浙江省杭州市三校联考八年级(上)期中数学试卷
浙江省杭州市八年级上学期数学期中考试试卷
浙江省杭州市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019八上·永定月考) 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A . 4，5，9B . 5，5，11C . 1，2，3D . 5，6，103. （2分）已知a1 ， a2 ，…a2002均为正数，且满足M=（a1+a2+…+a2001）（a2+a3+…+a2001-a2002），N=（a1+a2+…+a2001-a2002）（a2+a3+…+a2001），则M与N之间的关系是（）A . M＞NB . M＝NC . M＜ND . 无法确定4. （2分） (2020九上·浦东月考) 下列说法中不正确的是（）A . 如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似B . 如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等C . 如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似D . 如果两个三角形相似，那么它们一定能互相重合5. （2分） (2019八上·富顺月考) 下列运算正确的是（）．A .B .C .D .6. （2分） (2017八上·南宁期中) 在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的度数是：（）A . 40°B . 60°C . 80°D . 100°7. （2分） (2019八上·德城期中) 如图，点D、E是等边△ABC的边BC、AC上的点，且CD＝AE ， AD、BE 相交于P点，BQ⊥AD于Q ，已知PE＝1，PQ＝2.5，则AD等于（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分） (2020七上·景德镇期末) 已知，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若∠BAD=25°，则∠C的度数为（）A . 25°B . 55°C . 65°D . 50°10. （2分） (2019八下·灌云月考) 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若点A、D、E在同一直线上，∠ACB=n°，则∠ADC的度数是（）A . （m﹣n）°B . （90+n－ m）°C . （90－ n+m）°D . （180﹣2n﹣m）°二、填空题 (共6题；共9分)11. （1分） (2016七下·砚山期中) （﹣0.25）100×4101=________．12. （1分） (2016七上·大同期末) 若一个角的余角比它的补角的还多1°，则这个角的大小是________．13. （2分） (2020七上·大丰月考) 计算：111﹣112+113﹣114+115﹣116+…+2019﹣2020＝________.14. （2分） (2019九上·天河月考) 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为________．15. （2分）(2017·河东模拟) 如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF= AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有________条．16. （1分） (2017八下·无棣期末) 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3 ．若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，则Rt△ABC的面积为________．三、解答题 (共10题；共89分)17. （5分）(2019·河南模拟) 先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+（2x﹣1）2﹣x（3x﹣4），其中x＝ .18. （5分） (2020八上·沧州月考) 如图，△ABC中，∠B=∠C，∠A=42°，BD=CE，CD=BF，求∠EDF的度数．19. （6分） (2018八上·东台月考) 如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE.（1）求证：△AOD≌△DOC；（2）求∠AEO的度数.20. （7分）(2019·黔南模拟) 如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．（1）画出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′；（2）直线m上存在一点P，使△APB的周长最小；①在直线m上作出该点P；（保留画图痕迹）②求△APB的周长的最小值为．（直接写出结果）21. （10分） (2018八上·常州期中) 如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为1m；（2）求这棵树高有多少米？22. （6分） (2017七上·深圳期中) 观察下列等式：第1个等式： a1==×(1−) ；第2个等式： a2==×(−) ；第3个等式： a3==×(−) ；第4个等式： a4==×(−) ；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第6个等式： a6=________=________.（2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式： an=________=________.( 为正整数)；（3）求 a1+a2+a3+...+a100 的值.23. （10分） (2019八上·南平期中) 在中，，点为射线上一个动点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接．（1）如图①，若，则按边分类：是________三角形，并证明；（2）若．①如图②，当点在线段上移动时，判断的形状并证明；②当点在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．24. （10分）(2018·无锡模拟) 如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EF D被 AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．25. （15分） (2020八上·莱西期末) 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM（如图1）．（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立．请说明理由．26. （15分） (2020九上·杭州期中) 如图，平分于为线段上一动点.（1）求；（2）当P到的距离为，到的距离为时，求的长；（3）当P运动至延长线上时，连结，求证：参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共9分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共10题；共89分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、答案：24-3、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、考点：解析：答案：26-1、答案：26-2、考点：解析：。
浙江省杭州市 八年级(上)期中数学试卷(含答案)
