曲线的参数方程
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。
教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。
教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。
教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。
第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。
第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。
曲线的参数方程和与普通方程的互化
例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点 ,点A(6,0).
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程， 并说明点M的轨迹图形是什么？
解： 取xOP , 则圆的参数方程为：
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
的实质是三角代换.
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程y=2x-4 （x≥0）。
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致。否则，互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
步骤：（1）消参； （2）注意取值范围。
(3)
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin cos 3, y sin 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
2.2.1曲线的参数方程
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x = 100t , 1 2 y = 500 − gt .（g=9.8m/s2 ) 2 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), y = g (t ). （2） 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 的每一个允许值, 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。 的方程叫做普通方程。
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) 2 y = at .
（1）求常数 ）求常数a;
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
一、曲线的参数方程
参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具 之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形， 它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
参数方程与极坐标方程的转换
在某些情况下，可以将参数方程转换为极坐标方程，以 便利用极坐标的性质来研究曲线的性质。
THANKS FOR WATCHING
参数方程导数的计算方法
通过对方程中的参数求导，并利用链式法则和乘积法则进行计算。
参数方程的积分
参数方程的积分定义
参数方程的积分是表示曲线与坐标轴围成的面积的数学工具。
参数方程积分的几何意义
参数方程的积分表示曲线与坐标轴围成的面积，即曲线在某一区间 上的长度。
参数方程积分的计算方法
通过对方程中的参数进行不定积分，并利用微积分基本定理进行求 解。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参 数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
一、曲线的参数方程
目 录
• 参数方程的基本概念 • 参数方程在曲线表示中的应用 • 参数方程的物理意义 • 参数方程的微积分性质 • 参数方程的几何意义
01 参数方程的基本概念
参数方程的定义
参数方程
由参数t表示的方程组，其中x、y是参数t的函数。
参数方程的一般形式
x=x(t)，y=y(t)。
参数方程的特点
详细描述
曲线化为参数方程
曲线化为参数方程
曲线是二维平面上的图形，由无数个点组成。
为了能够更方便地描述和计算曲线，我们可以将其转化为参数方程的形式。
具体而言，我们可以选取一个自变量t（通常为时间），然后将曲线上每个点的坐标表示成x=f(t)和y=g(t)的形式。
这样，曲线上的每一个点就对应一个(t, f(t), g(t))的三元组，从而曲线就被表示为参数方程：
x = f(t)
y = g(t)
参数方程的好处在于它能够更清晰地描述曲线的形态，尤其是对于那些难以用一般函数公式表示的曲线（比如心形线、螺旋线等），参数方程可以轻松地表示出它们的形状。
此外，参数方程也有很多应用，比如在物理学中用于描述粒子的运动轨迹，在计算机图形学中用于绘制曲线和动画等。
- 1 -。
常见的参数方程
常见的参数方程常见的参数方程参数方程是一种描述曲线的方式，它是用参数t来表示曲线上的点坐标。
在二维平面中，一个曲线可以用两个参数x和y来表示，即(x(t),y(t))。
在三维空间中，一个曲线可以用三个参数x、y和z来表示，即(x(t), y(t), z(t))。
一、直线的参数方程直线是最简单的曲线之一，它可以用两个点来确定。
假设有两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，那么这条直线的参数方程可以表示为：x = x1 + (x2 - x1)ty = y1 + (y2 - y1)t其中t是一个实数，取值范围为0到1。
当t=0时，对应的点为P1；当t=1时，对应的点为P2。
二、圆的参数方程圆是一个非常重要且常见的几何图形，在计算机图形学中也经常使用。
一个半径为r、圆心坐标为(a, b)的圆可以用以下参数方程表示：x = a + rcos(t)y = b + rsin(t)其中t是一个实数，取值范围为0到2π。
当t=0时，对应圆上最右边的点；当t=π/2时，对应圆上最上面的点；当t=π时，对应圆上最左边的点；当t=3π/2时，对应圆上最下面的点。
三、椭圆的参数方程椭圆是一个比较复杂的曲线，它可以用以下参数方程表示：x = a cos(t)y = b sin(t)其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴方向上的半径。
当a=b时，这个椭圆就变成了一个圆。
四、抛物线的参数方程抛物线是一个非常重要且常见的曲线，在物理学和工程学中经常使用。
一个开口朝上或开口朝下的抛物线可以用以下参数方程表示：x = at^2y = bt其中a和b是常数，控制着抛物线在x轴和y轴方向上的形状。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
五、双曲线的参数方程双曲线是一个非常特殊且复杂的曲线，在数学中有着广泛的应用。
一个双曲线可以用以下参数方程表示：x = a sec(t)y = b tan(t)其中a和b是常数，控制着双曲线在x轴和y轴方向上的形状。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念 1．探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s 的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（1）平抛运动：为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 一、方程组有3个变量，其中的x,y 表示点的坐标，变量t 叫做参变量，而且x,y 分别是t 的函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t 唯一决定，从数学角度看，这就是点M 的坐标x,y 由t 唯一确定，这样当t 在允许值范围内连续变化时，x,y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y ）之间有一一对应关系。
