专题2 集合中的新定义问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

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专题02：集合知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习

故选：C
12．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6，A 1, 2,3 ，集合 A 与 B 的关系如图所示，则集合 B 可
能是（）
A．2, 4,5
B．1, 2,5
【答案】D 【分析】
由图可得 B A ，由选项即可判断.
【详解】
解：由图可知： B A ，
A 1, 2,3 ，
C． 1, 6
故选：D.
5．设 A＝{y|y＝﹣1+x﹣2x2}，若 m∈A，则必有（）
A．m∈{正有理数} 【答案】D 【分析】
B．m∈{负有理数}
C．m∈{正实数}
D．m∈{负实数}
求出函数 y 1 x 2x 2 的值域，就是集合 A，进而可判断结果
【详解】
解：因为 y 1 x 2x2 2(x 1 )2 7 7 ， 488
∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一
个全集。通常用 U 来表示。
（2）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 A S），由 S 中
S
所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）。
记作： CSA ，即 CSA ={x | xS 且 x A}
对于 B：{(x, y}) | x 2, y 3}，表示的是点集，故不相等；
对于 C： x | x2 5x 6 0 ，表示方程 x2 5x 6 0 的解集，因为 x2 5x 6 0 的解为 x 2 ，或 x 3 ，所以 x | x2 5x 6 0 2,3
对于 D： x N x2 9 0 3,2,1, 0,1, 2,3 ，故不相等
B． {1, 3}

微专题03集合常考3种新定义问题(22题)(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题

微专题03 集合常考3种新定义问题（22题）题型一集合的“新概念”题型题型二集合的“新运算”题型题型三集合的“新性质”题型一、集合的新定义问题所谓集合“新定义”问题,是指在现有集合的定义,以及相关概念、运算法则的基础上,定义一种新运算、新性质、新元素等。

下面浅析集合新定义问题的三种题型。

1.集合的“新元素”题型集合的“新元素”题型,只需准确提取信息并加工利用,再结合集合元素的“互异性”,便可顺利解决.2.集合的“新运算”题型集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．解决集合的新运算问题常分为三步:对新运算进行信息提取,确定化归的方向;对新运算所提取的信息进行加工,探求解决方法;对新运算中提出的知识进行转化,有效地输出。

其中对新运算信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点.3.集合的“新性质”题型集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．通过集合之间元素属性的分析,结合题中引入相应的创新性质,确定所求集合的元素。

