高一数学必修一《零点》专题复习
人教版高一数学必修一函数零点及二分法
新高一数学函数零点及二分法一、耕地播种1、回顾：一元二次方程x2-2x+3=0与二次函数y=x2-2x+3=0之间的关系。
总结L1：下列函数的图象中没有零点的是（）3、零点的判定（零点存在性定理）：. L2：判断下列函数在给定的区间上是否存在零点：(1)f(x)=(x+2)(x-1),x ∈[-1,2]; (2)f(x)=x 2-x+2, x ∈R; (3)f(x)=(x-2)2, x ∈[-1,5].L3:函数f(x)=lnx-x2的零点所在的大致区间是（ ）A 、（1，2）B 、（2，3）C 、（3，4）D 、（e ，3） 4、二分法求方程的近似解(1)蓦然回首判断方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0，a 、b 、c 为常数）一个解x 的范围是（ ）A 、3<x<3.23B 、3.23<x<3.24C 、3.24<x<3.25D 、3.25<x<3.26 (2)二分法：对于在区间[a ，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。
(3)二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：注意L1：若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确度0.1）为 . L2：用二分法求函数f(x)=x 3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点（精确到0.01）. L3：求方程x 2=2x+1的一个近似解（精确度0.1）.二、收获硕果1、下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的图号是（ ）2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：函数f(x)在哪几个区间内有零点？为什么？3、用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间（-1，0）内的近似解（精确度0.1）.4、求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（精确度0.1）.5、利用二分法，求函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间[1，2]内的零点的近似值（精确度0.1）.。
高中一年级数学函数零点
高中一年级数学函数零点1、一次函数的零点一次函数的零点即为函数的根，也可以称之为x的零点，可以直接由函数的一次单调性性质判断。
函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增时，可以推断出其在[a,b]上无根；函数f(x)在区间[a,b]上单调递减时，可以推断出其在[a,b]上无根；此时若f(a)、f(b)有符号相反，表示在[a,b]区间有一个零点，即根。
2、二次函数的零点二次函数y=f(x)，其零点可以直接由函数的二次单调性性质解决。
函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增时，可推断出其在该区间内有两个零点。
若f(a)、f(b)均为正数即表示区间[a,b]内无根；若f(a)和f(b)均为负数即表示区间[a,b]内有两个零点；若f(a)和f(b)有符号相反，表示区间[a,b]内有一个零点。
3、多项式的零点多项式的零点可以用牛顿法和求根公式求解，如牛顿法：牛顿法是基于牛顿迭代公式的一种求根法，只要给定初值和函数值连续可导，能利用牛顿法求解方程的根，多项式的零点就是多项式的根的求解。
如果一个多项式的次数未知，则可采用数值求根方法，如牛顿法，。
4、一元二次不等式的零点一元二次不等式的零点可由不等式的根的求解来求得。
一元二次不等式的零点可以分为以下三种情况：1）当不等式转化为一元二次函数后，没有实数根；2）当不等式转化为一元二次函数后，只有一个实数根；3）当不等式转化为一元二次函数后，有两个实数根。
5、三次函数的零点三次函数y=f(x)的零点可以由三次单调性来求得。
函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增或者递减时，可以判断出函数在[a,b]上无根；函数y=f(x)在区间[a,b]上单调性改变一次时，可以判断出函数在[a,b]上有一个根；函数y=f(x)在区间[a,b]上单调性改变两次时，可以判断出函数在[a,b]上有两个根。
6、可导函数的零点可导函数的零点可由可导性的性质求得。
可导函数的零点可以这样想：在一个函数上，它的任一点，当其处于可导区域，即点斜率存在且连续时，可知此点应该是函数的驻点，即此点处函数图像的斜率均为0，便可以确定此点为函数的零点。
高一函数零点题型归纳
高一函数零点题型归纳函数零点是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的值、图像、单调性等多个方面。
以下是高一函数零点的一些常见题型及其解题方法：一、判断零点个数例题：函数f(x) = x^{2} - 2xf(x)=x2−2x在区间( - 3,3)(−3,3)内的零点个数为( )A.0 B.11 C.22 D.33解析：首先确定函数的对称轴为x = 1x=1，然后判断函数的开口方向为向上。
接下来，根据对称轴和区间端点的距离，可以确定函数在区间内的零点个数。
二、求函数的零点例题：函数f(x) = \log_{2}(x - 3)f(x)=log2(x−3)的零点是( )A.22 B.33 C.44 D.55解析：对数函数的零点即为使对数内部表达式等于1的x值。
因此，令x - 3 = 1x−3=1，解得x = 4x=4。