练习：斜抛运动： 为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα 2．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数x yO v=v 0α)2.....(....................)()({t g y t f x ==并且对于t 的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t tr y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==轨迹是所表示的一族圆的圆心为参数、由方程)(045243222t t ty tx y x =-+--+)()(sin cos {sin ,cos ),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。
其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三＝，设＝，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻t r O t t r y t r x r y t r x t r OM t y x M M t ωωωωωθθ====转过的角度。
的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取＝考虑到00)(sin cos {OM OM O OM r O r y r x t θθθθθωθ==圆的参数方程的一般形式说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
三．参数方程和普通方程的互化例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为 (θ为参数)例2 如图，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q(6,0)是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。
明确参数方程和普通方程的互化的方法。
注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致。
四．课堂练习巩固与提高1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t 为参数）是（D ）A ．⎩⎨⎧==-22ty t x B ． ⎩⎨⎧==t y t x csc sin C ．⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 1 D ．⎩⎨⎧==t y t x cot tan 么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆r y x o r y x ),(,00222'=+2220000cos {()s ()()in x x y x x r y y y r r θθθ=+=+-+-=对应的普通方程为为参数。
半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨⎧y x ⎩⎨⎧+=+-=θθsin 3cos 1y x )(sin 3cos {sin 2sin 2,3cos 26cos 2),sin 2,cos 2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点θθθθθθθθθθ=+===+=+==∠y x M y x P xOP y x M )1,2____(4)0(sin 2cos {3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆>+=+=r r r y r r x θθθ2．下列哪个点在曲线)(2cos sin 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上（C ）A ．(2,7)B ．)32,31( C ．)21,21( D ．(1,0) 3．曲线)(sin 2cos 12为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x 的轨迹是（D ）A ．一条直线B ．一条射线C ．一个圆D ．一条线段 4．方程)(cos 2为参数θθ⎩⎨⎧==y x 表示的曲线是（D ）A ．余弦曲线B ．与x 轴平行的线段C ．直线D ．与y 轴平行的线段 5．曲线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D ）A ．21 B ．22C ．1D ．2 6．方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ）A ．一个定点B ．一个椭圆C ．一条抛物线D ．一条直线 7．直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ）A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π- 8．曲线y y x 222=+的一个参数方程为)(sin 1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+==y x 。
9．曲线)(11为参数t t t y tt x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=的普通方程为422=-y x 。
10．已知)(sin cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。
11．设飞机以匀速v=150m/s 作水平飞行，若在飞行高度h=588m 处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。
（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。
解：（1）)(9.45881502为参数t ty tx ⎩⎨⎧-==。
（2）1643m 。
12．火炮以α为发射角，0v 为初速度发射，求炮弹的轨迹方程。
解：)(21sin cos 200为参数t gt t y y t v x ⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα。
13．动点M 从起点M 0(1,2)出发作等速直线运动，它在x 轴与y 轴方向上的分速度分别为6和8，求点M 的轨迹的参数方程。
解：)(8261为时间参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+=。
14．求直线为参数）t ty t x (11⎩⎨⎧-=+=与圆422=+y x 的交点坐标。
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分别代入直线方程,得交点为（0，2）和（2，0）。
圆的参数方程的应用教学目标：知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学重点：会用圆的参数方程求最值。
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 教学过程： 一、最值问题1.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。
（1）求xy 的最小值与最大值 （2）求x －y 的最大值与最小值2.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是 ； 2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；3. 过点(2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的弦： 为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；4．若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值为 ； 二、参数法求轨迹1)一动点在圆x 2＋y 2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程2)已知点A(2,0),P 是x 2+y 2=1上任一点,AOP ∠的平分线交PA 于Q 点,求Q 点的轨迹.C.参数法解题思想：将要求点的坐标x,y 分别用同一个参数来表示例题：1)点P(m,n)在圆x 2+y 2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程2)方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0.若该方程表示一个圆,求m 的取值范围和圆心的轨迹方程。
圆锥曲线的参数方程教学目的：知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。