圆锥曲线中离心率取值范围的求解(典型例题讲解)
圆锥曲线之求解离心率
一、快速求离心率的两种技巧 1. 赋值法适用于知道c b a ,,中两者之间的关系，如b a 2=,令12==b a ,,则233==e c , 2. 齐次式（等式两边次数和相同）如ac b 22=,则ac c a 222=-,该式左右两边次数之和都是二次,因此同乘21a 得e e 212=-,解得21+-=e （负值舍去）如22442c a c a =-应同乘41a ,2333ac c a =-应同乘31a注意:齐次式的方法必须消去b ,如222422c ab b a c b a =++⇒=+就无法用此法, 应该222222244442c a ac a c b ac a c b a c -=-+⇒=-+⇒=- 二、利用顶角求离心率的取值范围在椭圆中,顶角∠211F P F 最大. 证明:设∠θ=21PF F ,由余弦定理知()1412422424222222222-≥-=--+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m b mn b mn mn c n m mn c n m θcos 当且仅当n m =,θcos 取得取最小值.又因为(]πθ，0∈,θcos 单调递减,所以θcos 取得取最小值时,θ最大,此时a n m ==,=θ∠211F P F .例1. 椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 为其上一点,且∠321π=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .例2.（2017全国I,12）设B A ,是椭圆1322=+my x C :长轴的两个端点,若C上存在点M 满足∠︒=120AMB ,则m 的取值范围是A . (][)+∞⋃,,910B . (][)+∞⋃,,930C . (][)+∞⋃,,410D . (][)+∞⋃,,430变式1：若B A ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,长轴的两个端点,Q 为椭圆上的一点,使∠︒=120AQB ,求此椭圆离心率最小值为 .变式2:已知21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a b y a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,且∠9021=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .三、利用焦半径求离心率取值范围在椭圆中,21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,则c a PF c a +≤≤-2同理,双曲线中,a c PF -≥2. 例1.椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 是椭圆上一点,且212PF PF =,则此椭圆离心率的取值范围是 . 例2.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,点P 在双曲线的右支上,且214PF PF =,则此双曲线离心率e 的最大值为 .变式1.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,P 是双曲线上异于实轴端点的点,满足1221F PF a F PF c ∠=∠sin sin ,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A . ()3121++, B . ()+∞+,21C . ()212+, D . ()211+,四、利用渐近线求离心率取值范围过双曲线内一点①与双曲线只有一个交点的直线有两条(与渐近线平行)②与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,a b a b③与双曲线左、右两支相交于两点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+-a b a b ,.例1. 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个焦点分别在左右两支上,则双曲线离心率的取值范围是 例2.设双曲线()01222>=-a y ax C :与直线1=+y x l :相交于两个不同的点B A ,,求双曲线C 的离心率e 的取值范围.变式 1. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )A . (]21,B . ()21,C . [)+∞,2 D . ()+∞,2五、椭圆与双曲线共焦点问题 例1.已知共焦点21F F ,的的椭圆与双曲线,它们的一个公共点是P ,若021=⋅P F P F ,则椭圆的离心率1e 与双曲线的离心率2e 的关系式为( ) A .2112221=+e e B . 2112221=-e e C . 22221=+e e D . 22122=-e e变式 1. 设椭圆11022=+y x 双曲线1822=-y x 的公共焦点分别为21F F ,, P 是这两个曲线的交点,则21F PF ∆的外接圆半径为( )A . 1B . 2C . 22D . 3变式 2. 已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且321π=∠PF F ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .334 B . 332 C .3 D . 3 六、圆锥曲线再论共焦点模型设椭圆和双曲线的长半轴分别为21a a ,,由椭圆和双曲线的定义知22112122a PF PF a PF PF =-=+,解得212211a a PF a a PF -=+=例1.椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,它们在第一象限的交点为A ,且21AF AF ⊥,︒=∠3021F AF ,则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A . 2B . 3C .21D .23 例2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为21F F ,,且两条曲线在第一象限的交点为P ,21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若101=PF ,椭圆与双曲线的离心率分别为21e e ,,则121+⋅e e 的取值范围为( )A . ()+∞,1B . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,34 C .⎪⎭⎫⎝⎛+∞,56 D . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,910变式1.已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且11PF PF >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,若211F F PF =,则3321e e +的最小值为( )A . 326+B . 226+C . 8D . 