第一章集合与常用逻辑用语单元检测附答案)答案含详解)

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(易错题)高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(含答案解析)

一、选择题1．“21x >”是“2x >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞3．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y }，则（C U M ）∪N 等于（） A ．{x |x ＜﹣2或x ≥0} B ．{x |x ＞1} C ．{x |x ＜﹣1或1＜x ≤3} D ．R4．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为真命题 5．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}6．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >7．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④8．已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞9．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)10．已知在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则“113a =”是“数列{}n a 唯一”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若集合1|,6 A x x m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|,23n B x x n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,26p C x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B ，C 之间的关系是（）A ．ABC ==B ．AB C = C ．ABC D ．B CA12．在下列三个结论中，正确的有（） ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件. A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③二、填空题13．给出下列三种说法：①命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(q ⌝)”是假命题．②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3. ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中所有正确说法的序号为________________．14．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RAB =__________．15．已知1a ≤，集合{}2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________.16．已知集合{}{}10|133xA aB x =-=，，，＜＜，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是______.17．已知数集{}{},,,1,2,3,4a b c d =，且有下列说法：①1a =；②2>c ；③4d ≠，则满足(),,,a b c d 的数值有________组.18．若集合A ＝{x|2≤x≤3}，集合B ＝{x|ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________. 19．已知集合{}{}22,1,A B a==，若{}0,1,2AB =,则实数a =________.20．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．三、解答题21．已知集合()(){}10A x x a x a =-++≤，{3B x x =≤或}6x ≥. （1）当4a =时，求AB ；（2）当0a >时，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围. 22．已知集合411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. 23．知2:8150p x x -+≤，(): q xx a a -+-≤>222100.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 24．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-. （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x ∈R 时，不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围. 25．已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足()231x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 26．已知集合121284x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log ,,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. （1）若{}122C x m x m =+<≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围；（2）若{}61D x x m =>+，且()AB D =∅，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.2．C解析：C 【分析】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题，分0x =和0x ≠两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题. 当0x =时，则有10-≥，不合乎题意；当0x ≠时，由2410ax x +-≥，可得214ax x ≥-，则有221414x a x x x-≥=-， 22141244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，等号成立，所以，4a ≥-.综上所述，实数a 的取值范围是[)4,-+∞. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.3．A解析：A 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y }[)0,=+∞，（C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}. 故选：A 【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.4．B解析：B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若,a b 中没有一个大于等于1，则2a b +<，等价于“若1,1a b <<，则2a b +<”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；原命题的逆命题为：“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”，取5,5a b ==-则,a b 中至少有一个不小于1，但0a b +=，所以原命题的逆命题不正确. 【点睛】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.5．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.6．B解析：B 【解析】{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩ ，选A. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.7．B解析：B 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．8．B解析：B 【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >，则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤， p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B. 【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系.9．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤，由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4，故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.10．C【分析】根据条件“在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项”求解数列{}n a ，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则2213(2)(1)(3)a a a +=++，22213134433a a a a a a ++=+++，设{}n a 的公比为q ，则22222111114433a q a q a q a a q ++=+++，211430q q a -+-=（*），10a >，因为1114164(3)40a a ∆=--=+>，所以此方程一定有两不等实解，当等比数列{}n a 只有一解时，方程（*）的两解中一解为0q =需舍去，此时113a =；若113a =，方程（*）有一个解是0q =，另一解4q =．数列{}n a 只有一解，由上分析知113a =是数列{}n a 唯一的充要条件．故选：C ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．11．B解析：B 【分析】分别将集合中的元素表示为61,6m x x m Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，31|,6t x x t Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭和31|,6p x x p Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭即可得结果. 【详解】 ∵161|,,66m A x x m m Z x x m Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 13231|,|,|,2366n n t B x x n Z x x n Z x x t Z -+⎧⎫⎧⎫⎧⎫==-∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，131|,|,266p p C x x p Z x x p Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭显然A B C =，故选：B.本题主要考查集合间的包含关系的判断，考查集合的包含关系等基础知识，属于基础题.12．C解析：C 【分析】①，证明x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；②，在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；③,证明“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 【详解】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．①③【解析】试题分析：①若命题p ：存在x ∈R 使得tanx=1；命题q ：对任意x ∈Rx2-x+1＞0则命题p 且¬q 为假命题此结论正确对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题故可得p 且¬q 为假命题②已知解析：①③ 【解析】试题分析：①若命题p ：存在x ∈R ，使得tanx=1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2-x+1＞0，则命题“p 且¬q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p 且¬q”为假命题.②已知直线l 1：ax+3y-1=0，l 2：x+by+1=0.则l 1⊥l 2的充要条件为ab ＝−3，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为a b ＝−3，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足a b＝−3，故本命题不对.③命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x 2-3x+2≠0”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；考点：复合命题的真假；四种命题14．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<，所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.15．【分析】首先分析出集合里面必有元素1再讨论集合为三种情况讨论求的取值范围【详解】所以集合里的元素一定有1集合有3个元素当集合是时有集合是空集；当集合是时有解得：；当集合是时有集合是空集；综上：的取值解析：(]1,0-【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为{}1,2,3，{}0,1,2，{}1,0,1- 三种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】1a ≤ ，21a ∴-≥ ，所以集合里的元素一定有1，集合有3个元素，当集合是{}1,2,3时，有01324a a <≤⎧⎨≤-<⎩，集合是空集；当集合是{}0,1,2时，有10223a a -<≤⎧⎨≤-<⎩，解得：10a -<≤ ；当集合是{}1,0,1-时，有21122a a -<≤-⎧⎨≤-<⎩ ，集合是空集；综上：a 的取值范围是(]1,0- 故答案为(]1,0- 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.16．或或【解析】【分析】由指数不等式的解法得由集合的运算及集合元素的互异性可得实数的取值范围是或或【详解】解:解不等式可得即又且则或或故答案为:或或【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算重点考查解析：1a <-或 10a -<<或1a ≥ 【解析】【分析】由指数不等式的解法得{}|01B x x =<<，由集合的运算及集合元素的互异性可得实数a 的取值范围是1a <-或10a -<<或1a ≥. 【详解】解:解不等式133x <<可得01x <<,即{}|01B x x =<<, 又{}1,0,A a =-,且A B φ⋂=,则1a <-或10a -<<或1a ≥, 故答案为:1a <-或 10a -<<或1a ≥. 【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算，重点考查了集合元素的互异性，属基础题.17．【分析】列举出符合条件的数组即可【详解】则的取值可以是或①时即数组为；②时则或即数组为和因此符合题中条件的数组有组故答案为：【点睛】本题主要考查集合相等的应用根据条件进行分类讨论是解本题的关键考查分解析：3【分析】列举出符合条件的数组(),,,a b c d 即可. 【详解】1a =，2>c ，4d ≠，则c 的取值可以是3或4.①3c =时，4b =，2d =，即数组为()1,4,3,2；②4c =时，则2b =，3d =或3b =，2d =，即数组为()1,2,4,3和()1,3,4,2. 因此，符合题中条件的数组(),,,a b c d 有3组，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键，考查分类讨论数学思想，属于中等题.18．