学案11导数及其运算-函数与导数 2012高考一轮数学精品课件
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《高考风向标》2012年高考数学一轮复习 第四章 第1讲 导数的概念及运算精品课件 理
x0
f(x0＋Δx)－f(x0－2Δx) Δx
D.
lim
x0
f(x0＋2Δx)－f(x0－Δx) Δx
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是_y_＝__4_x_－__1.
4．质量为 5 kg 的物体运动的速度为 v＝(18t－3t2) m/s，在 时间 t＝2 s 时所受外力为__3_0__N.
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面： 1．导数的常规问题： (1)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切 线)．
(2)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显 得简便)等关于 n 次多项式的导数问题属于较难类型．
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论， 导数法求最值要比初等方法快捷简便．
例 5：若函数 f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则 fπ4的值为_____． 解析：∵f′(x)＝－f′π4·sinx＋cosx，
∴f′π4＝－f′π4·sinπ4＋cosπ4⇒f′π4＝ 2－1.
故 fπ4＝f′π4cosπ4＋sinπ4⇒fπ4＝1. 【互动探究】
5．已知 f(x)＝x2＋3xf′(2)，则 f′(2)＝____－_. 2 解析：f′(x)＝2x＋3f′(2)， ∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.
错源：过点求切线方程应注意该点是否为切点
例 4：已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形．
正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
f(x0＋Δx)－f(x0－2Δx) Δx
D.
lim
x0
f(x0＋2Δx)－f(x0－Δx) Δx
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是_y_＝__4_x_－__1.
4．质量为 5 kg 的物体运动的速度为 v＝(18t－3t2) m/s，在 时间 t＝2 s 时所受外力为__3_0__N.
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面： 1．导数的常规问题： (1)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切 线)．
(2)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显 得简便)等关于 n 次多项式的导数问题属于较难类型．
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论， 导数法求最值要比初等方法快捷简便．
例 5：若函数 f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则 fπ4的值为_____． 解析：∵f′(x)＝－f′π4·sinx＋cosx，
∴f′π4＝－f′π4·sinπ4＋cosπ4⇒f′π4＝ 2－1.
故 fπ4＝f′π4cosπ4＋sinπ4⇒fπ4＝1. 【互动探究】
5．已知 f(x)＝x2＋3xf′(2)，则 f′(2)＝____－_. 2 解析：f′(x)＝2x＋3f′(2)， ∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.
错源：过点求切线方程应注意该点是否为切点
例 4：已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形．
正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)
【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单 调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间 上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式 有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上 单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单 调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增， 在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式 解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增， 在－ 33a， 33a上单调递减.
定积分与微积分基本定理-函数与导数 2011高考一轮数学精品课件
∫ f(x)dx= ∫f(x)dx+ ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx
0 0 1 2
3
1
2
3
=
∫
1
x3dx+
2 1 + 0
0
∫
2
x2dx+
1 0
1
∫
3
2xdx
3 2
2
x = 4
1 3 x 3
2x + ln 2
1 8 1 8 4 + − + − = 4 3 3 ln 2 ln 2
31 4 + = 12 ln 2
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＊对应演练＊ 对应演练＊
求下列定积分: 求下列定积分 (1) (2)
∫
3
∫ (3) ∫
π
0
(2x-3x2)dx;
2 sin2 0 1 2
x dx; 2
1
(x+
x )dx.
返回目录
(1)
∫
π
3
(2x-3x2)dx=
0
∫
3
2xdx-
x 2 (2) 2sin dx= ∫0 2
=
π
0
∫
3
∫
π
0
3 3 3x2dx=x2 |0 -x3 |0 =-18.
2 0
1- cosx ( )dx 2
∫
2 0
1 1 dx2 2
π
2 0
∫
π
2 cosxdx 0
1 = x 2
1 sinx 2
π
2 0
= π −1 . 4 2
返回目录
1 )dx= (3) ( x+ ∫1 x
2012届高考数学一轮复习 2-11导数的应用课件 理 北师大版
3a＋ 2b－ 3＝ 0 f ′(－ 1)＝ 0，即 3a－ 2b－ 3＝ 0
a a2 即当 x＝－ 时， f ′(x)取得最小值－ 9－ . 3 3 a2 ∴－ 9－ ＝－ 12，即 a2＝ 9. 3 解得 a＝ ± 3.由题设 a<0，得 a＝－ 3.
