人教版数学-高中数学竞赛标准教材10第十章 直线与圆的方程讲义.
直线和圆的方程教学课件
• 圆方程的表示方法
• 通过标准式和一般式，介绍圆的方程表示方法。
• 直线和圆的位置关系
• 讲解直线和圆相交、相切和相离的位置关系。
案例分析：通过具体案例，引导学生理解直线和圆的应用场 景
• 案例选择
• 选择与直线和圆相关的实际问题，如几何、物理或工程问题，引导学生思考其应用场景。
• 问题解决实际问题中的应用方法和步骤。
点斜式
通过直线上的一点和斜率，可以写出直线方程的点斜式yy1=k(x-x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点。
截距式
通过直线在x轴和y轴上的截距，可以写出直线方程的截距 式x/a+y/b=1，其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程的表示方法
一般式
圆的一般方程为 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0， 其中D、E、F为常数。
直线和圆的方程教学 课件
汇报人：xxx
目录
01 教 学 目 标 02 教 学 内 容 03 教 学 方 法 04 教 学 步 骤
01
教学目标
理解直线和圆的基本概念
学生应能理解并掌握直线和圆的方 程形式，包括一般式、点斜式、两 点式和极坐标式。
学生应能通过比较直线和圆心的距 离与半径的大小，判断直线和圆的 位置关系。
及时反馈
对学生的练习情况进行 及时反馈，指出错误并 给出正确的解题方法。
小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。
导入新课
通过回顾上节课的知识点，引 出本节课的学习内容。
讲解新课
详细讲解直线和圆的方程，包 括定义、性质、图像等，并配
以例题进行说明。
小结作业
总结本节课所学内容，布置作 业。
高二数学复习直线和圆的方程知识精讲 人教版
高二数学复习直线和圆的方程知识精讲 人教版一. 本周教学内容： 复习直线和圆的方程二. 重点、难点：（二）重点知识反刍梳理（直线方程） 1. 直线的倾斜角与斜率的概念 （1）直线的倾斜角与斜率的关系：①任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
②斜率存在的直线，其斜率与倾斜角之间的关系是。
k k αα=tan（2）直线方程的形式：确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用X 围。
（3）平面上直线与二元一次方程是一一对应的。
2. 两条直线的位置关系：（）两条直线的夹角。
当两直线的斜率，都存在且·时，1k k k k 12121≠-tan θ=-+k k k k 21121，当两直线的斜率有一不存在时，可结合图形判断，另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。
（2）判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断；若两直线的斜率有一不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。
①斜率存在且不重合的两条直线：，：，有以下l y k x b b y k x b 111222=+=+ 结论：a l l k kb b .121212∥且⇔=≠ b l l k k 12121⊥⇔=-·②对于直线：，：，当，，，l A x B y C l A x B y C A A B 1111222212100++=++= B 2都不为零时，有以下结论：a l l A A B B CC .12121212∥⇔=≠b l l A A B B .1212120⊥⇔+=c l l A A BB .121212与相交⇔≠d l l A A B B CC .12121212与重合⇔==（3）点到直线的距离公式①已知一点，及一条直线：，则点到直线的距P x y l Ax By C P l ()000++=离；d Ax By CA B=+++0022②两平行直线：，：之间的距离：l Ax By C l Ax By C 112200++=++=d C C A B=-+12223. 简单的线性规划（1）在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的平面区域。
《直线和圆的方程》课件
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
高二数学最新教案-直线和圆的方程讲义 精品
直线和圆的方程一、关于直线：1．有向线段：以A 为起点，B 为终点的有向线段为AB ，数量有AB ＝－BA ；且AB ＝x B －x A ，其中x A ，x B 分别表示点A ，B 在数轴上相对应的数．在直角坐标平面上的有两点间的距离公式|AB |＝221221)()(y y x x -+-；2．定比分点．P （x ，y ）分线段AB （其中A （x 1 ，y 1），B （x 2 ，y 2））的比为λ ，λ ＝PB AP ，那么有λ ＝x x x x --21，写出x ＝λλ++121x x 同理有y ＝λλ++121y y 其中λ ≠－1．其特例为P 为线段AB 的中点时，λ ＝1，点P 的坐标为（221x x +，221y y +），推广之就有 △ABC 三顶点A （x 1 ，y 1），B （x 2 ，y 2），C （x 3 ，y 3）的重心坐标为G （3321x x x ++，3321y y y ++）．3．直线的倾斜角α ，其中0≤α ＜π 与斜率的概念及截距．当α ＝2π时，斜率k ＝tan α ，k ＝1212x x y y --；当α ＝2π时斜率不存在；所谓截距就是直线与两坐标轴交点的纵横坐标．4．直线方程的五种形式： 点斜式：y －y 0 ＝k （x －x 0）； 斜截式：y ＝kx ＋b ； 两点式：121y y y y --＝121x x x x --；截距式：a x ＋by＝1； 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0．直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线．5．两条直线的位置关系：（1）若存在斜率的两直线方程为l 1 ：y ＝k 1x ＋b 1 ，l 2 ：y ＝k 2x ＋b 2 ，那么 ①l 1 ∥l 2 ⇔k 1 ＝k 2 且b 1 ≠b 2 ； ②l 1 与l 2 重合⇔k 1 ＝k 2 且b 1 ＝b 2 ；③l 1 与l 2 相交⇔k 1 ≠k 2 ，其特例为l 1 ⊥l 2 ⇔k 1·k 2 ＝－1．