0或1【分析】根据B ⊆A 讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A 若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B ∴2a ﹣2=0∴a=1若3∈B 则3a ﹣2=0∴a=∵a ∈Z ∴a≠∴a解析：0或1 【分析】根据B ⊆A ，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A ，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则因为若2∈B ，∴2a ﹣2=0，∴a=1，若3∈B ，则3a ﹣2=0，∴a=32，∵a ∈Z ，∴a≠32， ∴a=0或1，故答案为a=0或1．【点睛】此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a 是整数． 19．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A 或B 必然含有元素0又由集合AB 可得从而求得结果详解：根据题意若则A 或B 必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的解析：0.【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A 或B 必然含有元素0，又由集合A,B 可得20a =，从而求得结果.详解：根据题意，若{}=0,1,2A B ⋃，则A 或B 必然含有元素0，又由{}{}22,1,A B a ==，则有20a =，即0a =，故答案是0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得所以即因此实数的取值范围是故答解析：[]2,1-【分析】解不等式()29x a -<和()3log 21x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<. :33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，所以3231a a -≤-⎧⎨+≥⎩，即21a -≤≤．因此，实数a 的取值范围是[]2,1-.故答案为：[]2,1-.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥；（2）(]0,3.【分析】（1）当4a =时，解出集合A ，计算A B ；（2）由集合法判断充要条件，转化为A B ⊆，进行计算. 【详解】解：（1）当4a =时，由不等式()()450-+≤x x ，得54x -≤≤，故{}54A x x =-≤≤，又{3B x x =≤或}6x ≥，所以{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，等价于A B ⊆，因为0a >，由不等式()()10x a x a -++≤，得{}1A x a x a =--≤≤，又{3B x x =≤或}6x ≥，要使A B ⊆，则3a ≤或16a --≥，综合可得a 的取值范围为(]0,3.【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．22．（1）()13A ,=-；（2）(][),35,-∞-+∞.【分析】（1）解分式不等式411x >+可得集合A ；（2）由已知条件可得出A B ⊆，对a -和2a -的大小关系进行分类讨论，结合A B ⊆可得出实数a 所满足的不等式（组），综合可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++，所以()()130x x +-<，所以13x，故()13A ,=-；（2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.①当2a a -<-，即1a >时，{}2B x a x a =-<<-，则1231a a a >⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得5a ≥；②当2a a ->-，即1a <时，{}2B x a x a =-<<-，则1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-；③当2a a =-，即1a =时，B =∅，不满足A B ⊆.综上可得，实数a 的取值范围为(][),35,-∞-+∞. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 23．（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）[)4,+∞.【分析】（Ⅰ）解不等式28150x x -+≤即得；（Ⅱ）再求出不等式()222 x x a a -+-≤>100的解，由充分不必要条件与集合包含的关系得出不等关系，可求得结论．【详解】（Ⅰ）若p 为真命题，解不等式28150x x -+≤得35x ≤≤，实数x 的取值范围是[]3,5.（Ⅱ）解不等式()222 x x a a -+-≤>100得11a x a -≤≤+， p 为q 成立的充分不必要条件，[]3,5∴是[]1,1a a -+的真子集.1315a a -≤⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时取到，得4a ≥. ∴实数a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．24．（1）{}3|m m ≤（2）254 （3）{}|24m m m <>或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，再求A 的非空真子集个数；（3）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆成立，只需12,215,m m +≥-⎧⎨-≤⎩即23m ≤≤. 综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{}3|m m ≤.（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，∴集合A 的非空真子集个数为822254-=.（3）∵x ∈R ，且{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，又不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，∴当B =∅，即121m m +>-，得2m <时，符合题意；当B ≠∅，即121m m +≤-，得2m ≥时，2,15,m m ≥⎧⎨+>⎩或2,212,m m ≥⎧⎨-<-⎩解得4m >. 综上，所求m 的取值范围是{}|24m m m <>或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．(1) 23x <<;(2) 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）p 为真时实数x 的取值范围是13x <<，q 为真时实数x 的取值范围是，然后求交集即可；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件即即q 是p 的充分不必要条件，易得：2a ≤且43a ≤.试题（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由()231x -<，得24x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是24x << 因为p q ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.（2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，所以，p 为真时实数x 的取值范围是3a x a <<.因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件所以2a ≤且43a ≤所以实数a 的取值范围为：4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 26．（1）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)1,+∞ 【分析】结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合A 和集合B ；（1）由交集定义得到A B ，分别在C =∅和C ≠∅两种情况下构造不等式求得结果；（2）由并集定义得到A B ，根据交集结果可构造不等式求得结果.【详解】 {}[]12128272,74x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤=-⎨⎬⎩⎭ {}[]21log ,,32353,58B y y x x y y ⎧⎫⎡⎤==∈=-≤≤=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （1）[]2,5A B =-当C =∅时，122+≥-m m ，解得：3m ≤，满足()C A B ⊆⋂当C ≠∅时，12212225m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：732<≤m 综上所述：实数m 的取值范围为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）[]3,7A B =-()A B D =∅ 617m ∴+≥，解得：m 1≥∴实数m 的取值范围为[)1,+∞【点睛】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.。

第一章集合与常用逻辑用语单元检测(附答案)(答案含详解)

第一章集合与常用逻辑用语单元检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )． A ．真命题与假命题的个数相同 B ．真命题的个数一定是奇数C ．真命题的个数一定是偶数D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N 等于( )． A ．{0} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{0,2}3．(2011福建高考，理2)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．命题“存在x ∈R ，x 2－3x ＋4＞0”的否定是( )．A ．存在x ∈R ，x 2－3x ＋4＜0B ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4＞0C ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4≥0D ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4≤05．集合P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )．A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(1,2)}D ．{(－23，－13)}6．对任意两个集合M ，N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M △N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －31－x <0，N ＝{x |y ＝2－x }，则M △N ＝( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1≤x ＜2，或x ＞3}D ．{x |1≤x ≤2，或x ＞3}7．已知全集U 为实数集R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋3x －1<0，N ＝{x ||x |≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )．A ．[－1,1]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1) 8．下列判断正确的是( )．A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“任意的x ∈N ，x 3＞x 2”的否定是“存在x ∈N ，x 3＜x 2”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件9．(2011陕西高考，文8)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i <1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )． A ．(0,1) B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]10．设命题p ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，命题q ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，若命题p ，q 有且仅有一个为真，则c 的取值范围为( )．A ．B ．(－∞，－1)C ．[－1，＋∞)D ．R二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∪B )∩(∁U C )＝__________.12．(2011浙江温州模拟)已知条件p ：a ＜0，条件q ：a 2＞a ，则p 是q 的__________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)13．若命题“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为__________． 14．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m ＞1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是__________．(把你认为是正确命题的序号都填在横线上)15．已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p 或q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16．(12分)(1)设全集I 是实数集，则M ＝{x |x ＋3≤0}，N ＝212{|22}x x x ＋＝，求(∁I M )∩N . (2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |(x ＋1)(x －1)＞0}，B ＝{x |－1≤x ＜0}，求A ∪(∁U B )．17．(12分)已知p ：－2≤1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若“非p ”是“非q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.19．(12分)(2011福建四地六校联合考试)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．20．(13分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．21．(14分)已知三个不等式：①|2x －4|＜5－x ；②x ＋2x 2－3x ＋2≥1；③2x 2＋mx －1＜0.若同时满足①和②的x 值也满足③，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．2．D 解析：集合N ＝{0,2,4}，所以M ∩N ＝{0,2}．3．A 解析：由(a －1)(a －2)＝0，得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0.而由(a －1)(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分而不必要条件．4．D 解析：含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否定．5．B 解析：a ＝(m －1,2m ＋1)，b ＝(2n ＋1，3n －2)，令a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2n ＋1，2m ＋1＝3n －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)，故选B.6．D 解析：∵M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，N ＝{x |x ≤2}，∴M －N ＝{x |x ＞3}， N －M ＝{x |1≤x ≤2}，∴M △N ＝{x |1≤x ≤2，或x ＞3}．7．D 解析：∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋3x －1<0＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝{x |－3＜x ＜－1}，故选D.8．