指数函数题型总结
第17讲 指数函数及性质八大题型总结(解析版)
【详解】当 时， 为增函数，所以 ，当 时， 为增函数，所以 ，解得 ，因为 在 上为增函数，所以 ，解得 ，综上可知 。
【例7】已知函数 ，如果对任意 ， 恒成立，则满足条件的 的取值范围是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，所以 ，所以 ，所以 在 上恒成立，所以 ，当 时， ，所以 ，解得 。
【详解】∵ ，又 ，
∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.
故选：C.
题型三： 指数函数的定点
【例1】当 且 时，函数 必过定点.
【答案】
【详解】法一： 必过定点 ，将 向右平移2个单位得到 ，所以 必过定点 ，将 向下平移3个单位得到 ，所以函数 必过定点
法二：令 ，得到 ，所以 ，所以函数 必过定点
2.函数 在R上是减函数，则 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【详解】因函数 在R上是减函数，所以 ，所以 ，所以
3.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 则关于t的不等式 的解集为________.
【答案】 .
【分析】先判断出 是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图2-3-1所示，则 ；
即 ， (底大幂大)； 时， ．
图2-3-1图2-3-2
(4)特殊函数：函数 ， ， ， 的图象如图2-3-2所示．
【例8】已知函数 ，则不等式 的解集是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，因
专题09 指数与指数函数(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0mm mab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2.指数函数⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0).（3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+D ．()f x 是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+ ．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x =++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783≈）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!nxx x x x n =+++++++ ，其中R,N x n ∈∈的近似值为（精确到0.01）（）A ．1.63B ．1.64C ．1.65D ．1.664．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（）A 1=，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b>C ．ac bc>D ．22a b >12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0, +上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a-+=3，求22112a a a a --++++的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根；(2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数题型汇总
指数函数指数函数是高中数学中的一个根本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的根底和高考考查的重点，本文对此局部题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比拟大小例 1函数 f ( x) x2bx c 满足 f (1 x) f (1 x) ，且 f (0) 3 ，那么 f (b x ) 与 f (c x ) 的大小关系是_____．分析：先求 b，c 的值再比拟大小，要注意 b x，c x的取值是否在同一单调区间内．解：∵ f (1 x) f (1x) ，∴函数 f ( x) 的对称轴是 x 1 ．故 b 2 ，又 f (0) 3，∴ c 3 ．∴函数 f ( x) 在∞，1上递减，在1，∞上递增．假设 x≥ 0 ，那么 3x≥ 2 x≥ 1 ，∴ f (3x ) ≥ f (2 x ) ；假设 x 0 ，那么 3x2x 1 ，∴ f (3 x ) f (2 x ) ．综上可得 f (3x ) ≥ f (2 x ) ，即 f (c x ) ≥ f (b x ) ．评注：①比拟大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比拟问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例 2 (a22a5)3 x(a22a 5)1 x，那么x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵ a22a 5 (a1)24≥4 1，∴函数 y( a22a5) x在 (∞，∞) 上是增函数，∴3x 1x ，解得x1．∴ x 的取值范围是1，∞．44评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例 3 求函数y 1 6x 2的定义域和值域．解：由题意可得1 6x 2≥0，即6x 2≤1，∴ x2≤ 0，故x ≤ 2 ．