2014高考数学一轮复习课件1.1元二次不等式及其解法
1．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的 a＞0， 条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时， 不等式 Δ＜0； ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0 a＜0， 时，b＝0，c＜0；当a≠0时， Δ＜0. 2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数， 一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就 是参数．
解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是 大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两
个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形 式．
解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.
1 【解析】 2x ＋x－1>0的解集为{x|x> 或x<－1}， 2 1 1 2 2 故由x> ⇒2x ＋x－1>0，但2x ＋x－1>0D⇒/x> . 2 2 1 则“x＞ ”是“2x2＋x－1＞0”的充分不必要条件． 2
2
【答案】
A
2．(2013·清远模拟)不等式ax2 ＋4x＋a＞1－2x2 对一切
x∈R恒成立，则实数a的2)x2＋4x＋a－1＞0 对一切x∈R恒成立，则有 a＋2＞0， 解得a＞2. Δ＝16－4（a＋2）（a－1）＜0，
【答案】 (2，＋∞)
课后作业（一）
ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？
【提示】 a>0且b2－4ac<0.
1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集 是( ) 1 A．(－ ，1) B．(1，＋∞) 2 1 C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－ )∪(1，＋∞) 2
【解析】 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0， 1 ∴x＞1或x＜－ . 2 1 故原不等式的解集为(－∞，－ )∪(1，＋∞)． 2 【答案】 D
2
1 1 b －a＝－2＋3 则 2＝（－ 1）×1 2 3 a ∴a＋b＝－14.
a＝－12， 解得 b＝－2，
【答案】
－14
解下列不等式 (1)3＋2x－x2≥0； (2)x2＋3＞2x； 2x (3) ≤1. x－1
【思路点拨】
(1)先把二次项系数化为正数，再用因
式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，
【解】 原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0.
当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为空集； 当a＜1时，原不等式的解集为(a，1)．
已知关于x的不等式x2 ＋ax＋b＜0的解集(－1，2)，
试求关于x的不等式ax2＋x＋b＜0的解集． 【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．
有两相同实根 b 没有实根 x1＝x2＝－ 2a R
{x|x≠x1} ___________
∅
∅ ______
2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0) 的求解过程
3．简单的分式不等式 f（x） f(x)· g(x)＞0 (1) ＞0⇔_______________； g（x） f（x） f(x)· g(x)≤0且g(x)≠0 (2) ≤0⇔________________________． g（x）
x－1 2．不等式 ≤0的解集为( ) 2x＋1 1 1 A．(－ ，1] B．{x|x≥1或x＜－ } 2 2 1 1 C．[－ ，1] D．{x|x≥1或x≤－ } 2 2
【解析】 原不等式等价于 (x－1)(2x＋1)＜0或x－1＝0. 1 ∴原不等式的解集为(－ ，1]． 2
【答案】
A
3．(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在
① ② 由①得x≥0或x≤－2； 由②得－3≤x≤1. 故得所求不等式的解集为{x|－3≤x≤－2或0≤x≤1}.
求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 【思路点拨】 先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的
大小，确定不等式的解集．
【尝试解答】 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， a a 得：x1＝－ ，x2＝ . 4 3 a a a a ①a＞0时，－ ＜ ，解集为{x|x＜－ 或x＞ }； 4 3 4 3
(2)－1≤x2＋2x－1≤2；
【解】 (1)∵－2x2－5x＋3＞0，∴2x2＋5x－3＜0， ∴(2x－1)(x＋3)＜0， 1 ∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜ }． 2 (2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组 x2＋2x－1≥－1， 2 x ＋2x－1≤2，
x2＋2x≥0， 即 2 x ＋2x－3≤0.
