa ⨯====．故选：B ．（3）．2019秋•鸠江区校级期中）（121xy xy -；（21327()8--++【变式训练1】 计算：（2020·成都七中万达学校高一月考）1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭=_____________.【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭111131-233333443222=+22+23-=24272333（）（）（）（）⨯⨯++⨯-110= ，故填110. 【变式训练2】（2019·四川成都市·石室中学高一月考）（1）化简()3212332140.1a b--⎛⎫⋅⎪⎝⎭（2）2019·四川成都市·成都外国语学校）（2）13231442--⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （1）1323122214446212--⎛⎛⎫++⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=【详解】（1）原式()311223322333321222221181161620010100a b a b a ba b ------⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅； （2）132312221444621--⎛⎛⎫++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=例1-2.（2019秋•越秀区校级月考）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．【解析】11221122x y x y-==+．①12x y +=，9xy =，②222()()41249108x y x y xy ∴-=+-=-⨯=．又x y <，x y ∴-=-=．【变式训练1】（1）（2019·四川成都市·石室中学高一月考）设3312x x +=，求1x x +的值.（2）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）化简求值：已知1122x x-+=，求22145x x x x --+++-的值.【解析】（1）由3312x x +=可得6312x x +=，即()2310x -=，解得1x =， 因此，1112x x+=+=. （2）因为1122x x -+=125x x -++=，即13x x -+=，所以2229x x -++=，即227x x -+=，所以221474115352x x x x --+++==-+--. 【变式训练2】（1）（2019·成都市·成都外国语高一期中）已知11223a a -+=，求332222a a a a --++值. 【解析】因为11223a a -+=，两边同时平方可得129a a -++=所以17a a -+=，由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+-()()2371184772⨯-==- （2）（2019·成都市·树德中学高一开学考试）已知232a =+11133a a a a--++的值【解析】设则， .重难点突破2 指数函数的概念例2.（2019·眉山外国语学校高一期中）函数y=（a 2–3a+3）•a x 是指数函数，则a 的值为___________．【解析】由题意得：a 2–3a+3=1，即（a–2）（a–1）=0，解得a=2或a=1（舍去），故答案为2． 【变式训练】（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）若函数y =(a 2-3a +3)a x 是指数函数，则（ ） A a ＞1且a ≠1B a ＝1C a ＝1或a ＝2D a ＝2【答案】D重难点突破3 指数函数的图像例3-1.（1）（2019·眉山外国语学校高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠图像可能是（ ）． A ．B ．C ．D ．【解析】∵0a >，∵10a>，∵函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∵101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∵11a>，所以排除C ，故选D.（2）（2020·四川成都市·成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数xy a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的1a >，不能统一，错误； 对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，xy a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误；对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的10,01b a -<<<<，正确；对D ，y b ax =-中的1b <-，xy a b =+中的10b -<<，不能统一，错误；故选：C. （3）（2019·四川成都市·石室中学高一开学考试）若函数()()101xy a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限，则有（ ）A ．1a >，且1b <B ．1a >，且0b >C ．01a <<，且0b >D ．01a <<，且0b <【解析】由题意,画出图象如图,由单调性可知,1a >,当0x =时,0,0y b b =-,选B.（4）（2020·成都市·成都外国语学校高一期中）函数2121xy =+-的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】令()22112121x x xf x +=+=--， 得函数的定义域为{}0x x ≠，()()21122112x xx xf f x x --++--==--=， 则()f x 为奇函数，所以排除B C ；当0,21210x xx >>⇒->，则1y >，所以排除A ；故选：D.【变式训练】（1）（2019·四川凉山彝族自治州·高一期末）已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()xg x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数，(0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，故选：C .（2）（2020·四川省武胜烈面中学校高一月考）函数xy a b =+部分图象如图所示，则（ ）A ．01,10a b <<-<<B ．01,01a b <<<<C ．1,10a b >-<<D ．1,01a b ><<【解析】由题,函数图象恒过点()0,1b +,由图象可得011b <+<,即10b -<<, 显然,函数单调递减,所以01a <<,故选:A（3）（2019·四川成都市·双流中学高一期中）已知a ＞1，则函数y =a x 与y =（a -1）x 2在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】∵a ＞1，∵函数y =a x 为增函数，函数y =（a -1）x 2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A ．