6变式2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,都在x 轴上,记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ,若21F PF ∆是以1PF (1F 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率为七、圆锥曲线三站共焦点模型设θ221=∠PF F ,在21F PF ∆中,221211212122cb a a PF PFc F F +==+=由余弦定理知,()()()θθθ212421222212121221212221221cos cos cos +-=+-+=-+=PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF F F可得()θθ212212212121cos cos +=+-=b c a PF PF ,θθθθtan cos sin sin 21212121222121b b PF PF S PF F =+==∆ 同理可得,θtan 2221b S PF F =∆ 所以θθtan tan 2221b b =⇒()()222222212222221a c c a a c c a -=-⇒-=-θθθcos sin tan 两边同时除以2c ,得到1222212=+e e θθcos sin 例1.设21e e ,分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和圆锥曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则()2212221e e e e +的值为( ) A .21B . 1C . 2D . 不确定 例2.已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则当211e e 取最大值时,的值分别是( )A .2622, B . 2521, C . 633, D . 342, 变式 1. 已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则2111e e +的最大值为 .变式2.已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同,且离心率互为倒数,21F F ,是它们的公共21e e ,焦点,P 是椭圆与双曲线在第一象限的交点,若321π=∠PF F ,则椭圆1C 的离心率为A .33 B . 23 C . 22 D . 21八、圆锥曲线线段最值问题空间中定点到圆锥曲线上动点线段长度问题 处理策略:1. 二次函数 2. 参数方程例1. 设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是A . 25B .246+ C . 27+ D . 26九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式椭圆的第二定义:平面上到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数e .对椭圆12222=+b y a x ,相对于焦点()0,c F 的准线方程是c a x 2=设过左焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,,过A 向准线ca x 2=作垂线于点D⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=θcos 1211AF c c a e AD e AF e AD AF 解得θcos c a b AF -=21同理可得,θcos c a b BF +=21设()121>=λλAF AF ,得θθθθθθλcos cos cos cos cos cos e e c a c a c a b c a b -+=-+=+-=1122⇒11-+=λλθcos e 即1111BF AF BF AF e +-==和差θcos例1. 双曲线),(:0012222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 与B A ,两点,若FB AF 4=,则C 的离心率为例2. 已知椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的离心率为23,过右焦点F 且斜率为)(0>k k 的直线与C 相交于与B A ,两点.若BF AF 3=,则=k变式 1. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为变式 2. 设椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的右焦点F ,过F 的直线与椭圆C 相交于与B A ,两点,直线l 的倾斜角为︒60,FB AF 2= (1) 求椭圆C 的离心率 (2) 如果215=AB ,求椭圆C 的的方程.十、椭圆的焦半径公式坐标式 设椭圆上一点),(y x A ,则exa AF ex a AF -=+=21例1. 已知ABC ∆是椭圆192522=+y x 的内接三角形,F 是椭圆的右焦点,且ABC ∆的重心在原点0,则C B A ,,三点到F 的距离之和为( )A . 9B . 15C . 12D . 8变式1. 已知椭圆13422=+y x 的左右焦点分别为21F F ,,P 为椭圆上一动点. (1) 求21PF PF 的取值范围； (2) 求21PF PF ⋅的取值范围.九、快速求离心率的两种技巧 十、利用顶角求离心率的取值范围 例1.解:由题意知,有一点P 使∠321π=PF F ,则椭圆的顶角∠3211π≥F P F ,所以∠621π≥F OP ,又因为a c F OP =21sin ,则21621=≥=πsin sin a c F OP 故⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈121,e例2.变式1.变式2.十一、利用焦半径求离心率取值范围例1.例2.变式1.十二、利用渐近线求离心率取值范围例1变式1十三、椭圆与双曲线共焦点问题例1变式2十四、圆锥曲线再论共焦点模型例1例2变式1变式2十五、圆锥曲线三站共焦点模型例1例2变式1变式2十六、圆锥曲线线段最值问题例1九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式例1例2变式1变式2十、椭圆的焦半径公式坐标式例1变式1。
圆锥曲线离心率取值范围求法大放送
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圆锥曲线离心率取值范围求法大放送
作者：孔建芳
来源：《中学教学参考·理科版》2013年第06期
如何求解离心率的取值范围是很多学生较难掌握的内容.笔者通过多年的教学经验认为，
要解决此类问题，最重要的便是充分挖掘题中所隐含的条件，构造出解决此类问题的不等式.
一、利用直线与双曲线的位置关系
【例1】给出条件：已知双曲线x2a-y2=1（a>0）与直线l：x+y=1相交于两个点P和Q，要求解出双曲线离心率的取值范围.
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x，得（1-a2）y2-2y+1-a2=0，1-a2≠0
时，直线与双曲线有两个不同的交点，则Δ>0，Δ=4-4（1-a2）2=4a2（2-a2）>0，即a232
，即e>62且e≠2.
二、利用点和双曲线的位置关系
点评：在解决这一题时，可以先解出双曲线上其中一点的坐标，然后再利用相关性质“若点P在双曲线x2a2-y2b2=1
的左支上，则x≤-a；若点P在双曲线x2a2-y2b2=1的右支上，则x≥a”.
求双曲线离心率的取值区间时要根据题设的条件找到合适的切入点，因题制宜发现题中隐藏的不等关系，创建含有离心率的不等式是解决这类问题的重要之处.