（2）若两直线方程分别为l 1 ：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与l 2 ；A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0（A 22 ＋B 22 ≠0），那么①l 1 ∥l 2 ⇔⎩⎨⎧≠=12211221C A C A B A B A 或B 1C 2 ≠C 1B 2 ；②l 1 与l 2 重合⇔⎩⎨⎧==12211221C A C A B A B A 且B 1C 2 ＝B 2C 1 ；③l 1 与l 2 相交⇔A 1B 2 ≠A 2B 1 ，其特例为l 1 ⊥l 2 ⇔A 1A 2 ＋B 1B 2 ＝0； （3）当k 1·k 2 ≠－1时，①l 1 与l 2 的夹角θ（规定为锐角），则tan θ ＝|21121k k k k +-|；②l 1 到l 2 的角（规定为以l 1 为始边绕l 1 与l 2 的交点逆时针旋转与l 2 重合的最小正角，此时0°≤θ ＜180°，则tan θ ＝21121k k k k +-．其特例为k 1·k 2 ＝－1此时θ ＝90°．）6．点到直线的距离：（1）点P （x 0 ，y 0）到直线l ；Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝2200||BA C By Ax +++，特例是当l ：x ＝a 时d ＝|x 0 －a |；当l ：y ＝b 时，d ＝|y 0 －b |；（2）设l 1 ：Ax ＋By ＋C 1 ＝0，l 2 ：Ax ＋By ＋C 2 ＝0，则这两平行线间的距离是 d ＝2221||BA C C +-．7．利用平行、垂直、相交确定直线方程时常用到三个直线系：①与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线：Ax ＋By ＋λ ＝0（λ 为待定系数）； ②与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线：Bx －Ay ＋λ ＝0；③过A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0的交点的直线方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ ∈R 且只包含A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0）．8．关于直线对称问题：（1）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P （x 0 ，y 0）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点Q （x 1 ，y 1）．有1010x x y y --＝－B A （1）与A ·210x x +＋B ·210y y +＋C ＝0．（2）解出x 1 与y 1 ；若求C 1 ：曲线f （x ，y ）＝0（包括直线）关于l ：Ax ＋By ＋C 1 ＝0对称的曲线C 2 ，由上面的（1）、（2）中求出x 0 ＝g 1（x 1 ，y 1）与y 0 ＝g 2（x 1 ，y 1），然后代入C 1 ：f [g 1（x 1 ，y 1），g 2（x 2 ，y 2）]＝0，就得到关于l 对称的曲线C 2 方程：f [g 1（x ，y ），g 2（x ，y ）]＝0．（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 项系数|A |＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之．尤其是选择填空题．如曲线C 1 ：y 2 ＝4 x －2关于l ：x －y －4＝0对称的曲线l 2 的方程为：(x －4) 2 ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，这样就比较简单了．（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决．．二、关于曲线轨迹方程：直角坐标平面上的动点满足某条件的轨迹方程求法主要有三种常用方法：1．直接法：动点P （x ，y ）满足定义，某等量关系可直接得出f （x ，y ）＝0即为所求轨迹方程．如，到定点A （2，3）的距离比到直线x －7＝0的距离多1．很明显的等量关系已给出了即设动点P （x ，y ），有22)3()2(-+-y x －1＝|x －7|．2．代入法：点Q 在曲线C 1 ：f （x ，y ）＝0上移动，动点P 与Q 满足某种关系，设Q （x 1 ，y 1），P （x ，y ）由所满足的关系式得x 1 ＝g 1（x ，y ）与y 1 ＝g 2（x ，y ），代入C 1 ：f （x 1 ，y 1）＝0中即可．如，已知定点A （3，0），P 为单位圆x 2 ＋y 2 ＝1的动点． ∠AOP 的平分线交P A 于M ，求点M 的轨迹方程．就是M （x ，y ）与P （x 0 ，y 0）满足三角形内角平分线比例性质得出x 0 ＝34x －1，y 0 ＝34y 代入单位圆方程2)134(-x ＋2)34(y ＝1即2)43(-x ＋y 2 ＝169． （3）参数法：动点P （x ，y ）的纵、横坐标分别是某变量的函数如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 消参数t 即可得出F （x ，y ）＝0为所求的动点轨迹方程．如求两动直线kx －y ＋2（k ＋1）＝0与x ＋ky ＋2（k －1）＝0的交点P 的轨迹方程．联立方程组求出x ＝f 1（k ）、y ＝f 2（k ）消k 得F （x ，y ）＝0，但实际上主要目的是消参数k ，因此不求出x 、y 能消k 更简捷．即得（x ＋2）k ＝y －2与（y ＋2）k ＝2－x ．两式相除消k 即可．三、关于圆：1．圆的方程：（1）圆心半径式：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2（r ＞0）．特例：x 2 ＋y 2 ＝r 2 ． （2）圆的一般式：x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．