认识一元二次方程(二)
第2讲解一元二次方程-配方法(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了配方法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对配方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强学生的数学运算能力，熟练掌握配方法的运算步骤，提高解题效率。
4.培养学生的直观想象能力，通过分析一元二次方程的图像，理解配方法与方程解的关系。
5.培养学生的数据分析能力，通过对不同类型一元二次方程的解析，学会总结规律，提高解题策略。
6.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的方程中抽象出一般性规律，形成对配方法本质的认识。
2.配方法解一元二次方程的示例解析。
3.练习与巩固：不同类型的一元二次方程配方法解题训练。
4.总结与拓展：配方法在实际问题中的应用实例。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过配方法解一元二次方程的过程，使学生理解数学的严谨性和逻辑性。
2.提高学生的数学建模能力，让学生学会将现实问题转化为数学模型，并利用配方法求解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法的步骤和x²±px±q=0型方程的解法这两个重点。对于难点部分，比如配方过程中如何选择合适的数，以及如何简化表达式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与配方法相关的实际问题。
北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程 教学案
学科讲义·初三数学 上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章 一元二次方程第一节 认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。
3.体会方程的模型思想。
（难点）知识点1： 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
知识点2： 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
知识点解析学科讲义·初三数学 数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程 二分法
一元二次方程二分法一元二次方程是初中数学中的重要内容，而二分法是一种常用的数值计算方法。
本文将以“一元二次方程二分法”为中心，详细阐述一元二次方程的求解过程以及二分法在求解过程中的应用。
通过对一元二次方程的深入理解和二分法的运用，使读者对这两个数学概念有更清晰的认识。
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知系数，x是未知数。
对于一元二次方程的求解，常用的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
而在本文中，我们将重点介绍二分法在一元二次方程求解过程中的应用。
首先，我们来回顾一下二分法的基本原理。
二分法是一种通过逐步缩小搜索范围的方法，用于求解函数的零点。
其基本思想是将区间不断二分，并根据函数值的符号确定下一步搜索的方向。
具体而言，对于一个闭区间[a,b]，通过计算函数在区间中点的值f(c)，如果f(c)等于零则找到了零点，如果f(c)小于零则零点在区间[a,c]内，如果f(c)大于零则零点在区间[c,b]内。
然后，再将新的区间继续进行二分，直至找到零点或者达到指定的精度要求。
接下来，我们将二分法应用到一元二次方程的求解中。
对于一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以先确定一个区间[a, b]，使得方程在区间两端的函数值异号。
然后，通过二分法逐步缩小区间范围，最终找到方程的一个根。
具体而言，我们可以按照以下步骤来进行一元二次方程的二分法求解：步骤一：确定初始区间[a,b]。
我们可以根据方程的特点和已知条件来选择初始区间。
例如，如果a、b、c都是正数，则可以选择初始区间为[0,1]。
步骤二：计算区间中点的值f(c)。
将区间[a,b]的中点c代入方程，计算出f(c)的值。
步骤三：判断f(c)的符号。
如果f(c)等于零，则已经找到零点，结束计算。
如果f(c)小于零，则零点在区间[a,c]内。
如果f(c)大于零，则零点在区间[c,b]内。
步骤四：根据f(c)的符号更新区间范围。
认识一元二次方程 北师大版九年级数学上册
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
2.2 一元二次方程的解法(2)
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你能解决这 个问题吗? 3倍有可能相等吗？如果相 一个数的平方与这个数的
x 2 3x.
小亮是这样解的 :
小明是这样解的 :
等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去 x, 得. x 3.