(2) 由(1)知a＝－3，因此 f(x) ＝x3－3x2－ 9x－1， f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0， 故 f(x)在(－∞，－1)上为增函数； 当x∈(－1,3)时，f ′(x)<0， 故 f(x)在(－1,3)上为减函数；
三基强化 1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,1) D ． ( － ∞ ，－ 1) ， (1 ， ＋∞) 解析：∵y′＝3x2－3，∴由3x2－3<0，得－ 1<x<1. 答案：C
2．函数 f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞) 上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：∵ f(x) ＝ x3 ＋ ax － 2 在 (1 ，＋ ∞ ) 上 是增函数， ∴f ′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立． 又∵在(1，＋∞)上－3x2<－3，∴a≥－3. 答案：B
(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x) 的符号判定函数 f(x) 在每个相应小开区间 内的增减性． 2．证明可导函数 f(x)在(a，b)内的单调性 的步骤 (1)求 f ′(x)． (2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号． (3)作出结论： f ′(x)>0时 f(x)为增函数； f ′(x)<0时 f(x)为减函数．
a a2 即当 x＝－ 时， f ′(x)取得最小值－ 9－ . 3 3 a2 ∴－ 9－ ＝－ 12，即 a2＝ 9. 3 解得 a＝ ± 3.由题设 a<0，得 a＝－ 3.
(2) 由(1)知a＝－3，因此 f(x) ＝x3－3x2－ 9x－1， f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0， 故 f(x)在(－∞，－1)上为增函数； 当x∈(－1,3)时，f ′(x)<0， 故 f(x)在(－1,3)上为减函数；
三基强化 1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,1) D ． ( － ∞ ，－ 1) ， (1 ， ＋∞) 解析：∵y′＝3x2－3，∴由3x2－3<0，得－ 1<x<1. 答案：C
2．函数 f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞) 上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：∵ f(x) ＝ x3 ＋ ax － 2 在 (1 ，＋ ∞ ) 上 是增函数， ∴f ′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立． 又∵在(1，＋∞)上－3x2<－3，∴a≥－3. 答案：B
(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x) 的符号判定函数 f(x) 在每个相应小开区间 内的增减性． 2．证明可导函数 f(x)在(a，b)内的单调性 的步骤 (1)求 f ′(x)． (2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号． (3)作出结论： f ′(x)>0时 f(x)为增函数； f ′(x)<0时 f(x)为减函数．
2012高考(文科)数学一轮复习课件：第3章第1节 导数的概念及运算知识研习(新课标版)
• 1．导数概念及其几何意义 • (1)了解导数概念的实际背景． • (2)理解导数的几何意义． • 2．导数的运算 • (1)能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝ 的导
数．
• (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
• 3．导数在研究函数中的应用 • (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数
• 考点一 导数的定义 • 【案例1】 用导数的定义证明：偶函数的导数是奇函
数．
• 证明：设f(x)是偶函数，则
f′(x)＝liΔxm→0
fx＋Δx－fx Δx
＝liΔxm→0
f－x－Δx－f－x Δx
＝－li－Δmx→0 f－x＋－－ΔΔxx－f－x＝－f′(－x)，
• 即对函数f(x)的定义域内的任意x有f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(x)是奇函数．
，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体在t0时的 s′(瞬t0)时速度v，即v＝s′(t0)．
• 4．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就
是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 f′(x0)．
，斜即率kk ＝
• 5．若y＝C，则
.
• 若y＝xn(n∈Q)，则y′＝y′＝0 .
【即时巩固 2】 求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
• 解析：因为y′＝3x2－6x，所以在点(1，－1)处的切线斜 率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.
• 答案：B
3．已知某物体的运动方程是 s＝t＋19t3，则当9 m/s
数．
• (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
• 3．导数在研究函数中的应用 • (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数
• 考点一 导数的定义 • 【案例1】 用导数的定义证明：偶函数的导数是奇函
数．
• 证明：设f(x)是偶函数，则
f′(x)＝liΔxm→0
fx＋Δx－fx Δx
＝liΔxm→0
f－x－Δx－f－x Δx
＝－li－Δmx→0 f－x＋－－ΔΔxx－f－x＝－f′(－x)，
• 即对函数f(x)的定义域内的任意x有f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(x)是奇函数．
，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体在t0时的 s′(瞬t0)时速度v，即v＝s′(t0)．
• 4．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就
是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 f′(x0)．
，斜即率kk ＝
• 5．若y＝C，则
.
• 若y＝xn(n∈Q)，则y′＝y′＝0 .
