李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案
概率论与数理统计第1章习题答案
20 21
2
2 第十页，共十四页。
26(.1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4.它们的可靠 性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按右图的方式(fāngshì)
联接(称为并串联系统);
2
3
1
4
(2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5.它们的可 靠性均为p,将它们按右图的方式联接(称为(chēnɡ wéi)桥式系统);试分别求这两个系统的可靠性.
7
6
5 P171
第四页，共十四页。
14. 已知P(A)=1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)=1/2,求P(A∪B).
解 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
故 P( AB) 1 1 1 P(B) P( AB) 1 12 1
第五页，共十四页。
16. 据以往资料(zīliào)表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:
P{孩子得病(dé bìnɡ)}=0.6, P{母亲得病|孩子得病}=0.5,
P{父亲得病|母亲(mǔ qīn)及孩子得 求病母}=亲0.及4,孩子得病但父亲未得病的概率.
解 设事件A={孩子得病},B={母亲得病},C={父亲得病}
(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率.
解 基本事件是从1500个产品中取200个,
基本事件总数n= 1250000
(1)从400个次品中取90个, 1100个正品中取110个的事件总数
n(1)
49000
1100 110
故恰有90个次品的概率
p(1)
n(1)
/
n
49000
概率论与数理统计第一章习题解答
《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。
故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。
（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。
（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。
（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。
2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。
（2）A与B都发生，而C不发生。
（3）A，B，C中至少有一个发生。
（4）A，B，C都发生。
（5）A，B，C都不发生。
（6）A，B，C中不多于一个发生。
（7）A，B，C中不多于两个发生。
（8）A，B，C中至少有两个发生。
解：（1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC（5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C（7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。
（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。
《概率论与数理统计答案》第一章
4/15，刮风（记作事件 B ）的概率为 7/15，刮风又下雨（记作事件 C ）的概率为
网 1/10。求 P( A | B) ， P(B | A) ， P( A ∪ B) 。
案 提示与答案： P(A | B) = 3 ， P(B | A) = 3 ， P(A ∪ B) = 19 。
6．已知事件 A 、 B 满足 P( AB) = P( A ∩ B ) 且 P( A) = 1/ 3 ，求 P(B) 。
解法一：由性质（5）知
m P(B) = P( A ∪ B) − P( A) + P( AB)
（性质 5）
co =1− P( A∪ B) − P( A) + P( AB)
（性质 3）
球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事
件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。
若设 A 表示：“由甲袋取出的球是白球”； B 表示：“由甲袋取出的球是黑 球”； C 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 P(C) = 5 /12 。
18．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1 是第一家工厂生产的， 2
16．一机床有 1/3 的时间加工零件 A ，其余时间加工零件 B ，加工零件 A 时， 停机的概率是 3/10，加工零件 B 时，停机的概率是 4/10，求这台机床停机的概 率。
提示与答案：依题意，这是一全概率问题。若设 A 事件表示：“加工零件 A ”； B 事件表示：“加工零件 B ； C 事件表示：“机床停机”。 则 P(C) = 11/ 30 。
相同”； B 表示事件：“这 n 个人至少有两个人生日在同一天”。
李贤平《概率论与数理统计第一章》规范标准答案
第1章 事件与概率2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和．6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ；（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ；（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C0.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
16、任意从数列Λ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<<ΛΛ21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r 对鞋子。
《概率论与数理统计》第一章课后习题解答共16页word资料
吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。
（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。
解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。
解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。
解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。
4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。
A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
概率论与数理统计 习题答案 第1章
第一章概率论的基本概念1.写出下列随机试验的样本空间.⑴纪录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分).解S={%=OJ…,100% 其中〃为小班人数.n⑵同时掷三颗骰子，纪录三颗骰子点数之和;解:S={3,4,…，18}.⑶生产产品直到得到10件正品为止，纪录生产产品的总件数;解：S={10, 11, 12,…(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品，停止检查, 纪录检查的结果.解:S={00, 100,0100,0101, 1010,0110, 11009011151011, 1101, 111091111)9 其中。
表示次品，1表示正品.(5)在单位圆内任意取一点，纪录它的坐标；解:S={(x, y)∣x2+y2<l}.(6)将一尺之梗成三段，观看各段的长度.解：S={(x, y, z)k>09γ>09z>0, x+y+z=l},其中.χ z 分别表示第一、二、三段的长度.2.设A, B,C为三大事,用A,昆。
的运算关系表示下列各大事.(1)A发生,3与。
不发生；解表示为：ABC 或A—(A3+A。
或A—(3uC)∙(2)A,3都发生，pre不发生；解表示为:48。
或A5-A3C或48-C(3)4 B, C中至少有一个发生；解：表示为：A+3+C(4)A,民。
