高中数学：众数中位数和平均数

问:如果上面的数据改为: 12,15,24,25,31,31,31,36,37,44,49,50,53,53,10 2
众数,中位数与平均数的结果有何改变？
练习3:已知100位居民月均用水量的 频率分布表和频率分布直方图（课本67 页）,试求出该组数据的众数、中位数和 平均数
下面,让我们看看从原始数据 中得到的三个量的值分别是多 少。
将一批数据按要求分为若干个组,各 组内数据的个数,叫做该组的频数。
频率:每组数据的个数除以全体数据 个数的商叫做该组的频率。
根据随机抽取样本的大小,分别计算 某一事件出现的频率,这些频率的分布规 律（取值状况）,就叫做样本的频率分布。
说明:样本频率分布与总体频率 分布有什么关系？
通过样本的频数分布、频率 分布可以估计总体的频率分 布.
②为了较合理地确定这个标准, 你认为需要做哪些工作？
思考:由上表,大家可以得到什么信息？
频率分布直方图
步骤:
1.求极差: 4.3 - 0.2 = 4.1
2.决定组距与组数: 组数= 极差 = 组距
4.1 0.5
=
8.2
3.将数据分组
［0,0.5 ),［0.5,1 ),…,［4,4.5］
4.列频率分布表
求: （1）成绩的众数、 中位数；
频率/组距
0.04
0.03
（2）平均成绩
0.015
0.010 0.005
0 50 60 70 80 90 100
三 三种数字特征的优缺点
1.众数体现了样本数据的最大集 中点,但它对其它数据信息的忽视 使得无法客观地反映总体特征.如 前面例中众数是2.25t,它告诉我们, 月均用水量为2.25t的居民数比月 均用水量为其它数值的居民数多, 但它并没有告诉我们多多少.
100位居民月平均用水量的频率分布表
5.画频率分布直方图
频率/组距
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t
画一组数据的频率分布直方图,可以按以 下的步骤进行:
一、求极差,即数据中最大值与最小值的差 二、决定组距与组数 :组距=极差/组数 三、分组,通常对组内数值所在区间,
[8, 8.5)
6
0.06
[8.5, 9)
2
0.02
合计
100
1
试估计该校学生的平均日睡眠时间
练习5.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了
50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的
数据,结果用如图所示的条形图表示,根据条形图可得这
50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( B )
பைடு நூலகம்
A. 0.6h
中位数中哪一种集中趋势的特征数。
小结:
1、正确理解众数、中位数、平均数的概念；
2、能够计算和估计样本的数字特征（尤其是利用 频率分布表和直方图）。
3、通过对样本数据提取的基本数字特征进行合理 的解释,体会三个特征的优缺点,进一步体会统计的 思想,培养应用意识和能力。
第二课时
用样本的频率分 布估计总体分布
取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间 四、登记频数,计算频率,列出频率分布表
五、画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距）
练习
1.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下:
［12.5, 15.5） 3
［24.5, 27.5） 10
［15.5, 18.5） 8 ［18.5, 21.5） 9
［27.5, 30.5） 5 ［30.5, 33.5） 4
［27.5, 30.5） 5 ［30.5, 33.5） 4
频率
0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08
频率/ 组距
0.020 0.053 0.060 0.073 0.067 0.033 0.027
频率分布直方图如下:
频率
组距
0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”. 是直方图的平衡点。等于频率分布直 方图中每个小矩形的面积（即落在该 组中的频率）乘以小矩形底边中点的 横坐标（组中值）之和。
频率 组距
目标导学
1、正确理解众数、中位数、平均数的 概念,能够计算和估计样本的数字特征。
2、通过对样本数据提取的基本数字特 征进行合理的解释,进一步体会统计的 思想,培养应用意识和能力。
一、了解众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组 数据的集中趋势的特征数,只是描述的角度 不同,其中以平均数的应用最为广泛.
