匝道等不完整缓和曲线计算解释和说明
匝道等不完整缓和曲线坐标计算
随着全站仪在道路工程施工测量中的普及，传统的中线放样方法逐渐被淘汰。目前道路工程中线放样时，只要能计算出中线上任意一点的坐标，用全站仪或者GPS RTK的坐标放样功能就可很方便、快捷地完成实地放样。道路线形是由直线、圆曲线、缓和曲线三种线形组合而成的，而直线与圆曲线组合的线形（见图一）中桩坐标计算比较简单，在此不作阐述。下面就缓和曲线与其它两种线形组合的线形中桩坐标计算予以分析。缓和曲线与其它两种线形组合构成的线形主要有缓和曲线的完整形（即基本形）（见图二）和非完整形（即卵形）（见图三）二种。
一、基本形曲线中桩坐标计算:
1、对于第一缓和曲线及圆曲线段（ZH
~
YH）（如图四），建立以ZH为坐标原点，切线方向为X′轴，半径方向为Y′轴的曲线坐标系（X′O′Y′）。先计算曲线各点在曲线坐标系下的坐标。
⑴对于第一缓和曲线段（ZH
~HY）内任一点i（此时L=K
i
-K
ZH
）
若圆曲线半径R≥100m时，则
X i ′=L-L5/(40R2L
s1
2) 公式①
Y i ′=L3/(6RL
s1
) 公式②
若圆曲线半径R＜100m时，则
X′=L-L5÷［40（RL
S ）2］+L9÷［3456（RL
S
）4］–L13÷［599040（RL
S
）6］+L17÷［175472640
（RL
S ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RL
S
）10］（公式③）
Y′=L3÷［6（RL
S ）］ - L7÷［336（RL
S
）3］+L11÷［42240（RL
S
）5］ - L15÷［9676800
（RL
S ）7］+L19÷［3530096640（RL
S
）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RL
S
）11］（公式
④）
⑵对于圆曲线段（HY
~
YH）上任一点i
X i ′=q+Rsin￠
i
Y i ′=R(1-cos￠
i
)+p
L=K
i
-K
ZH
￠
i
=(L- L
s1
)*180/(Rπ)+β
内移值P=L
s1
2/(24R)
切线增值q= L
s1/2- L
s1
3/（240R2）
综合⑴、⑵，根据不同坐标系的相互转换，可得ZH
~
YH上任一点i的中桩测量坐标为：
X i =X
ZH
+cosA×X
i
′-sinA×f×Y
i
′（公式⑤）
Y i = Y
ZH
+sinA×X
i
′+cosA×f×Y
i
′（公式⑥）
式中f为线路的转向系数，右转时f=1，左转时f=-1 。A为X′轴方向的坐标方位角。
2、对于第二缓和曲线段（YH
~
HZ），建立以HZ为坐标原点，切线方向为X”轴，半径方向
为Y”轴的曲线坐标系（X”O”Y”）。此时对于第二缓和曲线段（YH
~
HZ）上任一点i在
曲线坐标系（X”O”Y”）下的坐标可表达为(此时L=K
ZH - K
i
)
若圆曲线半径R≥100m时，则
X i "=L-L5/(40R2L
s1
2) 公式①
Y i "=L3/(6RL
s1
) 公式②
若圆曲线半径R＜100m时，则
X"=L-L5÷［40（RL
S ）2］+L9÷［3456（RL
S
）4］–L13÷［599040（RL
S
）6］+L17÷［175472640
（RL
S ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RL
S
）10］（公式③）
Y"=L3÷［6（RL
S ）］ - L7÷［336（RL
S
）3］+L11÷［42240（RL
S
）5］ - L15÷［9676800（RL
S
）
7］+L19÷［3530096640（RL
S ）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RL
S
）11］（公式④）
同理经过坐标系的转换，可得测量坐标
X i =X
HZ
+cosA×X
i
"-sinA×g×Y
i
"（公式⑦）
Y i = Y
HZ
+sinA×X
i
"+cosA×g×Y
i
"（公式⑧）
式中g为线路的转向系数，右转时g=-1，左转时g=1 。A为X"轴方向的坐标方位角。
二、 卵形曲线中桩坐标计算
1、卵形曲线坐标计算原理。我们知道：卵形曲线是指在两半径不等的圆曲线间插入的一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线只是缓和曲线的一段，是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，是一条非完整的缓和曲线。因此在进行计算时可根据已知的设计参数，先求出包含此卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素（主要是HZ'点坐标值、桩号及其切线方位角），再按完整形缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意一点的坐标。
2、卵形曲线坐标计算方法。卵形曲线一般设计在高速公路互通立交的匝道上，圆曲线半径都比较小。计算时先将卵形曲线还原成完整缓和曲线，再通过两曲线半径R 1、R 2求出还原的缓和曲线长L 0。假设R 1 由此求出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）建立以HZ'为坐标原点，切线方向为X ′轴，半径方向为Y ′轴的曲线坐标系（X ′O ′Y ′）。如图五 ①、计算出YH1点（R 1 对应的点）在曲线坐标系下的坐标，进而求出HZ ′的测量坐标 X ′=L-L 5÷［40（RL S ）2］+L 9÷［3456（RL S ）4］–L 13÷［599040（RL S ）6］+L 17÷［175472640（RL S ）8］- L 21÷［7.80337152×1010（RL S ）10］ （公式③） Y ′=L 3÷［6（RL S ）］ - L 7÷［336（RL S ）3］+L 11÷［42240（RL S ）5］ - L 15÷［9676800（RL S ）7］+L 19÷［3530096640（RL S ）9］ - L 23÷［1.8802409472×1012（RL S ）11］ （公式④） 因为卵形曲线多为小半径的缓和曲线，为保证计算精度要求取公式前6项来计算。公式中L 为计算点至HZ'的弧长（此时为YH1点） L 对应弦长C=√（X'2+Y'2） 偏角a1=arctg （Y'÷X'） 注：偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。 