（责任编辑金铃）。
圆锥曲线的离心率问题的求解
圆锥曲线的离心率问题的求解一、由曲线图形的性质求离心率的大小或范围问题例1、（1）已知双曲线22xa－y2=1(a>0)的一条准线为x=1.5，则该双曲线的离心率为（2）设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.（3）点P(－3,1)在椭圆x2/a2+y2/b2=0(a>b>0)的左准线上.过点P且方向为a=(2,－5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为.（4）已知双曲线x2/a2+y2/b2 = 0 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（5）已知双曲线22xa－y2=1(a>1)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（6）过标准型双曲线的右焦点作其在第一三象限的渐近线的垂线，垂足为P，若此垂线与双曲线的左右两支个交于一点，则双曲线的离心率的范围为.（7） (浙江) 过标准型双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．（8）设标准型双曲线的右焦点为F，右准线L与两条渐近线交于P、Q两点，如果ΔPQF是直角三角形，则双曲线的离心率e= .(9)过双曲线M:x2-y2/b2=1的左顶点A作斜率为1的直线L,若L与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是(10)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2，则该椭圆的离心率为.例2、已知A、B是椭圆长轴的两个端点，如果椭圆上存在一点Q，使∠AQB=120°，求椭圆离心率的取值范围。
练习：椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若存在过椭圆左焦点的直线L交椭圆于P、Q两点，使得OP⊥OQ，求离心率e 的取值范围。
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。
圆锥曲线专题[求离心率的值、离心率的取值范围]
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圆锥曲线专题 求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。
策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221ab ac e -==；双曲线中221a b a c e +==.所以只要求出ab值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率.解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则1221221=-b y a x ① 1222222=-by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得13222121==--=a b x x y y k BD，解得322=ab ，所以231122=+=+=a b e .方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22ab 的值，从而整体代入求出离心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ϕ=+，2),(=b a ϕ或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22a b 的值，最后求得离心率.【同类题型强化训练】1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313.A 213.B 315.C 210.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率21-=k ，求椭圆的离心率.3.（母题）已知双曲线)0(1:22>=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21，求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为032=±y x ，比较可得32=a b ，则313941122=+=+=a b e .2.答案：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则1221221=+b y a x ① 1222222=+by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得2221212ab x x y y k -=--=直线AB 的斜率21-=k ，所以21222-=-=a b k ，解得4122=a b所以离心率23411122=-=-==a b a c e .3.答案：曲线C 的渐近线方程分别为0:1=+y m x l 和0:2=-y m x l ，设),(00y x P ，则 点),(00y x P 到直线1l 的距离m y m x d ++=1001，点),(00y x P 到直线2l 的距离my m x d +-=1002，mmy x my m x y m x d d +-=+-⋅+=⋅11220000021因为),(00y x P 在曲线C 上，所以m my x =-2020，故21121=+=⋅m m d d ，解得1=m 所以2=e .策略二：构造c a ,的关系式求离心率根据题设条件，借助c b a ,,之间的关系，沟通c a 、的关系（特别是齐次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e .例 2.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点P 在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，1MF 的中点为P ，则点P 的横坐标为2c-.由c F F PF ==21121， 焦半径公式a ex PF p --=1有a ca c c --⨯-=)2(，即02222=--ac a c 有0222=--e e解得31+=e ，或31-=e （舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于c a ,的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义ace =整理成关于e 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：),1(),1,0(+∞∈∈双曲线椭圆e e . 【同类题型强化训练】1.（2011新课标）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）.A 2.B 3.C 2 .D 32.（2008浙江）若双曲线12222=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）.A 3 .B 5 .C 3 .D 5 【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意a aa c AB 22222=-=，解得2=e .2.答案：依据题意2:3)(:)(22=-+c a c c a c ，整理得223a c =，所以3==ace .策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即e dMF =.例3.（2010年辽宁卷）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60,2AF FB =,求椭圆C 的离心率.解法一：作椭圆的左准线B A '',过A 作B A ''的垂线，垂足为A '；过B 作B B '的垂线，垂足为B '.过B 作A A '的垂线，垂足为M .如图2.由图，由椭圆的第二定义，则e A A AF ='e AF A A ='⇒，e B B BF ='e BFB B ='⇒ 12::==''e BF e AF B B A A B B A A '='⇒2 且A A BM '⊥,所以M 是A A '的中点又因为直线l 的倾斜角为︒60，即︒=∠=∠60AFx BAM ， 所以在BAM Rt ∆中，A A AM AB '==2,故3232=⋅='=AB AB A A AF e . 解法二：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得221222223(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b -+--==++因为2AF FB =，所以122y y -=.即 2222223(2)3(2)233b c a b c a a b a b +--=⋅++得离心率 23c e a ==. 方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)
