高中数学必修一专题复习
【人教A版】高中数学必修一第一、二章复习题(含答案)
人教A 版必修一第一、二章阶段性复习试题一、选择题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则u C A =( )A. {}2,4,6B. {}1,3,6,7C. {}1,3,5,7D. ∅ 2.下列函数中,在区间(0,)+∞上是增函数的是( )A. 21y x =-+B.23y x =-+C. 3log y x =D.1()2x y =3．函数f (x 3log (4)x -的定义域是（ ）A. ∅ B .()1,4 C. [)1,4 D. (-∞，1) [4，+∞]4.下列四组函数中表示同一函数的是（ ）（A ）f （x ）=x ，g （x ）=2)x ( （B ）f （x ）=x 2，g （x ）=xx 3（C ）f （x ）=2x ，g （x ）=|x| （D ）f （x ）=0，g （x ）=4x -+x 4-5．若==x x 则,25102（ ） A 、51lgB 、5lgC 、5lg 2D 、51lg 2 6.函数223,[0,3]y x x x =-++∈的值域是( )A.(,4]-∞ B [4,)+∞ C.[0,3] D.[0,4]7.⎩⎨⎧>≤=0,log 0,3)(2x x x x f x 则)]41([f f =（ ）A 、9B 、91C 、1D 、 3 8．已知()bx ax x f +=2是定义在[]a a 2,1-上的偶函数，那么b a +的值是（ ） A.31-B.31C.21D.21- 9.三个数为0.233log 0.2,3,0.2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A.a c b >> B.a b c << C. a c b << D. a b c >> 10.已知42()f x ax bx x m =+-+，(2)1f =，则(2)f -=（ ） A.5 B.0 C. 3 D. -211.设奇函数()x f 在()0,∞-上为减函数，且()02=f ，则()()023>--xx f x f 的解集为（ ）A.()()+∞⋃-,20,2B.()()2,02,⋃-∞-C.()()∞+⋃-∞-.22.D.()()2,00,2⋃- 12. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是( ) A.0<m ≤4 B.0≤m ≤1 C.m ≥4 D.0≤m ≤4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式_____________ 14. 已知()x f 是在R 上的奇函数，当0<x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31，那么___________21=⎪⎭⎫⎝⎛f 15.设.__________,12154==+==m ba mb a 则且,. 16．设函数()f x x x bx c =++，给出下列4个命题：①0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实数根；②0c =时，()y f x =是奇函数；③()y f x =的图象关于点()0,c 对称；④方程()0f x =至多有2个不相等的实数根．上述命题中的所有正确命题的序号是 ． 三、解答题 17.化简求值（1）10.500.25325277()()()16988----+（2）2(lg 2)lg 2lg50lg 25+•+18. 已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}．(1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19. 高一（1）班某个研究性学习小组进行市场调查，某生活用品在过去100天的销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足()()N t t t t g ∈≤≤+-=,1001110.前40天的价格为()()4018≤≤+=t t t f ，后60天的价格为()()10041695.0≤≤+-=t t t f . ⑴试写出该种生活用品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； ⑴试问在过去100天中是否存在最高销售额，是哪天？20.已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明； (3)求f ⎝⎛⎭⎪⎫22的值．21. （本小题满分12分）已知函数y =M 。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系复习专练(人教A版,含解析)(60)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列式子表示正确的是（ ）A ．∅{}0⊆B ．{}{}22,3∈C ．∅{}1,2∈D ．{}00,2,3⊆答案：A解析：根据空集的性质，集合与集合的关系，元素与集合的关系逐一判断可得答案. 详解：解：根据空集的性质，空集是任何集合的子集，{}0∅⊆，故A 正确；根据集合与集合关系的表示法，{}2{}2,3，故B 错误； ∅是任意非空集合的真子集，有∅{}1,2，但{}1,2∅∈表示方法不对，故C 错误；根据元素与集合关系的表示法，{}00,2,3∈，不是{}00,2,3⊆，故D 错误；故选：A.点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，元素与集合关系的判断，集合的表示法.2．已知集合A=x|a≤x<3)，B=[1，+∞)，若A 是B 的子集，则实数a 取值范围为（ ）A ．[0，3)B ．[1，3)C ．[0，+∞)D ．[1，+∞)答案：D 解析：根据条件讨论A 是否为空集：A =∅时，3a ；A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解出a 的范围即可．详解：解：{|3}A x a x =<，[1B =，)+∞，且A B ⊆，∴①A =∅时，3a ；②A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解得13a <， ∴综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．故选：D ．点睛：本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．3．已知集合{}1A x x =>，则下列判断正确的是（ ）A ．0A ∈B ．{}2A ⊆C ．2A ⊆D ．A ∅∈答案：B解析：先区分是集合还是元素，而后选用符合的符号．详解： 解：集合{|1}A x x =>，0A ∴∉，{2}A ⊆，2A ∈，A ∅⊆ 故选：B ．4．若{}6,7,8A =，则集合A 的真子集共有A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个答案：C解析：根据n 元集合有2n ﹣1个真子集，结合集合6，7，8}共有3个元素，代入可得答案． 详解：因为A ＝6，7，8}共3个元素故集合A ＝6，7，8}共有23﹣1＝7个真子集故选C ．点睛：本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握n 元集合有2n 个子集，有2n ﹣1个真子集，是解答的关键．5．