D 解析：依据各种命题的定义，可以判断A ，B ，C 全为假，由b ＝0，可以判断f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，反之亦成立．9．C 解析：∵y ＝22|cos sin |x x －＝|cos 2x |，x ∈R ，∴y ∈[0,1]，∴M ＝[0,1]．∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1，∴|x |＜1.∴－1＜x ＜1. ∴N ＝(－1,1)．∴M ∩N ＝[0,1)．10．D 解析：本题考查根据命题的真假求参数的取值范围．若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，则不等式x 2＋2x －c ＞0对任意x ∈R 恒成立，则有Δ＝4＋4c ＜0，解得c ＜－1；若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，则g (x )＝x 2＋2x －c 应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c ≥0，解得c ≥－1.当p 为真，q 为假时，有c ＜－1；当p 为假，q 为真时，有c ≥－1.综上，当命题p ，q 有且仅有一个为真时，c 的取值范围为R .故选D. 二、填空题11．{2,5} 解析：∵A ∪B ＝{2,3,4,5}，∁U C ＝{1,2,5}， ∴(A ∪B )∩(∁U C )＝{2,5}．12．必要不充分解析：p 为：a ≥0，q 为a 2≤a ，a 2≤a ⇔a (a －1)≤0⇔0≤a ≤1， ∴p q ，而q ⇒p ， ∴p 是q 的必要不充分条件．13．[－4,0] 解析：∵“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则“对任意的x ∈R ，x2－ax －a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a ≤0.14．②③⑤ 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >1⇒m ＞1.故⑤正确． 15．①③ 解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sinB ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．三、解答题16．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}， ∴(∁I M )∩N ＝{4}．(2)∵A ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}， B ＝{x |－1≤x ＜0}，∴∁U B ＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．∴A ∪(∁U B )＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．17．解：由p ：－2≤1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴“非p ”：A ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴“非q ”：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，由“非p ”是“非q ”的充分不必要条件得A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0＜m ≤3.∴满足条件的m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}． 18．证明：必要性：∵a ＋b ＝1，即b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝0，必要性得证．充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. 又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝22b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3b 24≠0，∴a ＋b ＝1，充分性得证．综上可知，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.19．解：由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．解：(1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0，为真命题．用反证法证明：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，b ＜－a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与题设相矛盾，∴逆命题为真．(2)逆否命题：若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0，为真命题． ∵原命题⇔它的逆否命题， ∴证明原命题为真命题即可． ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． ∴逆否命题为真．21．解：设不等式|2x －4|＜5－x ，x ＋2x 2－3x ＋2≥1，2x 2＋mx －1＜0的解集分别为A ，B ，C ，则由|2x －4|＜5－x 得，当x ≥2时，不等式化为2x －4＜5－x ，得x ＜3，所以有2≤x ＜3. 当x ＜2时，不等式化为4－2x ＜5－x ，得x ＞－1，所以有－1＜x ＜2，故A ＝(－1,3)．x ＋2x 2－3x ＋2≥1⇔x ＋2x 2－3x ＋2－1≥0⇔－x 2＋4x x 2－3x ＋2≥0⇔x (x －4)(x －1)(x －2)≤0⇔0≤x ＜1或2＜x ≤4，即B ＝[0,1)∪(2,4]．若同时满足①②的x 值也满足③，则有A ∩B ⊆C .设f (x )＝2x 2＋mx －1，则由于A ∩B ＝[0,1)∪(2,3)，故结合二次函数的图像，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0，f (3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，18＋3m －1≤0⇒m ≤－173.。

新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知命题2:2,:2320p x q x x <--<，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(),A B 的个数为（） A ．7B ．8C ．9D ．103．已知集合()(){}225A x x x =+-<，(){}2log 1,B x x a a N =->∈，若A B =∅，则a 的可能取值组成的集合为（）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．*N4．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④5．“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．下列有关命题的说法正确的是（）A ．若命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥B ．“3sin 2x =”的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若+=-a b a b ，则a b ⊥D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 10．在下列三个结论中，正确的有（） ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件. A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③11．下列命题中，不正确的是（）A ．0x R ∃∈，20010x x -+≥B ．若0a b <<则11a b> C ．设0a >，1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的必要不充分条件D ．命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”12．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B ，则()U C A B （）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}二、填空题13．设集合{132}A x x x =-<-，集合1{1}B x x=<，则A B =________. 14．已知命题:44,:(2)(3)0p x a q x x -<-<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围________.15．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．16．方程2210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；17．定义全集的子集的特征函数为，这里表示在全集中的补集，那么对于集合，下列所有正确说法的序号是．（1）（2）()1()U A A f x f x =- （3）()()()A B A B f x f x f x ⋃=+（4）()()()A B A B f x f x f x ⋂=⋅ 18．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是．19．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.若各数互不相等的正数数组()1234567,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”是4，则()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”是______.20．对任意的x ∈R ，函数()327f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是__________.三、解答题21．已知命题p ：01x ≤≤；q ：()120a x a a -≤≤>. （1）若1a =，写出命题“若p 则q ”的逆否命题，并判断真假；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．设m R ∈，命题2:043p x x <-<，命题:(1)(3)0q x m x m -+--<. （1）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.23．已知集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}5C x a x a =-<<. （1）求AB ，()R A B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋃，求a 的取值范围.24．已知集合{}{}222|340,|240A x x x B x x mx m =--≤=-+-≤. （1）若[]1,4A B ⋂=，求实数m 的值；（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围.25．已知函数()()()322-f x x x =-+A ，()()()lg 12(1)g x x a a x a ⎡⎤=---<⎣⎦的定义域为B .（1）求A .（2）记2222222040/2/22300B A AB v v a m s m s S --===-⨯ :q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．26．关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式2320x x -+≤的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出q 成立的x 的范围，然后根据集合包含关系判断．【详解】2:2320q x x --<，(21)(2)0x x +-<，122x -<<，由于1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是(,2)-∞的真子集，因此应是必要不充分条件．故选：C ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．2．B解析：B 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉，故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉，故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ，故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉，故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种．所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B.【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.3．D解析：D 【分析】解不等式确定集合,A B ，然后由交集的结果确定参数a 的取值范围．【详解】()(){}{}22533A x x x x x =+-<=-<<， (){}{}2log 1,2,B x x a a N x x a a N =->∈=>+∈，因为AB =∅，所以23a +≥，1a ≥．又a N ∈，∴*a N ∈．故选：D ．【点睛】本题考查由集合交集的结果求参数范围，解题时可先确定两个集合中的元素，然后分析交集的结果得出结论．4．B解析：B 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．5．C解析：C 【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题. 【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数， ∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =，∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题.6．C解析：C 【分析】结合等差数列的单调性，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在{}n a 是等差数列，若123a a a <<，可得21320d a a a a =-=->，所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立；若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立，所以“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及等差数列的单调性判定及应用，其中解答中熟记等差数列的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.7．B解析：B 【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据异面直线的定义及直线与平面平行的定义即可判定. 【详解】因为满足“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”这样条件的直线可以和平面相交，所以推不出“这条直线与平面α平行”，当直线满足与平面α平行时，可以推出这条直线与平面α内无数条直线异面，所以“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的必要不充分条件，故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，直线与平面的位置关系，属于中档题.9．A解析：A 【分析】对选项逐个分析，对于A 项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B 项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C 项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D 项，从空间直线平面的关系可判断正误. 