3 2x＋y 2 5 ≥(2x＋y) － ·( ) ＝ (2x＋y)2， 2 2 8 8 2 ∴(2x＋y) ≤ ， 5 8 8 ∴－ ≤2x＋y≤ ， 5 5 2 10 2 10 即－ ≤2x＋y≤ . 5 5
2
【答案】
2 10 5
易错提示：(1)换元后，不会从关于x的一元二次方程有
实数解入手解决问题，致使思维受阻．
善于联想：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点， (2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，运用好“三个二次”间的 关系．
1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的
解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．
2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解， 再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别 式进行分类讨论，分类要不重不漏． 3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
对任意a∈[－1，1]不等式x2 ＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成 立，则实数x的取值范围是________．
【解析】 设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则原问题可 转化为一次函数(或常数函数)f(a)在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件， f（－1）＞0， 故应有 f（1）＞0. x2－5x＋6＞0， 即 2 x －3x＋2＞0，
【尝试解答】 由于x2＋ax＋b＜0的解集是(－1，2)， 1－a＋b＝0， a＝－1， 所以 解得 4＋2a＋b＝0， b＝－2. 2 故不等式即为－x ＋x－2＜0， －1＜0， ∵ Δ＝1－8＝－7＜0 ∴不等式ax2＋x＋b＜0的解集为R.
(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的 符号和相应一元二次方程的两根． (2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程 的思想方法．
从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含 参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次 不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、 导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能
力、推理论证能力及转化与化归的思想．
思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值
(2011·浙江高考)设x，y为实数，若4x2 ＋y2 ＋xy＝ 1，则2x＋y的最大值是________．
1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不
等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数
的图象来记忆求解． 2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正 数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判 别式法；(3)写出不等式的解集．
解下列不等式： (1)－2x2－5x＋3＞0；
若关于x的不等式 实数a的取值范围．
ax ＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求 x－1
（a－1）x＋1 ax 【解】 ＜1⇔ ＜0⇔[(a－1)x＋1](x x－1 x－1 －1)＜0，由原不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}， a－1＜0， 1 知 1 ⇒a＝ . 2 －a－1＝2 1 ∴实数a的取值范围是{ }． 2
(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题 时无从下手，盲目作答． 防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之 间的关系，关于x的一元二次不等式有实根的充要条件是其 对应的判别式非负． (2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，
化已知为未知或化未知为已知．
1 1．(2012· 天津高考)设x∈R，则“x> ”是“2x2＋x－ 2 1>0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
转化为一元二次不等式求解．
【尝试解答】 (1)原不等式化为x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0， 故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式化为x2－2x＋3＞0， ∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x2＋3＞2x的解集为R. x＋1 2x 2x (3)∵ ≤1⇔ －1≤0⇔ ≤0 x－1 x－1 x－1 ⇔(x－1)(x＋1)≤0且x≠1. ∴原不等式的解集为[－1，1)．
（x－2）（x－3）＞0， 化为 （x－1）（x－2）＞0.
解之，得x＜1或x＞3.
【答案】
x＜1或x＞3
解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数 的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写 出不等式的解集)．
不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的求解，
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； a a a a ③a＜0时，－ ＞ ，解集为{x|x＜ 或x＞－ }． 4 3 3 4 a 综上所述：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜－ 或x＞ 4 a }； 3 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； a a 当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜ 或x＞－ }． 3 4
高考数学第一轮复习 第六篇 第2讲 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版
规律方法
第八页，共22页。
用不等式(组)表示(biǎoshì)不
考
等关系题
点
【训练 1】(2013·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数．当 x＞0
时，f(x)＝x2－4x，则不等式 f(x)＞x 的解集用区间表示为________．
解 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又当 x＜0 时，－x＞0，
第七页，共22页。
一元(yī yuán)二次不等式的解法
考 点
接上 f(x)＝－x2＋2x＋3 ∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3， 由－4x2－4x＋3＜0， 得 4x2＋4x－3＞0， 解得 x＞12或 x＜－32，故选 A.
f(x)=4x2＋4x－3
解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再 根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后(ránhòu)结合相应 二次函数的图象写出不等式的解集．
①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，
2
② ③解解 当当得得aa＜＞xx≥0≤0 时2a时－或，，1x.原原≤不不－等等1.式式化化为为xx－－2a2a((xx＋＋11)≤)≥00. ，
a
当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤a2；
当2a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意；
小关系，从而确定解集形式．
规律方法
第十一页，共22页。
训练 2 (1)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且
x2－x1＝15，则 a 等于(
)．A.52
7 B.2
15 C. 4
15 D. 2
法一∵不等式 x2－2ax－8a2＜0 的解集为(x1，x2)，
高考数学一轮复习课件——第2节 一元二次不等式及其解法
所以α∈[0, π ]∪[ 5π ,π].