（4）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）函数x y a = (0a >且1a ≠)与函数()212y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】当1a >时，函数xy a =为增函数；函数()212y a x x =--图象的开口向上，对称轴为101x a =>-，且与y 轴的交点为(0,0)，排除B ． 当01a <<时，函数xy a =为减函数；函数()212y a x x =--图象的开口向下，对称轴为101x a =<-，与y 轴的交点为(0,0)，排除C,D ，故A 正确．选A ． 例3-2.（恒过定点问题）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）若函数22x y a +=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过一定点P ，则P 的坐标为（ ） A ．()0,1B ．()2,1-C ．()2,2-D ．()2,3-【解析】∵当2x =-时，此时2220=1x a a a +-+==，即函数值023y a =+=，∵定点P 的坐标为()2,3-，故选：D.【变式训练】（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数2020()2(01)x f x a a a -=+>≠,的图像必经过定点__________.【解析】令20200x -=，解得2020x =，则0()23f x a =+=，所以()f x 的图像必经过定点（2020，3），故答案为：（2020，3）重难点突破5 指数函数的定义域例5.（1）（2019·四川成都市·棠湖中学高一期末）函数y =_______．【解析】由二次根式有意义，得：420x -≥，即2242x ≤=，因为2xy =在R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：(,2]-∞（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知函数f (x )的定义域是(1，2)，则函数f (2x )的定义域是（ ）A ．(0，1)B ．(2，4)C ．(12，1) D ．(1，2)【解析】∵f (x )的定义域是(1，2)，∵1＜2x ＜2，即20＜2x ＜21，∵0＜x ＜1.故选:A .【变式训练】（1）（2020·全国高一课时练习）函数()f x = ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞【解析】使函数有意义，需210x -≥，即为21x ≥，得0x ≥，则定义域为[0,)+∞.选：A. （2）（2020·全国高一课时练习）函数()121x f x =-的定义域是________. 【解析】由210x -≠，得0x ≠，故函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故答案为：(,0)(0,)-∞+∞重难点突破6 指数函数的单调性与最值例6-1.（1）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()2,+∞【解析】令()232t x x x =-+，则1()2t y =，1()2ty =在t R ∈上单调递减，所以本题即求函数()t x 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质可得函数()t x 在定义域内的减区间为3(,)2-∞，函数23212x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A （2）（2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）若函数242axxy -=在[﹣2，+∞）上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1]{0} B ．[﹣1，0]C ．（﹣1，0]D ．[﹣1，2]【解析】当0a =，41162xxy -⎛=⎫= ⎪⎝⎭，由指数函数的单调性 可知函数在[﹣2，+∞）上为减函数，满足题意；当0a <，只需满足()24f x ax x =-在[﹣2，+∞）上为减函数，即4212a a≤-⇒≥-，即10a -≤< ，综上，[]1,0a ∈-.故选：B（3）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）已知函数()(),01,0x e k x f x k x k x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112k ≤< B ．112k << C ．1k < D ．1k ≤【解析】因为()f x 是在R 上的增函数，所以010(1)0k e k k k ->⎧⎨-≤-⨯+⎩，得112k ≤<，选：A 【变式训练】（1）（2020·内江市天立学校高一月考）已知函数20()40x a a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，其中0a >，且1a ≠，若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．113⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】因为函数20()40xa a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，在R 上单调递减，所以014012a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-⎩，解得113a ≤<，故选：B （2）（2020·四川泸州市·泸县五中高一月考）若函数()22313x mx f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是__________．【解析】等价于223y x mx =+-在()1,1-上单调递增，对称轴4m x =-， 所以14m-≤-，得4m ≥．即实数m 的取值范围是[)4,+∞． （3）求函数221()2x xy -+=的单调区间．解：令22t x x =-+，则1()2t y =，且在R 上递减，由于22t x x =-+在(-∞，1]上递增，在[1，)+∞上递减，则由复合函数的单调性，可得 函数221()2x xy -+=的单调递减区间为(-∞，1]，单调递增区间为[1，)+∞．例6-2.（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高二月考）函数221()2x xy -+=的值域是（ ）A ．RB ．1[,)2+∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞【解析】令22t x x =-+，则1()2ty =，而222(1)11t x x x =-+=--+≤，所以11()22ty =≥.故选B.（2）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）当[]1,1x ∈-时，函数()32xf x =-的值域是（ ）A ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1C ．