三、判断零点所在区间例题：函数f(x) = x^{3} - x^{2} - xf(x)=x3−x2−x在区间( - 1,2)(−1,2)内的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)(0,1) B.(1,2)(1,2) C.( - 1,0)(−1,0) D.(0,2)(0,2)解析：先确定函数在给定区间端点的函数值，然后判断其正负性。
如果端点函数值异号，则该区间内必存在零点。
四、应用题中的零点问题例题：某商品的成本价为每件30元，售价不超过50元时，售价y(元)与售价的整数部分x 满足关系式：y = x + 20y=x+20，当成本价与售价相等时，每月最多可售出该商品____件。
解析：根据题意，当成本价与售价相等时，即30 = x + 2030=x+20，解得x = 10x=10。
由于售价的整数部分为10，则售价为30元。
再根据一次函数的性质，当斜率大于0时，函数单调递增，因此每月最多可售出该商品33件。
五、判断函数是否为同一函数（根据零点个数）例题：下列四个函数中与函数f(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1表示同一函数的是( )A.y = \frac{x^{2}}{x}y=xx2B.y = \frac{1}{\sqrt{x}}y=x1C.y = \frac{1}{\log_{a}x}y=logax1D.y = \frac{e^{x}}{x}y=xex解析：根据函数的三要素（定义域、值域、对应关系），分别判断各选项是否与给定函数定义域相同、值域相同以及对应关系相同。
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7.已知x0是函数f(x)=2x+1的一个零点，若x1∈(1,x)，x2∈(x,+∞)，则f(x1)f(x2)_______0.（填9．已知函数f(x)=⎨，若方程f(x)=x+a有且只有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）1A．函数f(x)在区间(0,)内有零点B．函数f(x)在区间1,8上无零点DB．⎛-∞,15⎫C．⎛15,+∞⎫⎪D． ,2⎪⎝2⎭⎝14⎭⎝14⎭学习必备欢迎下载高一数学必修一《零点》专题复习1、方程2x+x-6=0的实数解的个数有_______个.2.函数f(x)=ln x-2x的零点所在的大致区间是（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(e,+?)3.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下部分对应值表：x123456f(x)136.13515.552－3.9210.88－52.488－232.064可以看出函数至少有个零点.6.设方程2-x=lg x的两个根为x,x，则（）12A.x x<0B.x x=1C.x x>1D.0<x x<1121212121-x“>”，“=”或“<”）.8、若方程log x+x=3的解所在的区间是(k,k+1),则整数k=3⎧2-x-1(x≤0)⎩f(x-1)(x>0)A．(-∞,0]B．[0,1]C．(-∞,1)D．[1,+∞)10、若函数y=f(x)在定义域内单调，且用二分法探究知道f(x)在定义域内的零点同时在(0,8),(0,4)，(0,2),(0,1)内，那么下列命题中正确的是（）[)211C．函数f(x)在区间(0,)或(,1)内有零点．函数f(x)可能在区间(0,1)上有多个零点2211．关于x的方程2x+x=7的解所在的区间是（）A.（0，1）B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.R若一元二次方程3x2-5x+a=0的一根大于-2且小于0，另一根大于1而小于3，则实数a取值范围（）A．(-12,0)⎪⎛1⎫学习必备欢迎下载13．若关于x的方程5x=a+3有根，则实数a的取值范围是．114.若关于x的方程x2-ax+1=0在x∈(,3)上有实数根，则实数a的取值范围是215、函数f(x)=ln|x-1|-x+3的零点个数为16.已知函数f(x)=(a+1)x2+4ax-3.当a>0时，若方程f(x)=0有一根大于1，一根小于1，则a的取值范围是；17.二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)，满足f(x+1)为偶函数，且方程f(x)=x有相等实根。
高一数学必修一零点专题复习
高一数学必修一?零点?专题复习1、方程062=-+x x 的实数解的个数有_______个.2. 函数2ln f x x x 的零点所在的大致区间是 〔 〕A.1,2B.2,3C. 3,4D.,e 3.定义在R 上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下局部对应值表： x1 2 3 4 5 6 f(x)可以看出函数至少有 个零点.6.设方程 x x lg 2=-的两个根为21,x x ，那么 〔 〕A. 021<x x B .121=x x C .121>x x D. 1021<<x xx 0是函数1()21x f x x=+-的一个零点，假设10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，那么12()()f x f x _______0.〔填“>〞，“=〞或“<〞〕.8、假设方程3log 3=+x x 的解所在的区间是(), 1k k +,那么整数k =9．函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，假设方程()f x x a =+有且只有两个不等实根，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．(,1)-∞D ．[1,)+∞10、假设函数()y f x =在定义域内单调，且用二分法探究知道()f x 在定义域内的零点同时在(0,8),(0,4)，(0,2),(0,1)内，那么以下命题中正确的选项是〔 〕A ．函数()f x 在区间1(0,)2内有零点 B ．