此时缓和曲线切线角：a2=90L÷（πR ） ∴YH1 ~HZ′切线方位角；T=T YH1 + a2- a1 ∴HZ′测量坐标： X=X YH1+CcosT，Y=Y YH1 +CsinT ②、HZ′点的切线方位角（X′坐标轴方向）计算切线方位角：A=T-180+ a1 ③、计算卵形曲线任一点的坐标使用公式⑦、⑧即可 三、计算实例 下面以泉三高速公路三明段大田立交B匝道缓和曲线基本形与卵形中桩坐标计算为例，见 图六：已知相关设计数据见下表：R 1=50、R 2 =75 1、基本形曲线ZH ~ YH1段计算 A 1 =√（50*70）=59.161 由ZH点坐标推算HY1点的坐标，若直接利用 X i ′=L-L5/(40R2L s1 2) Y i ′=L3/(6RL s1 ) 此时L=K i -K ZH 得X i ′=66.57， Y i ′=16.333 代入公式⑤、公式⑥得测量坐标X i =9968.422 Y i =10125.242 此坐标与设计坐标相差比较大，是由于曲线半径小，计算X i ′、Y i ′时公式只取前两项导 致的。为此取计算公式前六项，利用公式③、公式④ X′=L-L5÷［40（RL S ）2］+L9÷［3456（RL S ）4］–L13÷［599040（RL S ）6］+L17÷［175472640 （RL S ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RL S ）10］（公式③） Y′=L3÷［6（RL S ）］ - L7÷［336（RL S ）3］+L11÷［42240（RL S ）5］ - L15÷［9676800 （RL S ）7］+L19÷［3530096640（RL S ）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RL S ）11］（公式 ④） 此时得X i ′=66.639，Y i ′=15.762 代入公式⑤、公式⑥得测量坐标X i = 9968.983 Y i =10125.338 此坐标与设计坐标相比较 ΔX=X计算值-X设计值=9968.983-9968.981=+0.002m ΔY=Y计算值-Y设计值=10125.338-10125.341=-0.003m 2、卵形曲线参数： A 2 2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷ （75-50）= 7224.900 A 2 =84.999 3、卵形曲线所在缓和曲线要素计算 卵形曲线长度L F 由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166 卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S ，由此找出HZ′点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用），建立以HZ′为坐标原点、切线方向为X′轴、半径方向为Y′轴的曲线坐标系（X′O′Y′）。 L S （YH1至HZ'的弧长）=A 2 2÷R1=7224.900÷50=144.498 ∴HZ′桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213 L E =HY2至HZ′的弧长= A 2 2÷R2=7224.900÷75=96.332 卵形曲线长度LF=Ls- L E =144.498-96.332=48.166（校核） HY2=HZ′-L E =368.213-96.332=271.881（校核） 由上说明计算正确 4、HZ′点坐标计算（见图六：） ①用缓和曲线切线支距公式计算，由于卵形曲线半径一般都比较小，为确保计算精度，计算公式保留前六项，如下 X′=L-L5÷［40（RL S ）2］+L9÷［3456（RL S ）4］–L13÷［599040（RL S ）6］+L17÷［175472640 （RL S ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RL S ）10］（公式③） Y′=L3÷［6（RL S ）］ - L7÷［336（RL S ）3］+L11÷［42240（RL S ）5］ - L15÷［9676800 （RL S ）7］+L19÷［3530096640（RL S ）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RL S ）11］（公式 ④） 公式中L为计算点至HZ′的弧长 HZ′：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算， L=L S =HZ′-YH1=368.213-223.715=144.498 将L= L S 代入公式⑤、公式⑥得：X′=117.1072 Y′=59.8839 L对应弦长C=√（X′2+ Y′2）=131.5301 偏角a1=arctg（Y′÷X′）=27°05’00.2” 缓和曲线切线角：a2=90L÷（πR）=90×144.498÷(π×50)=82°47’28.5” Q3=a2- a1=82°47’28.5”-27°05’00.2”=55°42’28.3” ∴YH1 ~ HZ′切线方位角=205°24’33.6” +Q3=205°24’33.6”+55°42’28.3” =261°07’01.9” ∴HZ′：AK0+368.213坐标： X=X YH1 +Ccos261°07’01.9”=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293 Y=Y YH1 +Csin261°07’01.9”=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838 5、HZ′：AK0+368.213点的切线方位角（X'坐标轴方向）计算 切线方位角=261°07’01.9”-180+ a1=261°07’01.9”-180+27°05’00.2”=108°12’02.1” 6、计算卵型曲线上任意点坐标(以HZ′:AK0+368.213作为推算起点) ①计算HY2:AK0+271.881的坐标 ∵L= HZ′- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式③、公式④得: X′=92.434 Y′=20.022 将此值代入公式⑦、公式⑧得X=9880.442 Y=10100.901 ②与设计值比较: ΔX=X 计算值-X 设计值 =9880.442-9880.438=+0.004m ΔY=Y计算值-Y设计值=10100.901-10100.904=-0.003m 同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。