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，是轴对称图形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 15或184.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A. SSSB. ASAC. SSAD. HL5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A. a−1<b−1B. a3>b3C. −a<−bD. ac<bc6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 87.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（）A. P为∠A、∠B两角平分线的交点B. P为AC、AB两边上的高的交点C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A. ①②④B. ①②③C. ②③D. ①③9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 510.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A. 23B. 10C. 22D. 6二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.不等式组x＞−1x＜m有3个整数解，则m的取值范围是______ ．15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解不等式1−7x−18＞3x−24，并把它的解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？21.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．22. 阅读下列材料：解答“已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法：解：∵x -y =2，x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞-1，又y ＜0，∴-1＜y ＜0．…①同理得：1＜x ＜2．…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2．请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组 x +2y =5a −82x−y =−1的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a -b =1，求a +b 的取值范围；（3）已知a -b =m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示）23. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求△ABP 的周长．（2）问t 满足什么条件时，△BCP 为直角三角形？（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，若P 、Q 两点同时出发，当P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ把△ABC 的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．故选B．判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题；D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C．根据命题的定义作答．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于仸何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．3.【答案】B【解析】解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选B．由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．5.【答案】A【解析】解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；D、c的值不确定，故D选项是错误的．故选A．根据不等式的性质分析判断．主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.【答案】B【解析】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“仸何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C【解析】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．8.【答案】B【解析】解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AEF中，，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．故正确的结论为①②③．故选B．根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．9.【答案】A【解析】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．10.【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．11.【答案】80°或50°【解析】解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故填50°或80°等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．12.【答案】相等的角是对顶角【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】2＜m≤3【解析】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3．首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.【答案】9【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16.【答案】2【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），去括号得，8-7x+1＞6x-4，移项得，-7x-6x＞-4-8-1，合并同类项得，-13x＞-13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【解析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°-37°=16°．【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D 点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．19.【答案】①证明：在△ABE 和△CBD 中，AB =CB∠ABC =∠CBD =90°BE =BD，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；②解：∵在△ABC 中，AB =CB ，∠ABC =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，由①得：△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB =∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB =∠ACB +∠CAE =30°+45°=75°，则∠BDC =75°．【解析】①利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得： 50x +20y =88060x +30y =1080，解得 y =4x =16．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m -4）件，由题意得：16m +4(2m −4)≤296m +2m−4≥32，解得：12≤m ≤13，∵m 是整数，∴m =12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m =12，2m -4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，∴∠CBQ=∠ABP，在△ABP和△CBQ中，AB=CB∠ABP=∠CBQ，BP=BQ∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ；（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，PB=PQ=4，PA=QC=3，∵PQ2+CQ2=PC2，∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP ≌△CBQ 是解题的关键．22.【答案】解：（1）解方程组 x +2y =5a −82x−y =−1得：y =2a −3x =a−2， ∴ 2a −3≥0a−2≥0，解得：a ≥2； （2）由2a -b =1，a ≥2，可得：1+b 2≥2，解得：b ≥3，∴a +b ≥5；（3）由a -b =m ，a ≥2，可得m +b ≥2，∴b ≥2-m ，∴2-m ≤b ≤1，同理可得：2≤a ≤1+m ，∴6-m ≤2a +b ≤3+2m ，∴最大值为3+2m ．【解析】（1）先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据x 、y 的取值范围得到关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求a+b 的取值范围；（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求2a+b 的取值范围，即可得到最大值．