【即时巩固 2】 求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
• 解析：因为y′＝3x2－6x，所以在点(1，－1)处的切线斜 率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.
• 答案：B
3．已知某物体的运动方程是 s＝t＋19t3，则当9 m/s
高考数学一轮复习课件第二章 函数、导数及其应用 第11讲
精准高考
数学
文理(合订)
第二章
函数、导数及其应用
第十一讲 利用导数研究函数的单调性、极值、
1 考纲解 2 知识梳
第二章 函数、导数及其应用
文
理 （ 合
考纲解读
订
）
第二章 函数、导数及其应用
考点展示 考查频率
考纲要求
高
了解函数的单调性和导数的关
函数的单 ★★★★☆ 系：能利用导数研究函数单调 1.内容
第二章 函数、导数及其应用
1．下列结论正确的个数为 导学号 30070516 ( C )
(1)若函数 f(x)在(a，b)内恒有 f′(x)＞0，那么 f(x)在(a，b)上单
若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.
文 理 （
(2)函数 y＝12x2－lnx 的单调减区间为(－1,1)．
合
订 ）
(3)在函数 y＝f(x)中，若 f′(x0)＝0，则 x＝x0 一定是函数 y＝
(4)函数的极大值不一定比极小值大．
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是
A．0
B．1
C．2
[解析] (1)(2)(3)不正确，(4)(5)正确，故选C.
D．3
第二章 函数、导数及其应用
2 ． (2016·苏 中 八 校 学 情 调 查 ) 函 数 f(x) ＝ x － lnx 的 单
导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
订
）
(1)求f(x)在(a，b)内的__极__值；
(2)将f(x)的各__极__值与____f(_a_)_，__f(_b_)__比较，其中最大的一
小的一个是最小值．
数学
文理(合订)
第二章
函数、导数及其应用
第十一讲 利用导数研究函数的单调性、极值、
1 考纲解 2 知识梳
第二章 函数、导数及其应用
文
理 （ 合
考纲解读
订
）
第二章 函数、导数及其应用
考点展示 考查频率
考纲要求
高
了解函数的单调性和导数的关
函数的单 ★★★★☆ 系：能利用导数研究函数单调 1.内容
第二章 函数、导数及其应用
1．下列结论正确的个数为 导学号 30070516 ( C )
(1)若函数 f(x)在(a，b)内恒有 f′(x)＞0，那么 f(x)在(a，b)上单
若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.
文 理 （
(2)函数 y＝12x2－lnx 的单调减区间为(－1,1)．
合
订 ）
(3)在函数 y＝f(x)中，若 f′(x0)＝0，则 x＝x0 一定是函数 y＝
(4)函数的极大值不一定比极小值大．
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是
A．0
B．1
C．2
[解析] (1)(2)(3)不正确，(4)(5)正确，故选C.
D．3
第二章 函数、导数及其应用
2 ． (2016·苏 中 八 校 学 情 调 查 ) 函 数 f(x) ＝ x － lnx 的 单
导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
订
）
(1)求f(x)在(a，b)内的__极__值；
(2)将f(x)的各__极__值与____f(_a_)_，__f(_b_)__比较，其中最大的一
小的一个是最小值．
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
高考一轮总复习数学(理)课件 第2章 函数、导数及其应用 2-11 板块一 知识梳理 自主学习ppt版本
一轮总复习·数学（理）
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞
B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞
B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
导数的概念及运算课件 高三数学一轮复习
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是
.
答案 （e，1）
目录
THANK . YOU
1），即y＝3x＋3.
答案：y＝3x＋3
目录
｜解题技法｜
求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f
（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
提醒 “过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点
y
(0 +Δ)−(0 )
lim ＝ lim
叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或
x
Δ
Δ→0
x→0
Δ
(0 +Δ)−(0 )
y'|=0 ，即f'（x0）＝ lim ＝ lim
；
Δ
Δ
Δ→0
Δ→0
（2）导数的几何意义：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）的几何意义是在曲
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函数f(x)在x0处的导数. 4.导数的几何意义
f′(x0) 即为
(1)设函数f(x)在x0处可导,则它在该点的导数等于函数所
表示的曲线在相应点M(x0,y0)处的 切线的斜率 . (2)设s=s(t)是位移函数,则s′(t0)表示物体在t=t0时刻 的 瞬时速度 . 返回目录
(3)设v=v(t)是速度函数,则v′(t0)表示物体在t=t0时刻 的 加速度 . 5.常用的导数公式
另外一条切线与曲线的交点.
