考研数学一解答题专项强化真题试卷13(题后含答案及解析)
考研数学一解答题专项强化真题试卷13 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设已知方程组Ax=0的解空间的维数为2，求c的值，并求出方程组Ax=0的通解．
正确答案：由条件有4一r(A)=2，→r(A)=2，于是由知c=1．当c=1时，对矩阵B作初等行变换：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为(x3，x4任意)，用基础解系表示的通解为 x=c1(1，一1，1，0)T+c2(0，一1，0，1)T，其中c1，c2为任意常数． 涉及知识点：线性方程组
2． (1997年试题，四)设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程e2xz，求f(u)．
正确答案：由题设代回原方程有f’’.e2xz=e2x．f，推出f’’(u)一f(u)=0解此二阶常系数线性齐次微分方程，得f(u)=C2eu+C2e-u，其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：多元函数微分学
3． (09年)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．
正确答案：显然，AC—B2＞0，而A＞0，故二元函数f(x，y)有极小值 涉及知识点：高等数学
4． 将函数展开成x的幂级数，并求级数的和．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
5． (93年)求级数的和．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
6． 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
正确答案：曲线y=y(x)在P(x，y)处的法线方程为 涉及知识点：高等数学
7．
正确答案：
8．
正确答案：
某保险公司对多年来的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．
9． 写出X的概率分布；
正确答案：设事件A={被抽查到被盗索赔户}，则p=P（A）=0．2．由题意，X～B(100，0．2)．因此分布律为P(X=k)=C100k(0．2)k(0．8)100-k (k=0，1，…，100)． 涉及知识点：大数定律和中心极限定理
10． 利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．[附表]设ф(x)是标准正态分布函数．
正确答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1一p)=16．根据棣莫弗一拉普拉斯定理知，(n=100已充分大)，则 ≈ф(2．5)一ф(一1．5)=ф(2．5)一[1一ф(1．5)]=0．994—1+0．933=0．927． 涉及知识点：大数定律和中心极限定理
2013年考研数学一真题及详细解答
2013硕士研究生入学考试
数学一
一，选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中k，c为常数，且0c，则（ ）
A. 12,2kc B. 12,2kc C. 13,3kc D. 13,3kc
2.曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（ ）
A. 2xyz B. 0xyz C. 23xyz D. 0xyz
3.设1()2fxx，102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则9()4S（ ）
A .34 B. 14 C. 14 D. 34
4.设221:1Lxy，222:2Lxy，223:22Lxy，224:22Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iiLyxIydxxdyi，则1234max,,,IIII
A. 1I B. 2I C. 3I D 4I
5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）
A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（ ）
考研数学一(线性代数)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷13 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设n维列向量组α1,α2……αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1β2……βm线性无关的充分必要条件为 ( )
A．向量组α1,α2……αm可由向量组β1β2……βm线性表出
B．向量组β1β2……βm可由向量组α1,α2……αm线性表出
C．向量组α1,α2……αm与向量组β1β2……βm等价
D．矩阵A=[α1,α2……αm]与矩阵B=[β1β2……βm]等价
正确答案：D
解析：A=[α1,α2……αm]，B=[β1β2……βm]等价r(α1，…,αm)=r(β1，…，βm)β1，β2，…，βm线性无关(已知α1,α2……αm线性无关时)． 知识模块：线性代数
2． 要使都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为 ( )
A．[一2，1，1]
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：因[一2，1，1]ξ1=0，[一2，1，1]ξ2=0． 知识模块：线性代数
3． 齐次线性方程组的系数矩阵为A，若存在3阶矩阵B≠0，使得AB=0，则 ( )
A．λ=一2且｜B｜=0
B．λ=一2且｜B｜≠0
C．λ=1且｜B｜=0
D．λ=1且｜B｜≠0
正确答案：C
解析：B≠0，AB=0，故AX=0有非零解，｜A｜=0，又A≠0，故B不可逆，故λ=1，且｜B｜=0． 知识模块：线性代数