由此可见，采用此方法计算求得的坐标与设计院通过电脑程序计算的结果相差很小，完全可以作为任意卵型曲线的坐标计算。 四、结束语：对于缓和曲线的基本型，我们可以用casio fx-4800等计算器根据数学公式编写程序来方便计算，而对于卵型曲线只有在计算出HZ′点桩号、坐标值及其切线方位角后再借助上述公式进行坐标的计算。 参考文献； ⑴潘正风、杨正尧等编著，数字测图原理与方法，武汉以，武汉大学出版社，2004 ⑵许娅娅、雒应主著，测量学（第二版），北京，人民交通出版社，2004 ⑶李青岳、陈永奇编著，工程测量学，北京：测绘出版社，1995 注：1.边桩如何计算 X=中桩坐标+ Y=中桩坐标+ 2.数据精确度探讨 3.竖曲线如何计算 标高与横坡计算 4.软件和手工计算比较 5.现场数据处理与计算机成批处理 6．常用EXCEL一些函数如何应用 例如：Int()为取整函数 rand()为0-1之间的随机数 7.一般高速公路宽度问题 两车道=3.75*2+0.5+0.75（硬路肩） 1.2道路线形的基本介绍 道路运输在整个国民经济生活中起着重要作用。道路的新建和改建，测量工作必须先行，所以公路施工测量所承担的任务也是非常大的，为了更好的进行道路施工工作，下面就道路线形进行一下简单的介绍。 一般所说的路线，是指道路中线的空间位置。中线在水平面上的投影称作路线的平面；沿中线竖直剖切再行展开则是路线的纵断面；中线上任一点法向切面是道路在该点的横断面。 无论是铁路、公路还是地铁隧道和轻轨，由于受到地形、地物、地质及其他因素的限制，经常要改变线路前进的方向。当线路方向改变时，在转向处需用曲线将两直线连接起来。因此，线路工程总是由直线和曲线所组成。曲线按其线形可分为：圆曲线、缓和曲线、复曲线和竖曲线等。 公路中线应满足的几何条件是：线形连续平滑；线形曲率连续（中线上任一点不出现两个曲率值）；线形曲率变化率连续（中线上任一点不出现两个曲率变化值）。考虑上述几何条件，顾及计算与敷设方便，现代公路平面线形要素由直线、圆曲线和缓和曲线构成，称之为平面线形三要素。其中缓和曲线的曲率半径是从∞逐渐变到圆曲线半径R 的变量。在与直线连接处半径为∞，与圆曲线连接处半径为R ，曲线上任一点的曲率半径与该点至起点的曲线长成反比。 目前公路线形设计已开始使用非对称线形（成为非对称平曲线）设计，特别是在互通立交匝道和山区高速高速公路线形设计中，这种线形设计使用得较多。非对称线形分为完全非对称线形和非对称非完整线形两种，所谓“完全非对称曲线”的含义就是第一缓和曲线和第二缓和曲线起点处（ZH 或HZ ）的半径为∞，圆半径为R ，第一缓和曲线长1s l ，第二缓和曲线长为2s l ，12s s l l ≠。所谓“非完整”的含义是第一缓和曲线和第二缓和曲线的半径不是∞，而是1 R 、2 R 。而坐标法成为高速公路放样的主要方法，坐标法放样 线路中线的这个操作过程中，最重要的一部就是计算线路放样点的坐标。 2 路线中桩坐标计算原理 在实际工程中，线路的设计由专门的设计方完成，在线路完成设计得到审批后设计方便把所设计线路的线路要素（或者称为曲线要素）提供给施工方。所提供的曲线要素一般包括：线路中各曲线段的起点坐标、起点里程、起点半径、终点坐标、终点里程、终点半径、交点坐标、曲线参数、转角（包括用一定的符号表示左右转）、两条切线长（起点与终点各所对应的两条切线）、曲线长。当然不同的工程项目所提供的曲线要素也不一样，以上所述的要素是大多数设计方会提供的，有的设计方在提供上述要素的前提下，还提供曲线段的外距、中点坐标、弦长或者走向方位角等要素，供施工方在计算 通过弧长计算出园心角,通过园心角计算出弦长,以及这段园曲线的弦切角,直线的方位角加上(左转减,右转加)这个弦切角就是弦的方位角,这样就可以求出园曲线的终点(也就是下一段曲线的直缓点)的坐标. 怎样计算不完整缓和曲线起点及终点的坐标及切线方位角 以上为一条匝道的曲线图及要素表。第一缓和段长度根据公式c=R*L及C=A*A，图中A=100，R=150,可算出第一缓和段的长度为66.667米。而HY里程减去YH里程为60.902米。因此此段缓和曲线是在离其起点5.765米的地方与前段圆曲线相交。图上标为YH点。固此YH点并非第一缓和段起点。第二缓和段也有同样的问题，DZD点亦非第二缓和段终点。问题：怎样计算第一缓和段真正起点的坐标和第二缓和段真正终点的坐标。及切线方位角。本人水平有限，苦苦思索未得其解。在此劳烦各位同仁给予小弟支援。不胜感谢！测量路上诚与仁兄们携手同行，让我们的测量之路多一丝欣慰，少一分苦闷。QQ26889412E-mail: yujuying@https://www.360docs.net/doc/1c6660369.html, 注：曲线要素表可能看不清楚。但可以把图片另存为一个文件。然打开此文件就非常清楚了。1.计算出Y1H的坐标及方位角； 2.计算出过渡段缓和曲线在Y1H点的支距dx,dy及偏角β； 3.由Y1H的方位角及偏角β可反算出过渡缓和曲线虚起点的方位角。 4.由Y1H的坐标、dx,dy及方位角可反算出过渡缓和曲线起点的坐标。(用支距到大地坐标的变换公式反算。 关于不同类型缓和曲线的判断及起点、终点曲率半径的计算方法目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中 相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲 线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如 从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而 缓和曲线计算公式 缓和曲线计算公式: 缓和曲线参数: 0=A L R ? 缓和曲线长度R A L ÷=20 缓和曲线半径÷=2A R 0L 所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须是无穷大(可用10的45次方代替,有时也可用“0”表示，具体情况具体分析)，而缓和曲线两端无论在什么情况下与圆曲线相接时，其两端的曲率半径必须与对应连接圆曲线的半径相等。现在我们来谈谈非完整缓和曲线，从上面的话知道，如果某段缓和曲线的一端与直线连接点曲率半径不是无穷大，而是一个实数，那么这段缓和曲线就是非完整缓和曲线。 设计图中遇到这种情况，一般会告诉这段缓和曲线的长度(我们把这段缓和曲线的长度记作L2，缺少的一段缓和曲线长度记作L1，L1+L2=完整缓和曲线长度L),如果没告诉这段缓和曲线的长度，也可以通过两端的桩号计算出来、设计参数A 及缓和曲线另一端的曲率半径R2(应该是与一个圆曲线相接,也就是说R2等于这个圆曲线的半径)。