5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【解析】因为指数函数3x y =在区间[]1,1-上是增函数，所以11333x -≤≤，于是11323232x --≤-≤-即5()13f x -≤≤.故选:C . （3）（2019·四川省成都市郫都区第四中学高一月考）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. （4）（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）设02x ≤≤，求函数143252xx y =⋅-⨯+ 的最大值和最小值. 【解析】设2x t =，则2211135(3)(14)222y t t t t =-+=-+≤≤. ∵上述关于t 的二次函数在[1,3]上递减，在[3,4]上递增， ∵当3t =，y 取最小值12；当1t =时，即0x =时，y 取最大值52. 【变式训练】（1）（2019·泸州市·高一期中）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．【解析】令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵()2225144U x x x =++=++≥, ∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤= ⎥ ⎪ ⎥ ⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦．（2）（2019·四川省阆中东风中学校高三月考）函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()222111x x x -=--+≤，221111222x x -⎛⎫⎛⎫∴≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D.（3）（2020·四川自贡市·高一期末）若02x ≤≤，求函数()129235x x f x -=-⨯+的最大值和最小值． 【详解】()()1221923532353x x xx f x -=-⨯+=-⨯+()()()21332023xf x x =-+≤≤,当33x =时,即1x =时取得最小值,故()()min 12f x f ==,当0x =时,10(0)3f =, 当2x =时,(2)14f = ()()(){}()max max 0,2214f x f f f ===.综上,函数()f x 最大值为14,最小值为2.（4）（2019·成都市棠湖中学高一期中）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13 (负值舍去).综上，a =3或a =13.故答案为: 3或13 重难点突破7 指数函数比大小、解不等式 例7-1.如图①，②，③，④，根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c 【解析】由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b ），（1，a ），（1，d ），（1，c ），故有b ＜a ＜1＜d ＜c ，故选B.例7-2.（1）（2020·成都市·成都七中高三其他模拟）已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <，因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <，即b <a <c .故选：A.（2）（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试）设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >，再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>，故选：B.【变式训练】（1）已知0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c >>D.c b a >>【解析】根据指数函数的性质可知,函数0.8xy =为单调递减函数,所以00.70.910.80.80.8=>>,即1a b >>因为 1.2xy =为单调递增函数,所以0.80.211 1.2>=,即1c >综上可知, c a b >>,故选B（2）（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >>【解析】()20.80.81.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>.故选：B（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知 2.32.3a =， 1.92.3b =， 2.32.5c =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>【详解】利用指数函数的性质，可得 2.32.3a = 1.92.3b >=，又因为 2.32.3a =和 2.32.5c =，作商得， 2.32.512.3c a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得到c a >，所以，c a b >>，故选：B例7-3.（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）不等式124x ->的解集是（ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x <C ．{}3x x >D ．{}3x x <【解析】12242x ->=，12x ∴->，解得3x >，则解集是{}3x x >.故选：C .（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【解析】式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知函数()f x 是定义在R 的偶函数，当0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且(3)0f =，则不等式(25)0x f -<的解集为_______．【解析】依题意，()f x 为偶函数，由于0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，所以()f x 在()0,∞+上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，()()330f f -==， 所以()f x 在区间()(),33,-∞-+∞有()0f x <，故由(25)0xf -<得253x -<-或253x ->，即22x <或3282x >=， 解得1x <或3x >.所以不等式(25)0xf -<的解集为(,1)(3,)-∞+∞.【变式训练】（1）（2017·全国高一课时练习）设0<a <1，则使不等式222135x x x x a a >－＋－＋成立的x 的集合是________．