复合材料层合板
复合材料层合板
复合材料层合板
复合材料层合板是一种由不同材料层按照一定顺序和比例粘合而成的板材，具
有轻质、高强度、耐腐蚀等特点，广泛应用于航空航天、船舶制造、汽车工业、建筑领域等。
本文将就复合材料层合板的结构、制造工艺、应用领域等方面进行介绍。
首先，复合材料层合板的结构包括面板层和芯层。
面板层通常由玻璃纤维、碳
纤维、芳纶纤维等高强度纤维增强树脂复合材料构成，而芯层则通常由泡沫、蜂窝、发泡塑料等轻质材料构成。
面板层和芯层通过粘合剂粘合在一起，形成具有优异性能的复合材料层合板。
其次，复合材料层合板的制造工艺包括预浸层合、热压成型等工艺。
预浸层合
是将预先浸渍好的纤维材料和树脂按照设计要求层叠在一起，然后通过加热和压力使其固化成型。
热压成型是将预先切割好的纤维材料和芯材层叠在一起，然后通过加热和压力使其粘合成型。
这些制造工艺保证了复合材料层合板具有优异的力学性能和表面质量。
复合材料层合板在航空航天领域得到了广泛应用。
它可以用于制造飞机机身、
机翼、舵面等部件，具有重量轻、强度高、疲劳寿命长的优点，可以提高飞机的飞行性能和燃油效率。
在船舶制造领域，复合材料层合板可以用于制造船体、甲板、舱室等部件，具有耐腐蚀、抗冲击、阻燃等特点，可以提高船舶的使用寿命和安全性能。
在汽车工业和建筑领域，复合材料层合板也有着广泛的应用前景。
总之，复合材料层合板作为一种新型的结构材料，具有轻质、高强度、耐腐蚀
等优异性能，在航空航天、船舶制造、汽车工业、建筑领域有着广泛的应用前景。
随着材料科学技术的不断发展，相信复合材料层合板将会在更多领域展现出其独特的优势，为人类社会的发展做出更大的贡献。
复合材料层合板
复合材料层合板
复合材料层合板是一种由不同材料层叠而成的板材，具有轻质、高强度、耐腐
蚀等优点，因此在航空航天、汽车、建筑等领域得到广泛应用。
本文将从复合材料层合板的结构、制造工艺、应用领域等方面进行介绍。
首先，复合材料层合板的结构通常由两种或以上的材料层叠而成。
这些材料可
以是金属、塑料、玻璃纤维、碳纤维等，通过粘合剂或其他加工工艺将它们粘合在一起，形成具有特定性能的复合材料板材。
由于不同材料的组合可以有效地发挥各自的优点，因此复合材料层合板通常具有较高的强度和刚度，同时具有较低的密度和良好的耐腐蚀性能。
其次，复合材料层合板的制造工艺包括预浸料成型、热压成型、自动化生产等
多种方法。
预浸料成型是将预先浸渍了树脂的纤维材料层叠在一起，然后通过热压或其他方法使其固化成型。
热压成型则是将预先加热的材料放入模具中，经过高温和高压的作用使其成型。
自动化生产则是利用机器人等自动化设备进行生产，可以大大提高生产效率和产品质量。
复合材料层合板在航空航天、汽车、建筑等领域有着广泛的应用。
在航空航天
领域，复合材料层合板可以用于制造飞机机身、机翼、尾翼等部件，可以减轻飞机重量，提高飞行性能。
在汽车领域，复合材料层合板可以用于制造车身、车门、车顶等部件，可以提高汽车的安全性能和燃油经济性。
在建筑领域，复合材料层合板可以用于制造装饰板、隔墙板、屋顶板等材料，可以提高建筑物的结构强度和耐久性。
综上所述，复合材料层合板具有轻质、高强度、耐腐蚀等优点，制造工艺多样，应用领域广泛。
随着科技的不断进步，复合材料层合板在未来将会有更广阔的发展空间，为各个领域带来更多的创新和进步。
复合材料的复合结构类型
复合材料的复合结构类型在现代工业生产中，复合材料的使用越来越普及，随着科技的发展，人们的生活也越来越离不开复合材料。
复合材料的多种特性如轻量、高强度、耐腐蚀等使其在各个领域被广泛应用，在航空、汽车、建筑等许多领域中都有重大作用。
同时，复合材料还可以通过不同的复合结构类型来实现更为多样化的应用，下面我们将详细讲解。
1.层合板结构层合板结构是复合材料中最常见的一种复合结构类型，也是比较容易制造的一种结构。
该结构由两层纤维布或纱布之间加入一层粘合剂或树脂，通过压制或热固化后形成的结构。
层合板结构的加固性能非常好，而且容易制造成各种形状，广泛应用于航空、运动器材、建筑及交通工具等领域。
