322 直线的两点式和截距式方程精品PPT课件
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7.2(2)直线的方程-两点式,截距式.ppt
直线 l 的斜率为 k
由点斜式方程 y y1 y 2 y1 x 2 x1
y 2 y1 x 2 x1
p2
( x x 1 ).
( y1 y 2 )
化简为
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
——直线方程的两点式
例1 、已知直线l于x轴交于点A(a,0), 于y轴 交于B(0, b), (a 0, b 0)，求直线l的方程。
直线 l过点 P ( 4 ,1) 4 1 1 4 b a ab a b
2 4 ab 4 ab ab 16
P(4,1)
A
0
x
S
S min
1
ab 8 （当 a 4 b 即 a 8 , b 2时取等号）
2 x y 8 , 直线 l 方程为 1 x 4y 8 0 8 2
解：
(1)
y 1 3 1 y5 05 y 50
x2 02 x0 50
y 2 x 3.
(2)
y x 5.
5 4
(3)
x 42
y
x.
y y0 k ( x x0 )
应用范围
k存在 k存在
k存在 且k 0
k存在且 0 且不过原点
y kx b
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
x a
y b
1.
课堂练习
1 .求过下列两点的直线的 （1） P1 ( 2 ,1)、 P2 ( 0 , 3 ); ( 2 ) A ( 0 , 5 )、 B ( 5 , 0 ); ( 3 ) C ( 4 , 5 )、 D ( 0 , 0 ). 两点式方程，再化成斜 截式方程：
高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件 新人教A版必修2 (2)
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
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26
解析 当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，显然平 行；
验证当k＝1时，l1：－2x＋3y＋1＝0， l2：－4x－2y＋3＝0，显然不平行． 因此，选C.
答案 C
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27
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点 分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)；点P(0，p)为线段AO上的一点 (异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数．设直线BP，CP分别 与边AC，AB交于点E，F.某同学已正确求得直线OE的方程： 1b－1c x＋ 1p－1a y＝0.请你完成直线OF的方程：(________)x＋ 1p－1ay＝0.
图形
方程 ________________ 适用
范围 不包括________坐标轴的直线
________________
不包括________及垂直于 ________
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6
2.线段的中点坐标公式． 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为 (x，y)，则________.
(x－3)，即5x－2y－11
＝0，这就是所求的AC边上的高线所在直线的方程．
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17
规律技巧 当直线与坐标轴平行或重合时，不能用两点 式，应作特殊处理.
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18
二 直线的截距式方程
【例2】 直线l过点P(－6,3)，且它在x轴上的截距是它在y 轴上截距的3倍，求直线l的方程．
【分析】 设直线l在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距 为3b.因为截距可正，可负，可为零，所以应分b＝0和b≠0两种 情况解答．
高中数学 3223直线的方程课件 新人教版A必修2
∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－－－33， 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
规律方法 ①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式 的要求，对字母则需分类讨论；②注意问题叙述的异同，本题 中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是 直线．
2．线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段
P1P2
的中点，则x＝ y＝
x1＋x2 2
，
y1＋2 y2.
试一试：若已知 A(x1，y1)及 AB 中点(x0，y0)，如何求 B 点的坐 标？
提示
设 B(x，y)，则由xy11＋ ＋22 xy＝ ＝xy00， ，
【变式 1】 (2012·绍兴一中高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解 ∵A(2，－1)，B(2,2)， A、B 两点横坐标相同， ∴直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 AC 的方程为 －y－1－11＝2x－－44， 即 x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 BC 的方程为2y－－11＝2x－－44， 即 x＋2y－6＝0.
【变式 4】 (2012·菏泽一中高一检测)已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝0，求直线 l′的方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直．
解 法一 由题设 l 的方程可化为：y＝－34x＋3， ∴l 的斜率为－34， (1)由 l′与 l 平行， ∴l′的斜率为－34. 又∵l′过(－1,3)， 由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0.