【解析】01,xa y a <<∴=为减函数，222135xx xx a a -+-+>，222135x x x x ∴-+<-+，解得4x <，故使条件成立的x 的集合为(),4-∞，故答案为(),4-∞.（2）（2020·四川成都市·高一期末）已知函数()1x f x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()1124f f -=.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）解不等式()0f x >.【解析】（∵）∵()1x f x a =-（0a >，且1a ≠），∵()()()()221211f f a a a a -=---=-.由214a a -=，解得12a =.∵a 的值为12.（∵）不等式()0f x >即1102x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∵121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝.即01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减，∵0x <.∵不等式()0f x >的解集为(),0-∞. 重难点突破8 指数函数性质综合 例8.已知函数．（∵）判断并证明函数的奇偶性；（∵）判断并证明函数的单调性； （∵）若，求实数的取值范围．【解析】（∵）是奇函数．证明：因为函数的定义域为，),1(,)(R ∈>-=-x a aa x f xx()f x ()f x 0)1()1(2<-+-t f t f t ()f x ()f x R又，所以是奇函数．（∵）函数为上的增函数．证明：任取，则．因为，所以，又，所以，，所以．所以函数为上的增函数．（∵）由，可得．由函数是奇函数，可得．又为上的增函数，所以，即解得 ，或．【变式训练】（1）已知函数11x x a f x a -=+()，其中0a ＞，且1a ≠.（1）判断f x ()的奇偶性，并证明你的结论； （2）当1a ＞时，求证：f x （）在R 为增函数. 【解析】（1）f x ()为奇函数.证明如下：由11x x a f x a -=+()，x R ∈，得1111111111xx x x x x xxx xa a a a a f x f x a a a a a -------=====-++++()()，即对任意的x R ∈， 都有f x f x -=-()()，所以f x ()为奇函数.（2）当1a ＞时，设1x ，2x R ∈，且12x x ＜，则12xxa a ＜，从而1212121111x x x x a a f x f x a a ---=-++()()1221121212111101111x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+--+-==++++＜()()()()2()()()()()， 所以12f x f x ＜()()，故f x （）在R 上为增函数.()()f x f x -=⋅⋅⋅=-()f x ()f x R +∞<<<∞-21x x 2211)()(21x x x x a a a ax f x f --+--=-)()(1221x x x x a a a a ---+-=21x x <21x x ->-1>a 21x x a a <12xx a a --<)()(21x f x f <()f x R 0)1()1(2<-+-t f t f )1()1(2t f t f --<-()f x )1()1(2-<-t f t f ()f x R 112-<-t t 022>-+t t 2-<t 1>t（2）（2020·成都七中万达学校高一月考）函数()(0,1)xf x a a a =>≠，(2)4(1)4f f -=-.（1）求a 的值；（2）若(32)(25)f m f m -<+，求实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意(2)4(1)4f f -=-，则244a a -=-，解得2a =，综上：2a =. （2）由（1）知()2x f x =，则()f x 是R 上的增函数，因为(32)(25)f m f m -<+则3225m m -<+，解得7m <，综上所述，结论是：(),7m ∈-∞三、课堂定时训练（45分钟）1．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方， 故，综上所述:.故选:C. 2.（2019·安徽高三高考模拟（文））函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选：A3．设0a ＞，且1a ≠，则指数函数x y a =与一次函数y x a =-+的图象可能是（ ） Cx y a =xy b=1a b <<1b a <<1a b >>1b a >>a b xy a =1x =xy b =1x =b a <1a b >>【解析】由题意知，当a 变化时，指数函数x y a =的图象过定点01(,)．若1a ＞，则指数函数x y a =在R 上递增，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点0a (,)在点01(,)的上方，与x 轴的交点0a (,)在x 轴正半轴，A 符合，B 不合题意．若01a ＜＜，则指数函数x y a =在R 上递减，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点在原点与点01(,)之间，与x 轴的交点在x 轴正半轴，C 、D 均不合题意．故选A ． 4.（2019·云南高三高考模拟（文））已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解析】因为在R 上递减，且，所以.又因为在R 上递增，且 ，所以 .所以.故选：D.5．若2233x y x y ----＜，则（ ）A ．x y ＜B ．x y ＞C ．||1x y -＞D ．||1x y -＜【解析】由2233x y x y ----＜，得2323x x y y ----＜，令23ttf t -=-()，因为2ty =为R上的增函数，3ty -=为R 上的减函数，所以f t ()为R 上的增函数，所以x y ＜，则A 正确，B 错误；，因为x y -与1的大小不能确定，故C 、D 无法确定．故选A ．7．已知函数2222x xxf x -=++()的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．【解析】设222x x x g x -=+()，由222222x x x x x xg x g x ------==-=-++()()()()()知， g x ()是奇函数，所以max min 0g x g x +=[()][()]，所以max min 22404M m g x g x +=+++=+=[()][()]．8.已知函数()()()210120xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则该函数是（ ） A ．偶函数，且单调递增 B ．偶函数，且单调递减 C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减【详解】当0x =时，(0)0f =；当0x >时，0x -<，所以()12()xf x f x --=-=-；当0x <时，0x ->，所以()21()xf x f x -=-=-；所以()()f x f x -=-，所以函数是奇函数.