合工大数字信号处理习题答案2和3章 朱军版
数字信号处理教程课后习题及答案
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
《数字信号处理》(2-7章)习题解答
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
数字信号处理答案第2章
6
N =2 0
(7)
k = m, k = N − m k ≠ m, k ≠ N − m
jω0 n
0≤k≤N－1
X 7 (k ) = ∑ e
n =0
N −1
W
kn N
= ∑e
n =0
N −1
j( ω0 −
2π k )n N
=
1− e
j(ω0 −
2π k)N N 2π k) N
k = 0, 1, L, N − 1
（8） 解法一 直接计算：
1 jω 0 n x8 (n) = sin(ω0 n) ⋅ RN (n) = [e − e − jω 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 ( n) =
∑
n =0
N −1 kn x8 (n)WN
1 = [ e jω 0 n − e − jω 0 n ] e 2 j n =0
2π mn +θ ) N 2π mn +θ ) N ]
1 = [e 2j
j(
−e
− j(
2π = sin mn + θ N
n=0, 1, …, N－1
18
3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：
1 0 ≤ n ≤ 4 x1 (n) = 0 5 ≤ n ≤ 9
1 x2 ( n) = − 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 及其快速算法(FFT)
1
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序 列定义为 (1) x(n)=1 (2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) 0<n0<N (4) x(n)=Rm(n) 0<m<N (5) (6)
数字信号处理习题答案
部分练习题参考答案第二章2.1 )1(2)(3)1()2(2)(-+++-+=n n n n n x δδδδ)6()4(2)3()2(-+-+-+-+n n n n δδδδ2.2 其卷积过程如下图所示)5(5.0)4()3()2(5.2)1(5)(2)(-------+-+=n n n n n n n y δδδδδδ2.3 （1）3142,73==ωππω这是有理数，因此是周期序列。
周期N =14。
（2）k kp ππ168/12==，k 取任何整数时，p 都不为整数，因此为非周期序列。
（3）k kp k k p 45.02,5126/5221====ππππ，当p 1，p 2 同时为整数时k =5,x (n )为周期序列,周期N =60。
（4）k kp πππ25.16.12==，取k =4，得到p =6，因此是周期序列。
周期N =6。
2.4 （1） ∑∞-∞=-=*=m m n R m Rn h n x n y )()()()()(45(a) 当n <0 时，y (n )=0-0.5 -1 2.55h (m ) x (m ) 00 mm-121 0.51 2 h (0-m)m-121 h (-1-m)m-12 1h (1-m) 0m-121y (n )n-12(b) 当30≤≤n 时，11)(0+==∑=n n y nm(c) 当74≤≤n 时，n n y n m -==∑-=81)(34(d) 当n>7时，y (n )=0所以74307081)(≤≤≤≤><⎪⎩⎪⎨⎧-+=n n n n n n n y 或 （2）)2(2)(2)]2()([)(2)(444--=--*=n R n R n n n R n y δδ )]5()4()1()([2-----+=n n n n δδδδ（3）∑∞-∞=--=*=m mn m n u m Rn y n x n y )(5.0)()()()(5∑∞-∞=--=m mnm n u m R )(5.0)(5.05(a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当40≤≤n 时，nn nnm mnn y 5.0221215.05.05.0)(1-=--==+=-∑(c) 当5≥n 时，nnm mnn y 5.03121215.05.05.0)(54⨯=--==∑=-最后写成统一表达式：)5(5.031)()5.02()(5-⨯+-=n u n R n y nn（4）∑∞-∞=-=*=m mn m Rn h n x n y 5.0)()()()(3(a) 当n ≤0 时，y (n )=0(b) 当31≤≤n 时，nnnn m mnn y 5.0121215.05.05.0)(1-=--==∑-=- (c) 当54≤≤n 时，25.05.01621)21(25.05.05.0)(6232-⨯=--==---=-∑nnn nn m mnn y(d) 当n ≥6时，y (n )=0)5(25.0)4(75.0)3(875.0)2(75.0)1(5.0)(-+-+-+-+-=n n n n n n y δδδδδ2.6 （1）非线性、移不变系统（2）线性、移不变系统 （3）线性、移变系统 （4）非线性、移不变系统 （5）线性、移变系统2.7 （1）若∞<)(n g ，则稳定，因果，线性，时变（2）不稳定，0n n ≥时因果，0n n <时非因果，线性，时不变 （3）线性，时变，因果，不稳定 2.8 （1）因果，不稳定（2）因果，稳定（3）因果，稳定 （4）因果，稳定 （5）因果，不稳定 （6）非因果，稳定 （7）因果，稳定 （8）非因果，不稳定 （9）非因果，稳定 （10）因果，稳定2.9 因为系统是因果的，所以0)(,0=<n h n令)()(n n x δ=，)1(5.0)()1(5.0)()(-++-==n x n x n h n h n y 1)1(5.0)0()1(5.0)0(=-++-=x x h