分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐
2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2
圆锥曲线范围问题含详解
圆锥曲线取值范围问题一、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.二、解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．三、例题．设C 为椭圆22184x y +=的左焦点，直线1y kx =+与椭圆交于A ，B 两点. （1）求CA CB +的最大值；（2）若直线1y kx =+与x 轴、y 轴分别交于M ，N ，且以MN 为直径的圆与线段MN 的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数k 的取值范围。
【分析】（1）联立直线和椭圆方程，利用焦半径公式，结合韦达定理得到|CA |+|CB |关于k 的表达式，进而利用基本不等式求得最大值；（2）先根据直线的方程求得M ,N 的坐标，进而得到以线段MN 为直径的圆的方程和线段MN 的垂直平分线方程，解方程组求得圆与垂直平分线的交点坐标，利用点在椭圆内的条件得到不等式组求解即得k 的取值范围. 【详解】（1）22184x y +=的半长轴a =半短轴2,b =半焦距2,c =离心率c e a == 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221280y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，可得()2212460k x kx ++-=， 所以122412kx x k +=-+，112,CA a ex CB =+==,则)1221212CA CB x x k +=+=≤+； （2）依题意可知1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1)N ，所以圆的方程为1(1)0x x y y k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭①，垂直平分线为11122y x k k ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭②，联立①②消去y , 111111102222x x x x k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,即221111024x x x k k k ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22223411044x x x x k k k k ++++-=,即22234111111104x x k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即22111104x x k k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭, 即21124x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得11122x k =--，11122x k =-+， 对应11122y k =+，21122y k =-+， 两个交点的坐标为11111111,,,22222222k k k k ⎛⎫⎛⎫--+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可知2113822k ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭且2113822k ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即111111k k ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤+⎪⎩，即111k ≤≤，解得k ≥k ≤四、好题训练1．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的焦距为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点()0,1A ，点B 在椭圆C 上，求线段AB 长度的最大值. 2．已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程.（2）若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围.4．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，1F ，2F为椭圆的左右焦点，1,2P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且2PF =（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l ：2x =-，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，求tan MAN ∠最小值. 5．已知圆锥曲线E 上的点M 的坐标(),x y．（1）说明E 是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线l 与E 交于y 轴右侧不同的两点A ，B ，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．6．如图，点1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左､右焦点，点A 是椭圆C 上一点，且满足2AF x ⊥轴，1230AF F ∠=︒，直线1AF 与椭圆C 相交于另一点B .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若2ABF 的周长为M 为椭圆C 上任意一点，求1OM F M →→⋅的取值范围. 7．在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于14-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆：2214xy +=相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m使得34OA OBOM ，求m 的取值范围.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1. （1）求C 的方程；（2）已知点()()1122,,,A x y B x y 在C 上，且线段AB 的中垂线l 的斜率为12-，求l 在y 轴上的截距的取值范围.9．已知圆F 1：（x +1）2+y 2=16，F 2（1，0），P 是圆F 1上的一个动点，F 2P 的中垂线l 交F 1P 于点Q .（1）求点Q 的轨迹E 的方程；（2）若斜率为k （k ≠0）的直线l 1与点Q 的轨迹E 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点（13，0），求k 的取值范围.10．已知点A ，B 的坐标分别是()0,1-，()0,1，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12-.（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E ､F （E 在D ､F 之间），DE DF λ=，试求λ的取值范围. 11．已知平面内动点P与点)A和点()B 的连线的斜率之积为12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且OMF ONF S S λ=△△（113λ<<），求直线l 斜率的取值范围.12．已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F，点(M a 在抛物线C 上． （1）若6MF =，求抛物线C 的标准方程；（2）若直线x y t +=与抛物线C 交于A ，B 两点，点N 的坐标为()1,0，且满足NA NB ⊥，原点O 到直线ABp 的取值范围． 13．已知一动圆M 与圆1C：(221x y ++=外切，且与圆2C：(2249x y -+=内切．