当0x ≥时，()21xf x -=-，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，由奇函数的性质得函数在R 上单调递减.故选：D9．函数()()21121012211x x ax x f x a a a x ⎧-+<⎪=>≠⎨⎪-≥⎩且是R 上的减函数，a 取值范围是（ ） A ．1223⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．213⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【详解】由题得22112201112122a x a a a a -⎧=-=≥⎪⨯⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥-⎪⎪⎩，解之得1223a ≤≤.故选：C10．（改编自2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数（且）的图象恒过定点，则 ， ______．3x my a n -=+-0a >1a ≠(3,2)m =n =【解析】∵函数（且）的图象恒过定点，令，可得，，可得函数的图象经过定点.再根据函数的图象经过定点，∴，，解得，.11.已知函数，为常数，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，且，求满足条件的的值．【解析】（1）由已知得，解得．（2）由（1）知，又，则，即，即， 令，则，即， 又，故，即，解得 ．12．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x xf x a a a a -=->≠.（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值.（2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()x xg x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .【解析】（1）由题意知11223a a -+=，可得112122()29a a a a --+=++=，可得17a a -+=，又由1222(249a a a a--+=++=），可得2247a a -+=.（2）由函数()x xf x a a -=-，且3(1)2f =，可得132a a -=， 整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去）， 3x my an -=+-0a >1a ≠0x m -=x m =2y n =-(),2m n -()3,23m =22n -=3m =4n =()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ()1,2-a ()42xg x -=-()()g x f x =x 122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭1a =()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()g x f x =1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭112042x x⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭220t t --=()()210t t -+=0t >2t =122x⎛⎫= ⎪⎝⎭1x =-所以函数()f x 的解析式为()22x x f x -=-.（3）由（2）知()22x x f x -=-，得()2222()2()22222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+， 令()22x x t f x -==-，可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-，又由函数()22x x f x -=-为增函数，因为1x ≥，所以3(1)2t f ≥=，当32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，即m =m =，当32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去.综上可知m =. 13.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数()42+=x xb f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ，∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,.。
专题09 指数与指数函数(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0mm mab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2.指数函数⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0).（3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+D ．()f x 是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+ ．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x =++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783≈）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!nxx x x x n =+++++++ ，其中R,N x n ∈∈的近似值为（精确到0.01）（）A ．1.63B ．1.64C ．1.65D ．1.664．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（）A 1=，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b>C ．ac bc>D ．22a b >12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0, +上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a-+=3，求22112a a a a --++++的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根；(2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数题型学霸总结四(含答案)-