6
6
答案:(2)[0, π ]∪[ 5π ,π]
6
6
︱高中总复习︱一轮·理数
反思归纳 x∈R,f(x)>a恒成立⇔[f(x)]min>a. x∈R,f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a. x∈R,f(x)<a恒成立⇔[f(x)]max<a. x∈R,f(x)≤a恒成立⇔[f(x)]max≤a.
︱高中总复习︱一轮·理数
【跟踪训练3】 (1)(2018·吕梁月考)若函数f(x)=(a2+4a- 5)x2-4(a-1)x+3 的图象恒在x轴上方,则a的取值范围是( ) (A)[1,19] (B)(1,19) (C)[1,19) (D)(1,19]
解析:(1)函数图象恒在 x 轴上方,即不等式(a2+4a-5)x2- 4(a-1)x+3>0 对于一切 x∈R
2 () (A){x|x<-1或x>-lg 2} (B){x|-1<x<-lg 2} (C){x|x>-lg 2} (D){x|x<-lg 2}
︱高中总复习︱一轮·理数
解析:因为 f(x)<0 的解集为 x<-1 或 x> 1 , 2
所以 f(x)>0 的解集为-1<x< 1 , 2
由 f(10x)>0,得-1<10x< 1 , 2
a
a
综上所述 a=0 时,不等式解集为{x|x>1};
0<a<1 时,不等式解集为{x|1<x< 1 }; a
a>1 时,不等式解集为{x| 1 <x<1}; a
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 一元二次不等式及其解法
解得0<x< 1 . 3
0
x
1,
12. (2009·南京模拟)已知不等式ax2 - 3x 6 4 的解集为{x|x<1或x>b}.
学后反思 解不等式应用题，可分以下几步思考： （1）认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系; （2）引进数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化; （3）求解不等式; （4）还原实际问题.
举一反三
4.已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及 汽车总重量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50 km/h行驶时,从刹车 到停车走了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5 m以外处停车,最大限制时速应是多 少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s)?
解（1）∵x∈R时，有 x2 ax 3- a 0恒成立，
则 a2 - 4(3 - a) 0,
即 a2 4a -12 0,-6 a 2.
(2)方法一：当x∈[-2,2]时，gx x2 ax 3 - a 0 ,分如下三种
情况讨论：
图1
图2
图3
①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有 a2 - 4(3 - a) 0 ,即-6≤a≤2.
x2
的解集为B，若
A
,B则实数a的取值范围是.
解析: ∵A={x|2<x≤3},B={x|x>a},又 A,∴a≤B2.
x2 1 x a 0
答案: (-∞,2］
11. 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万 元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度 增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地 提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润y=（出 厂价-投入成本）×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在 什么范围内?
2014届高考数学知识点总复习教案一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )．A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 B2．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )．A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba . ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3. 答案 B4．(2013·莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎨⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)6．在实数集上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－x 2＋x ＋a 2－a .故－x 2＋x ＋a 2－a <1对任意x ∈R 都成立．即－x 2＋x <－a 2＋a ＋1对任意x ∈R 都成立．而－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，只需－a 2＋a ＋1>14即可，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(共25分)7．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.8．(13分)(2013·淮南质检)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )．(1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围． 解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m ，x 1·x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ， ∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C2．(2012·南通期末)若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1的解集为( )．A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,2)D ．(－3,2)解析 若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立， 则Δ＝4a 2－4a <0，所以0<a <1.又a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1，则2t ＋1>t 2＋2t －3>0，即⎩⎨⎧2t ＋1>t 2＋2t －3，t 2＋2t －3>0，所以1<t <2. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·大同一模)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________． 解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32 三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎨⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 6．(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。