（1）求动圆M 的圆心M 的轨迹方程E ；（2）若过点(1,0)A 的直线l （不与x 轴重合）与曲线E 交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求PQ AN的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy中，直线:l y kx =22:14y E x +=相交于A 、B 两点，与圆22:4O x y +=相交于C 、D 两点． （1）若OC OD ⊥，求实数k 的值； （2）求2AB CD ⋅的取值范围．15．已知点()1,0F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线1l 交抛物线与A ，B 两点.（1）求抛物线C 的方程； （2）求OA OB ⋅的值；（3）如图，过点F 的直线2l 交抛物线于C ，D 两点（点A ，C 在x 轴的同侧，A C x x >），且12l l ⊥，直线AC 与直线BD 的交点为E ，记EFC △，ACF 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围.16．已知椭圆()22221x y a b a b +=>>的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的方程为4x =，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为1S ，△QSO 的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 17．已知椭圆C ：22143x y +=左右焦点分别为12,F F ，P 在椭圆C 上且活动于第一象限，PP'垂直于y 轴交y 轴于P '，Q 为PP '中点；连接1QF 交y 轴于M ，连接2QF 并延长交直线:3l x 于N .（1）求直线1QF 与2QF 的斜率之积；（2）已知点(0,1)T -，求22MP NP TQ ⋅+的最大值.18．已知①如图，长为12的矩形ABCD ，以A ､B 为焦点的椭圆2222:1x y M a b+=恰好过CD 两点②设圆22(16x y +=的圆心为S ，直线l 过点T ，且与x 轴不重合，直线l 交圆S 于CD 两点，过点T 作SC 的平行线交SD 于M ，判断点M 的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M 的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆M 的标准方程，若圆22:1O x y +=的切线l 与椭圆相交于P ､Q 两点，线段PQ 的中点为T ，求OT 的最大值.19．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A -，过动点P 作直线4x =-的垂线，垂足为M ，且4AM AP ⋅=-.记动点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B 、C . ①若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；②设B 关于x 轴的对称点为D ，求ACD △面积S 的取值范围.20()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()3,1P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，过点P 斜率为12,k k 的两条不重合的动直线与椭圆C 的另一交点分别为,M N （,M N 皆异于点Q ）.若1213k k =，求点Q 到直线MN 的距离的取值范围.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上任意一点P 到焦点距离的最大值是最小值的3倍，且通径长为3（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，则1ABF 的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.22．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点P 是抛物线上横坐标为2的点，且3PF =．（1）求抛物线的方程；（2）设直线l 交抛物线C 于,M N 两点，若4MN =，且弦MN 的中点在圆22()1x a y -+=上，求实数a 的取值范围．23．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ：2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，设P 是第一象限内Γ上一点，1PF ，2PF 的延长线分别交Γ于点1Q ，2Q .（1）求12PF Q △的周长；（2）设1r ，2r 分别为12PF Q △，21PF Q △的内切圆半径，求12r r -的最大值.24．设实数0k ≠，椭圆D ：22162x y +=的右焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线交D 于P 、Q两点，若线段PQ 的中为N ，点O 是坐标原点，直线ON 交直线3x =于点M ．（1）若点P 的横坐标为1，求点Q 的横坐标； （2）求证：MF PQ ⊥； （3）求PQ MF的最大值．参考答案1．（1）22142x y +=（2 【分析】（1）由题意可得2c =2c e a a ===，求出a ，再由 b b ，从而可求得椭圆方程，（2）设()00,B x y ，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可 （1）依题意，得2c c ==2===⇒=c e a a ，所以b所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）设()00,B x y ，则2200142x y +=，则有0y ≤≤所以20220041422y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式，得()()222220000||14112y AB x y y ⎛⎫=+-=-+- ⎪⎝⎭ 2200025(1)6y y y =--+=-++，因为0y ≤≤所以当001,=-=y x ||AB 2．（1）2213x y +=；（2）22m -<<.【分析】（1）由已知得2a =c = （2）联立直线与椭圆方程，消元，利用韦达定理能求出m 的取值范围． 【详解】解：（1）由已知得2a =c =解得a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=．（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解方程组并整理得2246330x mx m ++-=， 有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<．m ∴的取值范围(2,2)-．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．3．（1）2214x y +=；（2）|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得a ，c 的值，根据a ，b ，c 的关系，求得b 值，即可得答案. （2）联立直线与椭圆方程，根据有公共点，可得0∆≥，化简整理，即可求得答案. 【详解】解：（1）由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.（2）由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点， 所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭. 4．（1）2212x y +=（2）4 【分析】（1）设()1,0(0)F c c ->，根据题中条件求出1c =，得出1PF =出a 的值，再根据222b a c =-即可求出b 的值，即可求出椭圆方程；（2）由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到23tan t MN MAN AN+∠==，再根据基本不等式即可求出结果. （1）解：设()2,0F c ，则2PF ==1c =，即()11,0F -.∴1PF =122PF PF a +==，∴a =1b ，故椭圆的标准方程为2212x y +=； （2）解：由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线AB ：1x ty =+， 联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意，()()222442810t t t ∆=++=+>，由韦达定理12222ty y t -+=+，12212y y t =-+，则22Nt y t =-+，∴22221122N N t x ty t t =+=-+=++，MN AB ⊥，∴MNk t =-，∴222226222t MN t t +=--=++，又1212AN AB y y==-=∴23tan4tMNMANAN+⎫∠===≥=，即1t=±时取等号.5．