指数函数题型学霸总结四（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数是指数函数，则有A. 或B.C. D. ，且【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是指数函数的概念，直接结合指数函数底数大于0且不等于1，前面系数为1，求解即可．【解答】解：由指数函数的概念，得，解得或当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意．故选C．2.若函数是指数函数，则a的取值范围是A. B. ，且C. D.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查指数函数的定义，属于基础题．利用指数函数的定义中对底数的要求，列出不等式组，求解即得．【解答】解：因为函数是指数函数，得：，化简得故选B．3.有下列函数：；；；其中指数函数的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查指数函数的表达式和定义，属于基础题．根据指数函数的定义和表达式的要求即可得解．【解答】解：形如，且的函数称为指数函数，只有是指数函数．故选B．4.已知函数，若，则A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，属于基础题．发现是解题的关键．【解答】解：因为，所以，又，那么．故选C．5.下列各函数中是指数函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易．根据指数函数的概念即可判断结果．【解答】解：根据指数函数的定义，且，可知只有D项正确，故选D．6.若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．根据指数函数的单调性，可知，解得实数a的取值范围．【解答】解：函数，在R上单调递减，则，解得，实数a的取值范围是．故选C．7.已知常数，函数经过点、，若，则a的值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】本题主要考察指数与指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题．将p，q直接带入，计算即可求解得到答案．【解答】解：因为，，，，即，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，故选B．8.已知函数则A. 2B.C. 0D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数定义域与值域、分段函数的相关知识，试题难度容易【解答】解：，．9.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC与BO交于点E，且若指数函数且的图象经过点E，B，则a等于A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：设点，则由已知可得点，，．因为点E，B在指数函数的图象上，所以所以，所以舍去或．10.下列图象中，可能是二次函数及指数函数的图象的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查指数函数的图象及性质、二次函数的图象及性质，属于基础题．指数函数在R上单调递减，则，可得，二次函数的图象与x轴的交点为、，结合选项即可判断．【解答】解：由指数函数的图象可知，指数函数在R上单调递减，则，，二次函数的图象与x轴的交点为、，只有选项A符合题意．故选A．11.函数与的图象关于A. 原点对称B. x轴对称C. y轴对称D. 直线对称【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的周期性和对称性、函数图象的变换平移、对称、伸缩、翻折变换的相关知识，试题难度较易【解答】解：设点为函数的图象上任意一点，则点为的图象上的点．因为点与点关于y轴对称，所以函数与的图象关于y轴对称，故选C．12.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则A. 0B.C. 18D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的周期性，涉及指数的运算，属于基础题．由题意可得函数为周期为2的周期函数，可得，代值计算可得．【解答】解：定义在R上的函数满足，函数为周期为2的周期函数，又当时，，，故选：C．二、填空题（本大题共14小题，共70.0分）13.指数函数的值域是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查求函数值域的方法，考查指数函数的性质，解题的关键是将复杂函数化为基本函数，属于基础题．根据题意可知，函数，若令，于是可得y 转化为关于t的二次函数，根据指数函数的性质可知，结合二次函数的单调性还可得到在上函数单调递增，于是不难得到，对该不等式式求解，即可得到原函数的值域．【解答】解：令，则，因为该二次函数在上递增，所以，即原函数的值域为．故答案为．14.若函数且在区间上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，属基础题，难度不大．讨论底数a的大小，利用指数函数的单调性求解即可．【解答】解：当时，函数在区间上单调递增，的最大值为a，最小值为，，解得，当时，函数在区间上单调递减，的最大值为，最小值为a，，解得舍，综上所述：．故答案为2．15.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数定义域与值域、指数方程与指数不等式的相关知识，试题难度容易【解答】解：依题意得，，得，得，得．则函数的定义域为．故答案为．16.已知函数且在区间上的函数值恒小于2，则a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，属于基础题．分类讨论，由指数函数的单调性得最值，求a的取值范围．【解答】解：当时，函数且在区间上单调递增，最大值为，由题意，所以，当时，函数且在区间上单调递减，最大值为，由题意，所以，则a的取值范围是故答案为17.若指数函数的图象经过点，则，．【答案】；【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：设且．因为的图象经过点，代入得，解得或舍去，所以，所以．18.若指数函数的图象经过点，则．【答案】【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易【解答】解：设且，由于其图象经过点，所以，解得或舍去，因此，故．19.已知，若，求的值．【答案】解：，若，则．所以．【解析】本题考查了指数与指数幂的运算的相关知识，试题难度一般20.已知函数是指数函数，且，则__________．【答案】 5x【解析】【分析】本题主要考查指数函数，由得，，解得即可．【解答】解：设x，且．由，得，，x．故答案为．21.若函数且的图象过点，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易【解答】解：由于函数图象过点，则，解得，故．22.已知直线与函数，，，的图象依次相交于点A，B，C，D，则这四点按从上到下的顺序排列是________．【答案】C，D，B，A【解析】【分析】本题考查指数函数的图象和性质，根据底数对指数函数图象的影响，在同一坐标系中画出题中四个函数的图象，即得到四个点的顺序．【解答】解：根据在第一象限内，底数越大指数函数的图象越靠近y轴，在同一坐标系中画出函数，，，的图象如下图：由图象得：这四个点从上到下的排列次序是：C，D，B，A．23.已知函数与的图象关于y轴对称，则．【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数，涉及图象的对称变换和指数幂的运算，属于基础题．