二、解决集合新定义问题的着手点：（1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．（2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．三、集合新定义问题处理步骤①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么②看：看所求是什么？③代：将已知条件代入新定义的要素④解：结合数学知识进行解答题型一集合的“新概念”题型1.（2024·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合{4,5,6}P =，{1,2,3}Q =，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q -==-ÎÎ，则集合P Q -的所有真子集的个数为（）A ．32B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】集合{4,5,6}P =，{1,2,3}Q =，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q -==-ÎÎ，则{1,2,3,4,5}P Q -=，元素个数为5，故集合P Q -的所有真子集的个数为52131.-=故选：B2.（2024·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合{},A B x x a A b B ==ÎÎe ，若{},1A n =-，}B =，且集合A B e 有3个元素，则由实数n 所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（）A ．2B ．6C ．14D ．15【答案】B【解析】因为{},A B x x a A b B ==ÎÎe ，{},1A n =-，}B =，所以x =A B e 有3个元素，=时，即0n =时，}A B =e 满足题意，=时，即1n =，1n =-（舍去）时，A B =e ，不符合题意，=时，即n =2}A B =e 满足题意，=1n =，1n =-（舍去）时，A B =e ，不符合题意.综上，n Î，故所构成集合的非空真子集的个数为3226-=.故选：B3.（2024·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集{M N x x M -=Î且}x N Ï．现有两个集合A 、B ，则阴影部分表示的集合是（）A ．()AB B-U B ．()B A B -I C ．()()A B B A --I D ．()()A B B A -È-【答案】D 【解析】集合A 中阴影部分表示的集合为{A B x x A -=Î且}x B Ï集合B 中阴影部分元表示的集合为{B A x x B -=Î且}x A Ï，故整个阴影部分表示()()A B B A -È-，故选：D.4.（23-24高二下·福建·期末）定义()A Õ为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合2511378342M ìü=--íýîþ，，，，，，，集合M 的所有非空子集依次记为1M 、2M 、…、127M ，则12127()()...()M M M +++=ÕÕÕ .【答案】215【分析】构造函数251()()()(1)(3)(7)(8)(342f x x x x x x x x =-+++++-，分析题意知，集合M 的所有子集的乘积之和即为()f x 展开式中所有项的系数之和减1.【详解】设251()()(1)(3)(7)(8)()342f x x x x x x x x =-+++++-，则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1，令1x =，则展开式中所有项的系数之和为251(1)(1)(11)(13)(17)(18)(1)216342T -++++-==+，所以12127()()...()2161215M M M +++=-=ÕÕÕ.故答案为：215.5.（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S Î，都有x y S +Î，或者x y S -Î，则称S 为一个好集合，以下记S 为S 的元素个数．(1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）(2)设集合{},,,S a b c d =，a b c d <<<，若集合S 为好集合，求出a 、b 、c ，d 所满足的条件．（需说明理由）【答案】(1){}0,2，{}0,1(2)答案见解析【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素；（2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征.【详解】（1）{}0,2，{}0,1（2）由题意：d d S +Ï，故0S Î，即0a =，考虑c 、d ，可知0d c S <-Î，∴d c c -=或d c b -=．若d c c -=，则考虑b ，c ，∵2c b c c d <+<=，∴c b S -Î，则c b b -=，∴{}0,,2,4S b b b =，但此时35b b S Ï、，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，∴{}0,,,S b c b c =+，其中b 、c 为相异正整数．6.【多选】（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A 和B ，用A 中元素为第一元素，B 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A 与B 的笛卡儿积，又称直积，记为A B ´.即(){,A B x y x A ´=Î且}y B Î.关于任意非空集合M N T ，，，下列说法错误的是（）A ．M N N M´=´B ．()()M N T M N T ´´=´´C ．()M N T ´U ()()M N M T ´´U D ．()()()M N T M N M T ´=´´I I 【答案】ABC【分析】对于ABC ，举例分析判断，对于D ，利用直积的定义分析判断即可.【详解】对于A ，若{}{}121,,M N ==，则()(){}()(){}1,1,1,2,1,1,2,1,M N N M M N N M ´=´=´¹´，A 错误；对于B ，若{}{}{}1,2,3M N T ===，则(){}()()(){}1,2,1,2,3M N M N T ´=´´=，而()()(){}()()1,2,3,M N T M N T M N T ´´=´´¹´´，B 错误；对于C ，若{}{}{}1,2,3M N T ===，则()()(){}1,2,1,3M N T ´=U ，(){}1,2M N ´=，(){}1,3M T ´=，()()()M N T M N M T ´=´´U U ，C 错误；对于D ，任取元素()(),x y M N T Î´I ，则x M Î且y N T ÎI ，则y N Î且y T Î，于是(),x y M N Î´且(),x y M T Î´，即()()(),x y M N M T Î´´I ，反之若任取元素()()(),x y M N M T Î´´I ，则(),x y M N Î´且(),x y M T Î´，因此x M y N ÎÎ，且y T Î，即x M Î且y N T ÎI ，所以()(),x y M N T Î´I ，即()()()M N T M N M T ´=´´I I ，D 正确.故选：ABC7.（2024·广西·模拟预测）已知集合{}12,,,n A x x x =L ，*N n Î，3n ³，若x A Î，y A Î，x y A +Î或x y A -Î，则称集合A 具有“包容”性．(1)判断集合{}1,1,2,3-和集合{}1,0,1,2-是否具有“包容”性；(2)若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，求22a b +的值；(3)若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，1C Î，试确定集合C ．【答案】(1)集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性，集合{}1,0,1,2-具有“包容”性(2)1(3){}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222ìü--íýîþ，2112,,0,,,13333ìü--íýîþ，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222ìü---íýîþ．【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；（2）根据“包容”性的定义，能得到{}01,,a b Î，分类讨论，得出a 和b 的值，即可得出结果；（3）由集合C 的子集有64个，推出集合C 中共有6个元素，且0C Î，再由条件1C Î，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.【详解】（1）（Ⅰ）集合{}1,1,2,3-中的{}3361,1,2,3+=Ï-，{}3301,1,2,3-=Ï-，所以集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性．集合{}1,0,1,2-中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合{}1,0,1,2-，所以集合{}1,0,1,2-具有“包容”性．（2）（Ⅱ）已知集合{}1,,B a b =具有“包容”性，记{}max 1,,m a b =，则m 1³，易得{}21,,m a b Ï，从而必有{}01,,a b Î，不妨令0a =，则{}1,0,B b =，0b ¹且1b ¹，则{}{}1,11,0,b b b +-¹ÆI ，且{}{}1,11,0,b b b +-¹ÆI ，①当{}11,0,b b +Î时，若10b +=，得1b =-，此时{}1,0,1B =-具有包容性；若11b +=，得0b =，舍去；若1b b +=，无解；②当{}11,0,b b +Ï时，则{}{}1,11,0,b b b --Í，由0b ¹且1b ¹，可知b 无解，故{}1,0,1B =-．综上，221a b +=．（3）（Ⅲ）因为集合C 的子集有64个，所以集合C 中共有6个元素，且0C Î，又1C Î，且C 中既有正数也有负数，不妨设{}1112,,,,,,,0,k k t C b b b a a a ----L L ，其中5k l +=，10t a a <<<L ，10k b b <<<L ，根据题意1111{,,}{,,,}l l l k k a a a a b b b ----Í---L L ，且1112112{,,,}{,,,}k k l b b b b b b a a a ----ÍL L ，从而()(),2,3k l =或()3,2．①当()(),3,2k l =时，{}{}313212,,b b b b a a --=，并且由313212{,}{,}b b b b b b -+-+=--，得312b b b =+，由2112{,}a a a a -Î，得212a a =，由上可得2131322111(,)(,)(,)(2,)b b b b b b a a a a =--==，并且31213b b b a =+=，综上可知{}111113,2,,0,,2C a a a a a =---；②当()(),3,2k l =时，同理可得11111{2,,0,,2,3}C a a a a a =--．综上，C 中有6个元素，且1C Î时，符合条件的集合C 有5个，分别是{}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222ìü--íýîþ，2112,,0,,,13333ìü--íýîþ，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222ìü---íýîþ．【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。