2014届高考数学一轮复习 1.2 含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法配套课件 理 人教版
解绝对值不等式关键是正确去掉绝对值符号，转化为一般 不等式求解，去绝对值常用的方法是定义法和平方法．
例1 解不等式：(1)3<|2x－3|<5； (2)|x－1|＋|x＋2|<5. 【思路分析】 对于第(1)题，可从以下角度考虑：由于原不
等式等价于|2x－3|>3且|2x－3|<5，因此可先分别解出两个绝
考向瞭望把脉高考Biblioteka 命题预测 绝对值不等式与一元二次不等式是高中数学的基本内容，是
高考命题的重点．试题的命制常以这两类不等式为载体，既
考查不等式的解法，又考查对集合概念和运算的熟练掌握程 度.2012年高考中，绝大多数省份试题以选择题、填空题形 式出现，少数省份的高考题以解答题的某一步出现．
如2012年重庆卷，考查的分式不等式的解法，山东卷、上海 卷、广东卷考查的绝对值不等式的解法． 预测2014年的高考题对绝对值不等式和一元二次不等式仍坚 持如上述内容的考查．特别是一元二次不等式的解法、分式 不等式的解法要熟练掌握．
2．一元二次不等式的解集
判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 x1,2＝ b 一元二次方程 ax2 2 － －b± b －4ac 2a ＋bx＋c＝0(a>0)的 x1＝x2＝______ 2a 根 (x1<x2) b xx≠－ ， 2 ax ＋bx＋c>0(a>0) {x|x>x2 或 2a 的解集 x<x1} 且x∈R ax2＋bx＋c<0(a>0) {x|x1<x<x2} 的解集
法二：不等式|x－1|＋|x＋2|<5 的几何意义为数轴上到－2，1 两 个点的距离之和小于 5 的点组成的集合， 而－2,1 两个端点之间 的距离为 3， 由于分布在－2,1 以外的点到－2,1 的距离要计算两 次，而在－2,1 内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2 左 5－3 边到－2 的距离等于 ＝1 的点－3，以及 1 右边到 1 的距离 2 5－3 等于 ＝1 的点 2，则原不等式的解集为{x|－3<x<2}． 2
高中数学一轮复习 一元二次不等式及其解法
(Ⅱ)若 ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．
Байду номын сангаас解：(Ⅰ)依题意知，－3，2 是方程 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的两
－3＋2＝－b－a 8，
根，且 a<0，则
所以 －3×2＝－aa－ab，
a＝－3，b＝5，则
f(x)＝－
1－ k1－k2}；
当 k＝－1 时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当 k＜－1 时，不等式的解集为 R．
点 拨： 解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化 为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据 一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写
出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数
－2152，所以实数 c 的取值范围为－∞，－2152．
点 拨： 三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至
少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以 间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居 核心地位．
(1) 已 知 不 等 式 ax2 － 3x ＋ 6>4 的 解 集 为
＋2＞0 的解集为 R．
(2)若关于 x 的不等式 ax2－x＋2a<0 的解集为∅，则
实数 a 的取值范围是________．
解：依题意知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成立， 当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立； 当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立，
需aΔ>≤0，0，即1a－>08，a2≤0，解得 a≥ 42，即 a 的取值
{x|x1＜x＜x2}
有两相等实根 x1＝x2＝ －2ba
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第34讲 一元二次不等式及其解法(50张PPT)
②若 a＝12，则不等式为(x－2)2<0，不等式的解集为∅；
③若 a>12，则1a<2，此时不等式的解集为1a，2.
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第34讲 一元二次不等式及其解法
(2)当 a＝0 时，不等式为－x＋2<0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．
点
(3)当 a<0 时，不等式可化为x－1a(x－2)>0.
面
（x－a）（x－b）≥0，
xx－ －ab≥0 等价于_x_－___b_≠__0_____________；
xx－ －ab≤0 等价于（x－x－b≠a）0. （x－b）≤0，
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第34讲 一元二次不等式及其解法
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1 ． [ 教 材 改 编 ] 不 等 式 － x2 － x ＋ 2≥0 的 解 集 是
础 间的函数关系式为 y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，
若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不
小于总成本)时的最低产量是________台．
[答案] 150
[解析] 根据题意，得 3000＋20x－0.1x2≤25x，移项 整理，得 x2＋50x－30 000≥0，解得 x≤－200(舍去)或 x ≥150.因为 x∈N，则生产者不亏本时的最低产量是 150 台．
即 0<|x|<2，解得－2<x<0 或 0<x<2，故所求的不等式的解
点 集是(－2，0)∪(0，2)．
面 讲 考
(2)x－1x<0⇒x2－x 1<0⇒x<－1 或 0<x<1；x2－1x>0⇒x<0
一元二次不等式及其解法 课件
[解析] (1)由已知得， ax2＋bx＋2＝0 的解为－12，13，且 a<0.