∴函数 f (x) 的定义域是∞，2 ．令t 6x 2，那么y 1 t ，又∵ x≤ 2 ，∴ x 2 ≤ 0 ．∴0 6 x 2≤ 1 ，即 0 t ≤ 1．∴ 0 ≤ 1 t 1 ，即 0 ≤ y 1 ．∴函数的值域是0，1 ．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例 4函数y a 2x2a x1(a 0 且a 1) 在区间 [ 11]，上有最大值14，那么 a 的值是 _______．分析：令 t a x可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令 t a x，那么t0 ，函数 y a2 x2a x 1 可化为 y (t1)2 2 ，其对称轴为 t1 ．∴当 a 1时，∵ x11，，∴1≤a x≤a，即1≤t≤a．a a∴当 t a 时，y max( a 1)2 2 14．解得 a3或 a5〔舍去〕；当 0a 1 时，∵ x11，，∴a ≤a x≤1，即a≤t≤1，a a112∴ t1 2 14，时， y maxaa解得a1或 a1〔舍去〕，∴ a 的值是 3或1 ．353评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比方：换元法，整体代入等．5．解指数方程例 5 解方程3x 232 x80 ．解：原方程可化为9x2x90，令 t x，上述方程可化为 9t280t9 0 ，解得 t 9 或 t 1(3 )803 3 (t 0)〔舍去〕，9∴ 3x9 ，∴ x 2 ，经检验原方程的解是x 2 ．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例 6 为了得到函数y93x 5 的图象，可以把函数y 3 x的图象〔〕．A．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度分析：注意先将函数y 93x 5 转化为 t3x25，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵ y9 3x53 x 2 5 ，∴把函数 y3x的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数y9 3x5的图象，应选〔C〕．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉根本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比方：平移、伸缩、对称等．习题1、比拟以下各组数的大小：〔1〕假设，比拟与；〔2〕假设，比拟与；〔3〕假设，比拟与；〔4〕假设，且，比拟 a 与 b；〔5〕假设，且，比拟 a 与 b．解：〔 1〕由，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．〔2〕由，故 ．又 ，故 ．从而 ．〔3〕由，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．〔 4〕应有．因假设 ，那么．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故．从而，这与矛盾．〔5〕应有．因假设 ，那么 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故．从而 ，这与 矛盾．小结：比拟通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2 曲线分别是指数函数, 和 的图象 ,那么 与 1 的大小关系是 (? ).?(分析 : 首先可以根据指数函数单调性 ,确定,在 轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结 : 这种类型题目是比拟典型的数形结合的题目 , 第(1)题是由数到形的转化 ,第(2)题那么 是由图到数的翻译 ,它的主要目的是提高学生识图 ,用图的意识 .求最值3 求以下函数的定义域与值域.1(1)y ＝ 2x 3;(2)y ＝ 4x +2x+1+1.11解： (1)∵ x-3≠ 0，∴ y ＝ 2 x 3的定义域为｛ x ｜x ∈R 且 x ≠3｝ .又∵x3 1≠ 0，∴ 2 x 3 ≠ 1，1∴y ＝2x 3的值域为｛ y ｜y>0 且 y ≠ 1｝.(2)y ＝ 4x+2x+1+1 的定义域为 R .∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2 +2· 2x +1＝ (2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1 的值域为｛ y ｜ y>1｝ . x+1x 的最大值和最小值4 -1≤x ≤2,求函数 f(x)=3+2 3·-9解：设 t=3x ,因为 -1≤x ≤2，所以12+12,故当 t=3 即 x=1 时， f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值 -24。
指数函数题型学霸总结四(含答案)-