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【解析】 (1)∵y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.
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1 3 4 (2)设曲线y= x + 与过点P(2,4)的切线相切于点 3 3
2 4 )，则切线的斜率 3 A(x0, 1 x 0 . k y | x xx0 0
【分析】形如f(ax+b)型函数的导数,可用复合函数的
求导法则.
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【解析】 (1)解法一:设y=sinu,u=2x+ , 3
则y′x=y′u·u′x=cosu· 2
=2cos(2x+ ). 3 =2cos(2x+ ). 3
解法二:y′=cos(2x+
)·(2x+ )′ 3 3
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1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数 值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而数值f(x0) 是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
求下列函数的导数: （1）y=x2sinx;
x cosx ; （2）y= x sinx （3）y=cos(2x2+1);
（4）y=ln(x+
1 x 2 ).
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（1）y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′
=2xsinx+x2cosx.
(x cosx)(x sinx) - (x cosx)(x sinx) （2）y′= (x sinx) 2 (1 - sinx)(x sinx) - (x cosx)(1 cosx) (x sinx) 2 sinx - xsinx - 1 - xcosx - cosx . 2 (x sinx)
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(4) y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′
=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′+0
=3xln3· ex+3xex-2xln2
=(3e)xln3e-2xln2. 1 2 (x 1) - 2xlnx (lnx )(x 2 1) - lnx(x 2 1) x (5) y′= 2 2 (x 1) (x 2 1) 2
1 1 1 x 1
1 1 x x 1 x 1 x (1 1 x ) y 1 y lim x 1 x (1 1 x ) x 0 x
1 1 lim x 0 2 1 x (1 1 x )
线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一
个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确.
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＊对应演练＊
已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l:y=kx,且l与C切于
点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.
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y0 ∵直线l过原点,则k= (x0≠0). x0 由点(x0,y0)在曲线C上, y0 2 3 2 得y0= x 0 -3 x 0 +2x0,∴ x = x 0 -3x0+2. 0 2 ∵y′=3x2-6x+2,∴k=3 x 0 -6x0+2. y0 y0 2 2 又k= ,∴2 x 0 -6x0+2= = x0 -3x0+2, x0 x0 整理得2 x 2-3x0=0. 0 3 ∵x0≠0,∴x0= , 21 3 此时y0=- ,k=- , 4 8 1 因此直线l的方程为y=- x, 4 3 3 切点坐标为( ,- ). 2 8
学案11 导数及其运算
1.导数的概念 若函数y=f(x)在x0处的增量Δy与自变量的增量Δx的比
f(x x) - f(x 0 ) y lim 0 值,当Δx→0时的极限lim = x 0 存在, x Δx→0 x 则称f(x)在x0处可导,并称此极限值为函数f(x)在x0处的
返回目录
【评析】求形如f(ax+b)型复合函数的导数,一般要利用 求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决,具体地:
(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适
当选定中间变量. (2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而
其中特别需要注意中间变量的系数.
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出 各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数. (4)对较复杂的函数,要先化简再求导以简化运算过程.
【解析】 (1) y′=
1 ( 3 ) - (3x 3 ) - (7x 2 ) (1) x (x ) - 3(x 3 ) - 7(x 2 ) 0
1 3
1 3 - x - 9x 2 - 14x. 3 (2)当x>0时，y=lnx,y′= 1 ; x 当x<0时，y=ln(-x),
C′=
(sinx)′= (ex)′= (lnx)′=
0
(C为常数);(xm)′=
cos x ex
1 x
mxm-1 (m∈Q); -sinx ; axlna; 1 logae. x
;(cosx)′= ;(ax)′= ;(logax)′=
6.导数的运算法则
［f(x)〒g(x)］′=f′(x)〒g′(x),
1 x
2
=
1 x2
.