3.2.2-直线的两点式方程PPT优秀课件
直线 x - y =1在两坐标轴上的截距之和为 ( B )
34
A.1
B.-1
C.7
D.-7
例2 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所 在直线的方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为： y-2 = x-0， -3-2 3-0 整理得，5x+3y-6 =0.
为 ( B) A.4x+3y-12=0
B.4x-3y+12=0
C.4x+3y-1=0
D.4x-3y+1=0
2.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( B )
A . 1 3
B . - 1 3
C . - 3 2
D . 2 3
3.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线 有几条?
这就是BC边所在直线的方程.
设 B C 的 中 点 为 M , 则 M 的 坐 标 为 （ 3 + 0 ， - 3 + 2 ） ， 即 （ 3 ， - 1 ） .
22
22
过A(-5,0),M（32， -21）的直线方程为-y1--00=3x++55, 22
整理得x+13y+5=0.
这就是BC边上的中线所在直线的方程.
a1
所以a=0，即直线方程为x+y+2=0. 所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
1.(2015·杨浦区高一检测)已知直线l经过点A(1,-2),
B(-3,2),则直线l的方程是 ( A )
02教学课件_2.2.2 直线的两点式方程(共25张PPT)
可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?
探究新知
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义
y－y1 x－x1
＝
y
－y
x2－x1
2
1
__________________就是经过两点
点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为
y-1
x-3
解析:由两点式,得0-1 = 2-3,化简得 x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
.
二、直线的截距式方程
点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程
2
S 取最大值为-3×152+20×15+54 000=54 150(m2).
因此点 P 距 AE 15 m,距 BC 50 m 时所开发的面积最大,
最大面积为 54 150 m2.
归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结
合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
当堂检测
不垂直于x、y轴的直线
点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y2 )
y1 y2 x1 x2
在x轴上的截距 a
在y轴上的截距 b
x y
1
a b
不垂直于x、y轴的直线
不过原点的直线
课堂小结
课堂小结：
－3
)
3.2.2_-直线的两点式与截距式方程
3.2.2直线的两点式方程
一、复习回顾:
1). 直线的点斜式方程： 已知： 斜率k,过点P0(x0 ,y0)
点斜式： y- y0 =k(x- x0 ) 适用范围： 斜率k存在 2). 直线的斜截式方程： 已知： 斜率k,过点P0(0 ,b) 斜截式： y=kx+b 适用范围： （1）斜率k存在
（2）与y轴有交点 3). 斜率不存在的直线的方程： x= x0
练习：根据下列条件求直线方程
（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；
x y 1 由截距式得： 2 3
（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；
x y 由截距式得： 1 5 6
五、直线方程的应用 例3、已知三角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)， C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直 解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为： 线方程。 y2 x0 3 2 3 0
四、直线的截距式方程 例2：如图，已知直线l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
y
b 解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得：
O
a
y0 xa , b0 0a
x 即
x y 1. a b
所以直线l
x y 1. 的方程为： a b
例5.求过点P（2,3），并且在两坐标轴上的截距相等的直 线方程.
3 解：当直线过原点时，它的方程为y x. 2x y 当直线不过原点时，设它的方程为 1 a a 2 3 由已知得 1 a a 解得a =5
x y 所以直线方程为 1. 5 5 3 x y 综上：直线的方程为y x或 1. 2 5 5
一、复习回顾:
1). 直线的点斜式方程： 已知： 斜率k,过点P0(x0 ,y0)
点斜式： y- y0 =k(x- x0 ) 适用范围： 斜率k存在 2). 直线的斜截式方程： 已知： 斜率k,过点P0(0 ,b) 斜截式： y=kx+b 适用范围： （1）斜率k存在
（2）与y轴有交点 3). 斜率不存在的直线的方程： x= x0
练习：根据下列条件求直线方程
（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；
x y 1 由截距式得： 2 3
（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；
x y 由截距式得： 1 5 6
五、直线方程的应用 例3、已知三角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)， C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直 解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为： 线方程。 y2 x0 3 2 3 0
四、直线的截距式方程 例2：如图，已知直线l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
y
b 解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得：
O
a
y0 xa , b0 0a
x 即
x y 1. a b
所以直线l
x y 1. 的方程为： a b
例5.求过点P（2,3），并且在两坐标轴上的截距相等的直 线方程.