指数函数题型学霸总结四（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数是指数函数，则有A. 或B.C. D. ，且【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是指数函数的概念，直接结合指数函数底数大于0且不等于1，前面系数为1，求解即可．【解答】解：由指数函数的概念，得，解得或当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意．故选C．2.若函数是指数函数，则a的取值范围是A. B. ，且C. D.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查指数函数的定义，属于基础题．利用指数函数的定义中对底数的要求，列出不等式组，求解即得．【解答】解：因为函数是指数函数，得：，化简得故选B．3.有下列函数：；；；其中指数函数的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查指数函数的表达式和定义，属于基础题．根据指数函数的定义和表达式的要求即可得解．【解答】解：形如，且的函数称为指数函数，只有是指数函数．故选B．4.已知函数，若，则A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，属于基础题．发现是解题的关键．【解答】解：因为，所以，又，那么．故选C．5.下列各函数中是指数函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易．根据指数函数的概念即可判断结果．【解答】解：根据指数函数的定义，且，可知只有D项正确，故选D．6.若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．根据指数函数的单调性，可知，解得实数a的取值范围．【解答】解：函数，在R上单调递减，则，解得，实数a的取值范围是．故选C．7.已知常数，函数经过点、，若，则a的值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】本题主要考察指数与指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题．将p，q直接带入，计算即可求解得到答案．【解答】解：因为，，，，即，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，故选B．8.已知函数则A. 2B.C. 0D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数定义域与值域、分段函数的相关知识，试题难度容易【解答】解：，．9.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC与BO交于点E，且若指数函数且的图象经过点E，B，则a等于A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：设点，则由已知可得点，，．因为点E，B在指数函数的图象上，所以所以，所以舍去或．10.下列图象中，可能是二次函数及指数函数的图象的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查指数函数的图象及性质、二次函数的图象及性质，属于基础题．指数函数在R上单调递减，则，可得，二次函数的图象与x轴的交点为、，结合选项即可判断．【解答】解：由指数函数的图象可知，指数函数在R上单调递减，则，，二次函数的图象与x轴的交点为、，只有选项A符合题意．故选A．11.函数与的图象关于A. 原点对称B. x轴对称C. y轴对称D. 直线对称【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的周期性和对称性、函数图象的变换平移、对称、伸缩、翻折变换的相关知识，试题难度较易【解答】解：设点为函数的图象上任意一点，则点为的图象上的点．因为点与点关于y轴对称，所以函数与的图象关于y轴对称，故选C．12.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则A. 0B.C. 18D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的周期性，涉及指数的运算，属于基础题．由题意可得函数为周期为2的周期函数，可得，代值计算可得．【解答】解：定义在R上的函数满足，函数为周期为2的周期函数，又当时，，，故选：C．二、填空题（本大题共14小题，共70.0分）13.指数函数的值域是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查求函数值域的方法，考查指数函数的性质，解题的关键是将复杂函数化为基本函数，属于基础题．根据题意可知，函数，若令，于是可得y 转化为关于t的二次函数，根据指数函数的性质可知，结合二次函数的单调性还可得到在上函数单调递增，于是不难得到，对该不等式式求解，即可得到原函数的值域．【解答】解：令，则，因为该二次函数在上递增，所以，即原函数的值域为．故答案为．14.若函数且在区间上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，属基础题，难度不大．讨论底数a的大小，利用指数函数的单调性求解即可．【解答】解：当时，函数在区间上单调递增，的最大值为a，最小值为，，解得，当时，函数在区间上单调递减，的最大值为，最小值为a，，解得舍，综上所述：．故答案为2．15.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数定义域与值域、指数方程与指数不等式的相关知识，试题难度容易【解答】解：依题意得，，得，得，得．则函数的定义域为．故答案为．16.已知函数且在区间上的函数值恒小于2，则a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，属于基础题．分类讨论，由指数函数的单调性得最值，求a的取值范围．【解答】解：当时，函数且在区间上单调递增，最大值为，由题意，所以，当时，函数且在区间上单调递减，最大值为，由题意，所以，则a的取值范围是故答案为17.若指数函数的图象经过点，则，．【答案】；【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：设且．因为的图象经过点，代入得，解得或舍去，所以，所以．18.若指数函数的图象经过点，则．【答案】【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易【解答】解：设且，由于其图象经过点，所以，解得或舍去，因此，故．19.已知，若，求的值．【答案】解：，若，则．所以．【解析】本题考查了指数与指数幂的运算的相关知识，试题难度一般20.已知函数是指数函数，且，则__________．