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考点四 导数的几何意义
1 3 4 已知曲线y= x + . 3 3
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 【分析】 (1)可知切点为(2,4),则在(2,4)处的切线 可求. (2)过点(2,4)的切线中,(2,4)可能为切点,也可能为
2 4 3 ∴切线方程为y-( 1 x 0 )= x 0 (x-x0),
3
3
34 3 2 2 3 即y= x 0 · x- x 0 + . 3 3
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2 x
3 2 -3 x 0 +4=0, x0 3 2 2 ∴x0 + x0 -4 x 0 +4=0, ∴ x 2(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 0
x 0
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y 1 x 1 ( 2) lim lim x 0 x x 0 x x lim x 0 x ( 1 x 1) 1 1 lim . x 0 1 x 1 2
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考点二
利用导数公式求导
求下列函数的导数: 1 (1)y= 3 -3x3-7x2+1; x (2)y=ln|x|; x (3)y= 2 ; 1- x x (4)y=3xex-2x+e; lnx (5)y= 2 ; x 1 (6)y=xcosx-sinx. 【分析】直接应用导数公式和导数的运算法则. 返回目录
x 2 1 - 2x 2 lnx . 2 2 x(x 1)
(6) y′=(xcosx)′-(sinx)′ =cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 返回目录
【评析】熟练运用导数的运算法则及复合函数的
求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公
式使用的合理性及准确性.
返回目录
＊对应演练＊
3
12 . 5 (1 - 3x)
,
则y′x=y′u·u′v·v′x=2u· cosv· 2
2 =4sin(2x+ )· cos(2x+ )=2sin(4x+ ). 3 3 3
(3)y′=(x = 1 x2 +
2 1 x)′=x′· 1+x·( x2 x2 1 2x 2
1)′ x2
【评析】本题的关键是对
y 的变形. x
返回目录
＊对应演练＊
利用导数定义求导: （1）y=x2在x=2处的导数值; （2） y=
x 在x=1处的导数值.
(2 x)2 - 2 2 x 4 x x 2 (1) lim lim lim x 0 y x 0 x x x 0 lim (4 x) 4.
2 0
4 2 3 + , x 0 3 3
即
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 返回目录
【评析】 (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的
切线”，还是“过某点的切线”的问法.
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点 坐标为P(x0,y0)，然后求其切线斜率k=f′(x0)，写出其切 线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点. (3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲
［Cf(x)］′=Cf′(x)(C为常数), 返回目录
［f(x)g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),
f(x) f (x)g(x) - f(x)g(x) (g(x) 0). g(x) 2 g (x)
7.复合函数求导的运算法则 一般地,设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数 y=f(u)在u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x 处也有导数,且y′x=
f′(x0) 即为
(1)设函数f(x)在x0处可导,则它在该点的导数等于函数所
表示的曲线在相应点M(x0,y0)处的 切线的斜率 . (2)设s=s(t)是位移函数,则s′(t0)表示物体在t=t0时刻 的 瞬时速度 . 返回目录
(3)设v=v(t)是速度函数,则v′(t0)表示物体在t=t0时刻 的 加速度 . 5.常用的导数公式
另外一条切线与曲线的交点.
返回目录
【解析】 (1)∵y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.
返回目录
1 3 4 (2)设曲线y= x + 与过点P(2,4)的切线相切于点 3 3
2 4 )，则切线的斜率 3 A(x0, 1 x 0 . k y | x xx0 0
【分析】形如f(ax+b)型函数的导数,可用复合函数的
求导法则.
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【解析】 (1)解法一:设y=sinu,u=2x+ , 3
则y′x=y′u·u′x=cosu· 2
=2cos(2x+ ). 3 =2cos(2x+ ). 3
解法二:y′=cos(2x+
)·(2x+ )′ 3 3
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1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数 值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而数值f(x0) 是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
求下列函数的导数: （1）y=x2sinx;
x cosx ; （2）y= x sinx （3）y=cos(2x2+1);
（4）y=ln(x+
1 x 2 ).
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（1）y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′
=2xsinx+x2cosx.
(x cosx)(x sinx) - (x cosx)(x sinx) （2）y′= (x sinx) 2 (1 - sinx)(x sinx) - (x cosx)(1 cosx) (x sinx) 2 sinx - xsinx - 1 - xcosx - cosx . 2 (x sinx)
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(4) y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′
=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′+0
=3xln3· ex+3xex-2xln2
=(3e)xln3e-2xln2. 1 2 (x 1) - 2xlnx (lnx )(x 2 1) - lnx(x 2 1) x (5) y′= 2 2 (x 1) (x 2 1) 2
1 1 1 x 1
1 1 x x 1 x 1 x (1 1 x ) y 1 y lim x 1 x (1 1 x ) x 0 x
1 1 lim x 0 2 1 x (1 1 x )
线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一
个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确.
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＊对应演练＊
已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l:y=kx,且l与C切于
点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.