高一数学集合的概念试题答案及解析

高一数学集合的概念试题答案及解析1.（本小题10分）若，求实数的值.【答案】或.【解析】首先直接由元素与集合的关系，知或，即可计算出实数的值；然后由集合的确定性、互异性、无序性，分别验证所求的的值是否符合要求即可得出答案.试题解析：或或.当时，，，，适合条件；当时，，，，适合条件.从而，或.【考点】元素与集合的基本关系.2.集合的子集中，含有元素的子集共有A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】B【解析】。

【考点】子集的概念。

3.设实数集为全集，.（1）当时，求及；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先解出集合，然后求出、即可；（2）若，则，，然后对分与两类进行讨论，可得到参数的取值范围.试题解析：（1） 1分当时， 2分4分6分（2）由（1）可知 7分由可知 8分当时，即时成立 9分当，即时， 10分此时要使，须有 11分综上可知的取值范围是：.【考点】1.集合的运算；2.子集的性质.4.设全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,所以答案为：.【考点】集合的补集和交集.5.若则等于【答案】1【解析】因为，所以，但，只有b=0，根据集合中元素的互异性，只有a=-1，故=1.【考点】集合的概念，指数运算。

点评：中档题，利用集合相等，确定a,b，进一步求。

6.下列各组对象中不能构成集合的是（）A．大名三中高一（2）班的全体男生B．大名三中全校学生家长的全体C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【答案】D【解析】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．解：A中，大名三中高一（2）班的全体男生，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； B 中，大名三中全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构造集合；故选D【考点】集合点评：本题以判断对象能否构成集合为载体考查了集合元素的性质，熟练掌握集合元素的确定性和互异性，是解答的关键．7.在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．②B．③C．②③D．①②③【答案】C【解析】集合有三个特点：确定性、无序性和不重复性。

专题2 集合中的新定义问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题2 集合中的新定义问题-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设A B ，是两个非空集合，定义集合{|}A B x x A x B -=∈∉且，若={|05}A x N x ∈≤≤，2{|7100}B x x x =-+<，则A B -= （）A . {}01，B . {}12，C . {}012，，D . {}0125，，，【答案】D【解析】由题意可得： {}0,1,2,3,4,5,{|25}A B x x ==<< ，结合题中新定义的集合运算可得： A B - {}0125，，，. 本题选择D 选项.2.设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定A ＝{1,2,3,4,5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有( ) A ． 10个 B ． 11个 C ． 12个 D ． 13个【答案】D 【解析】3．设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若|，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】4．定义集合运算：，，.设集合，，则集合的所有元素的平均数为（）A . 14B . 15C . 16D . 17【答案】A【解析】当x =0时，z =0；当x =3,y =1时，z =12；当x =3,y =2时，z =30.所以，集合中所有元素是平均数为本题选择A 选项.5．定义集合运算： (){}|,, A B z z xy x y x A y B ⊕==+∈∈，设集合{}0,1A =， {}2,3B =，则集合A B ⊕的所有元素之和为( )A . 0B . 6C . 12D . 18【答案】D【解析】01231340+6+12=18z =⨯⨯⨯⨯∴或或，选D . 6．在集合上定义两种运算和如下：那么（）A ．B ．C ．D ．【答案】A7．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为（）A ．30B ．31C ．32D ．34【答案】B 【解析】试题分析：根据题中定义的运算，有{}*1,2,3,4,5,6,10A B =，因此*A B 中的所有元素之和为31. 考点：集合的运算.8．设P 、Q 为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是( )A ． 9B ． 8C ． 7D ． 6 【答案】B 【解析】根据题意，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q={1，2，6，3，4，8，7，11}，其中有8个元素，故选：B ．9．非空集合A 中的元素个数用)(A 表示，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()()(B A A B B A B A B A ．若{}01，-=A ，{}a x x x B =--=|32||2，且1≤-）（B A ，则a 的所有可能值为（）A .{}4|≥a aB .{}04|=>a a a 或C .{}40|≤≤a aD .{}04|=≥a a a 或【答案】D 【解析】所以0a =或4a >，当()()A B <时，由()1A B -≤，则()()1B A ≤+，即()3B ≤，又()()A B <，所以()23B <≤，只能()3B =，结合上图可知，4a =，所以综上所述：0a =或4a ≥，故选D . 二、填空题 10.对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．11．对于集合，定义且，设，则 ________.【答案】【解析】12.设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.【答案】{0}∪[2，＋∞)．【解析】由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．13.已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么__________．【答案】5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为514.设集合，选择的两个非空子集和，使得中最大的数不大于中最小的数，则可组成不同的子集对__________个．【答案】49，则可以表示为，共种15.