【答案】 5x【解析】【分析】本题主要考查指数函数，由得，，解得即可．【解答】解：设x，且．由，得，，x．故答案为．21.若函数且的图象过点，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易【解答】解：由于函数图象过点，则，解得，故．22.已知直线与函数，，，的图象依次相交于点A，B，C，D，则这四点按从上到下的顺序排列是________．【答案】C，D，B，A【解析】【分析】本题考查指数函数的图象和性质，根据底数对指数函数图象的影响，在同一坐标系中画出题中四个函数的图象，即得到四个点的顺序．【解答】解：根据在第一象限内，底数越大指数函数的图象越靠近y轴，在同一坐标系中画出函数，，，的图象如下图：由图象得：这四个点从上到下的排列次序是：C，D，B，A．23.已知函数与的图象关于y轴对称，则．【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数，涉及图象的对称变换和指数幂的运算，属于基础题．利用图象关于y轴对称的函数的解析式的关系将x换成，求得的解析式，然后代入运算化简即得．【解答】解：函数与的图象关于y轴对称，，．故答案为．24.以下是三个变量，，随变量x变化的函数值表：x1234567824816326412825614916253649640123其中关于x呈指数函数变化的函数是________．【答案】【解析】【分析】本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．观察题中表格，可以看出，三个变量、、都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，画出它们的图象图略，可知变量呈指数函数变化．【解答】解：观察题中表格，可知，三个变量，，都是越来越大，但是增长速度不同，增长速度最快，画出它们的图象，可知呈指数函数变化．25.函数是指数函数，则_______【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数的定义，比较容易根据指数函数的定义，先确定a的值，再求．【解答】解：函数是指数函数，则，解得．所以，．所以，．故答案为．26.给定下列函数：；；，且；；；；；其中是指数函数的有________填序号【答案】解：指数函数为，很显然为二次函数，为指数函数，底数不一定大于0，故不是指数函数，底数小于0，不是指数函数，是指数函数，不是指数函数，是指数型函数，不是指数函数，不是指数函数，故答案为【解析】此题考查指数函数的定义，属于基础题．根据指数函数的定义进行求解即可．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.已知指数函数满足，定义域为R的函数是奇函数．确定和的解析式；判断函数的单调性，并用定义证明；若对于任意，都有成立，求a的取值范围．【答案】解：设且，，，，，是定义域为R的奇函数，，即，解得．经检验，当时，为奇函数，是定义在R上的减函数，证明如下：任取，，，则．，，又，，，，是定义在R上的减函数；，且为奇函数，，所以，因为，所以成立，设，，由对勾函数的单调性可知，函数在单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值为，所以．【解析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度适中，属于较难题．利用指数函数过定点和函数为奇函数，得到关于参数的方程，解方程得到本题结论；利用函数单调性的定义加以证明，得到本题结论；利用函数的奇偶性和单调性，将原不等式转化为相应自变量的比较，利用对勾函数的单调性得到本题结论．28.某镇现在人均一年占有粮食，如果该镇人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．【答案】解：设该镇现在人口数量为M，则该镇现在一年的粮食总产量为360M kg．1年后，该镇粮食总产量为，人口数量为，则人均一年占有粮食为，2年后，人均一年占有粮食为，，x年后，人均一年占有粮食为，即所求函数解析式为【解析】本题考查了函数模型的应用的相关知识，试题难度较易29.用描点法在同一平面直角坐标系中画出与的图象．在的条件下，分别计算并比较与，与，与的值，从中你得到什么结论？【答案】解：作，的图象如下，，，；，；，；故；即与的图象关于y轴对称．【解析】本题主要考查了指数函数的图象及其性质，属于较易题．结合指数函数的图象，利用描点法作，的图象．可求得；；；从而可判断．30.已知不相等的两个实数a，b满足，判断实数a，b的大小关系．【答案】解：画出，的图像如图所示：，当a，b同为负时，，当a，b同为正时，，当a，b不同号时，不存在，综上所述，答案：当或．【解析】本题主要考查了指数函数的图像与性质，属于较易题画出图像，由图像可得结果．。
高中数学指数函数对数函数重点题型汇总
指对函数题型分类一、指数函数：)0,1(>≠=a a a y x 题型一：比较大小1、（1） ； （2） ______ 1； （3） ______2、985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
3、设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A.a a ＜a b ＜b a B.a a ＜ b a ＜a b C.a b ＜a a ＜b a D.a b ＜b a ＜a a 4、已知下列等式，比较m ，n 的大小：（1）22m n < (2)0.20.2m n <5、下列关系中，正确的是（ ）A 、5131)21()21(> B 、2.01.022> C 、2.01.022--> D 、115311()()22- - >5．比较下列各组数的大小 (1)31.13.11.1,1.1 (2)3.02.06.0,6.0-- (3)3241⎪⎭⎫ ⎝⎛、3251⎪⎭⎫ ⎝⎛、3141⎪⎭⎫⎝⎛; (4)0.42、20.4、log 402⋅题型二：复合指数函数图象 1、 函数（ ）的图象是（）2．函数与的图象大致是( ).3．当时，函数与的图象只可能是（ ）4．在下列图象中，二次函数 与指数函数 的图象只可（ ）5、若，，则函数的图象一定在（）A ．一、二、三象限B ．一、三、四象限C ．二、三、四象限D ．一、二、四象限6、已知函数xx f 2)(=,则)1(x f -的图象为 （ ）ABCD7、函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数， 则下列结论正确的是（ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><<b a D ．0,10<<<b a8、（全国卷Ⅳ文科）为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度9、画出12-=x y 和12-=xy 的图象。