已知集合A=2，3}，B=x|mx ﹣6=0}，若B ⊆A ，则实数m=A ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或3答案：D详解：试题分析：：∵A=2，3}，B=x|mx-6=0}=6m }， ∵B ⊆A ， ∴2=6m ，或3=6m ，或6m 不存在， ∴m=2，或m=3，或m=0考点：集合关系中的参数取值问题6．已知集合{}{}0,2,2,0,A B a ==-,若A B ⊆,则实数a 的值为A ．2B ．1C ．0D ．2-答案：A详解：试题分析：因A B ⊆,故，应选A. 考点：子集包含关系的理解．7．已知集合，则下列式子表示正确的有 ① ② ③④ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：C详解： 解：因为集合，则说明A=1,-1},因此利用元素与集合的关系，以及集合与集合的关系得到①,成立，③ ④也成立，选项C8．已知集合{}{}|1,|M x x N x x a =>=>，且M N ⊆，则（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．1a ≥D ．1a >答案：A解析：根据M N ⊆，在数轴上作出,M N ，可得结果.详解：根据M N ⊆，在数轴上作出集合,M N ，如图：可得：1a ≤，故选：A.点睛：本题考查集合间的包含关系，注意利用数轴，是基础题.9．已知集合{1,2}A =，{4,5,6}B =，:f A B →为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有（ ）种.A ．2B ．3C ．6D ．7答案：C解析：函数的值域C 是集合B 的一个子集,分析可知B 的非空子集共有7个,除去{4,5,6}有3个元素不能作为值域,则值域C 的不同情况有6种.详解：由函数的定义可知,函数的值域C 是集合B 的一个子集.{4,5,6}B =,非空子集共有3217-=个；而定义域A 中至多有2个元素,所以值域C 中也至多有2个元素；所以集合B 的子集{4,5,6}不能作为值域C,值域C 的不同情况只能有6种.故选：C.点睛：本题考查了集合的子集个数和函数的定义,若函数的定义域和值域里的元素个数为有限个,则值域的元素个数不会超过定义域里的元素个数.本题属于中等题.10．已知a b 、为实数，若集合,1ba ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与{},0a 表示同一集合，则+a b 等于（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．±1答案：C 解析：由集合相等可得1,0b a a==，解出即可．详解： 解：集合相等可得1,0b a a ==，解得1,0a b ==．1a b ∴+=． 故选：C ．点睛：本题考查了集合相等，属于基础题．二、填空题1．集合{}1,0,1-的子集共有___________个.答案：8解析：将子集一一列出即可．详解：集合{1A =-，0，1}的子集有：∅，{}1-，{0}，{1}，{1-，0}，{0，1}，{1-，1}，{1-，0，1}共8个故答案为：8．2．已知全集U =R ，集合{|34}A x x =-≤≤，集合{|121}B x a x a =+<<-，且U A C B ⊆，则实数a 的取值范围是_________________.答案：a≥3或a≤2解析：对集合B 分类讨论B=∅与B ≠∅,结合U A C B ⊆得到关于a 的不等式组，从而得到结果. 详解：∵{|121}B x a x a =+<<-，且A ⊆∁U B ，2a ﹣1＞a+1，解得a ＞2，∁U B=x|x≤a+1，或x≥2a﹣1}，∴241a a ⎧⎨≤+⎩＞或2213a a ⎧⎨-≤-⎩＞， 解得a≥3或a∈∅．此时实数a 的取值范围为a≥3．当B=∅，∁U B=R ，满足A ⊆∁U B ，∴a+1≥2a﹣1，解得a≤2．综上可得：实数a 的取值范围为a≥3或a≤2．点睛：本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．角的集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z 与集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z 之间的关系为________．答案：A B =解析：在集合A 中，分析k 的奇偶，可得出集合A 所表示的角的终边，与集合B 相比较，可得出结果.详解：解：集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z ，当k 为奇数时，假设21k n =-，则{|2,}2A x x n k πππ==-+∈Z ，即{|2,}2A x x n k ππ==-∈Z 表示终边在y 轴非正半轴上的角，当k为偶数时，假设2k n =，集合{|2,}2A x x n k ππ==+∈Z ，表示终边在y 轴非负半轴上的角； 集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z ，则集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A B =. 故答案为：A B =.4．集合∅和{0}的关系表示正确的有________.(把正确的序号都填上)①{0}=∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅{0}.答案：④解析：根据集合间的基本关系及定义，即可得答案；详解：∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然{0}∅≠，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}.，所以④正确，①②③不正确.故答案为：④点睛：本题考查集合间的基本关系，考查对概念的理解，属于基础题.5．已知{}0,2,M b =，{}20,2,N b =，且M N ，则实数b 的值为____________.答案：1解析：根据集合相等以及集合元素的互异性可求得实数b 的值.详解：{}0,2,M b =，{}20,2,N b =且M N ，则202b b b b ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，解得1b =. 故答案为：1.点睛：本题考查利用集合相等求参数，同时要注意集合的元素应满足互异性，考查计算能力，属于基础题.三、解答题1．设全集U =R ，集合{}5|4A x x =-<<，集合{6B x x =<-或}1x >，集合{}|0C x x m =-<，求实数m 的取值范围，使其同时满足下列两个条件.①()C A B ⊇⋂；②()()U U C A B ⊇.答案：{}|4m m ≥解析：求出A B 和()()U U A B ⋂，求出集合C ，由包含关系得m 的不等关系．详解：解：因为{}5|4A x x =-<<，{|6B x x =<-或1}x >，所以{}|14A B x x =<<.又{|5U A x x =≤-或4}x ≥，{}61|U B x x =-≤≤，所以()(){}65|U U A B x x =-≤≤-.而{}|C x x m =<，因为当()C A B ⊇⋂时，4m ≥，当()()U U C A B ⊇时，5m >-，所以4m ≥.即实数m 的取值范围为{}|4m m ≥.点睛：本题考查集合的综合运算，考查集合的包含关系，掌握包含关系是解题关键．2．已知M=x| -2≤x≤5}， N=x| a+1≤x≤2a -1}.（1）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围；（2）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围.答案：（1）空集；（2）{}3a a ≤.