我们在输入匝道程序时必须要知道R1(起点曲率半径)，怎么办呢？那就通过计算把R1计算出来不就行了，下面就是计算过程： 由公式：R=A2÷L 推出R1= A2÷L1 => A2=R1*L1 ……………………………………………………① R2= A2÷(L1+L2) => A2=R2*(L1+L2) ……………………………………………………② R2= A2÷(L1+L2) => R2= A2÷L => L=A2÷R2 …………………………………………③ 由公式①②推出 R1*L1=R2*(L1+L2) => R1=R2*(L1+L2)÷L1 …………………………………………④ L=L1+L2 => L1=L-L2 ……………………………………………⑤ 由公式③④⑤推出 R1=R2*L÷(L-L2) => R1= A2÷(A2÷R2-L2) …………………………………………⑥ 公式⑥就是我们要找的曲率半径公式，计算得到结果计算完毕。现在我们在编制非完整缓和曲线程序时就清楚的知道起点和终点的曲率半径了。还要说明一点就是，计算出来的曲率半径既是起点也是终点，既是终点也是起点，关键是看线路前进方向了，只要大家细心，分清起点终点输入程序，计算出来的准没错。 曲线坐标计算 1、曲线要素计算 （1）缓和曲线常数计算 内移距R l 24/p 2 s = 切垂距 23 s 240/2/m R l l s -= 缓和曲线角R l R l s s πβ/902/0??== （2）曲线要素计算 切线长 m R T ++=2/tan )p (α 曲线长 ?+=?-+=180/]180/)2([20απβαπR l R l L s s 外矢距 R R E -+=)]2/cos(/)p [(0α 切曲差 L T q -=2 2、主要点的里程推算 s s s S l YH HZ )/22l -(L QZ YH )/22l -(L HY QZ l +=+=+=+=-=ZH HY T JD ZH 检核： HZ T JD =-+q 3、方位角计算 根据已知JD1和JD2的坐标计算出 21JD JD -α 偏角βαα±=--211JD JD JD ZH ?±-=-18011JD ZH ZH JD αα 4、计算直线中桩坐标 (1)计算ZH 点坐标： ZH JD JD ZH ZH JD JD ZH T y y T x x --?+=?+=1111sin cos αα (2)计算HZ 点坐标： 2 11211cos cos JD JD JD HZ JD JD JD HZ T y y T x x --?+=?+=αα (3)计算直线上任意点中桩坐标 待求点到JD1的距离为i L 2 112 11sin cos -JD JD i JD i JD JD i JD i i L y y L x x HZ T L --?+=?+=+=αα里程 待求点里程 5、计算缓和曲线中桩坐标 (1)第一缓和曲线上任意点中桩坐标 在切线坐标系中的坐标为： s i s i Rl l y Rl l l x 6/)(40/3 25=-= ZH 到所求点方位角： 高速公路的一些线路计算 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角：α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： y y ⑼y x x ⑻x αSsin y ⑺αScos x ⑹90 ααα⑸y x ⑷S 180n x y arctg α⑶l 3456R l l 40R l l y ⑵)K R 336l l 6Rl l (x ⑴Z 1Z 11111012 0200 040 49202503307 03 0+=+===-+=+=?+=+-=-= 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n 的取值如下： ?? ? ??=<?? ? ??=>>1n 0y 0x 1n 0y 0x 2n 0y 0x 0n 0y 0x 00000000 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l 为到点HZ 的长度 α为过点HZ 的切线方位角再加上180° K 值与计算第一缓和曲线时相反 x Z ，y Z 为点HZ 的坐标 切线角计算公式：2Rl l β0 2 = 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角：α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： y y ⑿y x x ⑾x αSsin y ⑽αScos x ⑼90α αα⑻y x ⑺S 180n x y arctg α⑹m Rsinα'y ⑸p]K )cosα'[R(1x ⑷34560R l 240R l 2l ⑶m 2688R l 24R l ⑵p Rπ)l -90(2l ⑴α'Z 1Z 11111012 0200 0004 5 23003 40 200+=+===-+=+=?+=+=+-=+ -=- == 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n 的取值如下： ?? ? ??=<?? ? ??=>>1n 0y 0x 1n 0y 0x 2n 0y 0x 0n 0y 0x 00000000 当只知道HZ 点的坐标时，则： l 为到点HZ 的长度 α为过点HZ 的切线方位角再加上180° K 值与知道ZH 点坐标时相反 x Z ，y Z 为点HZ 的坐标 高速公路的线路(缓和曲线)计算公式 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角： α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 x Z ，y Z 为点HZ的坐标 ? 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角：α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n 的取值如下： 当只知道HZ 点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反 x Z ，y Z 为点HZ的坐标 ? 