本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．23.【答案】解：（1）∵∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ， ∴AC =4cm ，动点P 从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则CP =2cm ，∵∠C =90°，∴PB = 22+32= 13cm ，∴△ABP 的周长为：AP +PB +AB =2+5+ 13=7+ 13（cm ）；（2）∵AC =4，动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，∴0＜t ≤4，当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，∵12×AB ×CP =12×AC ×BC ，∴1 2×5×CP=12×3×4，解得：CP=125cm，∴AP= AC2−CP2=165cm，∴AC+AP=365cm，∵速度为每秒1cm，∴t=365，综上所述：当0＜t≤4或t=365，△BCP为直角三角形；（3）当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t-3=3，∴t=2；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t-4+2t-8=6，∴t=6，∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【解析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P 点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．。
浙江省杭州市萧山区钱江片2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州市萧山区钱江片八年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分。
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1．（3分）下列长度的三段钢条，不能组成一个三角形框架的是（单位：cm）（ ）A．2，3，4B．3，7，7C．2，2，6D．5，6，72．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．等腰三角形的对称轴是底边上的高线C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线D．同位角相等4．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝70°，则∠C等于（ ）A．20°B．40°C．70°D．110°5．（3分）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）A．∠A＝30°B．∠B+∠C＝120°C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2D．AB：AC：BC＝2：3：46．（3分）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）A．13B．13或C．D．12或137．（3分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后（ ）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90°D．∠BCA＝∠DCA 8．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，交CD于点E，BC＝5，则△BCE 的面积等于（ ）A．10B．7C．5D．49．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，AC长为半径画弧，再分别以点C，D为圆心，两弧交于点E，作射线AE交BC边于点F，若BC＝6，则PF的取值范围是（ ）A．2≤PF≤3B．1≤PF≤2C．2≤PF≤4D．3≤PF≤5 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，交AC于点F，过点G作GD⊥AC于D；②∠BGC＝90°+∠A；④设GD＝m，AE+AF＝n△AEF＝mn．其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）命题“对顶角相等”的逆命题是 ．12．（4分）已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为 ．13．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，EF垂直平分BC，则△ABP周长的最小值是 ．14．（4分）如图，已知∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，则OD ＝ ．15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E，点F分别是AC，EF＝3．则AC 的长为 ．16．（4分）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，则AE＝ ．三、全面答一答（本大题有7个小题，共66分）17．（6分）如图，CD是△ABC的AB边上的中线，，求证：△ABC是直角三角形．将下面证明的过程补充完整．证明：∵CD是AB边上的中线（已知），∴AD＝BD＝ （ ）．∵，∴CD＝AD．∴∠A＝∠ （ ），同理，∠B＝∠BCD，∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°（ ），∴∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝×180°＝90°，∴△ABC是直角三角形（ ）．18．（8分）如图，∠AOB＝90°且OB＝6．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：①点P到O，B两点的距离相等；②点P到∠AOB的两边的距离相等；（2）在（1）作出点P后，写出OP的长．19．（8分）如图：在△ABC中，AB＝AD＝CD．（1）若∠C＝36°，求∠B的度数；（2）若∠BAD＝x°，∠C＝y°，求x和y的数量关系（用x的代数式表示y）．20．（10分）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝6（cm），以1（cm/s）的速度沿BC向点C 运动（s）：（1）经过t秒后，CP＝ 厘米；（2）当△ABP≌△DCP时，此时t＝ 秒；（3）在（2）的条件下，当∠APD＝90°时21．（10分）在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EG⊥AG交AC的延长线于点G．求证：（1）EF＝EG；（2）AB﹣AC＝2BF．22．（12分）如图是某市工业开发区设计图纸的局部平面图，直线AB是一条河流，河旁边建有一个工厂P，E在直线AB上，O是工厂P的进水口．E是污水净化后的出水口，现计划在河旁边再建一座工厂Q，设计要求是：工厂Q也从点O处引水，OQ＝OP，污水净化后的排污出口为AB上的点F处（1）请根据设计要求把图形补充完整；（2）已知QF＝350米，PE＝150米，求两个排污口E、F之间距离（不计河的宽度）．23．（12分）如图一，△ABC中，D是BC的中点，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF，连接EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）如图二，当∠A＝90°时，猜想BE，EF的数量关系，并说明理由；（3）如图三，在（2）的条件下，当AB＝AC时2023-2024学年浙江省杭州市萧山区钱江片八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分。
浙江省杭州市三校联考八年级(上)期中数学试卷