若X 是一个集合， τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅；②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅； ③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅；④{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅ 其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________．【答案】②④【解析】对于①，{}{}{},a c a c ⋃=， {},a c 不属于τ，故①错误；对于③，X 不属于τ，故③错误，所以是集合X 上的一个拓扑的集合τ的为②④.方法点睛：解决集合创新型问题的方法有：（1）紧扣定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质.集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.16.设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义：A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素个数是___________. 【答案】10【解析】{}0,1A B ⋂=,有2个元素， {}1,0,1,2,3A B ⋃=-，有5个元素，∴A *B 有10个元素.17.若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是____________. 【答案】3 【解析】18．设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”．给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．【答案】6 【解析】要不含“孤立元”，说明这三个数必须连在一起，故不含“孤立元”的集合有，，，，，共有个．故答案为：619．定义集合A ，B 的运算：A ⊗B ＝{x|x∈A 或x∈B，且x ∉A∩B}．则A ⊗B ⊗A ＝________．【答案】B 【解析】如图所示，A ⊗B 表示的是阴影部分，设A ⊗B ＝C ，运用类比的方法可知，C ⊗A ＝B ，所以A ⊗B ⊗A ＝B.故答案为：B20.对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时， b c d ++等于___________ 【答案】-121.已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足1,()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩（M 是R 的非空真子集），若在R 上有两个非空真子集,A B ，且A B =∅，则()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域为．【答案】{}1 【解析】当()x AB ∈时，()1A B f x =，而由于A B =∅，所以(()1)A B f f x x +=，此时()1F x =；当()x A B ∉时，()0A B f x =，(()0)A B f f x x ==，此时()1F x =，所以函数()F x 的值域为{}1.22．设有限集合{}12,,,n A a a a =，则12n a a a +++叫做集合A 的和，记作A S .若集合{}*21,,4P x x n n N n ==-∈≤，集合P 的含有3个元素的全体子集分别记为12,,,k P P P ，则=+++K P P P S S S 21 .【答案】48 【解析】试题分析：根据题意：∵{}12,,,n A a a a =，则12n a a a +++叫做集合A 的和，记作A S ，而集合{}*21,,4P x x n n N n ==-∈≤，∴其元素为 1，3，5，7，故含有3个元素的全体子集分别为：{}5,3,1，{}7,3,1，{}7,5,1，{}7,5,3，则4821=+++K P P PS S S ，答案为：48.考点：子集与真子集.【方法点晴】通过对新定义的一种运算，计算求和，属于创新题型，本题为基础题，考查计算能力，推理能力.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，在该题中首先根据已知则集合{}12,,,n A a a a =，则12n a a a +++叫做集合A 的和，记作A S ，分别求出所有的元素，然后根据题意找到3个元素的子集，最后求和即可.23.若集合12,A A 满足12A A A ⋃=，则称12(,)A A 为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 是集合A 的同一种分拆.若集合A 有三个元素，则集合A 的不同分拆种数是 . 【答案】27 【解析】考点：1.集合的运算；2.新定义问题.24.若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合11,,12A⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，2{|1,0}B x ax a==≥，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为__________．【答案】0或1或425.由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为每一个中所有元素的积为，则_______.【答案】-1【解析】首先考虑取出的元素中含0，则无论子集中有多少元素，其积都为0，其积的和也为零；当取出的元素不为0，即只在集合中取元素，则所得的子集分别是，，其所有元素之和为，应填答案. 26.已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A ∈，存在(),i j a a B i j ∈≠，使得12i j x a a λλ=+（{}12,1,0,1λλ∈-），则称B 为A 的一个基集．若 {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，则其基集B 元素个数的最小值是____．【答案】4【解析】若基集B 元素个数不超过三个： ,,(,,i j k a a a i j k 互不相等），则最多可表示,,,,,,,,|i j k i j k i j k i j k i j k a a a a a a a a a a a a a a a +++---九个元素，因此基集B 元素个数的最小值是4个，如{}2,3,6,7B =27．设U 是全集，非空集合P 、Q 满足U Q P ⊂⊂，若令P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是______________.（只需写出一个表达式）【答案】Q C P U【解析】用韦恩图画出即可三、解答题28．集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a ，b ，c }的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．。