利用图象关于y轴对称的函数的解析式的关系将x换成，求得的解析式，然后代入运算化简即得．【解答】解：函数与的图象关于y轴对称，，．故答案为．24.以下是三个变量，，随变量x变化的函数值表：x1234567824816326412825614916253649640123其中关于x呈指数函数变化的函数是________．【答案】【解析】【分析】本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．观察题中表格，可以看出，三个变量、、都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，画出它们的图象图略，可知变量呈指数函数变化．【解答】解：观察题中表格，可知，三个变量，，都是越来越大，但是增长速度不同，增长速度最快，画出它们的图象，可知呈指数函数变化．25.函数是指数函数，则_______【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数的定义，比较容易根据指数函数的定义，先确定a的值，再求．【解答】解：函数是指数函数，则，解得．所以，．所以，．故答案为．26.给定下列函数：；；，且；；；；；其中是指数函数的有________填序号【答案】解：指数函数为，很显然为二次函数，为指数函数，底数不一定大于0，故不是指数函数，底数小于0，不是指数函数，是指数函数，不是指数函数，是指数型函数，不是指数函数，不是指数函数，故答案为【解析】此题考查指数函数的定义，属于基础题．根据指数函数的定义进行求解即可．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.已知指数函数满足，定义域为R的函数是奇函数．确定和的解析式；判断函数的单调性，并用定义证明；若对于任意，都有成立，求a的取值范围．【答案】解：设且，，，，，是定义域为R的奇函数，，即，解得．经检验，当时，为奇函数，是定义在R上的减函数，证明如下：任取，，，则．，，又，，，，是定义在R上的减函数；，且为奇函数，，所以，因为，所以成立，设，，由对勾函数的单调性可知，函数在单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值为，所以．【解析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度适中，属于较难题．利用指数函数过定点和函数为奇函数，得到关于参数的方程，解方程得到本题结论；利用函数单调性的定义加以证明，得到本题结论；利用函数的奇偶性和单调性，将原不等式转化为相应自变量的比较，利用对勾函数的单调性得到本题结论．28.某镇现在人均一年占有粮食，如果该镇人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．【答案】解：设该镇现在人口数量为M，则该镇现在一年的粮食总产量为360M kg．1年后，该镇粮食总产量为，人口数量为，则人均一年占有粮食为，2年后，人均一年占有粮食为，，x年后，人均一年占有粮食为，即所求函数解析式为【解析】本题考查了函数模型的应用的相关知识，试题难度较易29.用描点法在同一平面直角坐标系中画出与的图象．在的条件下，分别计算并比较与，与，与的值，从中你得到什么结论？【答案】解：作，的图象如下，，，；，；，；故；即与的图象关于y轴对称．【解析】本题主要考查了指数函数的图象及其性质，属于较易题．结合指数函数的图象，利用描点法作，的图象．可求得；；；从而可判断．30.已知不相等的两个实数a，b满足，判断实数a，b的大小关系．【答案】解：画出，的图像如图所示：，当a，b同为负时，，当a，b同为正时，，当a，b不同号时，不存在，综上所述，答案：当或．【解析】本题主要考查了指数函数的图像与性质，属于较易题画出图像，由图像可得结果．。
高中数学指数函数对数函数重点题型汇总
指对函数题型分类一、指数函数：)0,1(>≠=a a a y x 题型一：比较大小1、（1） ； （2） ______ 1； （3） ______2、985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
3、设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A.a a ＜a b ＜b a B.a a ＜ b a ＜a b C.a b ＜a a ＜b a D.a b ＜b a ＜a a 4、已知下列等式，比较m ，n 的大小：（1）22m n < (2)0.20.2m n <5、下列关系中，正确的是（ ）A 、5131)21()21(> B 、2.01.022> C 、2.01.022--> D 、115311()()22- - >5．比较下列各组数的大小 (1)31.13.11.1,1.1 (2)3.02.06.0,6.0-- (3)3241⎪⎭⎫ ⎝⎛、3251⎪⎭⎫ ⎝⎛、3141⎪⎭⎫⎝⎛; (4)0.42、20.4、log 402⋅题型二：复合指数函数图象 1、 函数（ ）的图象是（）2．函数与的图象大致是( ).3．当时，函数与的图象只可能是（ ）4．在下列图象中，二次函数 与指数函数 的图象只可（ ）5、若，，则函数的图象一定在（）A ．一、二、三象限B ．一、三、四象限C ．二、三、四象限D ．一、二、四象限6、已知函数xx f 2)(=,则)1(x f -的图象为 （ ）ABCD7、函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数， 则下列结论正确的是（ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><<b a D ．0,10<<<b a8、（全国卷Ⅳ文科）为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度9、画出12-=x y 和12-=xy 的图象。
指数函数常考题型归纳含详解
A． a b 1 c b B． b a 1 d c C．1 a b c d D． a b 1 d c 3、已知函数 f (x) (x a)(x b) （其中 a b) 的图象如图所示，则函数 g(x) ax b 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、画出下列函数的图像
D．
0,
1 2
A． ab aa
B． ba bb
C． ab bb
D． ab ba
2、设 a ， b ， c R ，且 a b ，则（ ）
A． a2 b2
B．
1 2
a
1 2
b
C． a3 b3
D． 1 1 ab
3、已知集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x |1 2 x 4} ，则 A B （ ）
题型九：复合函数的单调性
C． f x x 1
x
1、函数
y
1 2
82 xx2
的单调递增区间为_________．
D． f x 3 x
2、求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1） f ( x) 1 3x2 ；
1
（2）
f
(x)
1 2x 3
；
（3） f ( x) 2x22x3 ；
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x | 0 x 2}
4、已知 a 0.20.3 ， b 0.30.3 ， c 0.20.2 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