都发生；解：表示为:ABC(5)A,B,C都不发生；解：表示为：ABC^i S- (A+B+C)^A U B U C(6)4民C中不多于一个发生；解：即人民。
中至少有两个同时不发生相当于了反BC,入。
中至少有一个发生.故表示为：AB+BC+AC.(7)A, B, C中不多于三个发生；解：相当于：A瓦。
中至少有一个发生.故表示为：4+豆+。
或砺.(8)A, B, C中至少有二个发生.解:相当于:A民BC, AC中至少有一个发生.故表示为：AB+BC+AC.3.设4 3是两大事且P(A)=0∙6, P(3)=0.7.问：(1)在什么条件下尸(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下尸(A5) 取得最小值，最小值是多少？解:⑴由于P(A3)=P(A)+P⑹-P(Au8),且P(A)<P(3)≤尸(Auδ),所以当AuB时,P(Au3)=P(B), P(A3)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6.⑵当A^J B=S时,P(A3)取到最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7-l=0.3.4.设A,民。
《概率论与数理统计 第一章》答案
第1章 事件与概率2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ；（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ；（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C0.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
14、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
16、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r 对鞋子。
概率论与数理统计第一章总习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第一章总习题1．填空题（1）假设B A ,是两个随机事件，且B A AB ⋅=，则()A B =U ，()=AB ；解：AB A B AB A B =⋅⇔= 即AB 与A B U 互为对立事件，又AB A B ⊂U 所以()(),.AB A B A B AB A B AB Ω==∅==（2）假设B A ,是任意两个事件，则()()()()()P A B A B A B A B ⎡⎤=⎣⎦ .解：()()()()()()P A⎡=⎣()()0P B==.（3）.已知41)()()(===C P B P A P ， 0)(=AB P ， 161)()(==BC P AC P 。
则事件A 、B 、C 全不发生的概率为解：所求事件的概率即为()P ABC ,又,ABC AB ⊂从而()()00,P ABC P AB ≤≤=则()0P ABC =，所以()()()1P ABC P A B C P A B C ==-()()()()()()()31311.488P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =---+++-=-+=2．选择题（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，()8.0=B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 相互独立；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）A B ⊃；（D ）()()()P A B P A P B =+ .解：因为()56.0)()(==B A P B P AB P ，而56.0)()(=B P A P ，即)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 相互独立，选（A ）.（2）设B A ,为两个互逆的事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是().（A ）()0>A B P ；（B ）())(A P B A P =；（C ）()0=B A P ；（D ）)()()(B P A P AB P =. 解：因为B A ,为两个互逆的事件，所以当事件B 发生时，事件A 是不会发生的，故()0=B A P .选（C ）.（3）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，()()1=+B A P B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 互不相容；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）事件A 与事件B 不互相独立；（D ）事件A 与事件B 互相独立.解：因为()()()()()()()()()()1111P A B P A B P AB P AB P A B P A B P B P B P B P B⋅+=⇔+=⇔+=-()()()()()()()()()()111111P AB P A B P AB P A P B P AB P B P B P B P B ---+⇔+=⇔+=⇔-- ()()[]()()()()[]()()[]⇔-=+--+-B P B P AB P B P A P B P B P AB P 111)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 互相独立.选（D ）.3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率. 解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则()4101212124511)(C C C C C A P A P -=-=2113=.4．（找次品问题）盒中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到4只次品晶体管都找到为止，求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.解：设i A 表示“第i 次找到次品晶体管”()5,4,3,2,1=i ，则所求概率为：()54321543215432154321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A P ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()()()()()432153214213121A A A A AP A A A AP A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+61768293104617286931046172839610461728394106⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=1052617283941064=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯=.5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜1负.由于特殊原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜.甲获胜的预期概率为：()()()()43212121544544=⨯+=+=+A P A P A P A A A P .于是，甲应分得1000元奖金中的750100043=⨯元，乙分得250元.6．(彩票问题) 一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，…，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码.中奖规则如下表所示.(1)试求各等奖的中奖概率(1,2,,7);i p i = (2) 试求中奖的概率.解：(1) 因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有735C 个样本点.要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码； 第二类号码：1个特殊号码； 第三类号码：27个无用号码。