∴2a－＝ba＝ －－1212×＋1313，， ∴a＋b＝－14. [答案] D
解得ab＝ ＝－ －12，2，
(2)解：因为 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13
，所以
x1
＝－12与 x2＝13是方程 x2＋px＋q＝0 的两个实数根，
一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式 我们把只含有 一个未知数，并且未知数的 最高次数是2的不 等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋ bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x的值 ，叫做这个一元二次不等 式的 解 ，其解的 集合 ，称为这个一元二次不等式的 解集 ．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的 解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的 解集
有两相异实
根x1，x2(x1 ＜x2) x|x<x1 或x>x2}
由根与系数的关系得1313×－12－＝12－＝p，q，
解得p＝16， q＝－16 .
所以不等式 qx2＋px＋1＞0 即为－16x2＋16x＋1＞0，整理得 x2 －x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集为{x|－2＜x＜3}．
【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 第七章 一元二次不等式及其解法课件 新人教A版
一元二次不等式及其解法
[高考调研
考纲解读 •会从实际情境中抽象出一元 二次不等式模型． •通过函数图象了解一元二次 不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系． •会解一元二次不等式，对给 定的一元二次不等式，会设 计求解的程序框图.
明确考向]
考情分析 •一元二次不等式的解法及三 个二次间关系问题是命题热 点． •考查题型多为客观题，有时 会在解答中出现交汇命题， 着重考查二次不等式的解 法，属中、低档题.
方法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋ 2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， Δ＞0， 2 即Δ＝4a －4(2－a)≤0或a＜－1， g－1≥0. 解得－3≤a≤1. 所求a的取值范围是[－3,1]．
思想方法(九) 如何求解不等式恒成立问题 [试题] (2013· 杭州调研)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x ) 5 C．－ 2 D．－3
知识梳理 一元二次不等式的解法
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0 有两不等实根
Δ＝0 有两相等实根 x1＝x2
Δ＜0
方程ax ＋bx＋c＝0
2
x1和x2，且x1＜ x2
无实根
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0) 的图像
1 {x|x＜x1，或x＞x2} 答案： □ 4 {x|x1＜x＜x2} □ 5 ∅ □ 6 ∅ □
0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不 等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大 于取两边，小于夹中间”求解集．
●两个防范 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的 解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况； (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再 对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式 进行分类讨论，分类要不重不漏.
一元二次不等式的解法和技巧
一元二次不等式的解法和技巧大家好，今天咱们聊聊一元二次不等式的解法。
别担心，我会把它讲得简单明了，让你不至于觉得像看天书一样。
话不多说，咱们直接进入正题。
1. 一元二次不等式的基本概念1.1 什么是“一元二次不等式”？简单来说，一元二次不等式就是这样的：它的形状像个大写的“U”，我们通常看到的格式是“ax² + bx + c < 0”（或者“> 0”、“≤ 0”、“≥ 0”）。
这里的a、b、c都是数字，而x是未知数。
听起来有点复杂，但别急，慢慢来，我们一步一步搞定它。
1.2 为什么要解一元二次不等式？解这些不等式的目的，就是找出使得不等式成立的x的值。
说白了，就是找出符合条件的x的范围。
比如，咱们想知道在什么情况下，一辆车的速度会低于60公里每小时。
这些条件就可以通过解不等式来找出。
2. 解一元二次不等式的步骤2.1 先把不等式转化为标准形式首先，要把一元二次不等式的两边整理得干干净净。
比如，给你一个不等式“x² 4x 5 < 0”，你要确保它的右边是0。
这就像整理房间，把东西都摆放整齐一样。
把它整理成“x² 4x 5 < 0”这个标准形式。
2.2 求出对应的方程的根接下来，我们要找出与这个不等式相关的方程的根。
也就是把它变成一个等式：“x² 4x 5 = 0”。
要找出x的值，可以使用因式分解法或者求根公式。
这就像是解一个谜题，找出那些关键的线索。
因式分解法：如果一元二次方程比较简单，可以尝试因式分解。
比如，“x² 4x 5”可以分解成“(x 5)(x + 1) = 0”，所以它的根是x = 5和x = 1。
求根公式：对于复杂一点的方程，我们可以用求根公式。
公式是这样的：“x = [b ± √(b² 4ac)] / 2a”。
记得要代入方程中的a、b、c值，解出x的值。
2.3 确定不等式的解集有了方程的根之后，我们就得确定不等式的解集。