八年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（）A. 1.5，2，3B. 5，12，13C. 7，24，25D. 8，15，173.能说明命题“对于任何实数a，|a|＞-a”是假命题的一个反例可以是（）A. a=−2B. a=13C. a=1D. a=24.如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A. 360∘B. 260∘C. 180∘D. 140∘5.已知等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（）A. 8cmB. 2cm或8cmC. 5cmD. 8cm或5cm6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A. 44∘B. 60∘C. 67∘D. 77∘7.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A. 5B. 6C. 4D. 4.88.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（）A. 24∘B. 30∘C. 32∘D. 36∘9.如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC=8，BE=2．则AB2-AC2的值为（）A. 4B. 6C. 10D. 1610.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A. 10+180B. 10+200C. 10+160D. 24二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是______．12.Rt△ABC中，斜边BC=3，则AB2+BC2+CA2的值为______．13.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______．14.如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE=4，AE=6，则BE的长度是______．15.平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图，若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为______．16.小华是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A，B，D在同一直线上，EF∥AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=22．则BD=______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．18.请你用直尺和圆规作图（要求：不必写作法，但要保留作图痕迹）．已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PM＝PN．19.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△CBE．20.如图①是一个直角三角形纸片，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求DC的长．21.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC的度数．22.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证AE=AF．（2）若AB+AC=16，S△ABC=24，∠EDF=120°，求AD的长．23.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE=AF，∠EAF=90°．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB=45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】A【解析】解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、152+82=172，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3.【答案】A【解析】解：说明命题“对于任何实数a，|a|＞-a”是假命题的一个反例可以是a=-2，故选：A．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵∠1，∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=80°+180°=260°．故选B.5.【答案】D【解析】解：分为两种情况：当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，∵△ABC与△A′B′C′全等，∴△A′B′C′的腰长也是5cm；当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，∵△A′B′C′与△ABC全等，∴△A′B′C′的腰长也等于8cm，即△A′B′C′的腰长为8cm或5cm，故选：D．D点拨：因为BC是腰是底不确定，因而有两种可能，当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，因为△A′B′C′与△ABC全等，所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况：8cm或5cm．本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质的应用，用了分类讨论思想．6.【答案】C【解析】解：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°-∠A=68°，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，∴∠ADE=∠CED-∠A=46°，∴∠BDC==67°．故选：C．由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．7.【答案】D【解析】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选：D．根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=（180°-60°-24°）=32°．故选：C．由EF是BC的垂直平分线，得到BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABD=∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论．本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，∴AE=AC，DE=CD，AD⊥BC，∴AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，∴AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=（BD+CD）（BD-CD）=BC•BE，∵BC=8，BE=2，∴AB2-AC2=8×2=16．故选：D．根据折叠的性质得到AE=AC，DE=CD，AD⊥BC，由勾股定理得到AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，两式相减，通过整式的化简即可得到结论．本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：根据题意得：c2=a2+b2=100，4×ab=100-20=80，即2ab=80，则（a+b）2=a2+2ab+b2=100+80=180，∴每个直角三角形的周长为10+=10+6，故选：A．根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．11.【答案】18°【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°-72°=18°．故答案为：18°．根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．12.【答案】18【解析】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，BC=3，∴AB2+AC2=BC2=9，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×9=18．故答案为：18．利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值即可．本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．13.【答案】两个角相等三角形是等腰三角形【解析】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．14.【答案】27【解析】解：∵BE⊥AC，D为AB中点，∴AB=2DE=2×4=8，在Rt△ABE中，BE==2，故答案为：2．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质与定理是解题的关键．15.【答案】130°【解析】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，∴∠BCA=∠ECD，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠BCA+∠ECD=100°，∴∠BCA=∠ECD=50°，∵∠ACE=55°，∴∠ACD=105°∴∠A+∠D=75°，∴∠B+∠D=75°，∵∠BCD=155°，∴∠BPD=360°-75°-155°=130°，故答案为：130°．