《创新设计 高考总复习》2014届高考数学一轮复习：易失分点清零(二)函数的概念、图象和性质

易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质1.下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析 对于A ，f (x )是反比例函数，可知其在(0，＋∞)上是减函数，所以A 符合题意；对于B ，可知其是开口向上的抛物线，在(－∞，1]上是减函数，故不符合题意；对于C ，可知其是指数函数，且底数e>1，故其在(0，＋∞)上是增函数；对于D ，可知其是底数大于1的对数函数，其在(－1，＋∞)上递增． 答案 A2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ⎩⎨⎧log 2(8－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为 ( )．A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析 f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3. 答案 D3．f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )．A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，当f (x )在[1,3]上单调递减时，由⎩⎨⎧f ′(1)≤0，f ′(3)≤0得a ≤－3；当f (x )在[1,3]上单调递增时，f ′(x )≥0中，Δ＝4a 2－4×5≤0或⎩⎨⎧Δ>0，－a <1，f ′(1)≥0或⎩⎨⎧Δ>0，－a >3，f ′(3)≥0，得a ∈[－5，＋∞)．综上：a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)，故选C.答案 C4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是( )．解析 根据分段函数的解析式，可得此函数的图象，如图所示．由于此函数在x ∈[－1,1]上函数值恒为非负值，所以|f (x )|的图象不发生改变，故D 选项错误． 答案 D5．(2013·哈尔滨月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2)C ．(1,2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析由题意得a>0，所以内函数u＝2－ax2在(0,1)上为减函数，而函数f(x)＝log a(2－ax2)在(0,1)上也为减函数，则外函数y＝log a u必是增函数(复合函数单调性是同增异减)，所以a>1.同时u>0在(0,1)上恒成立，故2－a×1≥0即a≤2.综上有a∈(1,2]．答案 C6．已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为()．A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]解析∵函数f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足1≤x≤9,1≤x2≤9，解得1≤x≤3.∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．∵当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，∴当1≤x≤3时，也有f(x)＝x＋2，即y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(x＋2)2＋(x2＋2)＝2(x＋1)2＋4，∴当x＝1时，y取得最小值，y min＝12，当x＝3时，y取得最大值，y max＝36，∴所求函数的值域为[12,36]，故选C.答案 C7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是()．解析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B项．又g(x)在x＝0处无意义，故f(x)·g(x)在x＝0处无意义，排除C、D两项．答案 A8．(2013·山西四校联考)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y )<0恒成立，则当x >3时，x 2＋y 2的取值范围是 ( )．A ．(3,7)B ．(9,25)C ．(13,49)D ．(9,49)解析 函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在R 上是增函数，故有f (x 2－6x ＋21)<－f (y 2－8y )恒成立，即f (x 2－6x ＋21)<f (－y 2＋8y )恒成立，即(x －3)2＋(y－4)2<4恒成立，故以(x ，y )为坐标的点在以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内，且直线x ＝3右边的部分，而x 2＋y 2的几何意义恰好是圆内的点到原点(0,0)的距离的平方，故最大值是原点到圆心的距离加上半径的长的平方49，最小值是原点到(3,2)的距离的平方13，故选C. 答案 C9．(2013·衡阳六校联考)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 因为函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 为奇函数，且在x ＝0处有定义，故f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1.故函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x .令f (x )<0得0<1＋x 1－x <1，即x ∈(－1,0)． 答案 A10．(2013·九江质检)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案 B11．(2013·东北五校联考)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是________． 解析 由log 0.5(4x －3)≥0，得0<4x －3≤1，34<x ≤1.因此，函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤34，112．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )＝________.解析 由题意，知x >0，设t ＝2x ＋|x |＝1x .则x ＝1t .故log 2x |x |＝12log 2x 2＝log 2x ＝log 21t ＝－log 2t ， 所以f (t )＝－log 2t ，即f (x )＝－log 2x (x >0)． 答案 －log 2x (x >0)13．(2013·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案 ①②④14．已知f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析 复合函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)可以分解为外函数y ＝lg u 和内函数u ＝－x 2＋8x －7.外函数是增函数，故内函数在(m ，m ＋1)上必是增函数．故有⎩⎨⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0， 解得1≤m ≤3. 答案 [1,3]15．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，其中所有正确命题的序号是________． 解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案 ①②④。