三、曲线要素计算公式 公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）——第一缓和曲线长度 l 1 ——第二缓和曲线长度 l 2 l ——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R ——曲线起点处的半径 1 ——曲线终点处的半径 R 2 P ——曲线起点处的曲率 1 P ——曲线终点处的曲率 2 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 (上坡为“＋”，下坡为“－”)已知：①第一坡度：i 1 (上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i 2 ③变坡点桩号：S Z ④变坡点高程：H Z ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S 缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道（计算公式） 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式 公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径 P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：SZ 匝道等不完整缓和曲线坐标计算 随着全站仪在道路工程施工测量中的普及，传统的中线放样方法逐渐被淘汰。目前道路工程中线放样时，只要能计算出中线上任意一点的坐标，用全站仪或者GPS RTK的坐标放样功能就可很方便、快捷地完成实地放样。道路线形是由直线、圆曲线、缓和曲线三种线形组合而成的，而直线与圆曲线组合的线形（见图一）中桩坐标计算比较简单，在此不作阐述。下面就缓和曲线与其它两种线形组合的线形中桩坐标计算予以分析。缓和曲线与其它两种线形组合构成的线形主要有缓和曲线的完整形（即基本形）（见图二）和非完整形（即卵形）（见图三）二种。 一、基本形曲线中桩坐标计算: 1、对于第一缓和曲线及圆曲线段（ZH ~ YH）（如图四），建立以ZH为坐标原点，切线方向为X′轴，半径方向为Y′轴的曲线坐标系（X′O′Y′）。先计算曲线各点在曲线坐标系下的坐标。 ⑴对于第一缓和曲线段（ZH ~HY）内任一点i（此时L=K i -K ZH ） 若圆曲线半径R≥100m时，则 X i ′=L-L5/(40R2L s1 2) 公式① Y i ′=L3/(6RL s1 ) 公式② 若圆曲线半径R＜100m时，则 X′=L-L5÷［40（RL S ）2］+L9÷［3456（RL S ）4］–L13÷［599040（RL S ）6］+L17÷［175472640 （RL S ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RL S ）10］（公式③） Y′=L3÷［6（RL S ）］ - L7÷［336（RL S ）3］+L11÷［42240（RL S ）5］ - L15÷［9676800 （RL S ）7］+L19÷［3530096640（RL S ）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RL S ）11］（公式 ④） ⑵对于圆曲线段（HY ~ YH）上任一点i 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：x Z，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反 x Z，y Z为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：x Z，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 x Z，y Z为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式 公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径 P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：S Z ④变坡点高程：H Z ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S 计算过程： 五、超高缓和过渡段的横坡计算 旋转坐标系法求缓和曲线坐标 1、旋转坐标系原理 1.1旋转公式 1cos 1sin 1sin 1cos x x y y x y αααα =-=+ 对于测量坐标系逆时针旋转为α取正值，顺时针为负。例如：原坐标系中的()1,1点，坐标系旋转45 °后，在目标坐标系为(。 1cos 451sin 4501sin 451cos 45x y =*?-*?==*?+*?= 2、利用旋转坐标计算缓和曲线任意点的坐标原理 利用缓和曲线坐标公式求 5913 48 16 3711 2610 14034565990401633642240l l l x l A A A l l l y A A A =-+-=-+ 然后旋转坐标轴，γ为方位角，把原坐标系逆时针旋转方位角。 1cos 1sin 1sin 1cos x x y y x y γγγγ =-=+ 3、用旋转坐标系法求曲线坐标 已知： ①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：0l ④过ZH 点的切线方位角：γ ⑤转向角系数：K (1或－1)左转为-1右转为1 计算过程： 3.1、求直缓点ZH 的坐标 3.1.1缓和曲线要素 A =2 03 00 2242240()tan 2 l p R l l m R T R p q α = =- =++ 00cos sin z z x x T y y T γγ =-=- 3.1.2求第一缓和曲线上任意点在原坐标系中的坐标 5913 4816 3711 2610 14034565990401() 633642240l l l x l A A A l l l y K A A A =-+- =-+ 左转为K=-1右转为K=1，因为右转时y1为正，左转时y1为负 3.1.3旋转坐标系 1cos 1sin 1sin 1cos z z x x x y y y x y γγγγ =+-=++ 3.2、求圆曲线上任意点的坐标 3.2.1求圆曲线上任意点在原坐标系上的坐标 高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算 瑞国 二航局分公司测试中心 摘 要：高速公路立交匝道平曲线普遍采用卵形曲线形式，关于其坐标的计算的原理与方法在众多书籍中介绍的较繁琐或不甚全面，笔者结合施工经验，利用工程实例对卵形曲线的坐标计算进行推导及验证。 