h15.05.0)0(5.0)1()0(5.0)1(=+=++=x x h h 5.0)1(5.0)2()1(5.0)2(=++=x x h h25.0)2(5.0)3()2(5.0)3(=++=x x h h 15.0)1(5.0)()1(5.0)(-=-++-=n n x n x n h n h所以系统的单位脉冲响应为)1(5.0)()(1-+=-n u n n h n δ 2.10 （1）初始条件为n <0时，y (n )=0设)()(n n x δ=，输出)(n y 就是)(n h 上式可变为)()1(5.0)(n n h n h δ+-=可得 11)1(5.0)0(=+-=h h 依次迭代求得5.00)0(5.0)1(=+=h h25.00)1(5.0)2(=+=h hnn h n h 5.00)1(5.0)(=+-=故系统的单位脉冲响应为)(5.0)(n u n h n= （2）初始条件为n ≥0时，y (n )=0)]()([2)1(n x n y n y -=-0,0)(≥=n n h2)]0()0([2)1(-=-=-x h h22)]1()1([2)2(-=---=-x h h 32)]2()2([2)3(-=---=-x h hnn h n h 2)1(2)(-=+=所以)1(2)(---=n u n h n2.11 证明（1）因为∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x )()()()(令m n m -='，则)()()'()'()()('n x n h m h m n x n h n x m *=-=*∑∞-∞=（2）利用（1）证明的结果有)]()([)()]()([)(1221n h n h n x n h n h n x **=**∑∞-∞=-*-=m m n h m n hm x )]()()[(12 ∑∑∞-∞=∞-∞=--=m k k m n h k hm x )()()(12交换求和的次序有∑∑∞-∞=∞-∞=--=**k m k m n hm x k h n h n h n x )()()()]()([)(1221∑∞-∞=-*-=k k n h k n x k h)]()()[(12)]()([)(12n h n x n h **=)()]()([21n h n h n x **=（3）∑∞-∞=-+-=+*m m n h m n hm x n h n h n x )]()()[()]()([)(2121∑∑∞-∞=∞-∞=-+-=m m m n hm x m n h m x )()()()(21)()()()(21n h n x n h n x *+*=2.12 ∑∞-∞=--=*=m mn Nm n u am Rn y n x n y )()()()()(∑∞-∞=--=m mNnm n u am Ra)()((a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当10-≤≤N n 时，11/11)/1(1)(11--=--==++=-∑a aa a aaan y n n nnm mn(c) 当N n ≥时，1)/1(1)/1(1)(111--=--==+-+-=-∑a aaa a aaan y N n n NnN m mn最后写成统一表达式：)(1)(11)(111N n u a aa n R a an y N n n N n ---+--=+-++2.13 )]4()([*)()()()(11--=*=n n n u n h n x n y δδ)()4()(4n R n u n u =--=)()()()()(421n u a n R n h n y n y n*=*= )4(1)(113141---+--=-++n u a aan R a an n n2.14 （1）采样间隔为005.0200/1==T)()82sin()(ˆ0nT t nT f t xn a -+=∑∞-∞=δππ)()8100sin(nT t nT n -+=∑∞-∞=δππ （2）)85.0sin()(ππ+=n n x数字频率πω5.0=，42=ωπ，周期N =42.15 （1）0)()(0n j n nj j eenn eX ωωωδ-∞-∞=-=-=∑（2）∑∑∞=-+-∞-∞=-==)(0)()(n nj n j n nj j eeen x eX ωωαωω∑∞=--=0)(0n nj eeωωα)(01ωωα---=j ee（3）∑∑∑∞=+-∞=--∞-∞=-===0)(0)()(n nj n nj nn nj j eeeen x eX ωαωαωω)(11ωαj e+--=（4）∑∑∞=--∞-∞=-==00cos )()(n nj nn nj j ne een x eX ωαωωω∑∑∞=----+---∞=-+=+=)()(0][21)(210000n nj j nj j nj nj nj n neeeeeeωωαωωαωωωααωαωαωωωαωωαωω2200)()(cos 21cos 111112100------+----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=e e e e e e eeee j j j j j （5）nj N N n n nj j e n N en x eX ωωωπ--=∞-∞=-∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==12cos 1)()( ∑∑-=---=-++=1212)(21N Nn nj nNjnNjN Nn nj eeeeωππω⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--=+-+-+-------)()()()()()(1)1(1)1(211)1(ωπωπωπωπωπωπωωωNj NNj NNj Nj NN j NNj j Nj Nj eeeeee eee-0.92-0.380.920.38x (n ) 0nωωωωωωππωωN jj j j N j eN e eNeN eN 232)123()2cos(cos21cos12sin)2sin(------+--+=2.16 （1）⎰⎰⎰-==--πωπωππωωωπωπωπ2121)(21)(d jed jed eeH n h nj nj nj j⎪⎩⎪⎨⎧=--=为奇数为偶数n n n n nππ20)1(1（2）)sin()()()(011n n h n x n y ω=*=)cos()()()(022n n h n x n y ω-=*=2.17 （1）)(ωj e X -*（2）)]()([21ωωj j eX eX -*+（3）)]()([2122ωωjje X eX -+（4）)(2ωj eX2.18采样间隔为25.0=T ，采样频率π8=Ωs)(1t y a 没有失真，因为输入信号的频率π21=Ω小于π42=Ωs)(2t y a 失真，因为输入信号频率π52=Ω大于π42=Ωs第三章3．