函数()f x 在区间[)1,8上无零点C ．函数()f x 在区间1(0,)2或1(,1)2内有零点 D ．函数()f x 可能在区间(0,1)上有多个零点 11．关于x 的方程27+=x x 的解所在的区间是〔 〕 A.0（，1）B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4) 12. R 假设一元二次方程2350x x a -+=的一根大于2-且小于0，另一根大于1而小于3，那么实数a 取值范围 〔 〕A ．()12,0-B ．15,14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．15,14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13．假设关于x 的方程35+=a x 有根，那么实数a 的取值范围是 ．14. 假设关于x 的方程210x ax -+=在1(,3)2x ∈上有实数根，那么实数a 的取值范围是15、函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为16.函数2()(1)43f x a x ax =++-.当0a >时，假设方程()0f x =有一根大于1，一根小于1，那么a 的取值范围是 ；17.二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠，满足(1)f x +为偶函数，且方程()f x x =有相等实根。
高中数学必修一函数零点知识点总结
高中数学必修一函数零点知识点总结函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，也就是函数使得y=0的x值。
函数零点是函数的重要特征之一，对于数学问题的解决有着重要的意义。
本文将会对于高中数学必修一中的函数零点知识点进行总结和归纳，目的是帮助大家更好的理解和掌握这一知识点。
一、函数零点的基本概念在高中数学必修一中，我们首先需要了解函数和零点的基本概念。
1.函数函数是一种映射关系，通常用f(x)表示。
f(x)代表的是自变量x 经过一个映射后得到的因变量y。
2.零点零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即函数使得y=0的x 值。
二、函数零点的求解方法了解了基本的概念后，下一步就是了解函数零点的求解方法。
通常用以下几种方法进行求解：1.图像法用函数的图像上的交点来确定零点的大致位置。
这是一种较为直观的方法，但是可能存在误差。
2.代数法代数法是计算函数表达式的零点。
对于一次函数，可以通过解一元一次方程的方法求解零点；对于高次函数，可以使用因式分解再使用一元高次方程求解零点。
3.牛顿迭代法牛顿迭代法是利用导数求得函数的切线，再求得切线与x轴的交点，作为函数零点的估算值，通过反复迭代不断无限接近真实的零点。
三、函数零点的意义函数零点的意义不仅仅是代表交点的横坐标，而且它还有许多重要的实际意义。
1.解方程函数零点可以帮助我们解出方程，对于很多实际问题，都可以通过建立函数模型，然后求出函数的零点来解决问题。
2.最优解函数的零点常常代表着一些最优解。
例如，在一段时间内销售收入为0的时间点可能是关键节点，需要重点关注。
3.寻找某些性质在研究函数性质的过程中，函数的零点也具有重要的作用。
比如，函数在零点处是否有极大值或者极小值等。
四、函数零点的应用函数零点在实际应用中也有着广泛的应用。
1.物理学应用物理学中的许多问题都可以通过建立函数模型求解。
例如，简谐运动的周期、波浪的速度等等，都需要求解函数的零点。
2.经济学应用函数零点可以帮助我们优化经济模型，例如，一些变量的收益和成本之间的平衡点可以通过函数零点来寻找。
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第三章 第一节 函数与方程一、函数的零点1、实例：填表函数 f(x)图像 与 x 轴交点 零点 方程 f(x)=0 方程的根f(x)=2x-1f(x)=x 2-4x+5 f(x)= x2-4x+4 f(x)= x2-5x+62、函数零点的定义： ____________________________ 叫做函数的零点 （注意： ________________________ ）题型一 求函数的零点1．y ＝x －2 的图象与 x 轴的交点坐标及其零点分别是 ()A ．2；2B ．(2,0)； 2C ．－ 2；－ 2D ．(－ 2,0)；－ 2．函数f(x) ＝x 2＋4x ＋ a 没有零点，则实数 a 的取值范围是 () 2A ．a<4B ． a>4C ．a ≤4D ． a ≥4 3．函数 f(x)2＋2ax ＋ c(a ≠ 0)的一个零点是－ 3，则它的另一个零点是 ()＝axA ．－ 1B ．1C ．－ 2D ．24．函数f(x) ＝x 2－ ax －b 的两个零点是 2 和 3，求函数 g(x)＝bx 2－ ax －1 的零点．5、求以下函数的零点（1） f ( x) 27 x1（ 2） f ( x) 2 log 3 ( x 1)9二、零点定理1、方程的根与函数零点的关系： 方程 f(x)=0 的根 函数 f(x) 的零点函数与 x 轴交点的横坐标2、零点定理：如 果 函 数 y f ( x) 在 区 间 [ a, b] 上 的 图 象 是 连 续 不 间 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有f (a) f (b) 0 那么函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有零点，即存在c (a,b) ，使得f ( c) 0 ，这个 c也就是方程 f ( x) 0 的实数根。