关键词：高速公路 立交匝道 卵形曲线 坐标计算 1 引言 近年来，随着城市的发展需要，我国也逐渐加大对各城市的高速公路建设的资金投入，高速公路已占据我国公路网中的主要地位，设计单位为了使高速公路中立交匝道的线型美观和流畅，不可避免的需要插入卵形曲线，所以对于测量人员而言，掌握卵形曲线的坐标计算原理与方法显得尤为重要，本文通过对卵形曲线原理的分析以及公式推导，并结合工程实例进行计算验证，以此运用于高速公路的施工测量工程实践。 2 卵形曲线的概念 卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段非完整的缓和曲线而构成的复曲线。即卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。在计算包含卵形曲线的立交匝道时，将卵形曲线转化成完整的缓和曲线后按照缓和曲线公式计算，问题与难点便迎刃而解。 3 卵形曲线坐标计算原理 对于初学者，判定某段缓和曲线是否为卵形曲线的技巧为：将该段的缓和曲线参数平方除以该段缓 和曲线的长度，计算出数值是否等于与其相连接的圆曲线半径，用公式表达为R L A 2 ,若该公式结果成立，则为正常缓和曲线，若结果不成立，则为卵形曲线。 如图1所示，在半径为1R 与2R 的两圆曲线间插入长度为F L 的非完整缓和曲线，此段缓和曲线的端点分别为YH 和HY 点，首先计算出整条完整缓和曲线的起点桩号'ZH 或终点桩号'HZ （该图1中计算出点桩号'HZ ）、'HZ 的坐标)Y ,(X C C 、'HZ 的切线方位角C W （即图1中CD 的方位角），最后根据以上条件求得卵形曲线上任意一点桩号的坐标和切线方位角。 一、缓和曲线 缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形,是道路平面线形要素之一。 1．缓和曲线的作用 1）便于驾驶员操纵方向盘 2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化 3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车 4）与圆曲线配合得当，增加线形美观 2．缓和曲线的性质 为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0°均匀地增加到圆曲线上。 S=A2/ρ（A：与汽车有关的参数） ρ=C/s C=A2 由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。 3．回旋线基本方程 即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。 令：ρ=R，l h=s 则 l h=A2/R 4．缓和曲线最小长度 缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。a1=0,a2=v2/ρ,a s=Δa/t≤0.6 2）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度(t=3s) 3）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度 超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。 发布日期：2012-01-31 作者：李秋生浏览次数：149 4）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度 缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3°——29°之间，视觉效果好。 《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。 5．直角坐标及要素计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 切线角计算公式： 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式 公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径 P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：SZ ④变坡点高程：HZ ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S 计算过程： 五、超高缓和过渡段的横坡计算 缓和曲线要素及计算公式 缓和曲线：在直线与圆曲线之间加入一段半径由无穷大逐渐变化到圆曲线半径的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 缓和曲线的主要曲线元素 缓和曲线主要有ZH 、HY 、QZ 、YH 、HZ 5个主点。 由此可得： q P R q T T h ++=+=2 tan )(α R P R E h -+=2 sec )(α s h L R L 2180)2(0+-=πβα 180 )2(0R L y πβα-= 式中：h T －缓和曲线切线长 h E －缓和曲线外矢距 h L －缓和曲线中曲线总长 y L －缓和曲线中圆曲线长度 缓和曲线与圆曲线区别： 1. 因为缓和曲线起始端分别和直线与圆曲线顺滑的相接，因此必须将原来的圆曲线向内移动一段距离才能够接顺，故曲线发生了内移（即设置缓和曲线后有内移值P 产生） 2. 缓和曲线的一部分在直线段，另一部分插入了圆曲线，因此有切线增长值q; 3. 由于有缓和曲线的存在，因此有缓和曲线角0β。 缓和曲线角 0β的计算： R L S 2/0=β(弧度)= R L S π90 (度) 内移值P 的计算： ()m R L P S 242 = 切线增长值q 的计算： )(240223 m R L L q S S -= P －缓和曲线内移值 q －缓和曲线切线增长值 0β－缓和曲线首或尾所采用的缓和曲线段分别的总缓和曲线角。 S L －缓和曲线两端各自的缓和曲线长。 R －缓和曲线中的主圆曲线半径 α－偏转角 缓和曲线主点桩号： ZH 桩号=JD 桩号-h T HY 桩号=ZH 桩号+S L QZ 桩号=HY 桩号+2y L YH 桩号=QZ 桩号+ 2 y L HZ 桩号=ZH 桩号+h L 另外、QZ 桩号、YH 桩号、HZ 桩号还可以用以下方式推导： QZ 桩号=ZH 桩号+ 2 h L YH 桩号=HZ 桩号-S L HZ 桩号=YH 桩号+S L 切线支距法计算坐标： 缓和曲线段内坐标计算如式： 2 2540S P p L R L L -=X s P RL L Y 63 = 进入净圆曲线段内坐标计算如式： ?? ??????