1 设)(ωj eX 和)(ωj eY 分别是)(n x 和)(n y 的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换： （1）)(0n n x - （2） )(*n x （3） )(n x - （4） )(*)(n y n x （5） )()(n y n x ∙ （6） )(n nx（7） )2(n x （8）)(2n x（9）⎩⎨⎧===奇数，偶数n n n x n x 0),2()(9解：（1） FT[)(0n n x -]=∑∞-∞=--n nj enn x ω)(0令0n n n -='，0n n n +'=，则FT[)(0n n x -]=)()(00)(ωωωj n j n n n j eX een x -∞-∞=+''-='∑（2） FT[)(*n x ]=)(*])([)(**ωωωj n nj n nj eX en x en x-∞-∞=-∞-∞=-∑∑==（3） FT[)(n x -]=∑∞-∞=--n nj en x ω)(令n n -='，则FT[)(n x -]=∑∞-∞=''n n j en x ω)()(ωj eX -=（4） FT[)(*)(n y n x ]=)(ωj e X )(ωj e Y证明 )(*)(n y n x =∑∞-∞=-m m n y m x )()(FT[)(*)(n y n x ]=∑∑∞-∞=-∞-∞=-n nj m em n y m x ω)]()([令m n k -=，则FT[)(*)(n y n x ]=mj k kj m eek y m x ωω-∞-∞=-∞-∞=∑∑)]()([=mj k m kj em x ek y ωω-∞-∞=∞-∞=-∑∑)()(=)(ωj eX )(ωj eY（5） FT[)()(n y n x ∙] =∑∞-∞=-n nj en y n x ω)()(=∑⎰∞-∞=-'-''n nj nj j ed eeY n x ωωππωωπ])(21)[(=ωπωωππω'∑⎰∞-∞='---'d en x e Y n nj j )()()(21=ωπωωππω''--'⎰d eX eY j j )()(21)(或者 FT[)()(n y n x ]=)(*)(21ωωπj j e Y eX（6） 因为∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(，对该式两边对ω求导，得到j en nx jd e dX n nj j -=-=∑∞-∞=-ωωω)()(FT[)(n nx ]因此 FT[)(n nx ]=ωωd e dX jj )(（7） FT[)2(n x ]=∑∞-∞=-n nj en x ω)2(令n n 2='，则FT[)2(n x ]=∑''-'取偶数n n j en x 2)(ω=nj nn en x n x ω21)]()1()([21-∞-∞=-+∑=])()([212121nj n nj nj n e n x een x ωπω-∞-∞=-∞-∞=∑∑+=)]()([21)21(21πωω-+j j eX eX或者FT[)2(n x ]=)()]()([21212121ωωωj j j eX eX eX =+（8） FT[)(2n x ]=∑∞-∞=-n nj en xω)(2利用（5）题结果，令)()(n y n x =，则FT[)(2n x ]=)(*)(21ωωπj j eX eX =ωπωωππω''--'⎰d eX eX j j )()(21)(（9） FT[)(9n x ]=∑∞-∞=-取偶数n n nj en x ω)2( 令∞≤'≤∞-='n n n ,2，则FT[)(9n x ]=)()(22ωωj n n n j eX en x ='∑∞-∞='-取偶数3．2 已知⎩⎨⎧≤<<=πωωωωω||,0||,1)(00j eX求)(ωj e X 的傅里叶反变换)(n x 。
数字信号处理 答案 第二章(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j （3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1222222 3333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()( =∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理习题及解答
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19
令
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析
3 解答
n≥0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n≤－1时， c内有极点0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求
圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 3 解答 (2) 收敛域0.5<|z|<2:
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换 1 解答