3 解：当直线过原点时，它的方程为y x. 2x y 当直线不过原点时，设它的方程为 1 a a 2 3 由已知得 1 a a 解得a =5
x y 所以直线方程为 1. 5 5 3 x y 综上：直线的方程为y x或 1. 2 5 5
直线的两点式方程 课件
的选取与这两点的顺序无关. (2)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时,不能 用两点式表示.
(3)如果将直线两点式转化为:(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),此 时只要直线上两点不重合,都可以用该等式表示出来(即这个变 形方程可以表示过任意已知两点的直线).
关于光线的反射问题 【典型例题】 一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点B(-1,6),求入射 光线和反射光线所在直线的方程.
【解析】点A关于x轴的对称点为A1(3,-2), 点B关于x轴的对称点为B1(-1,-6).因为A1 在反射光线的延长线上,
B1在入射光线的延长线上,
由两点式可得直线A1B的方程为
轴上的截距.
(3)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标 轴的交点),在求直线方程时合理地选择形式,会提高解题速度.
类型 一 直线的两点式方程
【典型例题】
1.过点(2，5)，(2，-6)两点的直线方程是( )
A.x=2
B.y=2
C.x+y=5
D.x+y=-6
2.已知A(-3,2)，B(5,-4)，C(0,-2)，在△ABC中，
(1)直线的斜率不存在时，没有两点式方程.( )
(2)与坐标轴平行的直线没有截距式方程.( )
(3)
都是直线的截距式方程.( )
x y 1与 x y 2 35 35
提示：(1)正确.直线的两点式方程应用的前提条件是x1≠x2， y1≠y2，即斜率存在且不等于0. (2)正确.因为截距式方程的应用前提是a≠0,b≠0. (3)错误.不符合截距式方程的标准形式，即左边“+”连接， 右边为1. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
(3)如果将直线两点式转化为:(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),此 时只要直线上两点不重合,都可以用该等式表示出来(即这个变 形方程可以表示过任意已知两点的直线).
关于光线的反射问题 【典型例题】 一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点B(-1,6),求入射 光线和反射光线所在直线的方程.
【解析】点A关于x轴的对称点为A1(3,-2), 点B关于x轴的对称点为B1(-1,-6).因为A1 在反射光线的延长线上,
B1在入射光线的延长线上,
由两点式可得直线A1B的方程为
轴上的截距.
(3)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标 轴的交点),在求直线方程时合理地选择形式,会提高解题速度.
类型 一 直线的两点式方程
【典型例题】
1.过点(2，5)，(2，-6)两点的直线方程是( )
A.x=2
B.y=2
C.x+y=5
D.x+y=-6
2.已知A(-3,2)，B(5,-4)，C(0,-2)，在△ABC中，
(1)直线的斜率不存在时，没有两点式方程.( )
(2)与坐标轴平行的直线没有截距式方程.( )
(3)
都是直线的截距式方程.( )
x y 1与 x y 2 35 35
提示：(1)正确.直线的两点式方程应用的前提条件是x1≠x2， y1≠y2，即斜率存在且不等于0. (2)正确.因为截距式方程的应用前提是a≠0,b≠0. (3)错误.不符合截距式方程的标准形式，即左边“+”连接， 右边为1. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
2.2.2直线的两点式方程课件(人教版)
− 进行变形？
−
−
=
− −
≠ 且 ≠
−
−
=
−
就是经过两点 , ， , (其中 ≠ ，
−
≠ ）的直线的方程.
把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.
5
2
2
整理可得x 13 y 5 0,
这就是边BC 上中线AM 所在直线的方程.