【详解】对于A ，命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥，A 正确；对于B ，当3x π=时， sin 2x =成立，所以“3x π=”是“sin 2x =”的充分条件，所以B 错误；对于C ，a b >且两向量反向时 +=-a b a b 成立， a b ⊥不成立C 错误；对于D ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则α，β的位置关系无法确定，故D 错误. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.10．C解析：C 【分析】①，证明x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；②，在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；③,证明“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 【详解】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】根据存在性命题的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据对数的运算性，可判定C 不正确；根据含有一个量词的否定，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由2000131()024x x x -+=-+≥，所以A 为真命题；对于B 中，由0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以B 是正确的；对于C 中，设0a >，1a ≠，例如11,24a b ==，则121log log 24a b ==，所以充分性不成立，又如1,22a b ==，此时12log log 21a b ==-，所以必要性不成立，所以“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件，所以C 是错误的；对于D 中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”，所以是正确的.故选：C. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到含有一个量词的真假判定及否定，对数的运算性质，不等式的性质等知识的综合应用，属于中档试题.12．B解析：B 【分析】根据补集的运算，求得{3,5}U C A =，再根据集合交集的运算，即可求得()U C A B ⋂. 【详解】由题意，全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，可得{3,5}U C A =，所以()U C A B {3,5}.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】先解不等式再根据交集的定义求解即可【详解】由题因为则解得；又因为则即解得或则或即故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式分式不等式的解法考查交集考查运算能力解析：()4,013⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭，【分析】先解不等式,再根据交集的定义求解即可【详解】由题,因为132x x -<-,则23132x x x -<-<-,解得43x <；又因为11x<,则10xx -<,即()10x x -<,解得0x <或1x >, 则{|0A B x x ⋂=<或413x <<},即()4,013⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭，故答案为：()4,013⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查绝对值不等式、分式不等式的解法,考查交集,考查运算能力14．【分析】是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件再化简两命题对应的取值范围进一步判断即可【详解】是的充分不必要条件是的充分不必要条件命题中：命题中：由是的充分不必要条件可知应满足解得故答案为：【解析：[1,6]-【分析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件可转化为q 是p 的充分不必要条件，再化简两命题对应x 的取值范围，进一步判断即可【详解】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”⇔q 是p 的充分不必要条件，命题p 中：44a x a -<<+，命题q 中：23x <<，由q 是p 的充分不必要条件可知，应满足4243a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得[1,6]a ∈- 故答案为：[1,6]- 【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围，属于中档题15．4【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论【详解】由M*N 的定义可知fM （x ）+fN （x ）＝1则M*N ∈{x|x ∈M ∪N 且x ∉M∩N}即M*A ＝{x|x ∈M ∪A 且x ∉M∩A}M*B解析：4 【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论．【详解】由M *N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M *N ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即M *A ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，M *B ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （M *A ）+Card （M *B ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素，所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集，要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}，此时，**M A M B +的最小值为4，故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．16．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方解析：[)1,a ∈-+∞【分析】讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】当0a =时，方程为1210,2x x -==满足条件. 当0a >时，2210,440axx a 方程恒有两个解，且1210x x a=-<，两根一正一负，满足条件当0a <时，2210,4401axx a a ，即01a ，此时，1210x x a=->， 1220x x a+=->，两根均为正数，满足条件综上所述：1a ≥- 故答案为：[)1,a ∈-+∞ 【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.17．（1）（2）（4）【详解】试题分析：（1）∵A ⊆B 分类讨论：①当则此时②当且即此时③当且即时此时综合有故（1）正确；（2）故（2）正确；故（3）不正确；故（4）正确；考点：集合的交并补运算解析：（1）（2）（4）【详解】试题分析：（1）∵A ⊆B ，分类讨论： ①当，则，此时，②当，且，即,此时，③当，且，即时，，，此时，综合有，故（1）正确；（2），故（2）正确；1,()()()0,()A B A B U x A B f x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩，故（3）不正确；，故（4）正确；考点：集合的交并补运算18．1＜＜4【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立即当时恒成立即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为要使得需要满足化简求解得1＜＜4考点：必要条件充分条件与充要条件的判断解析：1＜a ＜4 【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立，即当时，恒成立，即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为，要使得，需要满足，化简求解得1＜a ＜4．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．19．17【分析】用减去4即得【详解】由题意知正数数组的逆序数与的逆序数和为所以的逆序数为故答案为：17【点睛】本题考查新定义问题考查排列组合的应用解题关键是理解认识到数组与中逆序数的和为解析：17 【分析】用27C 减去4即得．【详解】由题意知正数数组()1234567,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”与()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”和为27C ，所以()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”为27417C -=．故答案为：17. 【点睛】本题考查新定义问题，考查排列组合的应用．解题关键是理解认识到数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅与()11,,,n n i i i -⋅⋅⋅中逆序数的和为2n C ．20．【分析】求出导数可得出从而可求解出实数的取值范围【详解】由于函数在上不存在极值点则即解得因此函数不存在极值点的充要条件是故答案为：【点睛】本题考查利用函数极值点求参数解题时理解函数的极值点与导数零点解析：021a ≤≤【分析】求出导数()2327f x x ax a '=++，可得出0∆≤，从而可求解出实数a 的取值范围.【详解】()327f x x ax ax =++，()2327f x x ax a '∴=++，由于函数()y f x =在R 上不存在极值点，则24840a a ∆=-≤，即2210a a -≤，解得021a ≤≤.因此，函数()327f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是021a ≤≤.故答案为：021a ≤≤. 【点睛】本题考查利用函数极值点求参数，解题时理解函数的极值点与导数零点之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）逆否命题为“若0x <或2x >，则0x <或1x >”，真命题；（2）112a ≤≤. 【分析】（1）直接写出命题“若p 则q ”逆否命题并判断真假即可；（2）由题意得{}|01x x ≤≤(){}|120x a x a a -≤≤>，即1021a a -≤⎧⎨≥⎩解不等式组可得答案. 【详解】（1）若1a =，则q ：02x ≤≤，命题“若p 则q ”为“若01x ≤≤，则02x ≤≤”，命题“若p 则q ”的逆否命题为“若0x <或2x >，则0x <或1x >”，是真命题；（2）若p 是q 的充分不必要条件，{}|01x x ≤≤(){}|120x a x a a -≤≤>则1021a a -≤⎧⎨≥⎩，解得112a ≤≤，实数a 的取值范围为112a ≤≤.【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含. 22．（1）{}|24x x <<；（2）{}|13m m ≤≤ 【分析】（1）解不等式2043x x <-<即可求解；（2）设命题p 成立对应集合A ，命题q 成立对应集合B ，由题意可得A 是B 的真子集，利用数轴即可求解. 【详解】（1）若p 为真命题，则2043x x <-<，即240x ->且243x x -<，由240x ->得2x >或2x <-，由243x x -<可得14x -<<，所以解集为：{}|24x x <<，故实数x 的取值范围为{}|24x x <<，（2）由（1）知：p 为真命题，则24x <<，设{}|24A x x =<<，由(1)(3)0x m x m -+--<可得13m x m -<<+，设{}|13B x m x m =-<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以1234m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得： 13m ≤≤，经检验当1m =和3m =时满足A 是B 的真子集，所以实数m 的取值范围是{}|13m m ≤≤ 【点睛】结论点睛：从集合的观点判断命题的充分条件和必要条件的规则（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 23．（1）{}210x x <<，{|23x x <<或}710x ≤<；（2）(-∞，3]．. 【分析】（1）直接利用集合并集、补集、交集的运算法则求解即可；（2）由题意分类讨论C φ=、C φ≠，根据包含关系列不等式，从而可求实数a 的取值范围．【详解】（1）因为集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<< 所以{}210A B x x ⋃=<<， ∵{3RA x x =<或}7x ≥，∴(){|23RA B x x ⋂=<<或}710x ≤<；（2）由（1）知{}210A B x x ⋃=<<，①当C =∅时，满足()C A B ⊆⊂，此时5a a -≥，得52a ≤； ②当C ≠∅时，要()C A B ⊆⋃，则55210a a a a -<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，解得532a <≤；由①②得，3a ≤，综上所述，所求实数a 的取值范围为(-∞，3]．【点睛】本题考查了集合的化简与运算，同时考查利用包含关系求参数，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．24．（1）3m =（2）6m >或3m <- 【分析】（1）先化简集合{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，根据[]1,4A B ⋂=求解.（2）由（1）得到{|2R C B x x m =<-或}2x m >+，再利用子集的定义由R A C B ⊆求解. 【详解】（1）因为集合{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，又因为[]1,4A B ⋂=，所以21m -=，所以3m =.（2）{|2R C B x x m =<-或}2x m >+，因为R A C B ⊆，所以42m <-或21m +<-，解得6m >或3m <-. 【点睛】本题主要考查集合的基本关系及其运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 25．（1） {|11}A x x x =≥≤-或 (2)][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次根式有意义条件,可解不等式得定义域A.（2）根据对数函数真数大于0,解不等式得集合B.根据p 是q 的的必要不充分条件,即可得关于a 的不等式,进而求得a 的取值范围. 【详解】（1）要使()f x 有意义，则()()3x 22x 0-+-≥ 化简整理得()()x 1x 10+-≥ 解得x 1x 1≥≤-或∴ A {x |x 1x 1}=≥≤-或（2）要使()g x 有意义，则()()x a 12a x ]0---> 即()()x a 1x 2a ]0---< 又a 1<a 12a ∴+>B {x |2a x a 1}∴=<<+p 是q 的必要不充分条件 B ∴是A 的真子集2a 1a 11∴≥+≤-或解得1a 1a 22≤<≤-或 a ∴的取值范围为][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数定义域的求法,充分必要条件的应用,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.26．12a <<【分析】根据题意得出集合B 是集合A 的真子集，解绝对值不等式以及一元二次不等式得出集合,A B ，根据包含关系得出实数a 的取值范围.【详解】解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+，所以{}11A x a x a =-+<<+ 解不等式2320x x -+≤，得12x ≤≤ 所以{}12B x x =≤≤因为集合B 是集合A 的真子集，所以1112a a -+<⎧⎨+>⎩即12a << 【点睛】本题主要考查了根据必要不充分条件求参数的值，属于中档题.。

人教A版(2019)必修第一册第一章集合与常用逻辑用语单元测试(含答案解析)

无法确切界定不能形成集合，故B中对象不能形成集合；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查集合的概念，属于基础题型.