解析：（1）根据子集的性质进行求解即可；（2）根据子集的性质，结合N =∅和N ≠∅两种情况分类讨论进行求解即可.详解：（1）由M N ⊆得：12321531212a a a a a a a +≤-≤-⎧⎧⎪⎪⇒-≥≥⎨⎨⎪⎪+≤-≥⎩⎩无解； 故实数a 的取值范围为空集；（2）由M N ⊇得：当N =∅时，即1212a a a +>-⇒<；当N ≠∅时，12121232153a a a a a a a +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩， 故23a ≤≤；综上实数a 的取值范围为{}3a a ≤.3．设f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，有f （x ﹣2）＝x 2﹣3x+3． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若x|f （x ﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝a}，求a 和b 的值．答案：（Ⅰ）f （x ）＝x 2+x+1；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）采用换元法，令x ﹣2＝t ，即可求得解析式；（Ⅱ）先将表达式化简，再结合x|f （x ﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝a}可得，解方程可求a 和b 的值详解：（Ⅰ）依题意，令x ﹣2＝t ，则x ＝t+2，∴f （t ）＝（t+2）2﹣3（t+2）+3＝t 2+t+1， ∴f （x ）＝x 2+x+1；（Ⅱ）依题意，方程x 2﹣3x+3＝﹣（a+2）x+3﹣b 有唯一解a ，即方程x 2+（a ﹣1）x+b ＝0有唯一解a ， ∴，解得．点睛：本题考查换元法求解析式，根据集合相等求解参数，一元二次方程有唯一解的等价条件的转化，属于中档题4．已知集合{}25A x x =-≤≤，集合{}121B x p x p =+≤≤-，若A B B =，求实数p 的取值范围．答案：3p ≤解析：根据题意，由集合的性质，可得若满足A B B =，则B A ⊆，进而分：①121p p +>-，②121p p +=-，③121p p +<-，三种情况讨论，讨论时，先求出p 的取值范围，进而可得B ，讨论集合B 与A 的关系可得这种情况下p 的取值范围，对三种情况下求得的p 的范围求并集可得答案．详解：解：根据题意，若A B B =，则B A ⊆；分情况讨论：①当121p p +>-时，即2p <时，B =∅，此时B A ⊆，则A B B =，则2p <时，符合题意；②当121p p +=-时，即2p =时，{}{}333B x x =≤≤=，此时B A ⊆，则A B B =，则2p =时，符合题意；③当121p p +<-时，即2p >时，{}121B x p x p =+≤≤-，若B A ⊆，则有21512p p -≤⎧⎨+≥-⎩，解可得33p -≤≤， 又由2p >，则当23p <≤时，符合题意；综上所述，满足A B B =成立的p 的取值范围为3p ≤．点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，易错点为遗漏B =∅的情况，考查了分类讨论的思想，属于中档题.5．已知全集U=R ，集合A=x∣-2≤x≤3}，B=x∣2a<x<a+3}，且U B A ⊆，求实数a 的取值集合.答案：a∣a≤-5或a≥32}解析：首先求出集合A 的补集，再根据U B A ⊆，对集合B 是否为空集分类讨论，得到不等式组，解得即可；详解：解：因为{}|23A x x =-≤≤，所以U {|2A x x =<-或3}x >因为U B A ⊆，当B =∅时23a a ≥+解得3a ≥；当B ≠∅时，由U B A ⊆所以23,23,a a a <+⎧⎨≥⎩或2332a a a <+⎧⎨+≤⎩－ 解得332a ≤<或5a ≤-.所以实数a 的取值集合为{|5a a -≤或3}2a ≥.点睛：本题考查集合的包含关系求参数的取值范围，一般需对集合是否为空集分类讨论，属于基础题.。
高中数学必修一集合与函数的概念复习资料
必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B I{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =I （2）A ∅=∅I （3）A B A ⊆I A B B ⊆I BA并集A B U{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A =U （2）A A ∅=U （3）A B A ⊇U A B B ⊇U BA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且（1）()U A A =∅I ð（2）()U A A U =U ð（3）()()()U U U A B A B =I U 痧? （4）()()()U U U A B A B =U I 痧?【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应关系．③只有定义域相同，且对应关系也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：（求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化）①()f x 是整式型或奇次方根式型函数，定义域为全体实数。
新人教版高中数学必修一复习提纲
数学必修一复习提纲第一章 集合及其运算 一.集合的概念、分类: 二.集合的特征:⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四.两种关系：从属关系：对象 ∈、∉ 集合;包含关系：集合 ⊆、 集合五．三种运算: 交集：{|}A B x x A x B =∈∈且 并集：{|}A B x x A x B =∈∈或补集:UA {|U }x x x A =∈∉且六.运算性质： ⑴ A∅=A ，A ∅=∅．⑵ 空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集． ⑶ 若B A ⊆，则A B =A ，A B =B ．⑷ U A A =（）∅,U A A =（）U ,U U A =（）A. ⑸U U A B =（）（）U AB （），U U A B =（）（）U AB （）.⑹ 集合123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅的所有子集的个数为2n，所有真子集的个数为21n-,所有非空真子集的个数为22n-，所有二元子集（含有两个元素的子集)的个数为2nC ．第二章 函数 指数与对数运算一．分数指数幂与根式：如果nx a =，则称x 是a 的n 次方根,0的n 次方根为０,若0a ≠，则当n 为奇数时,a 的n 次方根有１个,当n 为偶数时，负数没有n 次方根,正数a 的n 次方根有2个,其中正的n.负的n 次方根记做．1．负数没有偶次方根；2.两个关系式：n a =;||a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 3、正数的正分数指数幂的意义:m na =正数的负分数指数幂的意义：m na-=4、分数指数幂的运算性质:⑴ mnm na a a+⋅=; ⑵ m n m na a a-÷=;⑶ ()m n mn a a =; ⑷ ()m m m a b a b ⋅=⋅;⑸ 01a =,其中m 、n 均为有理数，a ,b 均为正整数 二.对数及其运算１.定义：若b a N =(0a >,且1a ≠，0)N >,则log a b N =． 2．