人教版高中数学必修一专题复习及参考答案

人教版高中数学必修一专题复习及参考答案知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；①两个集合的交集:= ;A B {}x x A x B ∈∈且②两个集合的并集: =;A B {}x x A x B ∈∈或③设全集是U,集合,则A U ⊆U C A ={}x x U x A ∈∉且{|B x x ={|B x x =★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：{})(x f y x ={})(x f y y ={})(),(x f y y x =问题：已知集合（） 221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N= A. ；B.；C. ；D. Φ{})2,0(),0,3([]3,3-{}3,2[错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B M 14922=+y x N 123=+y x [正解] C ；显然，，故{}33≤≤-=x x M R N =]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则B A ⊆C B ⊆C A ⊆4．集合的运算性质（1）交集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = φφ= A A B A ⊆ B B A ⊆ B A A B A ⊆⇔=（2）并集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = A A =φ A B A ⊇ B B A ⊇ A B A B A ⊆⇔=（3）交、并、补集的关系①；φ=A C A U U A C A U =②；)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==，则集合的所有元素之和为（）A B *A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素A B *x A y B xy A B *[解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D A B *A B *{}4,2,0【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(2)

1.1 集合的概念一、单选题1．下列结论正确的是（） A ．2Q 3∈ B ．3-∉ZC ．1}{}1,3∈D }⊆答案：A解析：利用常见数集的符号以及元素与集合、集合与集合之间的关系即可得出结果. 详解：因为23是有理数，所以23Q ∈，故A 正确；3-∈Z ，{}{}11,3⊆}，故B 、C 、D 选项都是错误的.故选：A2．设A ＝y|y ＝﹣1+x ﹣2x 2}，若m∈A，则必有（） A ．m∈正有理数} B ．m∈负有理数} C ．m∈正实数} D ．m∈负实数}答案：D解析：求出函数212y x x =-+-的值域，就是集合A ，进而可判断结果详解：解：因为22177122()488y x x x =-+-=---≤-，所以78A y y ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭；∴若m∈A，则m ＜0，所以m∈负实数}. 故选：D.3．设数集M 同时满足条件①M 中不含元素1,0,1-，②若a M ∈，则11aM a+∈-. 则下列结论正确的是A ．集合M 中至多有2个元素；B ．集合M 中至多有3个元素；C ．集合M 中至少有4个元素；D ．集合M 中有无穷多个元素. 答案：C 详解：由题意，若a M ∈，则11aM a +∈-，则1111111a a M a a a ++-=-∈+--，111111a a M a a--=∈++，则11211211a a a a M a a -++==∈--+，若11a a a +=-，则21a =-，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M 中至少有4个元素．4．设集合{}2A x x =>，则（） A ．3A ∉ BA C ．2A ∈ D ．0A ∈答案：B解析：根据元素与集合的关系判断即可. 详解：{}2A x x =>，3A ∴∈A ，2A ∉，0A ∉.故选：B. 点睛：本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 5．设集合{}|2A x x =≤，则下列四个关系中正确的是（） A ．1A ∈ B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．1A ⊆答案：A解析：根据描述法表示集合的含义，可得1是集合中的元素，即可得到结论. 详解：由题意知，集合{}|2A x x =≤表示所有不大于2的实数组成的集合，所有，1是集合中的元素，故1A ∈. 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.6．设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++．记集合{}{}|()0,,|()0,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈．若|S |、||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能的是（） A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T =答案：D解析：运用特殊值法，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可. 详解：方程20x bx c ++=的判别式为：24b c -，当0c ≠时，方程210cx bx ++=的判别式为：24b c -，选项A ：当0a b c ===时，3(),()1f x x g x ==，显然||1S =且||0T =，故本选项结论有可能成立；选项B ：当1,2a c b ===时，33()(1),()(1)f x x g x x =+=+，显然||1S =且||1T =，故本选项结论有可能成立；选项C ：当1,1,2a c b =-==时，22()(1)(1),()(1)(1)f x x x g x x x =-+=--+，显然||2S =且||2T =，故本选项结论有可能成立；选项D ：因为||3T =，所以0c ≠且0a ≠且240b c ->且211()()10c b a a-+-+≠，因此有0c ≠且0a ≠且240b c ->且2ab a c ≠+，此时方程20x bx c ++=有两个不相等的实根，因为2()0a a b c --+≠，所以a -不是方程20x bx c ++=的实根，因此||3S =，所以本选项不可能成立，故选：D 点睛：方法点睛：运用特殊值法是解决此类问题常见的方法. 7．设集合{}A 4,8=，则集合A 的子集个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D解析：对于集合A 的子集个数，由于A 中元素个数较少，故可以直接枚举出每个子集，或者根据知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，进行求解．详解：集合A 中元素的个数为2，故子集的个数为22=4 个．分别为∅，{}4，{}8和{}48，．故选D ．点睛：本题考查知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．8．集合{}1,3,5,7,9描述法表示为（） A ．|x x 是不大于9的非负奇数} B ．{}|19x x ≤≤ C ．{|9,}x x x N ≤∈ D ．{}|09,x x x Z ≤≤∈答案：A解析：利用集合的表示法直接求解．详解：解：在A 中，{|x x 是不大于9的非负奇数}，表示的是集合{1，3，5，7，9}，故A 正确；在B 中，{|19}x x ，表示的集合是19x 的实数集，都B 错误；在C 中，{|9x x ，}x N ∈，表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故C 错误；在D 中，{|09}x Z x ∈，表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D 错误．故选：A ．点睛：本题考查集合的表示法的应用，解题时要认真审题，注意集合定义的合理运用，属于基础题．9．给出下列4个关系式0.3∉Q ，0∈N*，0∈0}.其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B解析：对四个选项一一验证即可. 详解：正确，0.3∉Q 错误，0∈N *错误，0∈0}正确，正确的有2个，故选B.二、多选题1．已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为（） A ．12 B ．1C ．0D ．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a =，12a=，由此能求出实数a ．详解：解：集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆，A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a不存在，11a =，12a=，解得1a =，或1a =，或12a =．故选：ABC ．