2.纺织材料结构纺织材料结构是一种立体编织材料，可按照具体的需求和应用加工成各种形状和大小的复合材料。
纺织材料结构由三维编织机器纵横交织而成，具有很好的柔韧性和抗拉强度，广泛应用于汽车、体育器材、军工、医疗等领域。
3.夹芯结构夹芯结构是一种双层面材料之间夹有一层轻质芯材的结构形式。
该类型结构强度较高，同时由于芯材的存在，且空气含量较高，导致整体材料的密度比同尺寸的实材料轻很多。
夹芯结构广泛应用于航空航天、机械、运动器材等领域。
4.缠绕结构缠绕结构是一种先将传统复合材料和含树脂材料制成螺旋状，之后缠绕在同一轴心线上。
然后通过真空或高压复合材料构成井字形或斜交结构等。
该类型结构制造难度较大，但强度和耐久性很好，广泛应用于防弹衣、制造航空航天装备等领域。
5.混合结构混合结构即由不同材料在不同位置组成的结构。
多种不同的纤维布、编织材料和芯材可按照需要组合形成，结合不同的组合形式形成的材料拥有不同的性能。
混合结构由于各种材料的优点互补，可获得超强和兼具多种性能的材料。
广泛应用于航空、运动器材、汽车、能源等领域。
综上所述，不同类型的复合结构对应各自的应用场景，复合材料在工业生产中的应用也愈加广泛和深入。
尤其是在金属材料替代领域发挥了重要作用，未来复合材料的应用前景一定更加广阔。
5-第五章_复合材料层合板的强度
3. 蔡—希尔（Tsai-Hill）失效判据 蔡—希尔失效判据是各向同性材料的冯· 米塞斯（Von· Mises）屈服失效判 据在正交各向异性材料中的推广。希尔假设了正交各向异性材料的失效判据 具有类似于各向同性材料的米塞斯（Mises）准则，并表示为 2 2 2 （5.5） F s s Gs s H s s 2L 2 2M 2 2N 2 1
2 3 3 1 1 2 23 31 12
图5.1 材料主方向上的应力 分量 1 1 1 G H , F H , F G 式 5.5=1 ，有： s 1 X， （5.6） X2 Y2 Z2
式中，s1，s2，s3，23，31，12是材料主方向 上的应力分量（见图5.1），F，G，H，L，M， N称为强度参数，与材料主方向的基本强度有 关。假设该材料的拉压强度相等，材料方向基 本强度为X，Y，Z，S23，S31，S12。 通过三个材料主方向的简单拉伸破坏实验，分别有 s 1 X , s 2 Y 和 s 3 Z ， 由式（5.5）可得
（5.5）
中增加了应力的一次项。通过类似于蔡—希尔失效判据式的 推导，得到霍尔夫曼失效判据表达式为：
2 sL s Ls T
Xt Xc
2 Xc Xt Yc Yt LT sL sT 2 1 Yt Yc Xt Xc Yt Yc S
2 sT
（5.12）
式（5.12）中，sL和sT的一次项体现了单层拉压强度不相等对 材料破坏的影响。显然，当拉压强度相等时，该式就化为蔡— 希尔失效判据式：
对单层进行横向拉伸和压缩破坏试验，由式（5.17）可得
当拉伸破坏时 当压缩破坏时
2 2 2 F11s L F22s T F66 LT 2F12s Ls T F1s L F2s T 1
复合材料力学第四章层合板的宏观力学行为
复合材料力学第四章层合板的宏观力学行为层合板是一种由多层材料在一定角度堆叠压制而成的复合材料结构。
它由胶合剂粘合在一起，形成一个整体的结构，具有较好的力学性能。
层合板在航空航天、汽车、建筑等行业中被广泛应用，因其具有良好的强度和刚度、较低的重量和成本等优势。
层合板的宏观力学行为可以从宏观角度和微观角度两个方面来研究。
从宏观角度来看，层合板可以看作是一个复合材料板。
在受力时，层合板主要承受拉、压、剪等力。
根据不同的力学模型，可以通过切变理论、薄板理论和剪切变形理论等方法来进行计算。
切变理论是最常用的方法之一、该理论是假设层合板在受力时，各层之间发生无滑移的切变变形，层间切应力在板的厚度方向分布均匀。
根据该理论，可以得到层合板的切变变形方程，进而计算出层合板的应力和变形。
薄板理论是另一种常用的方法。