问题 1：去掉“连续不停”能够吗？问题 2 ：假如函数yf (x) 在区间 [ a,b] 上的图象是连续不中断的一条曲线，而且有f (a) f (b) 0那么函数 yf ( x) 在区间 (a, b) 内有一个零点，对不对？问题 3 ：假如函数y f (x) 在区间 [ a,b] 上的图象是连续不中断的一条曲线，而且有f (a) f (b)0那么函数 yf (x) 在区间 ( a,b) 上无零点，对不对？题型二、判断区间内有无零点1．函数 y ＝ f(x)在区间 (－ 2,2)上的图象是连续的， 且方程 f(x) ＝0 在 (－ 2,2)上仅有一个实根 0， 则 f(－ 1)· f(1)的值 () A ．大于 0B ．小于 0C ．等于 0D ．没法确立2． 函数 f ( x) ln x2）的零点所在的大概区间是（xA ．（ 1， 2）B ．（ 2， 3）C ． (1,1) 和（ 3， 4）D ． (e,)e3．设函数 f(x)=2 x-x 2-2x ，则在以下区间中 不存在 零点的是（）．．．A. （ -3 ， 0）B.（ 0， 3）C. （ 3， 6）D.（ 6， 9）4、方程 2 x 1 x 5 在以下哪个区间内必定有根？（ ）A 、（ 0， 1）B 、（ 1， 2）C 、（ 2， 3）D 、（ 3， 4）5、依据表格中的数据，能够判断方程e xx 2 0 的一个根所在的区间为 ()x10 12 3e x1x2 123 45A ． ( 1,0)B ． (0,1)C ． (1,2)D ． (2,3)三、判断零点的个数方法①：转变为判断方程f(x)=0 的根的个数，解方程1例：函数 f(x)=xx的零点有 ______个方法②：从图像判断零点个数例 1：已知函数 f(x) 为 R 上奇函数，且在（0， +）上有 1003 个零点，则 f(x) 在 R 上的零点的总个数为 ______3 ,x 3例 2：已知函数 f ( x)xlog 3 x,0x 3（1）方程 f(x)=0 有几个根？（2）方程 f(x)=1 有几个根？（3）方程 f(x)=k 有几个根？（4）方程 f(x)=-x 有几个跟？总结：怎样利用图像判断 f(x)=g(x) 有几个根？题型三 判断零点个数（方程根的个数）1、函数 f （x ）x 2 2x 3, x 0的零点有 _______个lnx x 0x 3,( x 1)e x的零点个数为（2、 f ( x)2x 3,( x, 则函数 g( x) f ( x)）x 2 1)A ． 1B ． 2C ．3D ． 43、方程 lnx+2x-6=0 有几个根？334、若函数 f ( x), x，若方程 f(x)=k 有两个不一样实根，务实数 k 的取值范围 xlog 3 x,0 x 35、已知函数 x, xm 取值范围f （ x ）2，若 g(x)=f(x)-m 有三个不一样零点，务实数x x, x 0四、二分法求零点的近似值二分法求函数f(x) 零点近似值的步骤：题型四二分法1、用二分法求方程x3-x-4=0 在区间[1,3]内的实根，应计算f(___)，下一个有根的区间是____2、用二分法求f(x)= 3x -x-4=0 的一个零点，参照数据以下：据此数据，可得方程3x x 40 的一个近似解为_______3、综合练习1、已知函数 f(x)=ax 2-2x+1(a≥0)（1）议论 f(x) 在 [0,2] 上的单一性（2）若 a>1,求 f(x) 在[0,2] 上的最大最小值（3）若 f(x) 在区间（ 0，2）上只有一个零点，求 a 的范围1 2、定义在 R 上的偶函数 y＝f(x) 在 (－∞， 0]上递加，函数 f(x) 的一个零点为－2，1求知足 f(log 9x)≥0 的 x 的取值会合．。
高一数学必修1第二章方程的根与函数零点
(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b a＝1；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.7．对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．8．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数9.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.例1如图所示，曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取3，43，35，110，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A.3，43，35，110 B.3，43，110，35C.43，3，35，110 D.43，3，110，35解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f (x )＝x 2－2x 的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f (1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f (x )＝x －1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．要点二 判断函数零点所在区间例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2＜0， f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＜0， ∴零点在⎝⎛⎭⎫14，12上．规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点． 跟踪演练2 函数f (x )＝e x ＋x －2所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0， ∴f (x )在(0,1)内有零点．要点三 判断函数零点的个数例3 判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．解 方法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根， 即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 方法二 由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点， 又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系下作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数． 跟踪演练3 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0， 可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点． 1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0 D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解．3．函数y ＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C．(8,9) D．(9,10)答案 D解析因为f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y＝lg x－9x在区间(9,10)上有零点，故选D.4．方程2x－x2＝0的解的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3. 5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．答案(－∞，1)解析由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.【新方法、新技巧练习与巩固】一、基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是()答案 A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是()x －1012 3e x0.371 2.727.3920.09x＋21234 5A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C解析 由上表可知f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∴f (x )在区间(1,2)上存在零点． 4．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0， f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f (2)·f (3)＜0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)． 5．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．6．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 答案 0解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 7．判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解 令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点． 二、能力提升8．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋ (x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0， ∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．9．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1， a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.10．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析 令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0， f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.11．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？ 解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4,5]．(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点． 由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点． 三、探究与创新12．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点． 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的范围是⎝⎛⎭⎫－3，－114. 13．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，。
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高一数学必修一《零点》专题复习
1、方程062=-+x x
的实数解的个数有_______个. 2. 函数()2ln f x x x
=-的零点所在的大致区间是 （ ） A.()1,2 B.()2,3 C. ()3,4 D.(),e +
3.