易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．16.【答案】32-6【解析】解：过点F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=2，∴EF=4，∴DF=，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=，∴MD=，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=，∴BD=DM-BM=3-．故答案为：3-．过点F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半和平行线的性质以及等腰直角三角形的性质即可求出BD的长．本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是作垂直构造直角三角形，利用勾股定理求出DM的长．17.【答案】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-50°=100°．【解析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．此题主要考查了角平分线的性质以及高线的性质和三角形内角和定理，根据已知得出∠B的度数是解题关键．18.【答案】解：如图，点P为所作．【解析】作∠AOB的平分线和MN的垂直平分线，它们的交点为满足条件的P点．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质．19.【答案】证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE于D，∴∠CEB=∠ADC=90°，∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=90°，∠CAD+∠ACD=180°-90°=90°，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，∠BCE=∠CAD∠CEB=∠ADC=90°AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）．【解析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，根据同角的余角相等推出∠BCE=∠CAD，然后利用“角角边”证明即可．本题考查了全等三角形的判定，证明得到∠BCE=∠CAD是解题的关键．20.【答案】解：∵∠C=Rt∠，AB=13cm，BC=5cm，∴AC=AB2−BC2=12cm，∵折叠点C落在斜边上的点C′处，∴BC′=BC=5，DC′=DC，∴AC′=AB-BC′=13-5=8cm，设DC=x，则AD=AC-DC=12-x，DC′=x，在Rt△AC′D中，根据勾股定理得，AC′2+DC′2=AD2，即82+x2=（12-x）2，∴x=103∴DC的长为103【解析】利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得BC′=BC，DC′=DC，设DC=x，表示出AD，然后利用勾股定理列方程求解即可．本题考查了翻折变换，勾股定理，翻折前后对应线段相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．21.【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC=12（180°-∠BAC）=12（180°-45°）=67.5°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∴BF=EF，∴∠BEF=∠CBE=22.5°，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．【解析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB=AC，AF⊥BC，可知BF=CF，BF=EF，再根据三角形外角的性质即可得出结论．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．22.【答案】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED=∠AFD=90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE=AF．（2）解：∵△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∴S△ABC=12•AB•DE+12•AC•DF=12•DE（AB+AC）=24，∵AB+AC=16，∴DE=3，∵∠ADE=∠ADF=60°，∴∠DAE=30°，∴AD=2DE=6．【解析】（1）只要证明△ADE≌△ADF即可．（2）利用面积法求出DE的值，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90°，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90°∴∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF∴△ABE≌△ACF（SAS）（2）∵∠BAC=90°∴∠ABE+∠BDA=90°，由（1）得△ABE≌△ACF∴∠ABE=∠ACF∴∠BDA+∠ACF=90°又∵∠BDA=∠CDF∴∠CDF+∠ACF=90°∴∠BFC=90°∴CF⊥BD（3）∠AFB=45°不变化，理由如下：过点A作AF的垂线交BM于点E∵CF⊥BD∴∠BAC=90°∴∠ABD+∠BDA=90°同理∠ACF+∠CDF=90°∵∠CDF=∠ADB∴∠ABD=∠ACF同（1）理得∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABD=∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AE=AF∴△AEF是等腰直角三角形∴∠AFB=45°．【解析】（1）根据SAS证明△ABE≌△ACF即可；（2）根据全等三角形的性质和垂直的判定解答即可；（3）根据全等三角形的判定和性质解答即可．本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．。
2021-2022学年八年级数学上学期期中模拟测试卷(浙江杭州卷)(解析版)
2021-2022学年八年级数学上学期期中模拟测试卷（浙江杭州卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）1．下面四个图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意．答案：D．2．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD解：A、当∠B＝∠C时，利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD；B、当AE＝AD时，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；C、当BD＝CE时，得到AD＝AE，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；D、当BE＝CD时，不能判定△ABE≌△ACD；答案：D．3．等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．11cm B．13cm C．11cm或13cm D．不确定解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、5cm，能组成三角形，周长＝3+3+5＝11cm，②3cm是底边长时，三角形的三边分别为3cm、5cm、5cm，能组成三角形，周长＝3+5+5＝13cm，综上所述，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．答案：C．4．若a＞b，则下列不等式变形不正确的是（）A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣1＞b﹣1C．am＜bm D．+1＞+1解：A．∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故本选项不符合题意；B．∵a＞b，∴a﹣1＞b﹣1，故本选项不符合题意；C．当m≥0时，不能从a＞b推出am＜bm，故本选项符合题意；D．∵a＞b，∴＞，∴+1＞+1，故本选项不符合题意；答案：C．5．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（）A．有一边相等的两个等边三角形B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C．面积相等的两个等腰三角形D．