（1）圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为22163x y+=（2）(3,-【分析】（1）由平面上两点间距离公式及椭圆的定义即得；（2）由题可设直线l：y x m=+，联立椭圆的方程，利用韦达定理可得3m-<<，即求. （1）由题可知点M到定点()，)的距离之和为∴圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为所以其标准方程为22163x y+=.（2）设直线l：y x m=+，()11,A x y，()22,B x y，由22163x yy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y，得2234260x mx m++-=，由题意，有()()221221244326043263m mmx xmx x⎧∆=-⨯->⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪-=>⎪⎩，解得3m-<<所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(3,-.6．（1（2）5,34⎡⎢⎣【分析】(1)结合已知条件，分别求出a 、c 与2||AF 的关系式，进而求得离心率；(2)结合(1)中结论和已知条件求出椭圆的方程，然后设出M 的坐标，然后利用数量积公式表示出1OM F M →→⋅，最后利用二次函数的性质求解即可. （1）在12Rt AF F △中，∵1230AF F ∠=︒， ∴122AF AF =，122F F =，由椭圆的定义，12223a AF AF AF =+=，22c ， ∴椭圆离心率22c c e a a ====（2）2ABF 的周长为22AF BF AB ++=11224AF BF AF BF a +++==a =∵c e a ==，∴1c =，2222b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为22132x y +=，可得()11,0F -，设()00,M x y ，则()00,OM x y →=，2200132x y +=， ∵()1001,F M x y →=+，∴()222210000002125123334OM F M x x y x x x x →→⎛⎫⋅=++=++-=++ ⎪⎝⎭，∵0x ≤≤所以由二次函数性质可知，当0x 1OM F M →→⋅的最大值为3当023x =-时，1OM F M →→⋅的最小值为54，所以1OM F M →→⋅的取值范围是5,34⎡⎢⎣.7．（1）()22124x y x +=≠±（2）11(1,)(,1)22-- 【分析】（1）根据直线DP 与EP 的斜率之积列方程，化简求得动点P 的轨迹C 的方程. （2）利用向量的坐标运算，由34OA OBOM 得到123x x =-，联立直线y kx m =+与椭圆：2214x y +=，化简写出根与系数关系、判别式，求得关于m 的不等式，并由此求得m 的取值范围. （1）设(),P x y ，则()1=22+24EP DP y y k k x x x ⋅=⋅-≠±-， 所以可得动点P 的轨迹C 的方程为()22124x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ，由34OA OBOM 得12123,30,4x x y y m ，123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->，即226416160k m -+>22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又123x x =-22441kmx k ，则222122224443()4141km m x x xk k ， 222216410k m k m ，2221416m k m 代入22410k m -+>得22211014m m m-+->-， 2114m <<，解得11(1,)(,1)22m ∈--.m ∴的取值范围是11(1,)(,1)22--8．（1）22y x =；（2）9(,)16+∞.【分析】(1)利用p 的几何意义直接写出C 的方程即得.(2)根据给定条件设出直线l 及直线AB 的方程，联立直线AB 与抛物线C 的方程，求出弦AB 中点坐标，借助判别式计算作答. （1）因抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1，则p =1， 所以C 的方程为22y x =. （2）依题意，设直线l 的方程为12y x b =-+，直线AB 的方程为y =2x +m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222y x y x m⎧=⎨=+⎩消去x 得：20y y m -+=，由题意知Δ140m =->，得14m <，设线段AB 的中点为()00,N x y ，则120122y y y +==，再由002y x m =+，可得0142m x =-，又点N 在直线l 上，则111()2242m b =--+，于是584m b =-，从而有511984416b >-⨯=，所以l 在y 轴上的截距的取值范围为9(,)16+∞.9．（1）22143x y +=（2）15,,5⎛⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用椭圆的定义可求椭圆方程.（2）设直线()()11122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理可求AB 的中垂线的方程，结合其过1,03⎛⎫⎪⎝⎭所得,k m 的等式，结合判别式为正可得k 的取值范围. （1）由题意可知：11||4PQ QF PF r +===， 由2F P 的中垂线l 交1F P 于点Q ，则2||QF PQ =， ∴211242QF QF F F +=>=，则点Q 的轨迹E 为以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆， 即22224,22,3a c b a c ===-=， ∴点Q 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.（2）设直线()()11122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()222(8)4344120km k m ∆=-+->即223043k m +>-①，由根与系数关系得122834km x x k +=-+，则()121226234my y k x x m k +=++=+， 所以线段AB 的中点M 的坐标为2243,3434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又线段AB 的直平分线l '的方程为113y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由点M 在直线l '上，得22314134343m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24330k km ++=，所以()21433m k k=-+②，由①②得()222243439k k k+<+，∵2430k +>，∴22439k k +<，所以235k >，即k <k >所以实数的取值范围是15,,5⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭.10．（1）2212x y +=（0x ≠），（2）31λ-<<且13λ≠．【分析】（1）设(,)M x y ，用坐标表示出已知条件即可得；（2）设11(,)F x y ，22(,)E x y ，由DE DF λ=得12,x x 的关系，12,y y 的关系，利用,E F 都是椭圆上的点，适合椭圆方程，可解得1x ，然后由1x ≤求得l 的范围，注意题中有01λ<<，10x ≠，结合起来求得正确的范围．（1）设(,)M x y ，则1112y y x x +-⋅=-（0x ≠），，化简得2212xy +=（0x ≠），此即为曲线C 的方程； （2）设11(,)F x y ，22(,)E x y ，221112x y +=，由DE DF λ=，得21212(2)x x y y λλ-=-⎧⎨=⎩， 212122x x y y λλλ=-+⎧⎨=⎩，E 在椭圆上，则2211(22)()12x y λλλ-++=，把221112x y =-代入得 222222111(22)(22)1222x x x λλλλλλ-+--++-=，解得1312x λλ-=，由1x <得，312λλ-33λ-<<+ 又由于E 在线段DF 上，01λ<<，10x =时，13λ=，所以31λ-<且13λ≠．