两个对数：⑴ 常用对数:10a =，10log lg b N N==；⑵ 自然对数： 2.71828a e =≈，log ln e b N N==.3．三条性质： ⑴ １的对数是0,即log 10a =；⑵ 底数的对数是１,即log 1a a =;⑶ 负数和零没有对数．4.四条运算法则:⑴log ()log log a a a MN M N=+; ⑵log log log aa a MM N N =-;⑶ log log na a M n M =; ⑷1log log a a M n =.5．其他运算性质: ⑴ 对数恒等式：log a bab =； ⑵ 换底公式：log log logc a c ab b =；⑶log log log a b a b c c ⋅=;log log 1a b b a ⋅=;⑷log log m n a a nb b m =.函数的概念一．映射：设Ａ、B 两个集合，如果按照某中对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射.二.函数:在某种变化过程中的两个变量x 、y ,对于x 在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应,则称y 是x 的函数,记做()y f x =，其中x 称为自变量，x 变化的范围叫做函数的定义域,和x 对应的y 的值叫做函数值,函数值y 的变化范围叫做函数的值域. 三．函数()y f x =是由非空数集A 到非空数集Ｂ的映射．四.函数的三要素:解析式；定义域;值域．函数的解析式一.根据对应法则的意义求函数的解析式;例如：已知xxxf2)1(+=+,求函数)(xf的解析式．二.已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式;例如:已知()f x是一次函数,且[()]43f f x x=+,函数)(xf的解析式．三.由函数)(xf的图像受制约的条件,进而求)(xf的解析式.函数的定义域一.根据给出函数的解析式求定义域：⑴整式:x R∈⑵分式:分母不等于0⑶偶次根式:被开方数大于或等于0⑷含0次幂、负指数幂:底数不等于0⑸对数:底数大于0，且不等于１,真数大于0 二．根据对应法则的意义求函数的定义域:例如:已知()y f x=定义域为]5,2[,求(32)y f x=+定义域;已知(32)y f x=+定义域为]5,2[,求()y f x=定义域；三.实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域.函数的值域一.二.求函数值域(最值）的常用方法:函数的值域决定于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征,常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．反函数一.反函数:设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出,得到()x y ϕ=.若对于C 中的每一y 值,通过()x y ϕ=，都有唯一的一个x 与之对应,那么,()x y ϕ=就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.二.函数()f x 存在反函数的条件是：x 、y 一一对应． 三.求函数()f x 的反函数的方法:⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域⑵ 反解，用y 表示x ，得1()x f y -= ⑶ 交换x 、y ，得1()y f x -= ⑷ 结论，表明定义域四.函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的关系: ⑴ 函数()y f x =与1()y f x -=的定义域与值域互换． ⑵ 若()y f x =图像上存在点(,)a b ,则1()y f x -=的图像上必有点(,)b a ，即若()f a b =,则1()f b a -=．⑶ 函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称. 函数的奇偶性：一．定义：对于函数()f x 定义域中的任意一个x ，如果满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为奇函数;如果满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为偶函数. 二.判断函数()f x 奇偶性的步骤：1.判断函数()f x 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2.验证()f x 与()f x -的关系，若满足()()f x f x -=-，则为奇函数,若满足()()f x f x -=,则为偶函数,否则既不是奇函数，也不是偶函数.二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. 三.已知()f x 、()g x 分别是定义在区间M 、N ()M N ≠∅上的奇（偶)函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．五.若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =．六.一次函数y kx b =+(0)k ≠是奇函数的充要条件是0b =;二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠是偶函数的充要条件是0b =． 函数的周期性:一．定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=,则)(x f 为周期函数,T 为这个函数的一个周期.2．如果函数)(x f 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.如果函数()f x 的最小正周期为T ，则函数()f ax 的最小正周期为||Ta ．函数的单调性一．定义:一般的,对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1x ，2x,当12x x <时满足：⑴ 12()()f x f x <,则称函数()f x 在该区间上是增函数; ⑵12()()f x f x >,则称函数()f x 在该区间上是减函数.二.判断函数单调性的常用方法: 1.定义法:⑴ 取值; ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断: ⑷ 定论： *2．导数法:⑴ 求函数f(x ）的导数'()f x ；⑵ 解不等式'()0f x >,所得x 的范围就是递增区间; ⑶ 解不等式'()0f x <，所得x 的范围就是递减区间． ３.复合函数的单调性:对于复合函数[()]y f g x =,设()u g x =,则()y f u =,可根据它们的单调性确定复合函数[()]y f g x =,具体判断如下表：4．奇函数在对称区间上的单调性相反;偶函数在对称区间上的单调性相同.函数的图像一.基本函数的图像．二．图像变换：三.函数图像自身的对称四．两个函数图像的对称。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系复习专练(人教A版,含解析)(96)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合A ＝40,?1x xx Z x ⎧⎫-<∈⎨⎬-⎩⎭，B ＝m ，2，8}，若A B ＝B ，则m ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．