7．B
【分析】
先解不等式化简对应的集合，再由题意，根据列举法，即可得出满足条件的集合.
【详解】
因为，
，
时，，
所以为或或，共3个.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由子集的概念和交集的结果确定集合个数，涉及不等式的解法，属于基础题型.
8．B
【分析】
先解不等式，化简集合，再由并集的结果，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为或，
又，
所以只需，解得，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由并集的结果求参数，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.
9．C
【详解】
试题分析：
①当，，且，则，反之当，必有 .
②当，，且，则，反之，若，则，
21．定义且，若，，则的子集个数为_______________，非空真子集个数为_______________.
22．设条件，，若p是q的充分条件，则m的最大值为____，若p是q的必要条件，则m的最小值为____.
参考答案
1．D
【分析】
分别根据集合交集与并集定义求解，再判断选择.
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查了集合的互异性，考查了基本计算以及基本知识的掌握情况，属于基础题.
6．B
【分析】
根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
根据题意选项A、C、D所述对象均满足集合的三要素：
确定性、互异性和无序性，可构成集合；

第一章集合与常用逻辑用语综合测试(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语综合测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2022·新疆昌吉·高一期末）“0a b >>”是“1a b >”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由0a b >>，得1a b >，反之不成立，如2a =-，1b =-，满足1a b >，但是不满足0a b >>，故“0a b >>”是“1a b>”的充分不必要条件．故选：B2．（2022·全国·高一期末）已知{}13U x R x =∈-≤≤，{}13A x U x =∈-<<，{}2230B x R x x =∈--=，{}13C x x =-≤<，则有（）A ．U AB = B ．U BC = C ．U A C ⊇D ．A C ⊇【答案】A【解析】【分析】化简集合B ，再由集合的运算即可得解.【详解】因为{}13U x R x =∈-≤≤，{}13A x U x =∈-<<，{}13C x x =-≤<，所以{}1,3U A =-，又{}{}22301,3B x R x x =∈--==-，所以U A B =，故A 正确，所以U B A C =≠，故B 错误；所以集合C 与集合U A ，集合A 均没有互相包含关系，故CD 错误.故选：A.3．（2022·福建·莆田一中高一期末）已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=（） A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4 【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5U M N =. 故选：A.4．（2022·江苏·高一）已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（） A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤23,x ∴≤ x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.5．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()U C A B =（）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为A ∪B={x|x≤0或x≥1}，所以(){|01}U C A B x x ⋃=<<，故选D.考点：集合的运算.6．（2022·江苏·高一期末）已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是A ．13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】C【解析】【分析】求得命题p 为真命题时a 的取值范围，由此求得命题p 为假命题时a 的取值范围.【详解】先求当命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围（1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立，（2）若a 不为0，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得13a >， ∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.7．（2022·广东广雅中学高一期末）设集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3，5}，B ={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：CU （A∩B ）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数．【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：C U （A∩B ）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C ．【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2022·江苏·高一单元测试）在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”其中正确的结论有（）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④ 【答案】D【解析】【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误；而242-=+，故[]22-∈，故②正确；由“类”的定义可得[][][][]012Z 3⊆，任意Z c ∈，设c 除以4的余数为}{()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆，故[][][][]0123Z =，故③正确若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]}{()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故a ，b 除以4 的余数相同，故a ，b 属于同一“类”，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确；故选:二、多选题9．（2022·江苏·高一单元测试）已知p ：1x >或3x <-，q ：x a >，则a 取下面那些范围，可以使q 是p 的充分不必要条件（）A ．3a ≥B ．5a ≥C ．3a ≤-D ．1a <【答案】AB【解析】【详解】p ：1x >或3x <-，q ：x a >，q 是p 的充分不必要条件，故1a ≥，范围对应集合是集合{}1a a ≥的子集即可，对比选项知AB 满足条件.故选：AB.10．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）设r 是p 的必要条件，r 是q 的充分条件，s 是r 的充分必要条件，s 是p 的充分条件，则下列说法正确的有（） A ．r 是q 的必要条件B ．s 是q 的充分条件C ．s 是p 的充分必要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】BC【解析】【分析】根据条件得到p r s q ⇔⇔⇒可判断每一个选项.【详解】由题意，,,,p r r q r s s p ⇒⇒⇔⇒，则p r s q ⇔⇔⇒.故选：BC.11．（2022·广东汕尾·高一期末）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】【分析】先求出集合A ，再由A B B =可知B A ⊆，由此讨论集合B 中元素的可能性，即可判断出答案.【详解】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17, 故选：BCD 12．（2022·重庆·高一期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ⊆，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈ 【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ⊆，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确；因A B =∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确；若A U B ，则()()U U A B ⋂≠∅，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；因A B =∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确.故选：AB三、填空题13．（2022·安徽·高一期中）设集合12|3A x N y N x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，则集合A 的子集个数为________ 【答案】16【解析】【分析】先化简集合A ，再利用子集的定义求解.【详解】解：{}0,1,3,9=A ，故A 的子集个数为4216=，故答案为：1614．（2022·浙江浙江·高一期中）0x ∃>，12x x +>的否定是___________．【答案】0x ∀>，12x x+≤ 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为0x ∃>，12x x +>是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即0x ∀>，12x x+≤，故答案为：0x ∀>，12x x +≤. 15．（2022·江苏·高一）某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.【答案】5【解析】【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，根据容斥原理可求出结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.16．（2022·江苏·高一）已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】4a或13a【解析】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a a a +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a 或13a ，综上可得，实数a 的取值范围为4a或13a ．四、解答题 17．（2022·江苏·高一）已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R .(1)求A ∪B ，()U A B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围.【答案】(1)A ∪B ＝{x |1<x ≤8}，()U A B ={x |1<x <2} (2){a |a <8}【解析】【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}.∵U A ＝{x |x <2或x >8}，∴()U A ∩B ＝{x |1<x <2}.(2)∵A ∩C ≠∅，作图易知，只要a 在8的左边即可，∴a <8.∴a 的取值范围为{a |a <8}.18．（2022·江苏·高一）设全集为Z ，2{|2150}A x x x =+-=，{|10}B x ax =-=.(1)若15a =，求()Z A B ⋂； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .【答案】(1){}5,3- (2)11,,053⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）若15a =，求出集合A ，B ，即可求()Z A B ⋂；（2）若B A ⊆，讨论集合B ，即可得到结论.(1)解： {}2{|2150}5,3A x x x =+-==-，当15a =，则{}{|10}5B x ax =-==，则{}()5,3Z A B ⋂=-；(2)解：当B =∅时，0a =，此时满足B A ⊆，当B ≠∅时，1{}B a=，此时若满足B A ⊆，则15a =-或13a=，解得15a =-或13，综上11,,053C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. 19．（2022·河南驻马店·高一期末）已知集合{}213A x t x t =-≤≤-，{}215B x x =-<+<.(1)若A B =∅，求实数t 的取值范围；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．【解析】(1)解：由215x -<+<得解34x -<<，所以{}{}21534B x x x x =-<+<=-<<，又{}213A x t x t =-≤≤- 若A B =∅，分类讨论：当A =∅，即213t t ->-解得43t >，满足题意；当A ≠∅，即213t t -≤-，解得43t ≤时，若满足A B =∅，则必有21443t t -≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或3343t t -≤-⎧⎪⎨≤⎪⎩；解得t ∈∅.