指数函数常考题型归纳含详解
A． a b 1 c b B． b a 1 d c C．1 a b c d D． a b 1 d c 3、已知函数 f (x) (x a)(x b) （其中 a b) 的图象如图所示，则函数 g(x) ax b 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、画出下列函数的图像
D．
0,
1 2
A． ab aa
B． ba bb
C． ab bb
D． ab ba
2、设 a ， b ， c R ，且 a b ，则（ ）
A． a2 b2
B．
1 2
a
1 2
b
C． a3 b3
D． 1 1 ab
3、已知集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x |1 2 x 4} ，则 A B （ ）
题型九：复合函数的单调性
C． f x x 1
x
1、函数
y
1 2
82 xx2
的单调递增区间为_________．
D． f x 3 x
2、求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1） f ( x) 1 3x2 ；
1
（2）
f
(x)
1 2x 3
；
（3） f ( x) 2x22x3 ；
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x | 0 x 2}
4、已知 a 0.20.3 ， b 0.30.3 ， c 0.20.2 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
题型八：指数函数的单调性
C． b c a
D． a c b
A．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是增函数 B．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是减函数
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
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，故
．从而
．
（ 4）应有
．因若
而
，这与已知
，则 矛盾．
．又
，故
，这样
．又因
，故
（5）应有
．因若
，则
．又
，故
．从而
，这与已知
矛盾．
小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．
，这样有
．又因
，且
．从 ，故
2 曲线
分别是指数函数
,
和
的图象 , 则
与 1 的大小关系是 ( ).
(
分析 : 首先可以根据指数函数单调性 , 确定
当 0 a 1 时，∵ x 1，1 ，
∴ a ≤ a x ≤ 1 ，即 a ≤ t ≤ 1 ，
a
a
∴t
1
时，
ymax
a
2
1 1 2 14 ，
a
1 解得 a 或 a
3
1
1
（舍去），∴ a 的值是 3 或 ．
5
3
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
5．解指数方程
5、设
，求函数
的最大值和最小值．
分析：注意到 的求法，可求得函数的最值．
解：设
，由
，设 知，
，则原来的函数成为
，利用闭区间上二次函数的值域
，函数成为
，
，，故函数的最大值为
6（9 分）已知函数 y a 2x 2a x 1(a 1) 在区间 [ －1,1]上的最大值是 14，求 a 的值 .
1
∴f(x) 的值域为｛ y ｜-1 ＜y＜ 1 } .
ax
(2) ∵f(-x) ＝
ax
1 1 ax
＝
＝ -f(x) 且定义域为 R，∴ f(x) 是奇函数 .
1 1 ax
(a x 1) 2
2
(3)f(x) ＝
＝ 1-
.
ax 1
ax 1
1°当 a>1 时，∵ ax+1 为增函数，且 ax+1>0.
2
，当
时，
有最小值为
（2）
，解得
当
时，
；
当
时，
8（10分）（ 1）已知 f ( x)
2 3x 1
．
m 是奇函数，求常数 m的值；
（2）画出函数 y | 3 x
1 | 的图象，并利用图象回答：
k为何值时，方程
Ｘ
|3
－１｜＝
k无
-6-
取值范围． 即
解？有一解？有两解？ 解： （1）常数 m=1
（2）当 k<0 时，直线 y=k与函数 y | 3 x 1 | 的图象无交点 ,即方程无解 ; 当k=0或k 1时, 直线 y= k与函数 y | 3 x 1 | 的图象有唯一的交点，所以方程有一解 ; 当 0<k<1 时 , 直线 y= k 与函数 y | 3 x 1 | 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
-5-
轴右侧令 题则是由图到
1
1
解： (1) ∵x-3 ≠ 0，∴ y＝ 2 x 3 的定义域为｛ x ｜ x∈R 且 x ≠3｝ . 又∵ 1 ≠ 0，∴ 2 x 3 ≠ 1，
x3
1
∴y ＝ 2 x 3 的值域为｛ y ｜y>0 且 y≠ 1｝.
(2)y ＝ 4x+2x+1 +1 的定义域为 R. ∵2x>0, ∴y ＝4x+2x+1+1＝(2 x) 2+2· 2x+1＝(2 x+1) 2>1.