思考:你能解释为什么结果不同吗？
归纳: 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1.众数在样本数据的频率分布直方图 中,就是最高矩形的中点的横坐标。
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
2.在样本中,有50％的个体小于或等于 中位数,也有50％的个体大于或等于中位 数,因此,在频率分布直方图中,中位数左边 和右边的直方图的面积应该相等,由此可以 估计中位数的值。
练习8.从甲、乙、丙三个产品中,各抽出8件产品,对其使 用寿命进行跟踪调查,结果如下（单位:年） 甲:3,4,5,6,8,8,8,10 乙:4,6,6,6,8,9,12,13 丙:3,3,4,7,9,10,11,12 三家广告中都称该种产品的使用寿命是8年,请根据 调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、
［21.5, 24.5） 11
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5）的 百分比是多少?
解:组距为3
分组 频数 ［12.5, 15.5） 3
［15.5, 18.5） 8 ［18.5, 21.5） 9 ［21.5, 24.5） 11 ［24.5, 27.5） 10
6
0.3
8
9.5~11.5
8
0.4
16
11.5~13.5 4
0.2
20
合计
20
1.0
4.一个容量为100的样本,数据的分组和各组的相 关信息如下表,试完成表中每一行的两个空格.
分组 [12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27) [27,30) [30,33) [33,36] 合计
3.已知样本10, 8, 6, 10, 8,13,11,10,12,7,8,9,12,9, 11,12,9,10,11,11, 那么频率为0.2范围的是 ( D)
A. 5.5~7.5 C. 9.5~11.5
B. 7.5~9.5 D. 11.5~13.5
分组
频数
频率
频数累计
5.5~7.5
2
0.1
2
7.5~9.5
但平均数受数据中的极端值的影响较 大,使平均数在估计时可靠性降低。
练习7 某工厂人员及工资构成如下:
人员
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
周工资 2200 250
220
200 100
人数
16
5
10 1 23
合计
2200 1500 1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
2.中位数是样本数据所占频率的 等分线,它不受少数几个极端值的影响, 这在某些情况下是优点,但它对极端值
的不敏感有时也会成为缺点。如上例 中假设有某一用户月均用水量为10t, 那么它所占频率为0.01,几乎不影响中 位数,但显然这一极端值是不能忽视的。
3.由于平均数与每一个样本的数 据有关,所以任何一个样本数据的改变 都会引起平均数的改变,这是众数、中 位数都不具有的性质。也正因如此 ,与 众数、中位数比较起来,平均数可以反 映出更多的关于样本数据全体的信息,
如何根据样本的情况对总体的情 况作出一种推断. 这里包括两类问题:
一类是如何从总体中抽取样本? 另一类是如何根据对样本的整 理、计算、分析, 对总体的情 况作出推断.
整体介绍
用样本的有关情况去估计总体 的相应情况,这种估计大体分为两 类,一类是用样本频率分布估计总 体分布,一类是用样本的某种数字 特征（例如平均数、方差等）去估 计总体的相应数字特征。
如何用样本的频率分布 估计总体分布？
我国是世界上严重缺水的国家之一 城市缺水问题较为突出。
1:某市政府为了节约生活用水,计 划在本市试行居民生活用水定额管 理,即确定一个居民月用水量标准 a , 用水量不超过a的部分按平价收 费,超过a的部分按议价收费。
提出问题
①如果希望大部分居民的日常 生活不受影响,那么标准a定为多 少比较合理呢？
目标导学
1、通过实例体会分布的意义和 作用。学会列频率分布表、画频 率分布直方图、频率折线图、茎 叶图,体会它们各自的特点。
2、会解决一些简单的实际问题。
统计的基本思想方法
用样本估计总体,即通常不直接 去研究总体,而是通过从总体中抽 取一个样本,根据样本的情况去估 计总体的相应情况.
统计的核心问题
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
练习4.某校学生日睡眠时间的抽样频率分布见下表:
日睡眠时间/h 人数
频率
[6, 6.5)
5
0.05