综上，若A B =∅，则实数t 的取值范围为43t >. (2)解：由“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则集合A B ，若A =∅，即213t t ->-，解得43t >，若A ≠∅，即213t t -≤-，即43t ≤，则必有4321334t t t ⎧≤⎪⎪->-⎨⎪-<⎪⎩，解得413t -<≤，综上可得,1t >-，综上所述，当“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件时，1t >-即为所求． 20．（2022·江苏·高一）已知命题:R P x ∃∈，使240x x m -+=为假命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设{}34A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值围．【解析】(1)解：由题意，得关于x 的方程240x x m -+=无实数根，所以1640∆=-<m ，解得4m >，即}|{4m m B =>；(2)解：因为{}34A x a x a =<<+为非空集合，所以34a a <+，即2a <，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则34a ≥，即43a ≥，所以423a ≤<， 21．（2022·江苏·高一）已知集合{}|14A x x =-≤≤，{2B x x =<-或}5x >.(1)求B R ，()A ⋂R B ；(2)若集合{}21|C x m x m =<<+，且∃x C x A ∈∈，为假命题.求m 的取值范围.【答案】(1){}25B x x =-≤≤R ，()()(),25,R A B ⋂=-∞-⋃+∞(2)2m ≤-或1m ≥【解析】(1){}25B x x =-≤≤R ，{R 1A x x =<-或}4x >，(){R 2A B x x ⋂=<-或}5x >；(2)∵∃x C x A ∈∈，为假命题，∴x C x A ∀∈∉，为真命题，即A C ⋂=∅，又{}21|C x m x m =<<+，{}|14A x x =-≤≤，当C =∅时，21m m ≥+，即1m ≥，A C ⋂=∅；当C ≠∅时，由A C ⋂=∅可得，2111m m m <+⎧⎨+≤-⎩，或2124m m m <+⎧⎨≥⎩，解得2m ≤-，综上，m 的取值范围为2m ≤-或1m ≥.22．（2022·北京西城·高一期末）设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明. (1){}2,3,5A =，{}6,10,15B ∴=(2)设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数大于等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.(3)不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

第一章集合与常用逻辑用语单元测验(含答案)

第一章集合与常用逻辑用语单元测验时间：100分钟分值：100分一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、已知全集R U =，集合}{Z x x x A ∈≤=,1，{}022=-=x x x B ，则图中的阴影部分表示的集合为（）A. {}1-B. {}2C.{}2,1 D. {}2,02、设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->，则A B = （）A.33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,32⎛⎫⎪⎝⎭3、下列四个集合中，是空集的是( )A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+-4、已知集合{}Z s t s t A ∈+=,22，且x ∈A ，y ∈A ，则下列结论正确的是（） A ．A y x ∈+ B ．A y x ∈- C ．A xy ∈ D ．A yx∈ 5、设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．MN C ．N M D ．M N =∅6、用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，若{}1,1A =-，()(){}22320B x ax x x ax =+++=，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S . 则()C S =（）A ．1B ．2C ．3D ．57、已知集合{}2|20,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( ) A ．1 B ．1- C ．0，1 D ．1-，0，18、已知集合{}2|1,M y y x x R ==-∈，集合2{|3}N x y x ==-，则MN =（）A ．{(2,1),(2,1)}-B ．{2,2,1}-C ．[1,3]-D ．∅9、已知集合}{10,3,2,1 =M ，A 是M 的子集，且A 中各元素和为8，则满足条件的子集A 共有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个10、设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有S ab ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z =，且,,a b c T ∀∈，有,,,abc T x y z V ∈∀∈有V xyz ∈，则下列结论恒成立的是（）A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11、若{}A x x a =>，{}6B x x =>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.12、50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为。

人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测(有答案解析)

一、选择题1．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．(,1]-∞ B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞2．已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．全集U =R ，集合04xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞5．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（） A ．3 B ．2C ．1D ．07．若命题“∃x 0∈R ，x ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．[－1，3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)8．已知p ：02x ≤≤，q ：2230x x --≥，则p 是q ⌝的（）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．充分必要条件9．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)10．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}11．已知平面向量a 和b ，则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知,a b →→为非零不共线向量，设条件:()M b a b →→→⊥-，条件:N 对一切x ∈R ，不等式||||a x b a b →→→→-≥-恒成立，则M 是N 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为__________．14．若“条件α：24x ≤≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是________.15．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．17．已知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，记()(){}()(){},f A n f n A f B m f m B =∈=∈，则()()f A f B ⋂=_________.18．已知命题“0x ∃∈[1，2]， 200210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______． 19．设命题21:01x p x -<-，命题2:2110q x a x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．20．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．三、解答题21．已知集合{|22}A x a x a =-+，2{|540}B x x x =-+ （1）当3a =时，求A B ，()R A B ⋃；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．22．已知集合103x A xx +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，{}2(1)20B x x m x m =--+-≤∣．（1）若[,][1,4]A a b ⋃=-，求实数a ，b 满足的条件；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．23．已知集合{}30A x x a =->，{}260B x x x =-->．（Ⅰ）当3a =时，求A B ，A B ；（Ⅱ）若()RA B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．24．已知集合{}2|5140A x x x =--≤，{}|14B x x =-≤.（1）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围；（2）若{}|61D x x m =>+，且()A B D =∅，求实数m 的取值范围.25．已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=．（1）若A 是空集，求实数a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求实数a 的值． 26．已知集合1|11A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}|320,1B x x a x a a =--->≤. （1）求集合A 和B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果. 【详解】因为211xx <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<，当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<，当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意，当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意，综上所述：1a ≥. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．D解析：D 【分析】从充分性和必要性两方面分别分析判断得解. 【详解】直线,m n 和平面α，n ⊂α，若//m n ，当m α⊂时，//m α显然不成立，故充分性不成立；当//m α时，如图所示，显然//m n 不成立，故必要性也不成立．所以“//m n ”是“//m α”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【点睛】方法点睛：判定充要条件常用的方法有三种：（1）定义法：直接利用充分必要条件的定义分析判断得解；（2）集合法：利用集合的包含关系分析判断得解；（3）转化法：转化成逆否命题分析判断得解.3．A解析：A 【分析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.5．B解析：B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．6．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.7．C解析：C 【分析】根据二次函数的图象与性质，得到关于a 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<，则2(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-，所以实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞，故选C.【点睛】本题主要考查了存在性命题的真假判定及应用，其中熟记转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．C解析：C 【分析】设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，根据集合之间的包含关系，即可求解.【详解】因为q ：2230x x --≥，所以q ⌝：2230x x --<，设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，则(1,3)N =-，所以M N ,所以p 是q ⌝的充分不必要条件，故选：C 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，集合的真子集，考查了推理能力，属于中档题.9．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤，由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4，故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.11．C解析：C 【分析】||||b a b =-两边平方得出22()b a b =-，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的充分必要条件故选：C 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.12．