4． 齐次线性方程组的系数矩阵A4×5=[β1，β2，β3，β4β5]经过初等行变换化成阶梯形矩阵为则 ( )
A．β1不能由β3，β4，β5线性表出
B．β2不能由β1，β3，β5线性表出
C．β3不能由β1，β2，β5线性表出
D．β4不能由β1，β2，β3线性表出
正确答案：D
解析：βi能否由其他向量线性表出，只须将βi视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可．由阶梯形矩阵知，β4不能由β1，β2，β3线性表出． 知识模块：线性代数
考研数学一(多元函数微分学)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷13 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知fx(x0，y0)存在，则=( )
A．fx(x0，y0)
B．0
C．2fx(x0，y0)
D．
正确答案：C
解析：故选C。 知识模块：多元函数微分学
2． 设f(x，y)=则fx(0，1)( )
A．等于1。
B．等于0。
C．不存在。
D．等于—1。
正确答案：A
解析：fx(0，1)=，故选A。 知识模块：多元函数微分学
3． 设z=则该函数在点(0，0)处( )
A．不连续。
B．连续但偏导数不存在。
C．连续且偏导数存在但不可微。
D．可微。
正确答案：C
解析：由于，则z(x，y)在点(0，0)处连续，A项错误。所以z(x，y)在点(0，0)处偏导数存在，B项错误。 知识模块：多元函数微分学
4． 设，则f(x，y)在点(0，0)处( )
A．不连续。
B．连续但两个偏导数不存在。
C．两个偏导数存在但不可微。
D．可微。
正确答案：D
解析：由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D。 知识模块：多元函数微分学
5． 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )
A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零
B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零
C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零
D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在
正确答案：B
解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，又由fx(x0，y0)=，故选B。 知识模块：多元函数微分学
填空题
6． 设f(x，y)=则fx(1，0)= ________。
正确答案：2
解析：由题干可知f(x，0)=x2，则fx(x，0)=2x。故fx(1，0)=2。 知识模块：多元函数微分学
考研数学一(解答题)模拟试卷123(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷123 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求极限
正确答案：由x→1－可知，当｜x｜ 两边对x求导，得 两边再对x求导，得所以，
解析：先求幂级数的和函数，再求极限．熟记常见函数的展开式，对求幂级数的和函数是重要的．例如：
2． 试判断级数的敛散性．
正确答案： 涉及知识点：无穷级数
3． 求下列积分：
正确答案： 涉及知识点：高等数学
4． 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得
正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有因为f”(x)在(a，b)内连续，所以f”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f”(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M， 涉及知识点：高等数学
5． 计算下列定积分：
正确答案：(Ⅰ)这是一个含根式的积分，首先应该通过变量替换去掉根式．(Ⅲ)由于，故被积函数为分段函数，其分界点为．于是(Ⅳ)作幂函数替换后再分部积分，则有 涉及知识点：高等数学
6． 求xy’’一y’lny’+y’lnx=0满足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．
正确答案：设y’=p，则y’’=P’，代入原方程中，xp’一pln P+plnx=0，即由原方程知x＞0，y’＞0，从而u＞0，积分后，得lnu一1=C1x，即lnu=C1x+1，回代．代入初值条件y’(1)=e2，解得C1=1，得到方程积分得y=(x一1)ex+1+C2．代入初值条件y(1)=2，解得C2=2，故所求特解为y=(x一1)e
正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有两式相加得f(a)+f(b)－2f([f”(ξ1)+f”(ξ2)]．因为f”(x)在(a，b)内连续，所以f”(x)在[ξ1，ξ2]上连续．从而f”(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编13 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设α1=，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为
A．α1，α2，α3．
B．α1，α2，α4．
C．α1，α3，α3．
D．α2，α3，α4．
正确答案：C
解析：用排除法：当c1≠0时，(A)组、(B)组都线性无关；当c3+c1≠0时，(D)组线性无关．因此，只有选项(C)正确． 知识模块：向量
2． 设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则
A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．
B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．