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形解：A、有一边相等的两个等边三角形一定全等，不符合题意；B、有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形一定全等，不符合题意；C、面积相等的两个等腰三角形不一定全等，符合题意；D、斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形一定全等，不符合题意；答案：C．6．不等式2x﹣1＞3的解集是（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2解：2x﹣1＞3，2x＞3+1，2x＞4，x＞2．答案：B．7．如图，△ABC中，∠A＝α°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A n﹣1BC与∠A n﹣1CD的平分线相交于点A n，则∠A n的度数为（）A．B．C．D．解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝α，∴∠A1＝α°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2＝α°，∴∠A2＝α°，∴∠A＝2n∠A n，∴∠A n＝α°•（）n＝（）°．答案：C．8．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（）A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°解：∵∠DEB＝m°，∴∠AEC＝∠DEB＝m°，∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，∴30°+m°＝45°+∠AOC，∴∠AOC＝（m﹣15）°，答案：B．9．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32°B．45°C．60°D．64°解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．答案：D．10．如图，三角形ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD＝CD，与CD相交于点F，下列结论中①DF＝DA；②∠A+∠DFE＝180°；③BF＝AC；④若BE平分∠ABC，则CE＝BF正确有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：如图所示：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∠BEA＝90°，又∵∠ABE+∠A+∠BEA＝180°，∠ACD+∠A+CDA＝180°，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF和△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，BF＝AC∴结论①、③正确；又∵∠FDA+∠A+∠AEF+∠EFD＝360°，∠FDA＝∠FEA＝90°，∴∠A+∠DFE＝180°，∴结论②正确；∵CD⊥AB，BD＝CD，∴∠ABC＝45°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝，又∵∠BEA＝90°，∴∠A＝67.5°，又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝67.5°，∴△ABC是等腰三角形，∴CE＝，又∵BF＝AC，∴CE＝BF，∴结论④正确；综合所述，正确结论为①、②、③、④；答案：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是真命题．（填“真”或“假”）解：命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，是真命题，答案：真．12．已知等腰三角形的一个内角为102°，则等腰三角形的底角为39°．解：102°只能是等腰三角形的顶角，所以，底角＝（180°﹣102°）＝39°．答案：39°．13．已知关于x的不等式﹣1＜的解集为x＞1，则a的值是6．解：﹣1＜，x+5﹣2＜ax﹣2，x﹣ax＜﹣2﹣5+2，（1﹣a）x＜﹣5，∵该不等式的解集为x＞1，∴1﹣a＜0且﹣＝1，解得a＝6，经检验a＝6是原分式方程的解，∴a的值是6，答案：6．14．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（﹣，1），则A到原点O的距离为2．解：∵点A的坐标为（﹣，1），点O为坐标原点，∴|OA|＝＝2，即A到原点O的距离为2．故答案为2．15．如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为8 cm2．解：如图，延长AP交BC于点Q，∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，∴AP＝QP，∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2），答案：8．16．如图，等腰△ABC中，顶角∠A＝42°，点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，连接EF，则∠BFC＝14°．解：∵等腰△ABC中，顶角∠A＝42°，∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣42°）＝69°，∴∠ACD＝111°，∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，∴∠FBC＝×69°＝23°，∠FCA＝×111°＝74°，∴∠BCF＝143°，∴∠BFC＝180°﹣23°﹣143°＝14°．答案：14．三、解答题（本大题共7小题，共68分。
浙江省杭州市--八年级(上)期中数学试卷(含答案)
八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，是轴对称图形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 15或184.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A.SSSB. ASAC. SSAD. HL5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A. a−1<b−1B. a3>b3C. −a<−bD. ac<bc6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 87.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（）A. P为∠A、∠B两角平分线的交点B. P为AC、AB两边上的高的交点C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A. ①②④B. ①②③C. ②③D. ①③9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC 于点E，则PD+PE的长是（）A.4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 510.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A.2√3B. √10C. 2√2D. √6二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.不等式组{x＞−1x＜m有3个整数解，则m的取值范围是______ ．15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解不等式1−7x−18＞3x−24，并把它的解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20.某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．（1）A 、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？21.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BP =BQ ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并说明理由． （2）若PA =3，PB =4，PC =5，连结PQ ，判断△PQC 的形状并说明理由．22.阅读下列材料：解答“已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法： 解：∵x -y =2，x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞-1， 又y ＜0，∴-1＜y ＜0．…① 同理得：1＜x ＜2．…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2． 