11．（1）2212x y +=(x ≠；（2）()(),11,-∞-⋃+∞. 【分析】（1）设(),P x y，且x ≠12PA PB k k ⋅=-化简即可得动点P 的轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l ：1x my =+与椭圆方程联立可得12y y +，12y y ，()221221242y y m y y m +-=+，由12OMF ONFS y S y λ==-， ()212121221122y y y y y y y y λλ+=++=--+，可得221422m m λλ---+=+，根据λ的范围求得12λλ--+的范围，再解不等式可得m 的范围，再求1m的范围即为直线l 斜率的取值范围.（1）设(),P x y，则22122PA PBy k k x ⋅===--，整理可得：2222x y +=，即2212x y +=(x ≠，所以动点P 的轨迹C 的方程为2212x y +=(x ≠，（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为：1x my =+， 由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210m y my ++-=， 所以12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，因为11221212OMFONFOF y S y S y OF y λ⋅⋅===-⋅⋅，()()()2221222221244222y y m m m y y m m +-⎡⎤=⨯-+=⎣⎦++， ()222121212121212212122y y y y y y y y y y y y y y λλ+++==++=--+，所以221422m m λλ---+=+，即221422m m λλ+-=+，因为12y λλ=+-在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1420,3y λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，所以2244023m m <<+，因为22402m m >+，由224423m m <+可得：11m -<<， 所以直线l 的斜率11m<-或11m >.所以直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞. 12．（1）24y x =或220y x =；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由已知可得202pa =，由抛物线的定义可得62pa +=，解方程求得p 的值即可求解； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线x y t +=与22y px =，由原点O 到直线AB 的距离不t 的范围，由韦达定理可得12x x +、12x x ，利用坐标表示0NA NB ⋅=可利用t 表示p ，再利用函数的单调性求得最值即可求解. （1）由题意及抛物线的定义得：62pa +=，又因为点(M a 在抛物线C 上，所以202pa =，由62202p a pa⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 可得25p a =⎧⎨=⎩或101p a =⎧⎨=⎩，所以抛物线C 的标准方程为24y x =或220y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22x y t y px+=⎧⎨=⎩消去y 可得：()2220x p t x t -++=，则1222x x p t +=+，212x x t =，因为NA NB ⊥，所以()()()()()()121212121111NA NB x x y y x x t x t x ⋅=--+=--+--()()212122110x x t x x t =-++++=，所以()()22212210t t p t t -++++=，可得22121t t p t -+=+，由原点O 到直线AB≥2t ≥或2t ≤-， 因为0p >，所以2t ≤-不成立，所以2t ≥，因为221421411t t p t t t -+==++-++在[)2,+∞上单调递增， 所以2222112213p -⨯+≥=+，所以16p ≥， 即p 的取值范围为1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．13．（1）221168x y +=（2）( 【分析】（1）设圆M 的半径为r ，则1217MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，即可得到128MC MC +=，即可得到点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，求出,a b ，即可得到轨迹方程；（2）设l 方程为：(1)y k x =-，1122(,)(,)P x y Q x y ，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出PQ ，再求出线段PQ 垂直平分线方程，从而求出AN，即可得到PQ AN= （1）解：设圆M 的半径为r ，则1217MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩12128MC MC C C ∴+=>=所以点M 的轨迹是以12,C C为焦点的椭圆，且4,a c ==2228b a c ∴=-=所以所求轨迹方程为221168x y +=． （2）解：经分析，l 斜率存在，设l 方程为：(1)y k x =-，1122(,)(,)P x y Q x y ， 由22(11168y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩）消去y 得：222212)42160k x k x k +-+-=（ 221212224216,.1212k k x x x x k k -∴+==++PQ ∴=．． 121222(2)12ky y k x x k -+=+-=+ PQ ∴的中点坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以线段PQ 垂直平分线方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭．令0y =得2212N kx k =+，221112N k AN x k +∴=-=+PQAN ∴= 0k ≠ 211k ∴+> 2141630301k ∴<-<+ PQ AN∴的取值范围为(．14． （1）k = （2）[)4,64 【分析】（1）求出圆心到直线l的距离为d =k 的值； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出AB 关于k 的表达式，利用勾股定理可求得CD 关于k 的表达式，再利用不等式的基本性质可求得2AB CD ⋅的取值范围. （1）解：因为OC OD ⊥，且圆O 的半径为2，所以点O 到直线l的距离2sin4d π===k =． （2）解：设()11,A x y 、()22,B x y，由2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()22410k x ++-=，()()2224416160k k ∆=++=+>，所以12x x +=，12214x x k -=+，所以12 AB x x=-=()22414kk+=+．设圆心O到直线l的距离为d=所以CD===所以()()22222222411614142404644144k kkAB CDk k k k+++⋅=⋅⋅==-++++．244k+≥，则21144k<≤+，所以，[)22240644,644AB CDk⋅=-∈+.所以2AB CD⋅的取值范围为[)4,64．15．（1）24y x=（2）3-（3）()0,1【分析】（1）根据题意得到12p=，从而得到抛物线C：24y x=.（2）首先设直线AB的方程为1x ty=+，与抛物线24y x=联立得2440y ty--=，再利用韦达定理求解.（3）设211,4yA y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yC y⎛⎫⎪⎝⎭，21144,By y⎛⎫-⎪⎝⎭，22244,Dy y⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用韦达定理和12ECFACFECSSS S AC==△△求解即可.（1）因为抛物线C：()220y px p=>，焦点()1,0F，所以12p=，解得2p=，所以抛物线C：24y x=.24y x =（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，与抛物线24y x =联立得：2440y ty --=， 由韦达定理得124y y t +=，124y y =-，所以()22212121214416y yy y x x =⋅==，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=- （3）设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21144,B y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22244,D y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为21222112444AC y y k y y y y -==+-， 所以直线AC ：2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =+++。