点睛：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．2．（多选）已知集合{}A x x x =≤∈R ，a =b = ） A ．a A ∈ B ．a A ∉C ．b A ∈D ．b A ∉答案：BC解析：根据集合A 的表示元素范围确定a b 、与集合A 的关系. 详解：>a A ∉，由b A ∈，故选BC. 点睛：本题考查集合与元素的关系，难度较易.集合与元素的关系只有两种：属于和不属于. 3．(多选)设集合M ＝x|x ＝2m ＋1，m∈Z }，P ＝y|y ＝2m ，m∈Z }，若x 0∈M，y 0∈P，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则（） A ．a∈M B ．a∈P C ．b∈M D ．b∈P答案：AD解析：利用整数的运算性质，根据集合M,N 中元素的性质判定a ,b 的性质，进而判定a,b 与M,N 的关系，即可作出判定. 详解：设x 0＝2m ＋1，y 0＝2n ，m ，n∈Z ，则a =x 0＋y 0＝2m ＋1＋2n ＝2(m ＋n)＋1, ∵m+n∈Z ,∴a∈M，b=x 0y 0＝2n(2m ＋1)＝2(2mn ＋n), ∵2mn+n∈Z ,∴b∈P，即a∈M，b∈P，故选：AD.4．下列表述正确的是（）A ．27Z ∈ B ．0N ∈ C ．-3∉Z D ．27Q ∈答案：BD解析：根据常见数集的符号表示逐一判断即可. 详解：Z 表示整数集，故A 不正确、C 不正确；N 表示自然数集，故B 正确；Q 表示有理数集，故D 正确.故选：BD5．由实数x ，x -，||x ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：AB解析：按照0x >、0x =、0x <分类，即可得解. 详解：当0x >时，||0x x =>，0x =-<，此时集合共有2个元素；当0x =时，||0x x x ==-==，此时集合共有1个元素；当0x <时，||0x x -==，0x <，此时集合共有2个元素；综上所述，此集合有1个或2个元素. 故选：AB. 点睛：本题考查了集合元素个数的求解，考查了分类讨论思想，属于基础题. 三、填空题1．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q 中的元素是a+b ，其中a∈P，b∈Q，则P+Q 中元素的个数是_____. 答案：8解析：从P 中任取一个数，再从Q 中任取一个数相加有9种可能，把相同的去掉即得．详解：若a ∈P，b∈Q，则a+b 的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P+Q 中有8个元素. 故答案为：8．点睛：本题考查集合的新运算，根据新定义确定新运算集合中的元素，方法是列举法，但要注意集合元素的互异性，否则易出错．2．已知集合{0,1}A =，{0,1,2,3}B =，则A B 中的元素个数为________. 答案：4解析：首先根据集合中并集的定义求出A B ，然后即可求出并集中元素的个数. 详解：因为{0,1}A =，{0,1,2,3}B = 所以0,1,3}2,{A B = 则A B 中的元素个数为4. 故答案为：4 点睛：本题考查集合中并集的运算以及求集合元素的个数，属于基础题. 3．规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b、有:a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________．答案：1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：根据所定义运算可知22122a b x ab ++=+，根据,a b 取值范围可分别在1a =-和0a =两种情况下确定b 的取值，进而求得x 的不同取值，得到所求集合. 详解：由题意得：2212,02a b A x x ab b ⎧⎫++==+≠⎨⎬⎩⎭22a b -<<<且,a b Z ∈∴当1a =-时，1b =，此时x =12-；当0a =时，1b =，此时1x = ∴集合1,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭点睛：本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.4．已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______；答案：98a ≤解析：根据A 中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解．详解：解：若A 中至少有一个元素，则方程2320ax x -+=至少有一个解．当0a =时，方程2320ax x -+=等价为320x -+=，即23x =，满足条件．当0a ≠，判别式980a∆=-，解得98a ≤且0a ≠．综上所述，a 的取值范围为98a ≤，即9,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦点睛：本题主要考查元素和集合之间关系的应用，利用一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键，属于基础题． 5．设*6N ,2A x x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示A=____________.答案：{}4,1,0,1-- 解析：62x-为正整数且x 也为整数,可知2x -能够被6整除，逐个正因数计算即可．详解：由题意得,*6N ,2x Z x ∈∈-,故62x -为6的正因数,所以61,2,3,62x=-,故26,3,2,1x -=,故4,1,0,1x =--,列举法得出答案{}4,1,0,1--.故答案为{}4,1,0,1--. 点睛：本题主要考查对因数的理解以及集合中的常用集合表示,N 表示自然数,*N 表示正自然数,即正整数.Z 表示整数. 四、解答题1．称正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ：如果对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断集合1，3，6}与1，3，4，12}是否具有性质 P ；（2）设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数；（3）求a n =30时n 的最大值.答案：（1）1，3，6}不具有，1，3，4，12}具有；（2）证明见解析；（3）8 解析：(1)根据性质P ；对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），a i a j 与a a j i两数中至少有一个属于A ，验证两集合集1，3，6}与1，3，4，12}中的任何两个元素的积、商是否为该集合中的元素；(2)运用反证法，结合A 具有性质P ，即可得证;(3)运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n 的最大值. 详解：（1）由于3×6与63均不属于数集1，3，6}，∴数集1，3，6} 不具有性质P ；由于1×3，1×4，1×12，3×4，123，124都属于数集1，2，3，6}， ∴数集1，3，4，12} 具有性质P.（2）证明：设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ，即有对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.运用反证法证明.假设存在一个数a i 不是a n 的因数，即有a i a n 与i n a a 或nia a ，都不属于A ，这与条件A 具有性质P 矛盾.故假设不成立.则对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数；（3）由（2）可知，i a 均为n 30a =的因数，由于30=2×3×5，由组合的知识可知2，3，5都有选与不选2种可能. 共有2×2×2=8种，即n 的最大值为8. 点睛：本题考查新定义的理解和运用，考查推理能力，以及反证法的运用，组合知识的运用，属于中档题.2．已知集合{|A x x =为小于6的正整数}，{|B x x =为小于10的素数}，集合{|C x x 为24和36的正公因数}．（1）试用列举法表示集合{|M x x A =∈且}x C ∈；（2）试用列举法表示集合{|N x x B =∈且}x C ∉．答案：(1) {1,2,3,4}；（2）{5,7}.解析：（1）求出集合,,A B C ，则M A C =⋂，即可求出M ；（2）根据集合N 中元素的特征，即可写出N . 详解：由题意{}1,2,3,4,5A =，{}2,3,5,7B =，{}1,2,3,4,6,12C =. （1）{}1,2,3,4M A C =⋂=. （2）.{|M x x B =∈且}x C ∉{}5,7N ∴= 点睛：本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题.3．已知集合M=2，a ，b}，N=2a ，2，b 2}且M=N ．求a 、b 的值．答案：110,1,42a b a b ====或详解：因为M=N ，所以根据集合元素的互异性，可知222{{2a a a b b b b a====或,解出a,b 值再验证是否满足互异性的要求.由M ＝N 及集合元素的互异性得：22{a ab b ==或22{a bb a ==解上面的方程组得，01{a b ==或00{a b ==或1412{a b == 再根据集合中元素的互异性得，01{a b ==或1412{a b ==。