该理论是假设层合板是一根薄板，其厚度远小于其他尺寸，因此在计算时可以忽略板厚度方向的变形。
根据薄板理论，可以得到层合板的挠度方程，并据此计算层合板的应力和变形。
剪切变形理论结合了切变理论和薄板理论的优点。
该理论考虑了层合板在受力时发生的切变变形和弯曲变形，对于层合板的力学行为具有较好的描述能力。
从微观角度来看，层合板的宏观力学行为可以理解为层与层之间的相互作用。
由于层合板是由多层材料堆叠而成的，不同材料的力学性质会影响整体的力学行为。
根据不同材料的应力应变关系和强度性能，可以得到层合板的宏观力学性能。
在层合板的设计和应用中，关键是如何选择合适的层厚度、层间胶合剂和夹层角度等参数。
通过合理选择这些参数，可以提高层合板的强度、刚度和耐疲劳性能。
总之，层合板的宏观力学行为是通过宏观角度和微观角度相结合来研究的。
在设计和应用层合板时，需要综合考虑材料的力学性能和结构的力学行为，以提高层合板的整体性能。
复合材料力学 第五章 复合材料层合板的强度
三、本构方程
由正交各向异性层板的应力应变关系，有
ζ x Q ε x Q (ε zκ)
由中面力的定义可得中面力为：
N ζ x 1 dz ( Q dz)ε 0 ( Q zdz)κ Aε 0 Bκ
中面矩为：
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
三者均为3×3矩阵，由此可得矩阵形式的经典叠层本构关系式 ：
N A B ε 0 M B D κ
6×1 6×6 6×1
6×6矩阵简称为刚度矩阵。
其中：
A
——拉（压）剪刚度，量纲[力][长度]-1
A16 , A26
为拉剪耦合刚度。
yz zx 0
由弹性力学可得：
以及
z 0
w z z 0 u w 0 zx z x v w yz z y 0
积分
w( x, y, z ) w0 w 0 u ( x, y, z ) u z x w 0 v( x, y, z ) v z y
板中任一点 的应变
u u 0 2w 0 x z ( 2 ) x z x x x x v v 0 2w 0 y z ( 2 ) y z y y y y
xy
v u v 0 u 0 2w 0 z ( ) xy z zy x y x y xy
x 0
0 0 0 x , y , xy为中面应变
x , y为中面曲率 xy为中面扭率
注意：1）此处的xy轴是叠层轴，对某一单层， 一般而言不是它的主轴。 2）只要中面变形已知，即可按上式求 出薄板任一点的应变
复合材料层合板
复合材料层合板
复合材料层合板是采用两种或两种以上的不同材料通过物理或化学方法互穿、相互作用而形成的一种新型材料。
复合材料层合板具有很多优异的性能，例如高强度、高刚度、轻质、耐腐蚀、隔音、隔热等。
复合材料层合板的制作过程一般包括以下几个步骤：首先，将不同的材料按照一定的顺序和比例层叠起来，然后通过一定的工艺加热压制，使不同材料之间相互粘结而形成一体化的结构。
具体的加工工艺包括热压、冷压、预浸料、环氧树脂浸渍和烘烤等。
复合材料层合板的材料主要包括树脂基复合材料和纤维材料。
树脂基复合材料一般采用环氧树脂、酚醛树脂、聚酯树脂等作为基体材料，具有良好的粘结性，可根据需要调整其硬度、韧性和耐磨性等性能。
而纤维材料一般采用玻璃纤维、碳纤维、芳纶纤维等，可以增加复合材料的强度和刚度。
复合材料层合板的优点主要体现在以下几个方面：首先，复合材料层合板具有很好的强度和刚度，可以承受较大的荷载；其次，复合材料层合板的重量轻，比传统的木材和金属材料要轻，方便携带和安装；再次，复合材料层合板具有良好的耐腐蚀性能，不易受潮、腐朽和虫蛀等；此外，复合材料层合板还具有良好的隔音和隔热性能，可以有效地减少声音和热量的传递。
然而，复合材料层合板也存在一些不足之处。
首先，复合材料层合板的成本较高，制作过程复杂，需要较为特殊的设备和工
艺；其次，复合材料层合板的制作过程中会产生一定的环境污染，对环境产生一定的影响。
此外，复合材料层合板在高温和高湿条件下可能会出现失效的现象。
综上所述，复合材料层合板是一种具有广阔应用前景的新型材料。