(1) (2) (3)
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换 2 试求如下序列的傅里叶变换：
(1) x1(n)=δ(n－3)
（2）
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换 2 解答
(1) (2)
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换
第一章离散时间信号与离散时间系统
4 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 1
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 1 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 1 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 2
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 2 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 2 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 3 已知
求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。
合工大数字信号处理习题答案版
合工大《数字信号处理》习题答案第2章习 题2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，)(n x 与)(n y 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）)()(0n n x n y -= （3）)sin()()(n n x n y ω=解： （1）)()()()()]()([21020121n by n ay n n bx n n ax n bx n ax T +=-+-=+所以是线性系统。
由于)()]([0n n x n x T -= 所以是时不变系统。
（3）)()()sin()]()([)]()([212121n by n ay n n bx n ax n bx n ax T +=+=+ω，所以是线性系统。
)()sin()()]([m n y n m n x m n x T -≠-=-ω，所以不是时不变系统。
2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）)1()()(++=n x n x n y （3）)()(n x e n y =解：（1）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（)1(+n 时间）的输入有关。
如果M n x ≤|)(|，则M n x n x n y 2|)1(||)(||)(|≤++≤，因此系统是稳定系统。
（3）系统是因果系统，因为n 时刻的输出不取决于)(n x 的未来值。
如果M n x ≤|)(|，则M n x n x e e e n y ≤≤≤)|(|)(|||)(|，因此系统是稳定系统。
2.6 以下序列是系统的单位冲激响应)(n h ，试说明该系统是否是因果、稳定的。
（1）)(2)(n u n h n= （3）)2()(+=n n h δ解：（1）当0<n 时，0)(=n h ，所以系统是因果的。
由于所以系统不稳定。
（3）当0<n 时，0)(≠n h ，所以系统是非因果的。
由于所以系统稳定。
数字信号处理习题集(附答案)(DOC)
第一章数字信号处理概述简答题：1.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D 变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。
在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：2.模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）答：错。
需要增加采样和量化两道工序。
3.一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。
（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1.过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期(假设T足够小，足以防止混叠效应)，把从x(t)到y(t)的整个系统等效为一个模拟滤波器。
(a)如果h(n)截止于8rad，1T 10kHz，求整个系统的截止频率。
(b)对于1T 20kHz，重复(a)的计算。
解(a)因为当| | /8rad时H (e j) 0，在数一模变换中1 1 jY(e J)〒X a(j )〒X a(：)所以h( n)得截止频率c : 8对应于模拟信号的角频率c为81因此f c h面625Hz由于最后一级的低通滤波器的截止频率为 -，因此对一没有影响,T 8T故整个系统的截止频率由H(e J )决定，是625Hz。
(b)采用同样的方法求得1 T 20kHz，整个系统的截止频率为二、离散时间信号与系统频域分析计算题:1. 设序列x(n)的傅氏变换为X (e j)，试求下列序列的傅里叶变换。
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合工大《数字信号处理》习题答案第2章习 题2.1用单位脉冲序列)(n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
2.1)1()()1()2(2)4()(-+++-+++=n n n n n n x δδδδδ)6(2)4(5.0)3(4)2(2-+-+-+-+n n n n δδδδ2.2 请画出下列离散信号的波形。