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y0 ∵直线l过原点,则k= (x0≠0). x0 由点(x0,y0)在曲线C上, y0 2 3 2 得y0= x 0 -3 x 0 +2x0,∴ x = x 0 -3x0+2. 0 2 ∵y′=3x2-6x+2,∴k=3 x 0 -6x0+2. y0 y0 2 2 又k= ,∴2 x 0 -6x0+2= = x0 -3x0+2, x0 x0 整理得2 x 2-3x0=0. 0 3 ∵x0≠0,∴x0= , 21 3 此时y0=- ,k=- , 4 8 1 因此直线l的方程为y=- x, 4 3 3 切点坐标为( ,- ). 2 8
学案11 导数及其运算
1.导数的概念 若函数y=f(x)在x0处的增量Δy与自变量的增量Δx的比
f(x x) - f(x 0 ) y lim 0 值,当Δx→0时的极限lim = x 0 存在, x Δx→0 x 则称f(x)在x0处可导,并称此极限值为函数f(x)在x0处的
返回目录
【评析】求形如f(ax+b)型复合函数的导数,一般要利用 求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决,具体地:
(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适
当选定中间变量. (2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而
其中特别需要注意中间变量的系数.
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出 各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数. (4)对较复杂的函数,要先化简再求导以简化运算过程.
【解析】 (1) y′=
1 ( 3 ) - (3x 3 ) - (7x 2 ) (1) x (x ) - 3(x 3 ) - 7(x 2 ) 0
1 3
1 3 - x - 9x 2 - 14x. 3 (2)当x>0时，y=lnx,y′= 1 ; x 当x<0时，y=ln(-x),
C′=
(sinx)′= (ex)′= (lnx)′=
0
(C为常数);(xm)′=
cos x ex
1 x
mxm-1 (m∈Q); -sinx ; axlna; 1 logae. x
;(cosx)′= ;(ax)′= ;(logax)′=
6.导数的运算法则
［f(x)〒g(x)］′=f′(x)〒g′(x),
1 x
2
=
1 x2
.
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考点四 导数的几何意义
1 3 4 已知曲线y= x + . 3 3
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 【分析】 (1)可知切点为(2,4),则在(2,4)处的切线 可求. (2)过点(2,4)的切线中,(2,4)可能为切点,也可能为
2 4 3 ∴切线方程为y-( 1 x 0 )= x 0 (x-x0),
3
3
34 3 2 2 3 即y= x 0 · x- x 0 + . 3 3
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2 x
3 2 -3 x 0 +4=0, x0 3 2 2 ∴x0 + x0 -4 x 0 +4=0, ∴ x 2(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 0
x 0
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y 1 x 1 ( 2) lim lim x 0 x x 0 x x lim x 0 x ( 1 x 1) 1 1 lim . x 0 1 x 1 2
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考点二
利用导数公式求导
求下列函数的导数: 1 (1)y= 3 -3x3-7x2+1; x (2)y=ln|x|; x (3)y= 2 ; 1- x x (4)y=3xex-2x+e; lnx (5)y= 2 ; x 1 (6)y=xcosx-sinx. 【分析】直接应用导数公式和导数的运算法则. 返回目录
x 2 1 - 2x 2 lnx . 2 2 x(x 1)
(6) y′=(xcosx)′-(sinx)′ =cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 返回目录
【评析】熟练运用导数的运算法则及复合函数的
求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公
式使用的合理性及准确性.
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＊对应演练＊
3
12 . 5 (1 - 3x)
,
则y′x=y′u·u′v·v′x=2u· cosv· 2
2 =4sin(2x+ )· cos(2x+ )=2sin(4x+ ). 3 3 3
(3)y′=(x = 1 x2 +
2 1 x)′=x′· 1+x·( x2 x2 1 2x 2
1)′ x2
【评析】本题的关键是对
y 的变形. x
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＊对应演练＊
利用导数定义求导: （1）y=x2在x=2处的导数值; （2） y=
x 在x=1处的导数值.
(2 x)2 - 2 2 x 4 x x 2 (1) lim lim lim x 0 y x 0 x x x 0 lim (4 x) 4.
2 0
4 2 3 + , x 0 3 3
即
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 返回目录
【评析】 (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的
切线”，还是“过某点的切线”的问法.
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点 坐标为P(x0,y0)，然后求其切线斜率k=f′(x0)，写出其切 线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点. (3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲
［Cf(x)］′=Cf′(x)(C为常数), 返回目录
［f(x)g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),
f(x) f (x)g(x) - f(x)g(x) (g(x) 0). g(x) 2 g (x)
7.复合函数求导的运算法则 一般地,设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数 y=f(u)在u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x 处也有导数,且y′x=