通过合理的材料选择和加工工艺，可以制作出具有良好性能的复合材料层合板，实现更广泛的应用和推广。
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析
0 xy
k
xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u0
v0
dz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
dz
M
x
M y
M
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
zdz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
zdz
经典层合板理论
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx, Ny , 及Nxy合力矩 是指单位长度上的力或力矩）
（都 M x , M y , M xy
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
N
x
Ny
N
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0,表w 示中面的位移分量，并且只是 坐标 的x,函y 数，其中 为挠w 度函数
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复合材料层合板MA 02139，剑桥麻省理工学院材料科学与工程系David Roylance2000年2月10日引言本模块旨在概略介绍纤维增强复合材料层合板的力学知识；并推导一种计算方法，以建立层合板的平面内应变和曲率与横截面上内力和内力偶之间的关系。
虽然这只是纤维增强复合材料整个领域、甚至层合板理论的很小一部分，但却是所有的复合材料工程师都应掌握的重要技术。
在下文中，我们将回顾各向同性材料矩阵形式的本构关系，然后直截了当地推广到横观各向同性复合材料层合板。
因为层合板中每一层的取向是任意的，我们随后将说明，如何将每个单层的弹性性能都变换到一个共用的方向上。
最后，令单层的应力与其横截面上的内力和内力偶相对应，从而导出控制整块层合板内力和变形关系的矩阵。
层合板的力学计算最好由计算机来完成。
本文简略介绍了几种算法，这些算法分别适用于弹性层合板、呈现热膨胀效应的层合板和呈现粘弹性响应的层合板。
各向同性线弹性材料如初等材料力学教材（参见罗兰奈斯（Roylance ）所著、1996年出版的教材1）中所述，在直角坐标系中，由平面应力状态（0===yz xz z ττσ）导致的应变为由于泊松效应，在平面应力状态中还有沿轴方向的应变：z )(y x z σσνε+−=，此应变分量在下文中将忽略不计。
在上述关系式中，有三个弹性常量：杨氏模量E 、泊松比ν和切变模量。
但对各向同性材料，只有两个独立的弹性常量，例如，G 可从G E 和ν得到上述应力应变关系可用矩阵记号写成 1 参见本模块末尾所列的参考资料。
方括号内的量称为材料的柔度矩阵，记作S 或。
弄清楚矩阵中各项的物理意义十分重要。
从矩阵乘法的规则可知，中第i 行第列的元素表示第个应力对第i 个应变的影响。
例如，在位置1,2上的元素表示方向的应力对j i S j i S j j y x 方向应变的影响：将E 1乘以y σ即得由y σ引起的方向的应变，再将此值乘以y ν−，得到y σ在x 方向引起的泊松应变。
而矩阵中的零元素则表示法向分量和切向分量之间无耦合，即互不影响。
如果我们想用应变来表示应力，则式（1）可改写为：式中，已用G )1(2ν+E 代替。
该式可进一步简写为：式中，是刚度矩阵。
注意：柔度矩阵S 中1,1元素的倒数即为杨氏模量，但是刚度矩阵中的1,11S D −=D 元素还包括泊松效应、因此并不等于E 。