5答案：C解析：先求出集合A, 由A B ＝B ，即A B ⊆，即可求出参数m 的值.详解： 由401x x -<-，得14x << 所以集合A ＝{}40,2,31x x x Z x ⎧⎫-<∈=⎨⎬-⎩⎭由A B ＝B ，即A B ⊆，又B ＝m ，2，8}，所以3m =故选：C点睛：本题考查分式不等式的求解，根据集合间的关系求参数的值，属于基础题.2．已知集合A =x x 是三角形}，B =x x 是等腰三角形}，C =x x 是等腰直角三角形}，D x x 是等边三角形}，则A ．AB ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆D ．A D ⊆答案：B解析：根据各集合中三角形的特征可判断它们之间的相互关系.详解：∵等腰直角三角形必为等腰三角形，∴C B ⊆.故选B.点睛：本题考查集合间的包含关系，弄清楚集合中元素的属性是关键，此类问题是基础题.3．集合{}52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,P x x n n Z ==+∈，{}103,Z S x x m m ==+∈之间的关系是A ．S P MB ．S P MC ．S P MD ．P M S答案：C 解析：先算出集合S ，用列举法表示各集合后可得各集合之间的关系.详解：∵{|52,},{|53,}Mx x k k P x x n n Z Z ，{|103,}S x x m m Z ，∴{,7,2,3,8,13,18,}M，{,7,2,3,8,13,18,}P ， {,7,3,13,23,}S ，故S P M ， 故选C.点睛：集合的表示方法有列举法和描述法，当用描述法表示的集合时，如果集合中的元素不太明晰，可用列举法表示集合，从而明确集合中的元素.4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-2答案：A解析：由题意可知集合{}1,2B =，解出集合B 即可求出a 的值.详解：因为A B =，所以集合B 为双元素集，即()(){}{}{}|10,1,1,2B x x x a a R a =--=∈==所以2a =.故选：A.5．集合{|1}P x y x ==-，集合{|1}Q y y x ==-，则P 与Q 的关系是A ．P ＝QB ．P QC ．P QD ．P∩Q＝Æ 答案：C详解：试题分析：∵，{}{}|1|0Q y y x y y ==-=≥，所以P Q . 考点：集合之间的基本关系与运算.6．已知集合{}21P x x =≤，{}M a =，若P M M =，则实数a 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)1,∞D ．(][),11,-∞-⋃∞详解：分析：化简集合，由P M M ⋂=，可得M P ⊆，由此列不等式求得实数a 的取值范围. 详解：集合{}{}[]2|10|111,1P x x x x =-≤=-≤≤=-，{},M a =P M M ⋂=，[],1,1M P a ∴⊆∴∈-，故选B.点睛：本题主要考查集合中参数的取值范围问题，两个集合的交集的定义，判断M P ⊆是解题的关键，属于简单题.7．下列各式:①{}{}a a ⊆②∅ 0③{}00⊆④{1,3} {3,4}，其中正确的有（ ）A ．②B ．①②C ．①②③D ．①③④答案：B解析：根据集合间的包含关系求解即可.详解：任何集合是它本身的子集，则①正确；空集是任何非空集合的真子集，则②正确； 0表示元素，应为{}00∈，则③错误； 1{}3,4∉，∴{}1,3不是{}3,4的真子集，∴④错误；∴正确的为①②.故选：B点睛：本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题.8．已知{}24410M x x x =-+=，{}1P x ax ==，若P M ⊆，则a 的取值集合为（ ）A ．{}2B ．{}0C ．{}0,4D ．{}0,2答案：D解析：先求解集合,M N ，再根据集合之间的关系，确定参数的值.详解：因为24410x x -+=，解得12x =，故集合12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.当0a =时，1ax =没有实数根，故P =∅，满足P M ⊆；当0a ≠时，1ax =，解得1x a =，故集合1P a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若满足P M ⊆，则112a =，解得2a =.综上所述，{}0,2a ∈.点睛：本题考查由集合之间的关系，求参数值的问题，属基础题.9．已知集合{0}M x Rx =∈∣，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是（ ） A ．{0,1}B ．{}21x x =∣C ．{}20x x >∣D ．R答案：A解析：根据集合间的包含关系进行判断即可.详解：因为N M ⊆，所以集合N 是集合M 的子集对A 项，{0,1}{0}x Rx ⊆∈∣，故A 正确； 对B 项，{}21{1,1}N xx ===-∣，由于1{0}x R x -∉∈∣，则{}21x x =∣不是{0}x R x ∈∣的子集，故B 错误；对C 项，由于{}210,1{0}xx x R x -∈>-∉∈∣∣，则{}20x x >∣不是{0}x R x ∈∣的子集，故C 错误； 对D 项，由于1,1{0}R x Rx -∈-∉∈∣，则R 不是{0}x R x ∈∣的子集，故D 错误； 故选：A点睛：本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础题.10．{}1,2,3,4,5A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的非空子集的个数为（ ）A ．10B ．9C ．1024D ．1023答案：D解析：利用列举法表示集合B ，确定集合B 的元素个数，然后利用非空子集个数公式可得出集合B 的非空子集个数.详解：由题意可得()()()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,3,2,4,2,5,2,4,3,5,3,5,4B =，集合B 中共10个元素，因此，集合B 的非空子集的个数为10211023-=.故选D.点睛：本题考查集合非空子集个数的计算，解题的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.二、填空题1．已知集合11{012}33,,,,A =-，集合A 的所有非空子集依次记为：1231,,,A A A ，设1231,,,m m m 分別是上述每一个子集内所有元素的乘积，(如果A 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么1231m m m +++=_________．答案：133 解析：根据集合A 的子集的元素中是否含0分类，再写出所有不含0元素的子集的元素积，然后计算求解．详解：i A 中，含有元素0的集合中所有元素的积等于0，不含有元素0的非空子集有15个， 123111111111()12()()1()2121233333333m m m +++=-++++-⋅+-⋅+-⋅+⋅+⋅+⋅ 1111111113()1()2()1212()12333333333+-⋅⋅+-⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅+-⋅⋅⋅= 故答案是：1332．设集合{}3|7M x x -=≤<，{}|20N x x k =+≤，若MN ≠∅，则k 的取值范围是________．