圆心（－2D ，－2E ），半径r ＝F E D 422-+（D 2 ＋E 2 －4 F ＞0）． 两种形式的圆方程中都有三个待定参数，因此求圆方程必须三个条件才可． 2．点与圆位置关系：P （x 0 ，y 0）和圆C ：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2 ． ①点P 在圆C 外有(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＞r 2 ， ②点P 在圆上：(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＝r 2 ， ③点P 在圆内：(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＜r 2 ．3．直线与圆的位置关系：l ：f 1（x ，y ）＝0．圆C ：f 2（x ，y ）＝0消y 得F （x 2）＝0．（1）直线与圆相交：F （x ，y ）＝0中∆ ＞0；或圆心到直线距离d ＜r ．直线与圆相交的相关问题：①弦长|AB |＝21k +·|x 1 －x 2|＝21k +·212214)(x x x x -+，或|AB |＝222d r -；②弦中点坐标（221x x +，221y y +）；③弦中点轨迹方程． （2）直线与圆相切：F （x ）＝0中∆ ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P （x 0 ，y 0）是圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 上的点，过P 的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ，其二是圆外点P （x 0 ，y 0）向圆到两条切线的切线长为22020)()(r b y a x --+-或22020r y x -+；其三是P （x 0 ，y 0）为圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ．（3）直线与圆相离：F （x ）＝0中∆ ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2 上任一点，|PQ |max ＝|PC |＋r ；|PQ |min ＝|PQ |－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O 1O 2|与两半径r 1 ，r 2 的和差关系判定． （1）设⊙O 1 圆心O 1 ，半径r 1 ，⊙O 2 圆心O 2 ，半径r 2 则：①当r 1 ＋r 2 ＝|O 1O 2|时⊙O 1 与⊙O 2 外切；②当|r 1 －r 2|＝|O 1O 2|时，两圆相切；③当|r 1 －r 2|＜|O 1O 2|＜r 1 ＋r 2 时两圆相交；④当|r 1 －r 2|＞|O 1O 2|时两圆内含；⑤当r 1 ＋r 2 ＜|O 1O 2|时两圆外离．（2）设⊙O 1 ：x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1 ＝0，⊙O 2 ：x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2 ＝0．①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D 1 －D 2）x ＋（E 1 －E 2）y ＋F 1 －F 2 ＝0．②经过两圆的交点的圆系方程为x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1 ＋λ（x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（不包括⊙O 2 方程）．直线和圆的综合练习一、选择题（1）已知A （3，4），B （6，10），点C 在直线上，且AC ∶AB ＝1∶3，则C 点坐标为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛211,415 B ．（4，6） C ．⎪⎭⎫⎝⎛211,415和⎪⎭⎫⎝⎛1,23 D ．（4，6）或（2，2） （2）过点P (1，2)引一条直线，使它与A (2，3)和B (4，－5)的距离相等，那么这条直线方程为 （ ） A ．4x ＋y －6＝0 B ．x ＋4y －6＝0 C ． x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0 D ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0（3）两条直线l 1，l 2的斜率是方程6x 2＋x －1＝0的两个根，则l 1，l 2的夹角为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°（4）直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M（1，－1），则直线l 的斜率为 （ ）A ．－32 B ．32 C ．－23 D ．23（5）若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0D ． k ∈R 且k ±≠ 5（6）已知两定点A (－3，5)，B (2，15)，动点P 在直线3x －4y ＋4＝0上，当PA ＋PB取最小值时，这个最小值为 （ ）A ．513B ．362C ．155D ．5＋102（7）方程x 2＋(m －1)y 2－3my ＋2m ＝0表示两条相交直线，则m 的值为 （ ） A ．0 B ．－8 C ．0或－8 D ．m 值有无穷多个 （8）在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点是：A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是 （ ） A ．3 B ．1＋22 C ．1＋23 D ．2－22 （9）如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3,则xy的最大值是 （ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．