C．矩阵c的行向量组与矩阵B的行向量组等价．
D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
正确答案：B
解析：因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积．而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价．所以选(B)． 知识模块：向量
3． 设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的
A．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
正确答案：A
解析：记向量组(Ⅰ)：α1+kα3，α2+lα3； 向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：[α1+kα3，α2+lα3]=[α1，α2，α3]当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件． 但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，
考研数学一(概率统计)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学一（概率统计）模拟试卷13 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设X1，X2，…，Xn，…相互独立，则X1，X2，…，Xn，…满足辛钦大数定律的条件是( )．
A．X1，X2，…，Xn，…同分布且有相同的数学期望与方差
B．X1，X2，…，Xn，…同分布且有相同的数学期望
C．X1，X2，…，Xn，…为同分布的离散型随机变量
D．X1，X2，…，Xn，…为同分布的连续型随机变量
正确答案：B
解析：根据辛钦大数定律的条件，应选(B)． 知识模块：概率统计
填空题
2． 设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X—E(X)|≥2)≤___________．
正确答案：
解析：P{|X—E(X)|≥2)≤ 知识模块：概率统计
3． 若随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布于(μ，22)，则根据切比雪夫不等式得P{|一μ|≥2}≤___________．
正确答案：
解析：因为X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)， 知识模块：概率统计
4． 设总体X～N(μ，σ)，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单随机样本，=___________．
正确答案：
解析： 知识模块：概率统计
5． 设X为总体，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，S2=，则E(S2)=___________．
正确答案：σ2
解析：则E(S2)=σ2． 知识模块：概率统计
6． 设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，X10为总体的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=___________。
正确答案：
解析： 知识模块：概率统计
7． 设总体X～N(2，42)，从总体中取容量为16的简单随机样本，则(—2)2～___________．
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷13 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 随机事件A与B互不相容，0＜P(A)＜1，则下列结论中一定成立的是( )
A．A∪B=Ω。
B．
C．A=B。
D．
正确答案：B
解析：因AB=，应选B。 知识模块：概率论与数理统计
2． 设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则( )
A．P(C)≤P(A)+P(B)-1。
B．P(C)≥P(A)+P(B)-1。
C．P(C)=P(AB)。
D．P(C)=P(A∪B)。
正确答案：B
解析：由题设条件可知C AB，于是根据概率的性质、加法公式，有 P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)≥P(A)+P(B)-1。 故B正确。 知识模块：概率论与数理统计
3． 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件( )
A．A1，A2，A3相互独立。
B．A2，A3，A4相互独立。
C．A1，A2，A3两两独立。
D．A2，A3，A4两两独立。
正确答案：C
解析：显然P(A1)=P(A2)=，且A1与A2相互独立。 故选项C正确。 知识模块：概率论与数理统计
4． 设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随σ的增大，概率P{｜X-μ｜＜σ}应该( )
A．单调增大。
B．单调减少。
C．保持不变。
D．增减不定。
正确答案：C
解析：若X～N(μ，σ2)，则因此 该概率值与σ无关，故选项C正确。 知识模块：概率论与数理统计
5． 设随机变量X和Y独立同分布，已知P{X=k}=p(1-p)k-1，k=1，2，…，0＜p＜1，则P{X＞Y}的值为( )
考研数学二(填空题)高频考点模拟试卷14(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷14 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=ax(a＞0，a≠1)，则
正确答案：
解析：f(1)f(2)…f(n)=a1+2+…+n=则 知识模块：高等数学