C解析：C 【分析】条件M ：()b a b →→→⊥-20a b b ⇔⋅-=，条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220.x b a bx a b b -⋅+⋅-≥进而判断出结论．【详解】条件M ：0b a a b ⊥⇔⋅=．条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220x b a bx a b b -⋅+⋅-≥．因为20b ≠，()2224()420a b b a b b ∴=⋅-⋅-≤， 22()0a b b →→→∴⋅-≤，即20a b b →→→⋅-=，可知：由M 推出N ，反之也成立．故选：C ．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】集合A 中所有元素被选取了次可得集合中所有3个元素的子集的元素和为即可得结果【详解】集合中所有元素被选取了次∴集合中所有3个元素的子集的元素和为故答案为【点睛】本题考查了集合的子集正整数平方和解析：(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++【分析】集合A 中所有元素被选取了21n C -次，可得集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()222122123n n C -+++⋯+即可得结果.【详解】集合{}22221,2,3,,A n =中所有元素被选取了21n C -次，∴集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()()()()()22222112121 12326n n n n n n C n ---+++++⋯+=⨯()()()()2112112n n n n n --++=，故答案为(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++．【点睛】本题考查了集合的子集、正整数平方和计算公式，属于中档题．14．【分析】利用充分必要条件的定义问题转化为集合的包含关系根据不等式之间的关系即可得到结论【详解】设p 对应的集合为q 对应的集合为若p 是q 的充分条件则解得:实数m 的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查充解析：(],4-∞-【分析】利用充分、必要条件的定义，问题转化为集合的包含关系，根据不等式之间的关系即可得到结论. 【详解】设p 对应的集合为A=[2,4),q 对应的集合为B=[3m-1,-m], 若p 是q 的充分条件, 则A B ⊆,313124m m m m -≥-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩, 1414m m m ⎧≤⎪⎪≤⎨⎪≤-⎪⎩, 解得:4m ≤-.实数m 的取值范围为(,4]-∞-，故答案为(,4]-∞-. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及转化思想的应用，属于中档题.15．充分不必要【分析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案【详解】在等比数列中则由得即；反之由得即或当时等比数列中则是的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查等比数列的性质考解析：充分不必要【分析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案．【详解】在等比数列{}n a 中，10a >，则由12a a <，得11a a q <，即1q >，∴243115a a q a q a =<=；反之，由243115a a q a q a =<=，得21q >，即1q >或1q <-，当1q <-时，112a a q a >=．∴等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点睛】本题主要考查等比数列的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．16．4【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论【详解】由M*N 的定义可知fM （x ）+fN （x ）＝1则M*N ∈{x|x ∈M ∪N 且x ∉M∩N}即M*A ＝{x|x ∈M ∪A 且x ∉M∩A}M*B解析：4 【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论．【详解】由M *N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M *N ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即M *A ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，M *B ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （M *A ）+Card （M *B ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素，所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集，要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}，此时，**M A M B +的最小值为4，故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．17．【分析】由题意求得所再根据集合的交集的运算即可求解【详解】由题意知集合所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算其中解答中正确求解集合是解答的关键着重考查了推理与运算能力属于基础题解析：{}7,9,11【分析】由题意求得所(){}3,5,7,9,11f A =，(){}7,9,11,13,15f B =，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，所以()(){}{}3,5,7,9,11f A n f n A =∈=，()(){}{}7,9,11,13,15f B m f m B =∈=，所以()(){}7,9,11f A f B ⋂=. 故答案为：{}7,9,11. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【分析】由题意可得2a ＜x0在12的最大值运用对勾函数的单调性可得最大值即可得到所求a 的范围【详解】命题∃x0∈12x02﹣2ax0+1＞0是真命题即有2a ＜x0在12的最大值由x0在12递增可得x 解析：5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围．【详解】命题“∃x 0∈[1，2]，x 02﹣2ax 0+1＞0”是真命题，即有2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，由x 001x +在[1，2]递增，可得x 0＝2取得最大值52，则2a 52＜，可得a 54＜，则实数a 的取值范围为（﹣∞，54）．故答案为（﹣∞，54）．【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 19．【详解】试题分析：由题意得解得所以由解得即要使得是的充分不必要条件则解得所以实数的取值范围是考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用分式不等式解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】试题分析：由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由2:2110q x a x a a ，解得1a x a ≤≤+，即1q a x a ≤≤+:，要使得p 是q 的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解．【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解,p q 的解集，再由p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得所以即因此实数的取值范围是故答解析：[]2,1-【分析】解不等式()29x a -<和()3log 21x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<. :33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，所以3231a a -≤-⎧⎨+≥⎩，即21a -≤≤．因此，实数a 的取值范围是[]2,1-.故答案为：[]2,1-.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）{|11A B x x =-或45}x ；(){}|15R AB x x =-；（2） (,1)-∞. 【分析】（1）3a =时求出集合A ，B ，再根据集合的运算性质计算A B 和()R A B ⋃；（2）根据AB =∅，讨论A =∅和A ≠∅时a 的取值范围，从而得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）当3a =时，{|22}{|15}A x a x a x x =-+=-， 2{|540}{|1B x x x x x =-+=或4}x ，{|11A B x x =-或45}x ；又{|14}R B x x =<<，(){}|15R A B x x =-；（2）A B =∅，当22a a ->+，即0a <时，A =∅，满足题意；当0a 时，应满足2124a a ->⎧⎨+<⎩，此时得01a <；综上，实数a 的取值范围是(,1)-∞．【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题． 22．（1）4b =，13a -≤<;（2）15m ≤<.【分析】（1）直接利用并集结果可得4b =，13a -≤<;（2）根据A B A ⋃=可得B A ⊆，再对集合B 的解集情况进行分类讨论，即可得答案；【详解】解：（1）10{13}3x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭∣∣；[,][1,4]A a b ⋃=-， ∴4b =，13a -≤<;（2）{}2(1)20{|(1)((2))0}B x x m x m x x x m =--+-≤=---≤∣,A B A ⋃= B A ∴⊆∴分情况讨论①21m -<，即3m <时2121m m -≥-⎧⎨-<⎩得13m ≤<； ②若21m -=，即3m =，B 中只有一个元素1符合题意；③若21m ->，即3m >时2321m m -<⎧⎨->⎩得35m <<，∴35m << ∴综上15m ≤<．【点睛】由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况. 23．（Ⅰ）{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >；（Ⅱ）(),9-∞.【分析】（Ⅰ）解不等式求得集合,A B ，再由交并集的定义求解；（Ⅱ）求出A 与B R ，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得a 的范围．【详解】由30x a ->得3a x >，所以3a A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭ 由260x x -->，得()()230x x +->，解得2x <-或3x >，所以{}2B x x =<-或3}x >．（Ⅰ）当3a =时，{}1A x x =>，所以{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >（Ⅱ）因为{|2B x x =<-或3}x >，所以{}23B x x =-≤≤R ．又因为()R A B ⋂≠∅，所以33a <，解得9a <．所以实数a 的取值范围是(),9-∞．【点睛】本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．24．（1）3m ≤；（2）m 1≥. 【分析】（1）先求出A B ，再根据包含关系可得关于m 的不等式组，从而求实数m 的取值范围，注意对C 是否为空集分类讨论；（2）先求出AB ，再根据()A B D =∅得到关于m 的不等式，从而求实数m 的取值范围.【详解】（1）{}|27A x x =-≤≤，{}|35B x x =-≤≤，{}|25A B x x =-≤≤，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，∴23m ≤≤，综上3m ≤.（2）{}|37A B x x ⋃=-≤≤，∴617m +≥，∴m 1≥.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.25．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =或98a =【分析】（1）A 是空集，即2320ax x -+=无解，计算得到答案.（2）考虑0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案.【详解】（1）∵A 是空集，∴()20380a a ≠⎧⎪⎨--<⎪⎩，即98a >，∴实数a 的取值范围9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵A 中只有一个元素，∴0a =或()20380a a ≠⎧⎪⎨--=⎪⎩即：0a =或98a =. 【点睛】本题考查了根据空集和集合中元素个数求参数，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误.26．（1）()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞；（2）(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用不等式的性质即可求出集合A 和B ；（2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，解不等式组，进而得出实数a 的取值范围.【详解】（1）集合{}1|1|0|0111x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=>=>=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，因1a ≤，则32a a ≤+，所以集合()(){}{320,1|3B x x a x a a x x a =---≤=<或}2x a >+.即集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞.（2）由（1）知，集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞，由A B B ⋃=，得A B ⊆，所以131a a ≤⎧⎨≥⎩或120a a ≤⎧⎨+≤⎩，解得113a ≤≤或2a ≤-，故实数a 的取值范围为(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.。