知识小结
课堂总结
直线方程
常数的几何意义
斜率不
存在
斜率为 过原
点
0
, 、
,
−
−
是直线上两点
（ ≠ ， ≠ ）的坐标
×
×
√
截距式方程
a b
0 5
截距之和为2, 1, a b 2, 解得a 3, b 5.
a b
x y
所以所求直线的方程为 1, 即5 x 3 y 15 0.
3 5
3.根据下列条件, 求直线的方程
(1)过点(0, 5), 且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点(5, 0), 且在两坐标轴上的截距之差为2.
() (，)， , − ;
y 1 x 2
(1)
;
3 1 0 2
() (，)， ,
y5 x0
(2)
.
05 50
探究二：直线的截距式方程
例3 如图，已知直线与轴的交点为(，)，与轴的交点为(，)，
其中 ≠ ， ≠ . 求直线的方程.
这就是边BC 所在直线的方程 .
例4 已知△ABC的三个顶点A( 5, 0), B(3, 3), C (0, 2), 求边BC 所在直线
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a≠0,b≠0,则直线l的方程为
xy
y
1
l
ab
B
说明: （1）直线与x轴的交点(a,0)的
横坐标a叫做直线在x轴的截距，此
时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的
截距确定,所以叫做直线方程的截
(距3)式截方距程式;适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例4:已知三角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的点．
∵ kPP1= kP1P2
∴ y y1 y2 y1
xx1 x2 x1
可得直线的两点式方程：
y
y1
xx1
y2 y1 x2 x1
记忆特点： 左边全为y，右边全为x
两边的分母全为常数
分子，分母中的减数相同
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ）,则 直线方程为
那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？
注意：两点式不能表示平行于坐标轴或与坐 标轴重合的直线．
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有x1 ＝x2 ,或y1= y2, 此时过这两点的直线方程是什么？
当x1＝x2时,直线垂直于x轴。方程为：x ＝x１ 当y1= y2时,直线平行于x轴。方程为：y= y１
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2020年10月26日1次
必做题：教材 P100 3.2A组 第2、3、4题
选做题：《学海导航》P63 例2 变式训练 【预习】课本P97~99 《直线的一般式方程》
为方便学习与使用课件内容， 课件可以在下载后自由调整
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
x x1 x2则2y y1 y22
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中
点坐标公式可得点M的坐标为：
3
2
0
,
3 2
2
即
3 2
,
1 2
过A(-5,0),M
3 2
,
1 2
的直线方程
y0 x5 10 35
22
整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程。
垂直平分线的方程 例3：如图,求线段AB垂直平分线的方程
y
A(-1,5)
l
第一步：求中点坐标
C(3，3)
第二步：求斜率
C(xC，yC) B(7, 1)
k AB
1 2
kkAB 1
中点
x
k 2
第三步：点斜式求方程
y32(x3)
二、教材P97 练习 1、2、3
※对自己说，你有什么收获？ ※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？
1、掌握直线方程的两点式、截距式的形式特点和适用 范围. 2、体会两点式与截距式方程的“对称美”，并体会直 线方程各形式的内在联系.
自学教材P95-P96 解决下列问题
一、掌握直线方程的两点式、截距式的形式特点. 二、教材P97 练习 1、2、3
一、直线两点式方程的推导
已知两点P1 ( x1 , y1),P2(x2 , y2),求通过这两点的直线方程.
C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的
直线方程。
y 解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
.
A
.C
y2 x0
. O M x 3 2 3 0
.
整理得：5x+3y-6=0
B 这就是BC边所在直线的方程。
能很快求出AC的直线方程吗？
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2)且中点M 的坐标为(x,y).
17
三、直线的截距式方程
例3：如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点 为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l的方程．
解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得：
y0 xa, b0 0a
即 x y 1. ab
所以直线l
的方程为：x
a
y b
1.
若直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中
yy2 yy11x x2 x x11(x1x2,y1y2)
该方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。
二、两点式方程的适应范围
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 yy1 xx1
y2 y1 x2 x1
写出直线方程呢？
不是!
当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1P2没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2 或y1= y2时，两点式的分母为零，没有意义)