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李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案第1章 事件与概率2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ；（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C0.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
14、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
16、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x<<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r 对鞋子。
20、袋中有n只球，记有号码n,,2,1 ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。
21、袋中装有N,,2,1 号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。
24、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。
25、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A集中在一个人手中的概率。
26、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。
27、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。
28、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。
33、设n AAA,,,21是随机事件，试用归纳法证明下列公式：∑∑=≥>≥--++-=ni ijnnnjii nAAAPAAPAPAAAP112112 1)()1()()()(。
36、考试时共有N张考签，n个学生参加考试)(Nn≥，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。
37、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。
若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？39、给定()()()B A P r B P q A P p ===,,，求()AB P 及()B A P 。
40、已知：()()()B A C AB C B P A P AB P ⊃⊃=,,，证明：)()()(C P A P AC P ≥。
43、利用概率论的想法证明下列恒等式：a A a a A a A A A a A a A A a A =+-⋅-++-----+--+)1()1(12)()2)(1()1)((11其中A ，a 都是正整数，且a A >。
46、证明Ω的一切子集组成的集类是一个-σ域。
47、证明：-σ域之交仍为-σ域。
48、证明：包含一切形如),(x -∞的区间的最小-σ域是一维波雷尔-σ域。
解答2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。
（2）A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且A B A C B A C B A ，B 发生或C发生，均导致A 发生。
（3）A C AB ⇒⊂与B 同时发生必导致C 发生。
（4）C B A BC A ⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。
3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)＝121121-+++n n A A A A A A A ．6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A .（2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++.（3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生}=D C AB .（4）{都不发生}=D C B A D C B A =.（5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++CDBD BC AD AC AB =.8、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+ 2211)1(，两边对x 求导得12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n ，在其中令x=1即得所欲证。
（2）在上式中令x=-1即得所欲证。
（3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。
由于k b b k b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于要证∑=++-+≤≤=a k r b b a k b b r k a ar C C C00,.利用幂级数乘法可证明此式。
因为b a b a x x x ++=++)1()1()1(，比较等式两边rb x +的系数即得证。
9、解：15.0335/311151516===A A A A P10、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p（3）p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}=1071015252=-+. （4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P11、解：末位数吸可能是2或4。
当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以5/2/23524=⨯=A A P12、解：m n m n m n m n C C C CP 33/321=13、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}33.062520725925152562572510253==⨯+⨯+⨯=.14、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n 个号码必然全不相同，N n ≤。
N 个不同号码可产生!n 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上升排列，所以共有nNC 种按严格上升次序的排列。
总可能场合数为nN ，故题中欲求的概率为n nN N C P /=.16、解：因为不放回，所以n 个数不重复。
从}1,,2,1{-M 中取出m-1个数，从},1{N M +中取出mn -个数，数M 一定取出，把这n 个数按大小次序重新排列，则必有Mxm=。
故n Nm n M N m M C C C CP /1111----=。
当11-<-m M 或m n M N -<-时，概率0=P .18、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中取出一只。
所以欲求的概率为48.03316/4121212252216===C C C C C C P19、解：（1）有利场合是，先从n 双中取出2r 双，再从每双中取出一只。
)2(,/)(222122n r C C C P rn r r n <=（2）有利场合是，先从n 双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的1-n 双中取出22-r 双，从鞭每双中取出一只。
rnr n r r n r r n n C C n C C C C C P 2222122222212221221/2/)(------==.（3）rn r n n r C C C P 22422242/2---=. （4）r n r r nC C C P 2222/)(=r nr n C C 22/=.20、解：（1）P{任意取出两球，号码为1，2}=2/1nC .（2）任取3个球无号码1，有利场合是从除去1号球外的1-n 个球中任取3个球的组合数，故 P{任取3球，无号码1}331/nn C C-=.（3）P{任取5球，号码1,2,3中至少出现1个}=P -1{任取5球，号码1,2,3不出现}553/1nn C C--=.其中任取5球无号码1,2,3，有利场合是从除去1,2,3号球外的3-n 个球中任取5个球的组合数。
21、解：（1）有利场合是，前1-k 次从1-N 个号中（除1号外）抽了，第k 次取到1号球， kk kk N N N N P /)1(/1)1(11---=⋅-=（2）考虑前k 次摸球的情况，NA A P kN k N /1/111=⋅=--。