答案：{}6|k k ≤解析：求出集合N 中x 的取值范围，根据MN ≠∅，即可求出k 的取值范围 详解：因为{}||202k N x x k x x ⎧⎫=+≤=≤-⎨⎬⎩⎭，且MN ≠∅，所以362k k -≥-⇒≤．所以k 的取值范围是{}6|k k ≤故答案为：{}6|k k ≤ 3．集合A ，B 的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B 时，（A ，B ）与（B ，A ）视为不同的对，则这样的（A ，B ）对的个数有__________.答案：8解析：根据条件列举，即得结果.详解：由题意得满足题意的（A ，B ）为：A=φ，B ＝｛1，2｝；A=｛1｝，B ＝｛2｝；A=｛1｝，B ＝｛1，2｝；A=｛2｝，B ＝｛1｝；A=｛2｝，B ＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B ＝φ；A=｛1，2｝，B ＝｛1｝；A=｛1，2｝，B ＝｛2｝；共8个.点睛：本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.4．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成a 2，a+b ，0}，则a 2013+b 2014＝_____.答案：﹣1解析：根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 详解： 因为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=a 2，a+b ，0}， 显然0a ≠，故0b a=，则0b =；此时两集合分别是{}{}2,1,0,,,0a a a ， 则21a =，解得1a =或1-.当1a =时，不满足互异性，故舍去；当1a =-时，满足题意.故答案为：1-.点睛：本题考查利用集合相等求参数值，属简单题，注意本题的细节讨论.5．用适当的符号填空：∅ _____ 0； 0 _____ ∅； ∅______ {}∅； 0______{}∅答案：∉ ∈或 ≠ 解析：根据集合与集合关系、元素与集合关系直接判断填空. 详解：∅0； 0 ∉∅； ∅{}∈∅或∅{}∅； 0{}∅故答案为：，∉，∈或，≠点睛： 本题考查判断集合与集合关系、元素与集合关系，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题1．设{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，试求集合C ，使得C A ，且B C ⊆．答案：{1,2}C =，或{1,2,3}，或{1,2,4}．解析：突破口在于理解C A ，且B C ⊆．由B C ⊆，可得C 中至少有元素1,2，再由C A 即可得解.详解：解：∵{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，B C ⊆，∴C 中至少有元素1,2．又∵C A ，∴{1,2}C =，或{1,2,3}，或{1,2,4}．点睛：本题主要考查子集、真子集的概念及运算，本题解题的关键是看清题目中出现的三个集合之间的关系，属于基础题．2．设集合{}1,2,A a =，{}21,B a a =-，若B A ⊆，求实数a 的值．答案：1-或0解析：依题意22a a -=或a ，再分类讨论得解.详解：依题意22a a -=或a ，当22a a -=时，解得1a =-或2；当2a a a -=时，解得0a =或2，当2a =时，集合A 与集合元素的互异性相矛盾，所以舍去.1a ∴=-或0．点睛：本题主要考查根据集合的关系求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知集合，，且，求实数的范围答案：解析：集合B 的真子集有,,,按照,,分三种情况分类讨论. 详解： 因为且的真子集有,,, 所以,,, 当时,无实根,所以,解得;当时, 有两个相等的实根1, 所以且,解得; 当时, 有两个相等的实根4, 所以,此方程组无解.综上所述: 实数的范围是.点睛：本题考查了集合之间的关系,分类讨论思想,着重考查了分类讨论思想,分类讨论时,要做到不重不漏,本题容易遗漏空集情况,属于中档题.4．已知集合,集合. （1）若,求实数的取值范围; （2）是否存在实数,使?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.答案：见解析解析：（1）因为,所以集合可以分为或两种情况来讨论： 当时,； 当时,得.综上,实数的取值范围是.（2）若存在实数,使,则必有,无解. 故不存在实数,使. 5．已知集合{}13A x x =＜＜，集合{}21B x m x m =-＜＜.（1）若1m =-，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（1）{}|12x x <<（2）(,2]-∞-解析：试题分析：（1）利用数轴求两个集合的交集；（2）由A B⊆知21,13,mm≤⎧⎨-≥⎩从而得到实数m的取值范围.试题解析：（1）A B＝；（2）由A B⊆知21,13,mm≤⎧⎨-≥⎩，解得2m≤-，即实数m的取值范围为(],2-∞-.。
2019新人教A版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结(复习必背)【可编辑全文】
2019新人教版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结（复习必背）第一章空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++（3）数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>ACAB λ=<=>OB y OA x OC +=（其中x +y =1）（4）与a 共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数x ，y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
高一年级数学必修一知识点复习
高一年级数学必修一知识点复习【导语】高一新生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考核的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。
作者为各位同学整理了《高一年级数学必修一知识点复习》，期望对您的学习有所帮助！1.高一年级数学必修一知识点复习1.多面体的结构特点(1)棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。
正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形。
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是类似多边形。
2.旋转体的结构特点(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。
(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到。
3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括重视图、侧视图、俯视图。
三视图的长度特点：“长对正，宽相等，高平齐”，即重视图和侧视图一样高，重视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界限，在三视图中，要注意实、虚线的画法。