各向异性材料如木材、或者如图1所示的单向纤维增强复合材料，其典型特征是：沿纤维方向的弹性模量有纹理的材料，1E 将大于沿横向的弹性模量和。
当2E 3E 321E E E ≠≠时，该材料称为其力学性能是各向同性的，即为正交各向异性材料。
不过常见的情况是：在垂直于纤维方向的平面内，可以足够精确地认32E E =，这样的材料称为横观各向同性材料。
这类各向异同性材料的推广：性材料的弹性本构关系必须加以修正，下式就是各向同性弹性体通常的本构方程对横观各向式中，参数12ν是主泊松比，如图1所示，沿方向1的应变将引起沿方向2的应变，后者与前者之比的绝对值就是12ν。
此参数值不象在各向同性材料中那样，限制其必须小于0.5。
反过来，沿方向2的应变将引起沿方向1的应变，后者与前者之比的绝对值就是21ν。
因为方向2（垂直于纤维方向）上的刚度通常远小于方向1，沿方向1的给定应变引起的沿方向2的应变、与沿方向2的同样的给定应变引起的沿方向1的应变相比，前者要比后者大得多。
因此通常2112νν>。
式（4）有211221νν、、、E E 和5个常数，但其中只有4个是独立的。
因为矩阵S 是对称的，可得12G 112221E E νν=。
图1 正交各向异性材料仅当各坐标轴与材料的主方向一致、即各轴分别沿着和垂直于纤维轴线时，才能得到如式(4)那样的简单形式，即法向和切向分量之间的耦合项为零。
如果坐标轴沿其他方向，则柔度矩阵的所有元素都将不为零，材料性能的对称性也将不再显而易见。
例如，若纤维方向偏离载荷方向，则由于纤维总是倾向于沿着载荷方向，材料中将产生切应变。
因而，正应力和切应变之间将有耦合，而这种耦合在各向同性材料中是不会出现的。
坐标轴的变换按材料性能自然形成的坐标轴记作1和2，分别对应沿纤维方向和垂直纤维方向，如图2所示。
能够将实验室常用的x -坐标系和上述坐标系相互变换是十分重要的。
y图2 坐标轴的旋转如初等教材中所述，在直角坐标系中，柯西（Cauchy ）应力的变换规则可写成：式中，θ是从x 轴到1轴（纤维方向）的夹角。
这些关系式可写成矩阵形式式中，θθsin cos ==s c ，。
进一步可简写为式中，A 即式（6）方括号中的变换矩阵。
虽然式（6）给出的A 的特定形式只适用于二维情况（平面应力状态），而且是在直角坐标系内，但式（7）对二维和三维应力状态都适用。
用数学或几何方法可证明，无限小应变分量可按几乎同样的关系式进行变换：剪切分量前的因子1/2源于剪应变的古典定义：古典切应变是张量切应变的两倍。
这给变换关系式带来一些麻烦，引进下式定义的鲁塔（Reuter ）矩阵可减少这种麻烦现在可写成：或至此，我们可从应变和应力的变换规则推导出柔度矩阵的变换规则。
连续的变换过程如下：先将任意x -方向上的应变，变换到1-2方向（材料的主方向）上的应变，进而求出1-2方向上的应力，最后再变换到y x -方向上的应力。
变换矩阵的最后组合建立了y x -方向的应变与y x -方向的应力之间的关系，于是它就是y x -方向上变换后的柔度矩阵： y式中，S 即对x -轴的变换后的柔度矩阵。
y S 的逆矩阵是D ，即对x -轴的刚度矩阵： y_______________________________________________________________________________例1 芳纶纤维-环氧树脂复合材料单层板，其刚度为8.24821221===G E E 、、（单位均为Gpa ），且5.012=ν，轴1与x 轴的夹角为。
在式（11）给出的变换后的柔度矩o30阵S中，求其1,1元素的倒数即得x方向的刚度。
下面说明用Maple符号数学软件时，是如何完成上述过程的（此处作了简化处理）：读取线性代数软件包定义柔度矩阵设定芳纶纤维-环氧树脂的参数值赋值后的柔度矩阵变换矩阵三角函数关系和角度赋值后的变换矩阵鲁塔矩阵变换后的柔度矩阵x方向的刚度注意：该矩阵在舍入误差范围内是对称的，但存在非零的耦合值。
假如使用者未注意到材料的内部结构，就会认为该材料是完全各向异性的。