- ?? ???+=R L L R q X s p π1802 sin ? ??????????- ?? ? ?? -???+=R L L R P Y s p π1802cos 1 圆曲线缓和曲线计算公式 圆曲线缓和曲线计算公式 2011-09-13 15:19:36| 分类：默认分类|字号订阅 第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式) 学习园地2010-07-29 13:10:53阅读706评论0 字号：大中小订阅 [教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)未知2009-12-09 19:04:30 广州交通技术学院第九章道路工程测量(road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的 计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量(road construction survey) 。（一）勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 分为：初测(preliminary survey) 和定测(location survey) 1、初测内容：控制测量(control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图(profile) 、收集沿线地质水文资 高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式 公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径 P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：SZ ④变坡点高程：HZ ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S 计算过程： 一、缓和曲线常数 1、 内移距P ： 3420268824R l R l P n -= 2、 切垂距m ： 2 302402R l l m -= 3、缓和曲线基本角： R l R l πβ000902== 3、 缓和曲线偏角： R l R l πδ000306== 5、缓和曲线反偏角： R l R l b π000603== 缓和曲线常数既有线元素，又有角元 素，且均 为圆曲线半径R 和缓和曲线 长0l 的函数。线元素要计算到mm ，角元素要计算到秒。 二、缓和曲线综合要素 切线长：()m P R T +?? ? ??+=2tan α 曲线长：()0022l R L +-=βα 外视距：R P R E -?? ? ??+=2cos 0α 切曲差：L T q -=2 曲线综合要素均为线元素，且均为转向角 α、圆曲线半径R 和缓和曲线长0 l 的函数。曲线综合要素计算到cm 。 三、缓和曲线任意点偏角计算 2020202902306Rl l Rl l Rl l Rl l t t t t t t πβπδ==== 0202603Rl l Rl l b t t t π== 实际应用中，缓和曲线长0l 均选用10m 的倍数。 四、偏角法测设缓和曲线遇障碍 ()()T B B T l l l l Rl 2610 +-=βδ ()()()()T F T F T F T F F l l l l Rl l l l l Rl 23026100 +-=+-= πδ —B l 为靠近ZH(HZ)点的缓和曲线长； —T l 为置镜点的缓和曲线长； —F l 为远离ZH(HZ)点的缓和曲线长。 五、直角坐标法 1、缓和曲线参数方程： 520 2401a a a l l R l x -= 30 373033661l R l l Rl y a a a -= 2、圆曲线 m R x b b +=αsin ()P R y b b +-=αcos 1 式中，b α为圆心O 到切线的垂线方向和到B 的半径方向所形成的圆心角，按 下式计算: 曲线坐标计算 一、 圆曲线 圆曲线要素：α---------------曲线转向角 R---------------曲线半径 根据α及R 可以求出以下要素： T----------------切线长 L----------------曲线长 E----------------外矢距 q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差） 各要素的计算公式为： ??=180π αR L (弧长) )12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数） 圆曲线主点里程：ZY=J D －T QZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －q JD=QZ ＋q ／2（校核用） 1、基本知识 ◆ 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。 ◆ 表示方法：DK26＋284.56。 “+”号前为公里数，即26km ，“+”后为米数，即284.56m 。 CK ——表示初测导线的里程。 DK ——表示定测中线的里程。 Ｋ——表示竣工后的连续里程。 铁路和公路计算方法略有不同。 2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法） 已知条件：起点、终点及各交点的坐标。 1）计算ZY、YZ点坐标 通用公式： 2）计算曲线点坐标 ①计算坐标方位角 i 点为曲线上任意一点。 li 为i 点与ZY点里程之差。 弧长所对的圆心角 弦切角 弦的方位角 当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。 ②计算弦长 ③计算曲线点坐标 此时的已知数据为： ZY（x ZY，y ZY）、 ZY- i、C。 