请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组{x +2y =5a −82x−y=−1的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a -b =1，求a +b 的取值范围；（3）已知a -b =m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示）23.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．故选B．判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题；D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C．根据命题的定义作答．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．3.【答案】B【解析】解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选B．由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．5.【答案】A【解析】解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；D、c的值不确定，故D选项是错误的．故选A．根据不等式的性质分析判断．主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.【答案】B【解析】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C【解析】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．8.【答案】B【解析】解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AEF中，，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．故正确的结论为①②③．故选B．根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．9.【答案】A【解析】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．10.【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．11.【答案】80°或50°【解析】解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故填50°或80°等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．12.【答案】相等的角是对顶角【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】2＜m≤3【解析】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3．首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.【答案】9【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16.【答案】√2【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），去括号得，8-7x+1＞6x-4，移项得，-7x-6x＞-4-8-1，合并同类项得，-13x＞-13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【解析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°-37°=16°．【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D 点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．19.【答案】①证明：在△ABE 和△CBD 中，{AB =CB ∠ABC =∠CBD =90°BE =BD，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；②解：∵在△ABC 中，AB =CB ，∠ABC =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，由①得：△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB =∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB =∠ACB +∠CAE =30°+45°=75°，则∠BDC =75°．【解析】①利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得： {50x +20y =88060x+30y=1080，解得{y =4x=16．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m -4）件，由题意得： {16m +4(2m −4)≤296m+2m−4≥32，解得：12≤m ≤13，∵m 是整数，∴m =12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m =12，2m -4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，∴∠CBQ=∠ABP，在△ABP和△CBQ中，{AB=CB∠ABP=∠CBQ BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ；（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，PB=PQ=4，PA=QC=3，∵PQ2+CQ2=PC2，∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP ≌△CBQ 是解题的关键． 22.【答案】解：（1）解方程组{x +2y =5a −82x−y=−1得：{y =2a −3x=a−2，∴{2a −3≥0a−2≥0，解得：a ≥2；（2）由2a -b =1，a ≥2，可得：1+b 2≥2，解得：b ≥3，∴a +b ≥5；（3）由a -b =m ，a ≥2，可得m +b ≥2，∴b ≥2-m ，∴2-m ≤b ≤1，同理可得：2≤a ≤1+m ，∴6-m ≤2a +b ≤3+2m ，∴最大值为3+2m ．【解析】（1）先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据x 、y 的取值范围得到关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求a+b 的取值范围；（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求2a+b 的取值范围，即可得到最大值．本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．23.【答案】解：（1）∵∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ， ∴AC =4cm ，动点P 从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则CP =2cm ，∵∠C =90°，∴PB =√22+32=√13cm ，∴△ABP 的周长为：AP +PB +AB =2+5+√13=7+√13（cm ）；（2）∵AC =4，动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，∴0＜t ≤4，当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，∵12×AB ×CP =12×AC ×BC ，∴12×5×CP =12×3×4， 解得：CP =125cm ，∴AP =√AC 2−CP 2=165cm ，∴AC +AP =365cm ，∵速度为每秒1cm ，∴t =365，综上所述：当0＜t ≤4或t =365，△BCP 为直角三角形；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则PC =t ，BQ =2t -3，∵直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分，∴t +2t -3=3，∴t =2；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AC =t -4，AQ =2t -8，∵直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分，∴t -4+2t -8=6，∴t =6，∴当t =2或6秒时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分．【解析】 （1）首先利用勾股定理计算出AC 长，根据题意可得CP=2cm ，再利用勾股定理计算出PB 的长，进而可得△ABP 的周长；（2）当P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，首先计算出CP 的长，然后再利用勾股定理计算出AP 长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则PC=t ，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．。