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圆锥曲线中离心率取值范围的求解范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等． 策略一：利用曲线的定义例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞例2双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．Ｂ．)+∞Ｃ．1]Ｄ．1,)+∞策略二：利用曲线的几何性质例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．Ｄ． 例4已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞ 策略三：利用题设指定条件例5椭圆22221x y a b+=的焦点为12,F F ，两条准线与x 轴的交点分别为,M N ．若122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．1(0,]2Ｂ．(0,2 Ｃ．1[,1)2Ｄ．,1)2 例6设12、F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,2Ｂ．(0,3Ｃ．[2Ｄ．,1)3 例7已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是例8双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞策略六：利用二次函数的性质例9设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）Ａ．2) Ｂ． Ｃ．(2,5) Ｄ．例10、已知12,F F 是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使01260F PF ∠=，求椭圆的离心率e 的取值范围。
策略一：利用曲线的定义例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞【解析】Ｂ22033352022a ex a e a a a e e c -=⨯->+⇒-->， 2e ∴>或13e <-（舍去），(2,)e ∴∈+∞． 例2双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．Ｂ．)+∞Ｃ．1]Ｄ．1,)+∞【解析】Ｃ222000(1)(1),a a a ex a x e x a a e a c c c -=+⇒-=+⇒+≥-2111121011a e e e e c e∴-≤+=+⇒--≤⇒-≤而双曲线的离心率1e >，1],e ∴∈故选Ｃ.【点评】例1、例2均是利用第二定义及焦半径公式列出方程．例1根据题设列出不等式；例2是根据0x 的范围将等式转化为不等式，从而求解．这种利用、x y 的范围将等式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法．策略二：利用曲线的几何性质例已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．(0,)2Ｄ．2 【解析】Ｃ 由题，M 的轨迹为以焦距为直径的圆，由M 总在椭圆内部，知：2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<，又(0,1)e ∈，所以2e ∈故选Ｃ. 【点评】利用圆的几何性质判定轨迹为圆，再利用椭圆和圆的几何性质解题．一般地，c b <时M 点总在椭圆内部；a c b >>时M 点有4个在椭圆上；c b =时M 有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点．例4已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞Ｄ．(2,)+∞【解析】如图1l 与2l 分别为与双曲线22221x y a b-=的渐近线平行的两条直线，直线l 为过F 且倾斜角为60的直线，要使l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使tan 603ba≥=2e ∴=≥．【点评】此处利用双曲线几何性质，用所给定直线和渐近线的关系确定渐近线斜率范围，从而求出离心率范围．策略三：利用题设指定条件例5椭圆22221x y a b+=的焦点为12,F F ，两条准线与x 轴的交点分别为,M N ．若122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．1(0,]2Ｂ． Ｃ．1[,1)2Ｄ． 【解析】Ｄ 因为两准线距离为22a c ，又因为122F F c =，所以有224a c c≤，即222a c ≤，所以12e ≤<． 【点评】本题主要考查准线方程及椭圆离心率的求法，而限制条件即是题目中的122MN F F ≤，故利用题设得到与离心率相关的不等式即可．例6设12、F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,2Ｂ．(0,3Ｃ．[2Ｄ．,1)3【解析】Ｄ 设若P 为右准线与x 轴的交点，可知22a c c c -=，即213e =， 又P 在右准线上可知22a c c c-≥，所以离心率的取值范围为． 【点评】题设条件为几何特殊关系时应注意如何转化几何关系为代数关系，特别是和离心率相关的关系．例7已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是【解析】212211sin sin PF PF F PF F PF ∠=∠（由正弦定理得），211PF a PF c e ∴==，21e PF PF ∴=． 又122(1)PF PF a e -=>，2(1)2e PF a ∴-=，221aPF e ∴=-，由双曲线性质知2PF c a >-，21a c a e ∴>--，即211e e >--，得2210ee --<， 又1e >，得1)e ∴∈．【点评】此处的题设条件较前两例复杂，但注意到正弦之比可以转化为边之比，故可进而转化为和离心率相关的不等式．策略四：利用三角函数有界性例8双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞ 【解析】Ｂ设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 点在右顶点处θπ=，22ce a ===11,(1,3]e θ-≤<∴∈．【点评】根据第一定义结合余弦定理将离心率转化为角的函数，再利用三角函数求最值．策略五：利用三角形三边关系例8也可用三角形的三边关系求解，但注意取等条件．如图，在12PF F 中12121212,PF PF F F PF PF F F -<+≥(后者在P 与1A 重合时取等)， 又1222PF PF m m m a -=-==，则22a c <且362m a c =≥，(1,3]e ∴∈．【点评】和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式．策略六：利用二次函数的性质例9设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）Ａ．Ｃ．(2,5) Ｄ．【解析】Ｂe = 11,01a a>∴<<e <<【点评】当所求离心率转化为某参数的二次函数（或类二次函数）时，可以利用二次函数的性质确定离心率的范围10、已知12,F F 是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使01260F PF ∠=，求椭圆的离心率e 的取值范围。
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