高一数学必修1集合的含义与表示练习题(附答案)

第一章集合1．1 集合与集合的表示方法一、选择题1．下列各组对象①方程x2+2x+1=0的解；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( B ) 1 3 4A．2组B．3组C．4组D．5组2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，N＝{小于10的正整数}，P＝{定圆C的内接三角形}，Q＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( B )A．M、N、P B．M、P、QC．N、P、Q D．M、N、Q3．下列命题中正确的是( C )A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是() A．第一象限内的点B．第三象限内的点C．第一或第三象限内的点D．非第二、第四象限内的点5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则( D )A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋y∉M6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是()A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R}D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z}6．C解析：在选项A中，M＝φ，P＝{0}，是不同的集合；在选项B中，有M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈R}，是不同的集合，在选项C中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则M＝{y｜y≥1}，P＝{t｜t ≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和P是同一个集合，在选项D中，M是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M和P是两个不同的集合．答案：C．二、填空题7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．10．用符号∈或∉填空：①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．13．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+321x z z y y x 的解集为______．14．已知集合P ＝{2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______．15．用描述法表示下列各集合：①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________．③}75,64,53,42,31{______________________________________________________． 16．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______．三、解答题17．集合A ＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．17．解：有4个元素，它们分别是：(1)底边为1，顶角为40°的等腰三角形；(2)底边为1，底角为40°的等腰三角形； (3)腰长为1，顶角为40°的等腰三角形；(4)腰长为1，底角为40°的等腰三角形．18．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．19．实数集A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则A a∈-11． (1)若2∈A ，求A ；(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由； (3)求证：A a∈-11．19．证明：(1)若2∈A ，由于2≠1，则A ∈-211，即－1∈A ． ∵－1∈A ，－1≠1∴A ∈--)1(11，即A ∈21．∵,121，21=/∈A ∴A ∈-2111，即2∈A ．由以上可知，若2∈A ，则A 中还有另外两个数－1和21∴}2,21,1{-=A ．(2)不妨设A 是单元素的实数集．则有,11aa -=即a 2－a ＋1＝0． ∵∆＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0， ∴方程a 2－a ＋1＝0没有实数根． ∴A 不是单元素的实数集．(3)∵若a ∈A ，则A a∈-11∴A a∈--1111，即A a ∈-11．20．已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R ①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．20．解：①∵A 是空集∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根 ∴⎩⎨⎧<-=∆=/,089,0a a 解得⋅>89a②∵A 中只有一个元素，∴方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．当a ＝0时，方程化为－3x ＋2＝0，只有一个实数根32=x ；当a ≠0时，令∆＝9－8a ＝0，得89=a ，这时一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即A 中只有一个元素．由以上可知a ＝0，或89=a 时，A 中只有一个元素． ③若A 中至多只有一个元素，则包括两种情形，A 中有且仅有一个元素，A 是空集，由①、②的结果可得a ＝0，或89≥a ．21．用列举法把下列集合表示出来： ①A =};99|{N N ∈-∈xx ②B =};|99{N N ∈∈-x x③C ＝{y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；④D ＝{(x ，y )｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； ⑤E ＝⋅∈∈=+=*},,5,|{N N q p q p x qpx ．解：①由9－x ＞0可知，取x ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x ＝0，6，8时199=-x，3，9也是自然数，∴A ＝{0，6，8} ②由①知，B ＝{1，3，9}．③∵y ＝－x 2＋6≤6，而x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2符合题意． ∴C ＝{2，5，6}．④点(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2,5,1,6,0y x y x y x ∴D ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． ⑤由p ＋q ＝5，p ∈N ，q ∈N *得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,4,2,3,3,2,4,1,5,0q p q p q p q p q p又∵qpx =，∴}4,23,32,41,0{=E22．已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．解：由已知，∆＝4(p －1)2－4≥0，得P ≥2，或P ≤0， ∴A ＝{p ｜p ≥2，或p ≤0}，∵x ∈A ，∴x ≥2，或x ≤0．∴2x －1≥3，或2x －1 ≤－1，∴B ＝{y ｜y ≤－1，或y ≥3}．22．解：由已知，∆＝4(p －1)2－4≥0，得P ≥2，或P ≤0， ∴A ＝{p ｜p ≥2，或p ≤0}，∵x ∈A ，∴x ≥2，或x ≤0．∴2x －1≥3，或2x －1 ≤－1，∴B ＝{y ｜y ≤－1，或y ≥3}．集合与集合的表示方法参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．A6．C 解析：在选项A 中，M ＝φ，P ＝{0}，是不同的集合；在选项B 中，有M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1≥1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1≥1，y ∈R }，是不同的集合，在选项C 中，y ＝t 2＋1≥1，t ＝(y －1)2＋1≥1，则M ＝{y ｜y ≥1}，P ＝{t ｜t ≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和P 是同一个集合，在选项D 中，M 是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P 是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M 和P 是两个不同的集合．答案：C ．二、填空题7．2 8．x ≠3且x ≠0且x ≠－1根据构成集合的元素的互异性，x 满足⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/-=/.2,32,322x x x x x x解之得x ≠3且x ≠0且x ≠－1．9．2或4 10．①∈，∈，∈，∉，∈．②∈，∉，∈，∉． 11．m ＝3，n ＝2．12．31=a ，91=b ．解析：由题意知，方程x 2＋(a －1)x ＋b ＝0只有等根x ＝a ，则∆＝(a －1)2－4b ＝0①，将x ＝a 代入原方程得a 2＋(a －1)a ＋b ＝0②，由①、②解得91，31==b a .13．{(1，0，2)} 14．Q ＝{0，2，3，4，6，8，12}15．①{x ｜x ＝2n ，n ∈N *且n ≤6}，②{x ｜2≤x ≤4，x ∈N }，或{x ｜(x －2)(x －3)(x －4)＝0} ③}6,2|{*<∈+=n n n nx x 且N 16．B ＝{0，1，2}解析：∵y ∈A ，∴y ＝－2，－1，0，1，∵x ＝｜y ｜，∴x ＝2，1，0，∴B ＝{0，1，2}三、解答题18．解：∵5 ∈A ，且5∉B ．∴⎩⎨⎧=/+=-+,53，5322a a a 即⎩⎨⎧=/=-=.2,24a a a 或∴a ＝－421。