（一次项系数为0）（容易x+5
2
25 2 x - 5
x-
2 用配方法解二次项系数是 1 的一元二次方程在时，添 4x+___=(______) 上的常数项与一次项系数之间存在的关系： 2 2 2
常数项是一次项系数的一半的平方 x +6x+___=(______) x-
6x+___=(_______)
2
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探索发现二：
解方程: x 6 x 1 0
2
只要形成
x m
2
n(n 0)
x 6 x 9 10 0, ( x 3) 10, x 3 10
2 2
x1 3 10, x2 3 10
我们把一元二次方程通 过配方法转换成:
2
形 为
x -2x=8
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练一练：添上一个适当的数，使下
1 x+1 2 2 x +2x+___=(______) 4 x+2 2 9 x+3
列的多项式成为一个完全平方式：
1 4 x-1 2 x -x - 2
2x+___=(______)
22.3 实际问题与一元二次方程(2)
设长方形框的边宽为xcm,依题意 得 依题意,得 解:设长方形框的边宽为 设长方形框的边宽为 依题意 X
上一节，我们学习了解决“平均增 上一节，我们学习了解决“平均增 下降)率问题 长(下降 率问题”，现在，我们要 下降 率问题” 现在， 学习解决“面积、体积问题。 学习解决“面积、体积问题。
探究3 探究
在长方形钢片上冲去一个长方形， 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 周宽相等的长方形框。 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 长方形框的框边宽。 分析: 分析 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 本题关键是如何用 的代数式表示这个长方形框的面积 X X X X
1 解: (1) 方案 ：长为9 米，宽为 米; 方案1： 宽为7米 7
∴ b2 − 4ac = (−16)2 − 4 × 1 × 65 = −4 < 0
方案2：长为 米 宽为4米 方案3： 方案 ：长为16米，宽为 米; 方案 ：长=宽=8米; 宽 米 注：本题方案有无数种 （2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花 ）在长方形花圃周长不变的情况下， 圃面积不能增加2平方米 平方米. 圃面积不能增加 平方米 由题意得长方形长与宽的和为16米 设长方形花圃 由题意得长方形长与宽的和为 米.设长方形花圃 的长为x米 则宽为（16-x） 的长为x米，则宽为（16-x）米. x(16-x)=63+2， ， x2-16x+65=0， ， ∴此方程无解. 此方程无解 在周长不变的情况下， ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能 增加2平方米 增加 平方米
二次函数与一元二次方程(2)一元二次方程的图象解法
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近 似根.
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分 别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程3x2-x-1=0的解;
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
结束寄语
•
不知道并不可怕和有害, 任何人都不可能什么都知 道,可怕的和有害的是不 知道而伪装知道.
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的 近似根.
由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与 x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为3 和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确 定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解;
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》第2课时示范公开课教学课件
①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜ x2 -2x -1＜2，则正数根在2到3之间；
②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x -1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间；
③最后确定百分位部分，当x=2.45时， x2 -2x -1的值是否大于0，若大于0，则正数根在2.4到2.45之间；若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到0.1，四舍五入取值即可.
x
0
0.5
1
1.5
2
x2 + 12x - 15-15-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
可知x取值的大致范围是:1<x<1.5.
x
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
x2 + 12x - 15
-0.59
0.84
2.29
3.76
-2
所以1.1＜x＜1.2，因此x整数部分是1，十分位部分是1．
你的结果是怎样的？
一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是 __________________.
3. 近似数 2.36 ≈ _______(精确到0.1).
解
2x2–x -7 = 0
2.4
问题1：下面哪些数是方程 x2 – 2x – 8 = 0 的解? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3 ，4
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2 – 2x – 8
16
-8
7
0
-5
-8
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2.1认识一元二次方程（二）
【教学目标】经历估计一元二次方程的解的过程，增进对方程解的认识，进一步培养估算意识和能力。
发
展数感。
【教学过程】一. 复习回顾：
A. 3X - 1=0
B. y ²－2x ²－1=0
C. x ²－3 = 0
D. x ²+
x
1
-1=0 2. 方程（x-2）（x+3）=3化成一般形式是 ， 其中二次项系数是 ， 一次项系数是 ，常数项是 。
二．探索新知：
1.在上一节课的问题中，你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x （m ）吗？ x 满足方程
()()182x 52x 8=--， 一般形式是
(1) x 可能小于0吗？可能大于4吗? 可能大于2.5吗？说说你的理由。
(2) 你能确定x 的大致范围吗？ （3）填写下表：
（4）你知道所求宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流
2. 上节课的梯子问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
()22
21076x =++，把这个方程化为一般形式为
（1）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法正确吗?为什么? （2）底端滑动的距离可能是2 m 吗?可能是3 m 吗?为什么? （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? （4）x 的整数部分是几?十分位是几? 填写下表：
所以 ＜x ＜
进一步计算：
所以 ＜x ＜
因此，x 的整数部分是1，小数部分也是1. 三．巩固新知：
1.根据下表中的对应值，判断一元二次方程x ²-4x+2=0的解的取值范围。
A 0＜x ＜0.25或3.5＜x ＜4
B 0.5＜x ＜1或2＜x ＜2.5
C 0.5＜x ＜1或3＜x ＜3.5
D 1＜x ＜1.5或3.5＜x ＜4
2.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗？
3.一个面积为120m ²的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少?
四．课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？谈谈你的感想。
五．自我检测:
1.一元二次方程02
=++c bx ax ，若有一个根为—1，则=+-c b a ，若=+-c b a 0，则有一个根为 。
2
由此可判断方程x ²-2x-8=0的解是 。
3．有一条长为16m 的绳子，你能否用它围出一个面积为15 m ²的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少
4.一名跳水运动员进行10m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m 以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间t （s ）和运动员距离水面的高度h （m ）满足关系：h=10+2.5t-5t ²，那么他最多有多长时间完成规定动作？。