题型八：指数函数的单调性
C． b c a
D． a c b
A．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是增函数 B．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是减函数
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
根据指数函数的奇偶性知识点及题型归纳总结
根据指数函数的奇偶性知识点及题型归纳总结1. 知识点概述指数函数是数学中常见且重要的函数之一。
在研究指数函数时，了解其奇偶性质十分重要。
奇偶性是指函数在定义域内的对称性质，通过判断函数的奇偶性，可以简化对函数性质的分析和推导。
2. 奇函数和偶函数- 奇函数：当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，称之为奇函数。
奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
- 偶函数：当函数满足$f(-x)=f(x)$时，称之为偶函数。
偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
3. 奇偶性的性质及应用- 奇函数的特点：- 当$x$为正数时，$f(x)$的值与$-x$对应的$f(-x)$的值相等；- 若$f(x)$在定义域内某一点有定义，那么$-f(x)$在定义域内对应的点也有定义；- 若$f(x)$为奇函数，那么$f'(x)$为偶函数，即奇函数的导数为偶函数。
- 偶函数的特点：- 当$x$为正数时，$f(x)$的值与$-x$对应的$f(-x)$的值相等；- 若$f(x)$在定义域内某一点有定义，那么$f(-x)$在定义域内对应的点也有定义；- 若$f(x)$为偶函数，那么$f'(x)$为奇函数，即偶函数的导数为奇函数。
- 通过判断函数的奇偶性，可以进行以下应用：- 确定函数图像关于哪个轴对称，从而简化图像的绘制；- 判断函数的导数的奇偶性，从而简化导数计算。
4. 提示题型- 判断题型：给定一个函数，判断该函数是奇函数、偶函数还是既不是奇函数也不是偶函数；- 求导题型：已知一个函数为奇函数或偶函数，求其导数的奇偶性；- 求对称轴题型：给定一个函数，求其对称轴是x轴还是y轴。
5. 总结了解指数函数的奇偶性质对于分析和推导函数性质起到重要的作用。
通过判断函数的奇偶性，可以简化图像的绘制和导数的计算，为求解问题提供便利。
以上就是根据指数函数的奇偶性知识点及题型的归纳总结。
(文字总数：230字)。
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指数函数及其性质应用
1.指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2.指数函数函数
性质：
且
图象过定点
，即当时，
在
变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，方向看图象，指数函数题型训练
题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型 （1）21
51-
⎪
⎭⎫ ⎝⎛ 3
251⎪⎭⎫
⎝⎛ （2） 2.51.7 31.7 （3）0.8
14⎛⎫ ⎪⎝⎭
1.8
12⎛⎫
⎪⎝⎭
（4）
0.5
a ()0.6
0,1a
a a >≠
归纳：
2、“同指不同底”型
（1）56
311⎛⎫ ⎪
⎝⎭
56
833⎛⎫ ⎪
⎝⎭
（2）9 2
4
归纳： 3、“不同底不同指”型
（1）0.3
1.7
3.1
0.9
（2） 2.5
1.7
30.7 （3）0.1
0.8
- 0.2
9
-
（4）b a (01)a
b a b <<< （5） 1
23-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
13
3
归纳：
综合类：（1）已知232()3a =，132()3b =，232
()5
c =则a 、b 、c 的大小关系为
（2）如果0m <，则2m a =，1
()2
m b =，0.2m c =则a 、b 、c 的大小关系为
题型二 过定点问题 1、函数33x y a -=+恒过定点
2、函数()150,1x y
a a a +=->≠图像必过定点，这个定点是
3、已知对不同的a 值，函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ，则P 点的坐标
是 归纳：
题型三 解指数函数不等式 1、2212
2≤⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-x 2、 8
21(
)33
x x --< 3、0.225x < 4、221(2)(2)x x a a a a -++>++ 归纳：
题型四 求指数函数相关的定义域
1
、y =
、y =
、y =
4、13
2
x y
-= 5、已知
()f x 的定义域为(0,1) ,则(3)x f 的定义域为__________
归纳：
题型五 求指数函数相关的值域 1、2
x
y
-= 2、1421x x y
+=++
3、1
33+=x x
y 4、设02x ≤
≤ ，求函数12
4
325x x y -=-⋅+值域
5、求1423x x y
+=-+，(,1]x ∈-∞的值域。
题型六 方程问题 1、2
23
380x x +--= 2、23360x x --=
3、23325032x
x
⎛⎫⎛⎫
⨯+⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
归纳：
题型七 最值问题 1、已知12x -≤≤,求函数1()3239x x f x +=+⋅-的最大值和最小值
2、已知函数221(1)x x y a a a =+->在区间[1,1]-上的最大值是14，求a 的值.
3、函数
()x
f x a = (0,1)a a >≠且在区间]2,1[-中的最大值比最小值大2
a
，
则a 的值为 归纳：
题型八 奇偶性问题
若函数a x f x
+-=
1
21
)(为奇函数，则实数a 的值是 题型九 单调性问题 1、函数3
22
2--=x x y 的单调区间。
3、求函数222
2
x x y
-++=单调区间。
4、求函数232
13x x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调区间。
归纳：
题型十 图象变换及应用问题 1、为了得到函数935x y
=⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）．
A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 2、画出函数121x y -=-图像,并求定义域与值域。
3、利用函数
()2x f x =的图像，作出下列个函数的图像
⑴
(1)f x -，⑵()1f x -，⑶()f x -，⑷()f x -
归纳： 选做题： 1、函数17
6221+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域为 ，值域为 ，
单调递增区间为 ，单调递减区间为 2、已知函数
1
()1
x x
a f x a -=+ (0,1)a a >≠且。
(1)求
()f x 的定义域和值域；(2)讨论()f x 的奇偶性。
3、函数x x y 4212-+=的定义域，单调区间。