指数函数题型总结
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作者： 日期：
2
指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考 考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．
4
2
2
2
令 t=（ 1 ）x（ 1 t 1）
2
4
则
y=f
（
t）
=4t
2
-4t+2=4
（
t-
1
）
2
+1
2
1
当 t= 即 x=1 时， ymin=1
2
当 t=1 即 x=0 时， y max=2
11．已知
，求函数
的值域．
解：由
得
，即
，解之得
求函数的值域为
y 2 12. (9 分) 求函数
x2 2x 2 的定义域，值域和单调区间
-7-
，于是
，即
，故所
解：设 y＝
u
1 ,u ＝ x 2-3x+2,y
3
关于 u 递减，
3
当 x∈(- ∞， ) 时， u 为减函数，
2
3
∴y 关于 x 为增函数；当 x ∈［ ， +∞) 时， u 为增函数， y 关于 x 为减函数 .
2
ax
14 已知函数 f(x) ＝
ax
1
(a>0 且 a≠ 1).
例 6 为了得到函数 y 9 3x 5 的图象，可以把函数 y 3x 的图象（
）．
A ．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移
5 个单位长度 5 个单位长度 5 个单位长度 5 个单位长度
（1）证明：设 x1＜x2
2( 2x2 2x1 )
f（x2）－ f（x1） =
(1
2x1 )(1
＞0
2x2 )
故对任何 a∈ R，f（ x）为增函数．
（2） x R ，又 f （x）为奇函数
f (0) 0 得到 a 1 0 。即 a 1
16、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2，且 x ( 0,1) 时， f ( x)
．解： y a 2x 2a x 1( a 1) ， 换元为 y t 2 2t 1( 1 t a) ，对称轴为 t 1 . a
当 a 1， t a ，即 x=1 时取最大值，略
解得 a=3 (a= －5舍去 )
，故函数最小值为 ．
7．已知函数 （ 1）求
的最小值；
（ （ 2）若
且
）
，求 的
．解：（ 1）
2x 4x 1
（1）求 f ( x) 在 [ －1，1] 上的解析式；（2）判断 f ( x) 在（ 0，1）上的单调性；
（3）当 为何值时，方程 f (x) = 在 x [ 1,1] 上有实数解 .
解（ 1）∵ x ∈R 上的奇函数 ∴ f (0) 0
评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参 数进行讨论．
2．求解有关指数不等式
例 2 已知 (a2 2 a 5)3 x (a2 2a 5)1 x ，则 x 的取值范围是 ___________．
分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
定义域为 R 值域（ 0，8〕。（3）在（ - ∞， 1〕上是增函数 在〔 1， +∞）上是减函数。
x2 3x 2
1
13 求函数 y＝
的单调区间 .
3
分析 这是复合函数求单调区间的问题
可设 y＝
u
1
,u
＝x
2
-3x+2
，其中
y＝
3
u
1
为减函数
3
∴u＝ x 2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间 ( 即减减→增 ) u＝x2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间 ( 即减、增→减 )
例 5 解方程 3x 2 32 x
80 ．
解：原方程可化为 9 (3 x )2 80 3x 9 0 ，令 t 3x (t 0) ，上述方程可化为 9t 2 80t 9 0 ，解得 t 9 或 t
∴ 3x 9 ，∴ x 2 ，经检验原方程的解是 x 2 ．
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题
∴函数 f ( x) 在 ∞ ，1 上递减，在 1， ∞ 上递增．
若 x ≥ 0 ，则 3x ≥ 2 x ≥ 1 ，∴ f (3x ) ≥ f (2 x ) ；
若 x 0 ，则 3x 2x 1 ，∴ f (3 x ) f (2 x ) ．
综上可得 f (3x ) ≥ f (2 x ) ，即 f (c x ) ≥ f (b x ) ．
1
(1) 求 f(x) 的定义域和值域； (2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调性 . 解： (1) 易得 f(x) 的定义域为｛ x｜ x∈R｝.
ax
设 y＝
ax
1
, 解得
ax＝ -
y
1
y
1 ①∵ ax>0 当且仅当 - y
1
y
1
y
>0 时，方程①有解 . 解-
1
y
1
>0 得 -1<y<1.
t 的取值范围．
解：令 t a x ，则 t 0 ，函数 y a2 x 2a x 1 可化为 y (t 1)2 2 ，其对称轴为 t 1 ．
∴当 a 1 时，∵ x 1，1 ，
∴ 1 ≤ a x ≤ a ，即 1 ≤ t ≤ a ．