3 （10）点P 在⊙C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上运动，点Q 在⊙C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上运动，则PQ 的最小值是 （ ）A ．35－5B ．35－3C ．35－2D ．35二、填空题（11）已知A (－2，5)，B (6，1)，则线段AB 的垂直平分线方程为 ． （12）过直线l 1:3x －y －5＝0,l 2:x ＋2y －4＝0的交点，且与直线x ＋5y ＝1平行的直线方程是 ．（13）直线l 过点A （－4，2），倾斜角是直线4x ＋3y －7＝0倾斜角的一半，则直线l的方程是 ．（14）已知△ABC ，A (0，5)，B (2，1)，△ABC 的面积为5，则点C 的轨迹方程是 ．（15）点M 在圆x 2＋y 2＝1上运动，N （3，0），若P 分MN 为3∶1，则P 点的轨迹方程是 ．（16）过A （4，－1）且与⊙C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于B （1，2）的圆的方程是．三、解答题（17）一条直线过P (1，1)，与直线l 1:x ＋2y ＝0,l 2:x －3y －3＝0分别交于A ，B 两点，若P 分线段AB 为2∶1，求直线l 的方程．(18) △ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．（19）过P (2，1)作直线l 交x ，y 轴正向于A ，B 两点，当l 在x ，y 轴上截距之和最小时，求直线l 的方程．（20）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上．(Ⅰ) 求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； (Ⅱ) 求在x 轴上，反射点M 的范围．（21）已知⊙C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，直线l 与⊙C 相切且分别交x 轴、y 轴正向于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ＝a ，OB ＝b （a ＞2，b ＞2）． (Ⅰ) 求线段AB 中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求△ABC 面积的极小值．直线和圆综合练习一、（1）D （2）C （3）C （4）A （5）B （6）A （7）C （8）A （9）C （10）A二、（11）012=--y x （12）075=-+y x （13）0102=+-y x（14）0102=-+y x 或02=+y x（15）1614922=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x （16）(x －3)2＋(y －1)2＝5三、（17）设),33(),,2(b b B a a A +-则3)33(221++-=b a ①，321ba +=②，由①②得512=a ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-512,524A ，过A ，P 的直线036297=-+y x 为所求． （18）直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为012=+-y x ，直线AB 与AC边中线的方程交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21B设AC 边中点D (x 1，3－2x 1)，C(4－2y 1，y 1)，∵D 为AC 的中点，由中点坐标公式得BC C y y x y x ∴∴=⇒⎩⎨⎧+=--=),1,2(,11)23(224211111边所在的直线方程为0732=-+y x ；AC 边所在的直线方程为y ＝1．（19）设直线l 的方程为112)0,0(1=+⇒=+b a b a b y a x ，则22 a a ab ∴-= 322322)2(2212+≥+-+-=-++=-+=+a a a a a a a b a当22222+=⇒-=-a a a 时等号成立，此时12+=b ∴直线l 的方程为0)22(2=+-+y x（20）⊙C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1（Ⅰ）C 关于x 轴的对称点C ′(2，－2)，过A ，C ′的方程：x ＋y ＝0为光线l 的方程．（Ⅱ）A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－3)，设过A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)，当该直线与⊙C 相切时，有341133222=⇒=+-+-k k k k 或43=k∴过A ′，⊙C 的两条切线为)3(433),3(343+=++=+x y x y 令y ＝0，得1,4321=-=x x∴反射点M 在x 轴上的活动范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,43 （21）⊙C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，A (a ，O)，B (O ，b ) ．设直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，∵直线AB 与⊙C 相切，∴02)(2122=++-⇒=+-+b a ab ba ab a b ①（Ⅰ）设AB 中点P (x ，y )，则y b x a by a x 2,22,2==⇒==代入①得P 点的轨迹方程：2xy －2x －2y ＋1＝0，∵a ＞2，∴x ＞1 ∴P 点的轨迹方程为(x -1)(y -1)＝21(x ＞1) （Ⅱ）由①得22024242)(2+≥⇒≥+-⇒-≥-+=ab ab ab ab b a ab ，当且仅当22+==b a 时等号成立． S △AOB ＝21ab ≥3＋22。
直线和圆的方程PPT教学课件
【解题回顾】若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0 ， 则 l1∥l2 的 必 要 条 件 是 A1B2-A2B1=0 ， 而 l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依 据上面结论去操作.