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第一章集合与常用逻辑用语单元检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )．A ．真命题与假命题的个数相同B ．真命题的个数一定是奇数C ．真命题的个数一定是偶数D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N 等于( )．A ．{0}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,2}3．(2011福建高考，理2)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．命题“存在x ∈R ，x 2－3x ＋4＞0”的否定是( )．A ．存在x ∈R ，x 2－3x ＋4＜0B ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4＞0C ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4≥0D ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4≤05．集合P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )．A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(1,2)}D ．{(－23，－13)}6．对任意两个集合M ，N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M △N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －31－x <0，N ＝{x |y ＝2－x }，则M △N ＝( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1≤x ＜2，或x ＞3}D ．{x |1≤x ≤2，或x ＞3}7．已知全集U 为实数集R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋3x －1<0，N ＝{x ||x |≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )．A ．[－1,1]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)8．下列判断正确的是( )．A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“任意的x ∈N ，x 3＞x 2”的否定是“存在x ∈N ，x 3＜x 2”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件9．(2011陕西高考，文8)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎪⎪⎪⎪x i <1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )． A ．(0,1) B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]10．设命题p ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，命题q ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，若命题p ，q 有且仅有一个为真，则c 的取值范围为( )．A ．B ．(－∞，－1)C ．[－1，＋∞)D ．R二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∪B )∩(∁U C )＝__________.12．(2011浙江温州模拟)已知条件p ：a ＜0，条件q ：a 2＞a ，则p 是q 的__________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)13．若命题“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为__________．14．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m ＞1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是__________．(把你认为是正确命题的序号都填在横线上)15．已知命题p ：不等式x x －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p 或q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)(1)设全集I 是实数集，则M ＝{x |x ＋3≤0}，N ＝212{|22}x x x ＋＝，求(∁I M )∩N .(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |(x ＋1)(x －1)＞0}，B ＝{x |－1≤x ＜0}，求A ∪(∁U B )．17．(12分)已知p ：－2≤1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若“非p ”是“非q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.19．(12分)(2011福建四地六校联合考试)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．20．(13分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．21．(14分)已知三个不等式：①|2x －4|＜5－x ；②x ＋2x 2－3x ＋2≥1；③2x 2＋mx －1＜0.若同时满足①和②的x 值也满足③，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数． 2．D 解析：集合N ＝{0,2,4}，所以M ∩N ＝{0,2}．3．A 解析：由(a －1)(a －2)＝0，得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0.而由(a －1)(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分而不必要条件．4．D 解析：含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否定．5．B 解析：a ＝(m －1,2m ＋1)，b ＝(2n ＋1，3n －2)，令a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝2n ＋1，2m ＋1＝3n －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)，故选B.6．D 解析：∵M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，N ＝{x |x ≤2}，∴M －N ＝{x |x ＞3}，N －M ＝{x |1≤x ≤2}，∴M △N ＝{x |1≤x ≤2，或x ＞3}．7．D 解析：∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋3x －1<0＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝{x |－3＜x ＜－1}，故选D.8．D 解析：依据各种命题的定义，可以判断A ，B ，C 全为假，由b ＝0，可以判断f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，反之亦成立． 9．C 解析：∵y ＝22|cos sin |x x －＝|cos 2x |，x ∈R ，∴y ∈[0,1]，∴M ＝[0,1]．∵⎪⎪⎪⎪x i ＜1，∴|x |＜1.∴－1＜x ＜1.∴N ＝(－1,1)．∴M ∩N ＝[0,1)．10．D 解析：本题考查根据命题的真假求参数的取值范围．若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，则不等式x 2＋2x －c ＞0对任意x ∈R 恒成立，则有Δ＝4＋4c ＜0，解得c ＜－1；若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，则g (x )＝x 2＋2x －c 应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c ≥0，解得c ≥－1.当p 为真，q 为假时，有c ＜－1；当p 为假，q 为真时，有c ≥－1.综上，当命题p ，q 有且仅有一个为真时，c 的取值范围为R .故选D.二、填空题11．{2,5} 解析：∵A ∪B ＝{2,3,4,5}，∁U C ＝{1,2,5}，∴(A ∪B )∩(∁U C )＝{2,5}．12．必要不充分解析：p 为：a ≥0，q 为a 2≤a ，a 2≤a ⇔a (a －1)≤0⇔0≤a ≤1， ∴p q ，而q ⇒p ， ∴p 是q 的必要不充分条件．13．[－4,0] 解析：∵“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则“对任意的x ∈R ，x 2－ax －a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a ≤0.14．②③⑤ 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >1⇒m ＞1.故⑤正确． 15．①③ 解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sinB ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．三、解答题16．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}， ∴(∁I M )∩N ＝{4}．(2)∵A ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，B ＝{x |－1≤x ＜0}，∴∁U B ＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．∴A ∪(∁U B )＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．17．解：由p ：－2≤1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴“非p ”：A ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴“非q ”：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，由“非p ”是“非q ”的充分不必要条件得A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0＜m ≤3.∴满足条件的m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．18．证明：必要性：∵a ＋b ＝1，即b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝0，必要性得证．充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝22b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3b 24≠0， ∴a ＋b ＝1，充分性得证．综上可知，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.19．解：由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．解：(1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0，为真命题．用反证法证明：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，b ＜－a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与题设相矛盾，∴逆命题为真．(2)逆否命题：若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0，为真命题． ∵原命题⇔它的逆否命题，∴证明原命题为真命题即可．∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．∴逆否命题为真．21．解：设不等式|2x －4|＜5－x ，x ＋2x 2－3x ＋2≥1， 2x 2＋mx －1＜0的解集分别为A ，B ，C ，则由|2x －4|＜5－x 得，当x ≥2时，不等式化为2x －4＜5－x ，得x ＜3，所以有2≤x ＜3. 当x ＜2时，不等式化为4－2x ＜5－x ，得x ＞－1，所以有－1＜x ＜2，故A ＝(－1,3)．x ＋2x 2－3x ＋2≥1⇔x ＋2x 2－3x ＋2－1≥0⇔－x 2＋4x x 2－3x ＋2≥0⇔x (x －4)(x －1)(x －2)≤0⇔0≤x ＜1或2＜x ≤4，即B ＝[0,1)∪(2,4]．若同时满足①②的x 值也满足③，则有A ∩B ⊆C .设f (x )＝2x 2＋mx －1，则由于A ∩B ＝[0,1)∪(2,3)，故结合二次函数的图像，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，18＋3m －1≤0⇒m ≤－173.。