2． =__________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
3． 设f′(3)＝2．则＝_______．
正确答案：－3 涉及知识点：一元函数微分学
4．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
5． 设f(x)=在点x=0处连续，则常数a=________．
正确答案：－2
解析：f(x)在x=0连续=f(0)．由于因此a=－2． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
6． 设f(χ)＝，则∫01(χ)dχ＝_______．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
7． 设f(χ)有任意阶导数且f′(χ)＝f3(χ)，则f(n)(χ)＝_______．
正确答案：(2n－1)!!f2n+1(χ)． 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
8． 设z＝z(χ，y)由方程z－mz＝φ(y－nz)所确定(其中m，n为常数，φ为可微函数)，则＝_______．
正确答案：1 涉及知识点：多元函数微积分
9． 设，则常数＝_______。
正确答案：2； 涉及知识点：一元函数积分学
10． ＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
11． 设f’(0)=1，f(0)=0，则=________．
正确答案：
解析：原式= 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
12． ＝_______。
正确答案：－3； 涉及知识点：行列式
13． ∫0+∞x7dx=_______
正确答案：3
解析： 知识模块：高等数学部分
14． 行列式的第4行元素的余子式之和的值为_______．
考研数学一(填空题)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷13 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设平面区域D由曲线y=及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘概率密度在X=2处的值为________。
正确答案：
解析：首先求(X，Y)的联合概率密度f(x，y)。D={(x，y)|1≤x≤e2，0≤y≤}，区域D的面积为其次求关于X的边缘概率密度。当x＜1或x＞e2时，fX(x)=0;当1≤x≤e2时，fX(x)= f(x，y)dy=故fX(2)=。 知识模块：概率论与数理统计
2． 设随机变量ξ在区间(1，6)上服从均匀分布，则方程x2+ξx+1=0有实根的概率是_______
正确答案：
解析：ξ的密度为：而方程x2+ξx+1=0的判别式△=ξ2-4．故该方程有实根的概率为P(△≥0)=P(ξ2≥4)=P(|ξ|≥2)=∫|x|≥2f(x)dx= 知识模块：概率论与数理统计
3． 已知α1，α2均为2维向量，矩阵A=[2α1+α2，α1一α2]，β=[α1，α2]，若行列式｜A｜=6，则｜B｜=________．
正确答案：一2．
解析：A=[2α1+α2，α1一α2]=[α1，α2]，两端取行列式，得｜A｜=｜B｜(一3)，因｜A｜=6，得｜B｜=一2． 知识模块：线性代数
4． 曲线的凹区间是______．
正确答案：(0，+∞)
解析：当x＞0时，y’’＞0，曲线是凹的；当x＜0时，y’’＜0，曲线是凸的． 知识模块：一元函数微分学
5． 曲线y2＝2x在任意点处的曲率为______．
正确答案：
解析：用曲率计算公式K＝由y2＝2x2yy’＝2， 知识模块：高等数学
6． 设函数y=y(x)由方程ex+y+cosxy=0确定，则=_________
正确答案：
解析：方程两边同时对x求导，可得 知识模块：一元函数微分学
考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷113(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）高频考点模拟试卷113 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)．如果｜A｜=1，那么｜B｜=________．
正确答案：2．
解析：利用矩阵乘法，可将B表示为 知识模块：线性代数
2． 设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.
正确答案：2ln2+1 涉及知识点：常微分方程
3． 设矩阵A=，则A3的秩为_________。
正确答案：1
解析：因为A2=A3=所以，A3的秩为1。 知识模块：矩阵
4． 设曲线y=lnx与y=相切，则公共切线为________．
正确答案：y=＋1
解析：设当x=a时，两条曲线相切，由得a=e2，两条曲线的公共切线为y—lne2=(x一e2)，整理得切线为y=＋1． 知识模块：高等数学
5．
正确答案：(x2一y2)(b2一c2)
解析： 知识模块：线性代数
6． =___________(其中a为常数)．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
7． 设(a×b).c=2，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)= _______。
正确答案：4
解析：[(a+b)×(b+c)].(c+a)=[(a+b)×b].(c+a)+[(a+b)×c].(c+a)=(a×b).c+(b×c).a=(a×b).c+(a×b).c=4。 知识模块：向量代数和空间解析几何
8． 设随机变量X的分布函数为 已知P{－1＜X＜1}＝，则a＝_______，b＝_______．
正确答案：
解析：由于F(χ)在任何一点都是右连续的．于是有F(－1＋0)＝F(－1)．即
－a＋b＝． ① 又因P{X＝1}＝P{－1＜X≤1}－P{－1＜X＜1}＝F(1)－F(－1)－，于是有 F(1－0)＝F(1)－P{X＝2}＝， 即a＋b＝． ② 联立①与②解得a＝，b＝． 知识模块：概率论与数理统计