可以看出函数至少有 个零点6.设方程 x x lg 2=-的两个根为21,x x ，则 （ ）
A. 021<x x B .121=x x C .121>x x D. 1021<<x x 7.已知x 0是函数1()21x f x x
=+-的一个零点，若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则12()()f x f x _______0.（填“>”，“=”或“<”）. 8、若方程3log 3=+x x 的解所在的区间是(), 1k k +,则整数k =
9．已知函数21(0)()(1)(0)
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,0]-∞
B ．[0,1]
C ．(,1)-∞
D ．[1,)+∞
10、若函数()y f x =在定义域内单调，且用二分法探究知道()f x 在定义域内的零点同时在(0,8),(0,4)，(0,2),(0,1)内，那么下列命题中正确的是（ ）
A ．函数()f x 在区间1
(0,)2
内有零点 B ．函数()f x 在区间[)1,8上无零点
C ．函数()f x 在区间1(0,)2或1(,1)2
内有零点 D ．函数()f x 可能在区间(0,1)上有多个零点 11．关于x 的方程27+=x x 的解所在的区间是（ ）
A.0（，1）
B.(1, 2)
C.(2, 3)
D.(3, 4)
12. R 若一元二次方程2350x x a -+=的一根大于2-且小于0，另一根大于1而小于3，则实数a 取值范围 （ ）
A ．()12,0-
B ．15,14⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ C ．15,14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13．若关于x 的方程35+=a x 有根，则实数a 的取值范围是 ．
14. 若关于x 的方程210x ax -+=在1(,3)2x ∈上有实数根，则实数a 的取值范围是 15、函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为
16.已知函数2()(1)43f x a x ax =++-.当0a >时，若方程()0f x =有一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是 ；
17.二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠，满足(1)f x +为偶函数，且方程()f x x =有相等实根。
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[],1m m +上的最大值。
18．设关于x 的函数=)(x f ∈--+b b x x (241
R ），
（1）若函数有零点，求实数b 的取值范围；（2）当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点.
19.已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；
②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数；
（1）求证：函数3y x =-（[1,1]x ∈-）为闭函数； （2）若0)y k k =+<是闭函数，求实数k 的取值范围；
20.已知())1(log 2+=x x f ，当点()y x ,在函数()x f y =的图象上时，点⎪⎭⎫
⎝⎛2,3y x 在函数()x g y =的图象上。
（1）写出()x g y =的解析式； （2）求()()0=-x g x f 方程的根。
21.已知)2(log )2(log )(22x x x f ++-=．
（1）求)(x f 的定义域；（2）证明)(x f 为偶函数；（3）指出方程x x f =)(的实根个数，并说明理由.
22.对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使得00()f x x =,则称0x 为函数()f x 的不动点．．．
, (1)设2()2f x x =-,求函数()f x 的不动点; (2)设2()f x ax bx b =+-,若对任意实数b ,函数()f x 都有两个相异的不动点,求实数a 的取值范围;
(3)若奇函数()()f x x R ∈存在K 个不动点,求证:K 为奇数.
23.已知函数2(),21
x x a f x +=- (1)若()f x 为奇函数，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求()f x 的值域.论关于x 的方程()=f x k 的解的个数.
24．已知二次函数b a bx ax x f ,()(2+=为常数，且0≠a ）满足条件：0)2(=f ，且方程x x f =)(有两个相等的实数根．
（1）求)(x f 的解析式；（2）作出函数)(x f 大致图像，并直接写出函数)(x f 的单调区间。
25.已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．
（1）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式；
（2）若() 0,()() 0,
f x x F x f x x >⎧=⎨
-<⎩ 当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数时，试判断()()F m F n +能否大于0？
26.已知函数22()32(1)5f x x k k x =--++，2()2g x k x k =+，其中k R ∈．
（1） 设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在（0，3）上有零点，求k 的取值范围；
27．已知a 是实数，函数()2223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．
28、已知函数f(x)=log 2
x
x +-11. （1）判断并证明f(x)的奇偶性;（2）若关于x 的方程f(x)=log 2(x-k)有实根，求实数k 的取值范围;（3）问：方程f(x)=x+1是否有实根？如果有，设为x 0，请求出一个长度为81的区间(a,b)，使x 0∈(a,b)；如果没有，请说明理由.（注：区间(a,b)的长度为b-a ）。