高一数学集合的概念试题答案及解析

高一数学集合的概念试题答案及解析1.如果集合中只有一个元素，则a的值是（）A．0B．0 或1C．1D．不能确定【答案】B.【解析】若集合中只有一个元素，则方程有且仅有一个解，当时，方程可化为，满足条件；当时，二次方程有且只有一个解，则，解得，故满足条件的的值为0或1.故选B.【考点】元素与集合关系的判断.2.已知非空集合则实数a的取值范围是_____________．【答案】（2，5）【解析】因为,所以又因为为非空集合，所以因此实数a的取值范围是（2，5）【考点】集合子集包含关系3.设集合,，则有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】。

【考点】元素和集合的关系。

4.设集合,,且，则实数的取值范围是。

【答案】【解析】依题意可得。

【考点】集合的运算。

5.设全集为，集合，．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可得.所以.所以阴影部分表示集合A中扣除集合A与集合B的交集部分，可得.（2）因为若，则i)当集合C为空集时即成立.当ii)集合C不为空集时.解得.综上可得.故填.试题解析：（1）由得， 2分又，故阴影部分表示的集合为； 5分（2）①，即时，，成立； 9分②，即时，，得， 11分综上所述，的取值范围为． 12分【考点】1.集合中韦恩的应用.2.交集、并集、补集的概念.3.集合的运算.4.空集的概念.6.给出下列结论：①函数的定义域为；②；③函数的图像关于点对称；④若角的集合,,则；⑤函数的最小正周期是,对称轴方程为直线.其中正确结论的序号是 _______.【答案】③④⑤【解析】对于①，由，故函数的定义域应当为；对于②，；对于③，采用检验法，三角函数对称中心的横坐标是函数的零点，当时，，符合，所以③正确；对于④，角的集合、都表示终边落在上的角，所以这两集合相等，所以④正确；对于⑤，的图像是由变化而来（保持轴上方的图像不变，而把轴下方的图像沿轴翻折到轴的上方），结合正切函数的图像与性质可知，的周期为，且对称轴为；综上可知，③④⑤正确.【考点】1.命题真假的判断；2.函数的定义域；3.诱导公式；4.三角函数的图像与性质；5.集合之间的关系.7.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题，得，，则满足条件C 的元素的个数就是集合的子集个数，即为4个，故选B．【考点】集合间的包含关系．8.已知全集，，则 .【答案】【解析】直接利用交集的定义进行计算,,【考点】此题考查了交集的定义.9.已知集合，，若，则 .【答案】【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.,.,又,,【考点】此题考查了两个集合相等的条件.10.已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（M）∩N=( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】本题属基础题，考察学生对集合的补集、交集概念掌握的情况，先由观察全集求出集合的补集，再求出的补集与集合的效交集，从而得出答案是C.【考点】1.集合的补集；2.集合的交集.11.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】集合A=.集合B=.所以.故选D.【考点】1.描述法表示集合关注竖线左边的式子表示集合里装的对象.2.集合的交集.12.已知集合，．(1)求集合；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1) ；（2）．【解析】（1）解分式不等式一般是把分式不等式转化为整式不等式来解，先把分式不等式化为（或）（注意使，中各因式里的最高次项系数为正），然后等价转化为整式不等式（或），但如果不等式是（或），转化后注意．本题中不等式等价转化为；（2）注意结论的区别．试题解析：解（1）因为，所以．解得，∴集合．（2）因为，所以解得所以．【考点】（1）分式不等式的解法；（2）子集的概念．13.在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．②B．③C．②③D．①②③【答案】C【解析】集合有三个特点：确定性、无序性和不重复性。

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