l2：A2x+B2y+C2=0
①l1∥l2 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0
②l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
类型之二 两条直线所成的角及交点
例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行
直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长
为5。求直线l的方程。
y
解:若直线l的斜率不存在，则
l2 l1 A
P(3,1)
直线l的方程为x=3， 此时与l1、l2的交点分别是 A1（3，-4）和B1（3，-9）， 截得的线段AB的长
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1
例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行
〖的直为解距5线。二离l1为〗求：由 d直x=+题线y|意1+l的1，=6方直0| 和线程5ll2。1：、2 lx2之+y间+6=l02 截Bl1得A的线Oy段P之(3x,长1)
高中数学第十节讲解教案
高中数学第十节讲解教案
主题：直线与圆的位置关系
一、教学目标：
1. 理解直线和圆的位置关系的基本概念。
2. 掌握直线与圆的位置关系的判定方法。
3. 能够应用直线与圆的位置关系解决相关问题。
二、教学重点：
1. 直线与圆的位置关系的基本概念。
2. 直线与圆的位置关系的判定方法。
三、教学难点：
1. 圆的切线与切点的概念。
2. 如何判断一条直线与圆的位置关系。
四、教学过程：
1. 复习：回顾上节课所学的直线和圆的相关知识。
2. 引入：通过一个实际问题引入直线与圆的位置关系的概念，激发学生的学习兴趣。
3. 学习：讲解直线与圆的位置关系的基本概念，并介绍判定直线与圆位置关系的方法。
4. 实践：让学生通过练习题巩固所学知识，提出问题并引导学生解决。
5. 总结：对本节课所学知识进行总结，强调重点和难点，帮助学生理清思路。
六、作业布置：
1. 完成课堂练习题。
2. 自主学习相关知识，做好预习。
七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对直线与圆的位置关系有了更深入的理解，掌握了相关判定方法，并能够运用所学知识解决相关问题。
在教学过程中，要充分引导学生思考，灵活运用知识，培养学生的解决问题能力和创新意识。
高中数学竞赛教材讲义 第十章 直线与圆的方程讲义.pdf
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
x
，由
y x
1 2 y
x, 2a
解得点
E
坐标为
4 3
a,
2 3
a
。
2
a
所以直线 DE 斜率为 k3
3 4aa
2. 因为 k1+k3=0.
3
所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。
例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截
8．点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式： d
|
Ax0
By0
C
|
。
A2 B2
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是 l1：A1x+B1y+C1=0 与 l2：A2x+B2y+C2=0，则过 l1, l2 交 点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）
y=kx+b；（4）截距式： x y 1；（5）两点式： x x1 y y1 ；（6）法线式方程：xcosθ
ab
x2 x1 y2 y1
x +ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：
x0
t cos
y y0 t sin
为θ，夹角为α，则 tanθ= k2 k1 ,tanα= k2 k1 .