（1）)(21n u n⎪⎭⎫⎝⎛（2）)()2(n u n- （3）)1(21--n u n（4）)5()1(---n u n u答案略2.3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）)873cos()(ππ-=n A n x ，A 是常数； （2）)81()(π-=n j e n x 。
2.3 （1）31420=ωπ，所以周期为14。
（2）πωπ1620=，是无理数，所以)(n x 是非周期的。
2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，)(n x 与)(n y 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）)()(0n n x n y -= （2）)()(2n x n y = （3）)sin()()(n n x n y ω= （4）)()(n x en y =2.4 （1）由于)()]([0n n x n x T -=)()()]([0m n y n m n x m n x T -=--=-所以是时不变系统。
)()()()()]()([21020121n by n ay n n bx n n ax n bx n ax T +=-+-=+所以是线性系统。
（2）)()()]([2m n y m n x m n x T -=-=-，所以是时不变系统。
)()()]()([)]()([2122121n by n ay n bx n ax n bx n ax T +≠+=+，所以是非线性系统。
（3）)()sin()()]([m n y n m n x m n x T -≠-=-ω，所以不是时不变系统。
)()()sin()]()([)]()([212121n by n ay n n bx n ax n bx n ax T +=+=+ω，所以是线性系统。
（4）)()()]()([21)()()]()([212121n by n ay e e e n bx n ax T n bx n ax n bx n ax +≠==++，所以是非线性系统。
)()]([)(m n y e m n x T m n x -==--，所以是时不变系统。
2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）)1()()(++=n x n x n y （2）)()(0n n x n y -= （3）)()(n x e n y =（4）∑+-==0)()(n n n n k k x n y2.5（1）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（)1(+n 时间）的输入有关。
如果M n x ≤|)(|，则M n x n x n y 2|)1(||)(||)(|≤++≤，因此系统是稳定系统。
（2）当00<n 时，系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后的输入有关。
当00≥n 时，系统是因果系统。
如果M n x ≤|)(|，则M n y ≤|)(|，因此系统是稳定系统。
（3）系统是因果系统，因为n 时刻的输出不取决于)(n x 的未来值。
如果M n x ≤|)(|，则M n x n x e e e n y ≤≤≤)|(|)(|||)(|，因此系统是稳定系统。
（4）系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和)(n x 的未来值有关。
如果M n x ≤|)(|，则，M nk x n y n n n n k |12||)(||)(|0+≤≤∑+-=因此系统是稳定系统。
2.6 以下序列是系统的单位冲激响应)(n h ，试说明该系统是否是因果、稳定的。
（1）)(2)(n u n h n= （2）)(2)(n u n h n -= （3）)2()(+=n n h δ （4）)(1)(2n u nn h =2.6 （1）当0<n 时，0)(=n h ，所以系统是因果的。
由于∞⇒+++=∑∞-∞=Λ210222|)(|n n h所以系统不稳定。
（2）当0<n 时，0)(≠n h ，所以系统是非因果的。
由于2222|)(|210=+++=--∞-∞=∑Λn n h所以系统稳定。
（3）当0<n 时，0)(≠n h ，所以系统是非因果的。
由于1|)(|∑∞-∞==n n h所以系统稳定。
（4）当0<n 时，0)(=n h ，所以系统是因果的。
由于∞⇒+++=∑∞-∞=Λ222211101|)(|n n h 所以系统不稳定。
2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应)(n h 和输入序列)(n x 如题2.7图所示，试求输出)(n y 。
2.7)()]2(5.0)1()(2[)()()(n x n n n n x n h n y *-+-+=*=δδδ)5()4(2)3(5.4)2()1(2)(5.0)1()2(2)2(5.0)1()(2-+-+-+-+-+-+-+-=-+-+=n n n n n n n n n x n x n x δδδδδδδδ2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应)(n h 和输入)(n x 分别有以下三种情况，分别求出输出)(n y 。