4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取相互垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为本来的一半。
高中数学必修一第一章复习参考题及解答
高中数学必修一第一章复习参考题及解答（人教A 版）A 组1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线； （2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值. 解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，AC ，()()A B B C .解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域： （1）25y x x =-⋅+；（2）4||5x y x -=-.解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-. 证明：（1）因为221()1x f x x+=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---， 即()()f x f x -=； （2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x =-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？ 解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==， 即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，}{3,1)(=B A C U ，}{4,2)(=B C A U ，求集合B . 解：由}{3,1)(=B A C U ，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，又}{4,2)(=B C A U ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤.6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数． 7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为303元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？ 解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⨯-+≤<⨯-+≤<⨯-≤≤=)125008000(%,20)8000(345)80005000(%,10)5000(45)50003500(%,3)3500()35000(,0x x x x x x x y由该人一月份应交纳此项税款为303元，得80005000≤<x ， 303%10)5000(45=⨯-+x ，得7580=x ，全月应纳税所得额税率00()不超过1500元的部分 5 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分 20所以该人当月的工资、薪金所得是7580元．。
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第一章集合与函数概念知识架构第一讲 集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言 符号语言属于 ∈不属于∉4.常见集合的符号表示数集 自然数集正整数集整数集有理数集实数集 复数集符号N *N 或+NZQR C表示关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同B A ⊆且A ⊆B ⇔ B A =子集 A 中任意一元素均为B 中的元素B A ⊆或A B ⊇真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ⊆φ，φB （φ≠B ）三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: AB ={}x x A x B ∈∈或;③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且交 并 补{|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或U C A ={}x x U x A ∈∉且★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M xN y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+yx ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解] C ； 显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
题型2：集合间的基本关系[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）A ．X Y ；B ．Y X ；C ．Y X =；D ．Y X ≠[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。
[新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）A ．B A ⊆ B.C B ⊆ C.C B A = D. A C B = [解析]D ；因为全集为A ，而C B =全集=A2．(2006•山东改编）定义集合运算:{}B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 22,设集合{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为[解析]18，根据B ⊗A 的定义，得到{}12,6,0A =⊗B ，故B ⊗A 的所有元素之和为18 3．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于[解析] {}31<<x x ；因为{})3,0(1log 3=<=x x P ，{})1,1(1-=<=x x Q ，所以)3,1(=-Q P4．研究集合{}42-==x y x A ，{}42-==x y y B ，{}4),(2-==x y y x C 之间的关系 [解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而BA ；因为{}42-==x y x A 表示42-=x y 的定义域，故R A =；{}42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域，),4[+∞-=B ；{}4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，BA ，而A与C ，B 与C 都无包含关系 考点二：集合的基本运算[例3] 设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B （1） 若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ，[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。