《直线和圆方程》课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
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第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b ya x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
7．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。
8．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200||BA C By Ax d+++=。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l 1：A 1x+B 1y+C 1=0与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由l 1与l 2组成的二次曲线方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与l 2平行的直线方程为A 1x+B 1y+C=0(1C C≠).10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l 上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l 下方的部分。
11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x 和y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，其参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）。
13．圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)。
其圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D 42122-+。
若点P(x 0, y 0)为圆上一点，则过点P 的切线方程为 .0220000=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F y y E x x D y y x x ① 14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。
给定如下三个不同的圆：x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(F 1-F 2)=0; (D 2-D 3)x+(E 2-E 3)y+(F 2-F 3)=0; (D 3-D 1)x+(E 3-E 1)y+(F 3-F 1)=0。
不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。
二、方法与例题1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1 在ΔABC 中，AB=AC ，∠A=900，过A 引中线BD 的垂线与BC 交于点E ，求证：∠ADB=∠CDE 。
见图10-1，以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系。
设点B ，C 坐标分别为（0,2a ）,(2a,0)，则点D 坐标为（a, 0）。
直线BD 方程为12=+aya x ， ①直线BC 方程为x+y=2a ， ②设直线BD 和AE 的斜率分别为k 1, k 2，则k 1=-2。
因为BD ⊥AE ，所以k 1k 2=-1.所以212=k ，所以直线AE 方程为x y 21=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=a y x x y 2,21解得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 32,34。
所以直线DE 斜率为.234323=-=a a a k 因为k 1+k 3=0.所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC 。
例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。
证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。
以A 为原点，平行于正三角形ABC 的边BC 的直线为x 轴，建立直角坐标系见图10-2，设⊙D 的半径等于BC 边上的高，并且在B 能上能下滚动到某位置时与AB ，AC 的交点分别为E ，F ，设半径为r ，则直线AB ，AC 的方程分别为x y 3=,x y 3-=.设⊙D的方程为(x-m)2+y 2=r 2.①设点E ，F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则,311x y =223x y -=，分别代入①并消去y 得.03).(03)(2222222121=-+-=-+-r x m x r x m x所以x 1, x 2是方程4x 2-2mx+m 2-r 2=0的两根。
由韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+4,2222121 r m x x m x x ，所以|EF|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2+3(x 1-x 2)2=4(x 1+x 2)2-4x 1x 2=m 2-(m 2-r 2)=r 2. 所以|EF|=r 。
所以∠EDF=600。
2．到角公式的使用。
例3 设双曲线xy=1的两支为C 1，C 2，正ΔPQR 三顶点在此双曲线上，求证：P ，Q ，R 不可能在双曲线的同一支上。
假设P ，Q ，R 在同一支上，不妨设在右侧一支C 1上，并设P ，Q ，R 三点的坐标分别为,1,,1,,1,332211⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x 且0<x 1<x 2<x 3. 记∠RQP=θ，它是直线QR 到PQ 的角，由假设知直线QR ，PQ 的斜率分别为3223231111x x x x x x k -=--=，.1112121212x x x x x x k -=--=由到角公式.01)(11111tan 3221312322132212112<+-=++-=+-=x x x x x x x x x x x x x k k k k θ所以θ为钝角，与ΔPQR 为等边三角形矛盾。
所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4 求函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值。
因为222222)0()1()3()2()(-------=x x x x x f 表示动点P(x, x 2)到两定点A(3, 2),B(0, 1)的距离之差，见图10-3，当AB 延长线与抛物线y=x 2的交点C 与点P 重合时，f(x)取最大值|AB|=.104．最值问题。
例5 已知三条直线l 1: mx-y+m=0, l 2: x+my-m(m+1)=0, l 3: (m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC ，求m 为何值时，ΔABC 的面积有最大值、最小值。
记l 1, l 2, l 3的方程分别为①，②，③。
在①，③中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)为l 1与l 3的交点；在②，③中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)为l 2与l 3的交点。
设l 1, l 2斜率分别为k 1, k 2, 若m ≠0，则k 1•k 2=11-=⎪⎭⎫⎝⎛-m m , SΔABC =||||21BC AC ⨯，由点到直线距离公式|AC|=1|1|1|1|2222+++=+---m m m mm m ，|BC|=22111|1|mmm m +=++--。
所以S ΔABC =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++⨯11211121222m m m m m 。
因为2m ≤m 2+1，所以S ΔABC≤43。
又因为-m 2-1≤2m ，所以1212+≤-m m ，所以S ΔABC≥.41当m=1时，（S ΔABC ）max =43；当m=-1时，（S ΔABC）min =41. 5．线性规划。
例6 设x, y 满足不等式组⎩⎨⎧-≥+≤+≤.|32|2,41x y y x（1）求点(x, y)所在的平面区域；（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。
（1）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+≤+≤,032,322,41x x y y x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+≤+≤.032,232,41x x y y x解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。
AB ：y=2x-5；CD ：y=-2x+1；AD ：x+y=1；BC ：x+y=4.(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k 在y 轴上的截距，直线l 与阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-1<a ≤2，则l 通过点A （2，-1）时，f(x, y)最小，此时值为-2a-1；如果a>2，则l 通过B （3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1. 6．参数方程的应用。