（1）)()(3n R n h =，)()(3n R n x =（2）)()(4n R n h =，)2()()(--=n n n x δδ （3）)(5.0)(n u n h n=，)()(5n R n x = 2.8（1）)()()()()(33n R n R n h n x n y *=*=)4()3(2)2(3)1(2)()]4()3()2([)]3()2()1([)]2()1()([)2()1()()()]2()1()([3333-+-+-+-+=-+-+-+-+-+-+-+-+=-+-+=*-+-+=n n n n n n n n n n n n n n n R n R n R n R n n n δδδδδδδδδδδδδδδδδ（2）)()]2()([)()()(4n R n n n h n x n y *--=*=δδ)5()4()1()()]5()4()3()2([)]3()2()1()([)2()(44-----+=-+-+-+---+-+-+=--=n n n n n n n n n n n n n R n R δδδδδδδδδδδδ（3）)()(5.0)()()(5n R n u n h n x n y n*=*=)4(5.0)3(5.0)2(5.0)1(5.0)(5.0)]4()3()2()1()([)(5.04321-+-+-+-+=-+-+-+-+*=----n u n u n u n u n u n n n n n n u n n n n nn δδδδδ2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。
（1）)100(t S a （2）)100(2t S a（3）)50()100(t S t S a a +2.9 若要确定奈奎斯特采样间隔，必须先求出信号频谱的最高频率。
（1）抽样函数对应于门函数：)2/()(ωτττa S E t G →，其中τ为门函数的宽度。
由傅立叶变换的对称性知：)(2)2/(ωπτττG t S E a →由题可知，200=τ。
因此，此信号的最高频率是100弧度/秒。
因此，21002•≥s f π 即，π100=s f ，100π=s T（2）信号为两个抽样函数的乘积，因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。
由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围。
通过上一题目可知，)100(t S a 信号的最高频率为100弧度/秒，因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒。
π200=s f ，200π=s T（3）由傅立叶变换的线性，总信号的频谱为两个信号频谱的叠加，然后确定最高频率。
π100=s f ，100π=s T2.10 设系统由下面差分方程描述：)1(21)()1(21)(-++-=n x n x n y n y 设系统是因果的，（1）求该系统的单位脉冲响应。
（2）利用卷积和求输入)()(n u en x nj ω=的响应。
2.10 （1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0 所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1 h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1 h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* e jwn u(n)= [0.5n-1u(n-1)]* e jwn u(n)+ e jwn u(n)= [e jwn -0.5n ]/ (e jw -0.5)u(n-1)+ e jwn u(n)2.11有一理想抽样系统，抽样频率为π6=Ωs ，经理想低通滤波器)(Ωj H a 还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ3||,03||,21)(j H a今有两个输入，t t x a π2cos )(1=，t t x a π5cos )(2=。
输出信号)(1t y a 、)(2t y a 有无失真？为什么？2.11 根据奈奎斯特定理：因为t t x a π2cos )(1=，而频谱中最高角频率2621ππ<=Ωa ，所以)(1t y a 无失真。
因为t t x a π5cos )(2=，而频谱中最高角频率2652ππ>=Ωa ，所以)(2t y a 失真。
2.12 有一连续信号)2cos()(ϕπ+=ft t x a ，式中20=f Hz ，2πϕ=(1) 求出)(t x a 的周期；(2) 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，试写出采样信号)(ˆt xa 的表达式。
2.12 （1）s fT a 05.01==（2）)()2cos()()()()()(ˆnT t fnT nT t nT xt t x t xn n aT a a -+=-==∑∑∞-∞=∞-∞=δϕπδδ∑∞-∞=-+=n nT t nT )()40cos(δϕπ第3章习 题3.1 求下列序列的z 变换，并标明收敛域。
（1）)4()(-=n n x δ（2）)(21)(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=（3）)1(21)(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n（4）nn x 1)(=，1≥n （5）)1(5.0)(-=n u n x n（6）())(2.0)(n u n n x n=答案： 3.1解（1）由z 变换的定义可知，4)4()(-∞-∞=-=-=∑z zn z X n nδ，0≠z（2）10211121)(21)(--∞=∞-∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑z z z n u z X n nn n nn，21||>z（3）n nn n nn z z n u z X -∞--=∞-∞=-∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121)1(21)(1121112-∞=-=-=∑z z n n n ，21||<z （4）∑∞=-=11)(n n z n z X 由于∑∑∞=----∞=-=-=-=121111)()(1)(n n n n z z z z n n dz z dX ，1||>z 则zzz z z X -=--=1ln )1ln(ln )( 而)(z X 的收敛域和)()(z X z dX 的收敛域相同，所以)(z X 的收敛域为1||>z 。