[解析]因为{}{}2,10232==+-=x x x A ，（1）由{}2=B A 知，B ∈2，从而得0)5()1(4222=-+++a a ，即0342=++a a ，解得1-=a 或3-=a当1-=a 时，{}⎣⎦2,2042-==-=x x B ，满足条件； 当3-=a 时，{}{}20442==+-=x x x B ，满足条件所以1-=a 或3-=a（2）对于集合B ，由)3(8)5(4)1(422+=--+=∆a a a 因为A B A = ，所以A B ⊆①当0<∆，即3-<a 时，φ=B ，满足条件； ②当0=∆，即3-=a 时，{}2=B ，满足条件；③当0>∆，即3->a 时，{}2,1==A B 才能满足条件， 由根与系数的关系得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=⨯+-=+725521)1(22122a a a a ，矛盾 故实数a 的取值范围是3-≤a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。
同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练]6．若集合{}R x y y S x∈==,3，{}R x x y y T ∈-==,12，则T S 是（ ）A. S ；B. T ；C.φ；D. 有限集[解析] A ；由题意知，集合{}R x y y S x∈==,3表示函数R x y x∈=,3的值域，故集合),0(+∞=S ；{}R x x y y T ∈-==,12表示函数R x x y ∈-=,12的值域，),1[+∞-=T ，故S T S =7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ，{}4),(=-=y x y x N ，那么集合N M 为（ ）A.1,3-==y x ；B.)1,3(-；C.{}1,3-；D.{})1,3(-[解析]D ；N M 表示直线2=+y x 与直线4=-y x 的交点组成的集合，A 、B 、C 均不合题意。
8．集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值.[解析] 10,1,2；先化简B 得, {}1,2B =.由于A B B =A B ⇔⊆,故1A ∈或2A ∈. 因此10a -=或210a -=,解得1a =或12a =.容易漏掉的一种情况是: ∅=A 的情形,此时0a =.故所求实数a 的值为10,1,2.备选例题1：已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则N M 中的元素个数是（ ）A. 0；B. 1；C.2；D.无穷多个[解析]选A;集合M 表示函数1+=x y 的值域,是数集,并且R M =,而集合N 表示满足122=+y x 的有序实数对的集合,即表示圆122=+y x 上的点,是点集。
所以，集合M 与集合N 中的元素均不相同，因而φ=N M ，故其中元素的个数为0[误区分析]在解答过程中易出现直线1+=x y 与圆122=+y x 有两个交点误选C ；或者误认为1+=x y 中R y ∈，而122=+y x 中11≤≤-y ，从而]1,1[-=N M 有无穷多个解而选D 。
注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。
备选例题2：已知集合A 和集合B 各有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：(Ⅰ)C B A ，且C 中含有3个元素； (Ⅱ)φ≠A C （φ表示空集） [解法一]因为A 、B 各有12个元素，B A 含有4个元素， 因此，B A 的元素个数是2041212=-+ 故满足条件(Ⅰ)的集合C 的个数是320C上面集合中，还满足φ=A C 的集合C 的个数是38C因此，所求集合C 的个数是108438320=-C C[解法二]由题目条件可知，属于B 而不属于A 的元素个数是8412=-因此，在B A 中只含有A 中1个元素的所要求的集合C 的个数为28112C C 含有A 中2个元素的所要求的集合C 的个数为18212C C 含有A 中3个元素的所要求的集合C 的个数为312C所以，所求集合C 的个数是10843121821228112=++C C C C C★抢分频道基础巩固训练：1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A ．{}0x x >；B ．{}30x x -<<；C ．{}31x x -<<-；D ．{}1x x <- [解析]C ；图中阴影部分表示的集合是B A ，而{}03<<-=x x A ，故{}13-<<-=x x B A2. （韶关09届高三摸底考）已知{}{}2(1)0,log 0A x x x B x x =->=< 则A B =A ．(0,1)；B ．(0,2)；C ．)0,(-∞；D ．)(,0)(0,-∞+∞[解析] A ；因为{}10<<=x x A ，{}10<<=x x B ，所以{}10<<=x x B A 3. （苏州09届高三调研考）集合{1,0,1}-的所有子集个数为[解析]8；集合{1,0,1}-的所有子集个数为823=4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A 中的代表元素设为x ，集合B 中的代表元素设为y ，若B x ∈∃且A y ∈∀，则A 与B 的关系是U BA[解析]A B ⊆ 或A B ⋂≠∅；由子集和交集的定义即可得到结论5．(2008年天津)设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是（ ）A ．13-<<-a ；B ．13-≤≤-aC ．3-≤a 或1-≥a ；D ．3-<a 或1->a[解析]A ；{}{}5132|>-<=>-=x x x x x S 或，{}8|+<<=a x a x T ，R T S = 所以⎩⎨⎧>+-<581a a ，从而得13-<<-a综合提高训练：6．{}01<<-=m m P ,{}恒成立对于任意实数x mx mx R m Q 0442<-+∈= 则下列关系中立的是( ) A ．PQ ; B ．Q P ;C ．Q P =;D ．φ=Q P[解析]A ；当0≠m 时，有⎩⎨⎧<-⨯⨯-=∆<0)4(4)4(02m m m ，即{}01<<-∈=m R m Q ；当0=m 时，0442<-+mx mx 也恒成立，故 {}01≤<-∈=m R m Q ，所以P Q7.设)(12)(N n n n f ∈+=，{}5,4,3,2,1=P ，{}7,6,5,4,3=Q ，记 {}P n f N n P ∈∈=)(ˆ，{}Q n f N n Q ∈∈=*)(ˆ，则)ˆˆ()ˆˆ(P C Q Q C P N N ＝( )A. {}3,0;B.{}2,1; C. {}5,4,3; D. {}7,6,2,1 [解析] A ；依题意得{}2,1,0ˆ=P ，{}3,2,1ˆ=Q ，所以{}0)ˆˆ(=Q C P N ， {}3)ˆˆ(=P C Q N ，故应选A 8．（09届惠州第一次调研考）设A 、B 是非空集合，定义{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，已知A=2{|2}x y x x =-，B={|2,0}x y y x =>，则A ×B 等于（ ） A ．[)0,+∞；B ．[][)0,12,+∞；C ．[)[)0,12,+∞；D ．[]0,1(2,)+∞[解析]D ；22002x x x -≥⇒≤≤，∴A=[0，2]，021xx >⇒>，∴B=（1，＋∞），∴A ∪B=[0, ＋∞），A ∩B=（1，2]，则A ×B ＝[]0,1(2,)+∞第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。