_______________________________________________________________________________复合材料层合板纤维增强复合材料最常见的形式之一是交错粘合的层合板。
层合板由一系列单向增强的铺层铺叠而成，如图3所示。
在典型情况下，每层是厚约0.2 毫米的薄片，将纤维在其中平行铺设后，再注入未固化的环氧树脂或其他热固性的聚合物基体材料。
每层的纤维取向是任意的，并且铺叠的顺序也是可设定的，目的是使层合板具有所要求的性能。
在本节中，我们将简略介绍如何设计和分析这种层合板。
图3 三层对称层合板“经典的层合板理论”是均匀板弯曲理论的推广，在分析时，除了板的横截面上的弯矩和扭矩外，还允许有作用在板平面内的轴力和剪力；并且每层的刚度可以不同。
在一般情况下，要确定给定位置上的轴力、剪力、弯矩和扭矩，需要求解涉及层合板平衡和位移相容性的总体方程组。
该理论在许多权威教材2中都有论述，这里将不作讨论。
为方便起见，用板单位宽度内的轴力、剪力、弯矩和扭矩将上述这些量标准化，故它们标准化后的单位分别为N/m 和N-m/m(或简单地看作N)。
前两个标准化的内力可组成标准化的内力矢量，记作N ；后两个标准化的内力偶之矩可组成标准化的内力偶矩矢，记作M 。
取出两个方向均为单位宽度的一小块板，坐标x 和就是板所在平面内与板边缘平行的两个方向，坐标通常取向下为正，z 方向的挠度记作，也取向下为正。
先假设作用在板y z w y x 、处标准化的内力矢N 、内力偶之矩矢M 已知，如图4所示：2 参见S.Timoshenko 和S.Woinowsky-Krieger 著，板壳理论（Theory of Plate and Shells ），McGraw-Hill, New York,1959.图4 板弯曲时横截面上的弯矩和扭矩图5 板上一点的位移（引自Powell 著、1983年出版的教材）与欧拉（Eular ）关于梁的假设相类似，板弯曲的克希霍夫（Kirshchoff ）假设认为：初始时垂直于中面（即的平面）的直线，在板变形后仍保持为直线且垂直于变形后的中面，但已绕原中面转过角度0=z AB α。
如图5所示，任意点P 在直线上，欲求该点由转动引起的在AB x 和方向的水平位移u 和v ，可根据转角y α和点P 与中面的距离，作合理的近似，并将转动引起的位移加到中面O 点的位移（、）上，即可得出：z 0u 0v式中，是中面上O 点的垂直位移，0w x w w x ∂∂=0,0，y w w y ∂∂=0,0。
应变矢量是位移的梯度，可用矩阵符号写成式中，下标中的逗号表示对其后的变量求偏导数，若逗号后有两个变量，则表示求二阶偏导 数。
是中面的应变矢量，0εκ是位移的二阶偏导数组成的矢量，称为曲率：式中，分量y x κ是扭曲率，表示中面在x 方向的斜率随的变化率，也就是中面在方向的斜率随y y x 的变化率。
现在由应变来确定x -y 轴方向的应力，这必须考虑到每一层通常有不同的刚度，因为刚度的不仅取决于其材料自身性能，而且取决于其纤维对x -y 轴的取向。
在计算前文所述的变换后的刚度矩阵D （见式（11））时，需计及这一点想前面由式（4）给出的单层。
回板的刚度，是指该特定的板层沿着纤维方向和垂直于纤维方向的刚度。
现在每层板的力学性能必须变换到整个层合板共用的x -y 轴上，而该x -y 轴的方向是任意选择的。
于是在z 轴任何位置处的应力为：式中，D 是欲计算应力处那层板的变换后的刚度矩阵。
每层板上的应力σ之和必须等于单位宽度上的内力N ：式中，是层合板的厚度，h k σ是第层板上的应力，是层合板中面到第层板底部（底部在上、顶部在下）的距离。
由式（16），将应力用中面的应变和曲率来表示：k k zk曲率κ和中面上的应变在的整个积分范围内是常数，变换后的刚度矩阵0εz D 在给定的一层内保持不变。
将这些常数移到积分号外，得：上式积分后，可写成紧凑形式：是“拉伸刚度矩阵”，由下式定义：式中，是耦合刚度矩阵，由下式定义：命名为“拉伸”和“耦合”的依据可从式（20）想到。