根据坐标正算原理： 切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得： 利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得： 式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为ZY 时，“±”取“＋”，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；当起点为YZ时，“±”取“-”，X0=X(YZ), Y0=Y(YZ), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入； 注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直 3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角 4、弧长公式 由L/πR=n°/180°得L=n°πR/ 180°=nπR/180 二、缓和曲线（回旋线） 缓和曲线主要有以下几类： A：对称完整缓和曲线（基本形）------切线长、ls1与ls2都相等。B: 非对称完整缓和曲线---------------切线长、ls1与ls2都不相等 不等长缓和曲线计算示例 已知JD69的不等长曲线参数：JD69=K59+471.54，αz=65°31'32"，R=355.281，Ls1=100，Ls2=145，F=308°14'51"，X69=2740549.864，Y69=504049.141 JD68=K58+784.44，αy=68°22'22"，R=460，Ls1=100，Ls2=100，F=239°52'29"，X68=2740076.733，Y68=504649.358 R—圆曲线半径 故β1=8°03'48.41" β2=11°41'31.2" 圆曲线所对圆心角：ψ= 2、第一个曲线要素计算： αz1=ψ+2β1=61°53'49" T=263.71 JD69-1=K59+454.47 N=X+DcosF N=2740549.864 D=280.775-263.71=17.065 F=308°14'51" 得X=2740539.300 E=Y+DsinF N=504049.141 D=280.775-263.71=17.065 F=308°14'51" 得Y=504062.543 计算得JD69-1的曲线要素：JD69-1= K59+454.47，αz1=61°53'49"，R=355.281，Ls1=100，Ls2=100，F=308°14'51"，X69-1=2740539.300，Y69-1=504062.543 3、第二曲线要素计算： αz2=ψ+2β2=69°09'14" T=318.98 曲线长O=573.812 曲线止点不变即HZ=K59+719.58 计算曲线起点ZH=K59+145.768 JD69-2=K59+464.748 N=X+DcosF N=2740310.007 D=541.129 F=242°43'19" 得X=2740558.011 不完全缓和曲线测量坐标计算公式 根据缓曲参数A,不完全缓曲线长l,圆半径R2,应用缓和曲线线长方程反求非完整缓和曲线另一端的半径R1,R1＞R2时,A2/R2-A2/R1=l,R1=1/(1/R2-l/A2),R1＜R2 时,A2/R1-A2/R2=l,R1=1/(1/R2+l/A2),(参考卡西欧9750程序书) 回旋参数为A,起点曲率半径为R1,终点曲率半径为R2,R1＞R2,不完全缓和曲线长l,把不完钱缓和曲线的一端O1(曲率半径为R1)顺延至曲率半径为∞的O处,形成完全缓和曲线,这样就可用完全缓和曲线计算公式推导不完全缓和曲线计算公式。l=A2(1/R2-1/R1),A2=l*R1*R2/(R1-R2),不完全缓和曲线上任意点P距起点O1曲线长为l i,起点O1曲率半径为R1,不完全缓和曲线上任意点切线与起点切线夹角(不完全缓和曲线转角)β =l i/R1+l i2/2/A2,若R1＜R2则βＰ Ｐ =l i/R1-l i2/2/A2,x=l i-l i3/6/R12-l i4/8/R1/A2-l i5/40/A4,y=l i2/2/R1+l i3/6/A2-l i4/24/R13-l i5/20/R12/A2,如以R2小半径建立切线支距坐标系(l i为P点到O2的曲线长),则βＰ =l i/R2-l i2/2/A2,x=l i-l i3/6/R22+l i4/8/R2/A2-l i5/40/A4,y=l i2/2/R2-l i3/6/A2-l i4/24/R23+l i5/20/R22/A2,(参考4、2、5) 1.不完全缓和曲线的特性:缓和曲线OAB为完全缓和曲线,曲率半径从O点的+∞到B点的R2,不完全缓和曲线是完全缓和曲线OAB的一部分,起点A点的半径为R1,终点B点的半径为 R2,R1＞R2,曲线AB的长为l,缓和曲线的曲线半径变化率为C=A2(缓和曲线参 数)=l*R1*R2/(R1-R2)。2.不完全缓和曲线上任意点测量坐标的计算:(1)方法一:建立以O点(ZH 点)为原点,以O点处的切线为x轴,以垂直于x轴且方向指向曲线内侧的方向为y轴的坐标系,A 点(YH点)的测量坐标(X A,Y A)、切线方位角αA、曲线AB的长l,B点(HY点)的半径R2为已知,ZH 点(O点)至不完全缓和曲线起点A点的曲线长l0=l*R2/(R1-R2),A点在xOy坐标系中的相对坐标为x A=l o-l o5/40/C2+l o9/3456/C4,y A=l o3/6/C-l o7/336/C3+l o11/42240/C5,A点切线与x轴的夹角为:βA=l O2/2/C(弧度),设AB上任意一点P至A的曲线长为l i,则有:P点在xOy坐标系中的相对坐标为x p=(l o+l i)-(l o+l i)5/40/C2+(l o+l i)9/3456/C4,y p=(l o+l i)3/6/C-(l o+l i)7/336/C3+(l o+l i)11/42240/C5,P点切线与x轴的夹角为:βP=(l o+l i)2/2/C(弧度),所以P点的切线方位角为αPQ=αA-βA*180/л+β *180/л(曲线右转),αPQ=αA+βA*180/л-βP*180/л(曲线左转),法线方位角为:αPF=αA-β P *180/л+βP*180/л+90°(曲线右转),αPF=αA+βA*180/л-βP*180/л+90°(曲线左转),P点A 的测量坐标为:曲线右转时:X P=X A+(x P-x A)cos(αA-βA*180/л)-(y P-y A)sin(αA-βA*180/ л),Y P=Y A+(y P-y A)cos(αA-βA*180/л)-(x P-x A)sin(αA-βA*180/л)；曲线左转 时:X P=X A+(x P-x A)cos(αA+βA*180/л)+(y P-y A)sin(αA+βA*180/л),Y P=Y A-(y P-y A)cos(αA+β(完整word版)缓和曲线计算原理
怎样计算不完整缓和曲线起点及终点的坐标及切线方位角资料
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