浙江省杭州市八年级(上)期中数学试卷
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，对称轴条数最多的是（）A. B. ． C. D.2.若x＜y成立，则下列不等式成立的是（）A. x−2<y−2B. −x<−yC. x+1>y+1D. −3x<−3y3.下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A. 1.5cm，3.9cm，2.3cmB. 3.5cm，7.1cm，3.6cmC. 6cm，1cm，6cmD. 4cm，10cm，4cm4.如图，数轴上所表示的x的取值范围为A. x≤3B. −1≤x<3C. x>1D. −1<x≤35.下列命题的逆命题是真命题的是（）A. 直角都相等B. 等边三角形是锐角三角形C. 相等的角是对顶角D. 全等三角形的对应角相等6.下列按要求列出的不等式中错误的是（）A. m是非负数，则m≥0B. m是非正数，则m≤0C. m不大于−1，则m<−1D. 2倍m为负数，则2m<07.如图，已知AC=BD，OA=OD，给出下列四个结论：①∠ACB=∠CBD；②△AOB≌△COD；③AB=CD；④△BOC是直角三角形，其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，AD平分线∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是（）A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘9.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 1010.△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（）①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm：③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若三角形的两边长分别为3、4，且周长为整数，这样的三角形共有______个．12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为______．13.直角三角形斜边上的高与中线分别为8cm和10cm，则它的面积是______cm2．14.如图，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BO与CO相交于O，过点O作BC的平行线交AB于D，交AC于点E，已知AB=10，AC=6，则△ADE的周长是______．15.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，垂足为点E，则DE等于______．16.Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=______．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）17.尺规作图：作一个等腰△ABC，使底边长BC为a，BC上的高为h（不写作法，保留作图痕迹）．18.如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．19.已知如图，在△ABC中，AD是高，CE是AB边上的中线，且DC=BE，求证：（1）点D在CE的垂直平分线上；（2）∠B=2∠BCE．20.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得AB=3米，AD=4米，CD=13米，BC=12米，又已知∠A=90°，求这块四边形ABCD土地的面积．21.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE=30°，求∠CFA的度数．22.（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=BD=BC，求∠A的度数；（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE．①若∠EDM=84°，求∠A的度数：②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），直接写出∠A的取值范围．23.如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，点D为直线BC上一个动点（不与B，C重合），连结AD．将线段AD绕点D按顺吋针方向旋转90°得到线段DE，连结EC．（1）如图1，点D在线段BC上，依题意画图得到图2．①求证：∠BAD=∠EDC；②方方同学通过观察、测量得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°．方方的主要思路有以下几个：思路一：在AB上取一点F使得BF=BD，要证∠DCE=135°，只需证△ADF≌△DEC．思路二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F，要证∠DCE=135°，只需证△AFD≌△ECD．思路三：过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF．……请你参考井选择其中一个思路，证明∠DCE=135°；（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，请写出∠DCE的度数并说明理由；如果不是，也请说明你的理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、如图，该图形的对称轴有4条；B、如图，该图形的对称轴有6条；C、如图，该图形的对称轴有3条；D、如图，该图形的对称轴有5条．综上所述，对称轴条数最多的是B选项．故选：B．根据轴对称及对称轴的定义，判断各选项的对称轴数量，继而可得出答案．本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】A【解析】解：A、不等式的两边都减去2，不等号的方向不变，故本选项正确；B、不等式的两边都乘以-1，不等号的方向改变，故本选项错误；C、不等式的两边都加上1，不等号的方向不变，故本选项错误；D、不等式的两边都乘以-3，不等号的方向改变，故本选项错误．故选：A．根据不等式的基本性质，理清各选项的变形过程求解即可．本题主要考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．熟练掌握性质是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据三角形的三边关系，得A、1.5+2.3＜3.9，不能组成三角形，故此选项错误；B、3.5+3.6=7.1，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+6＞6，能够组成三角形，故此选项正确；D、4+4＜10，不能组成三角形，故此选项错误．故选：C．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个．4.【答案】D【解析】解：根据数轴得：x＞-1，x≤3，∴x的取值范围为：-1＜x≤3，故选：D．若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点，根据数轴确定出x的范围即可．此题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，此逆命题为假命题，所以A选项错误；B、等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，此逆命题为假命题，所以B选项错误；C、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，此逆命题为真命题，所以C选项正确；D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，所以D选项错误．故选：C．先分别写出四个命题的逆命题，然后根据直角的定义、等边三角形的判定、对顶角的性质和全等三角形的判定分别进行判断．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．6.【答案】C【解析】解：C中，不大于，即小于等于，则m≤-1．错误．故选：C．非负数即正数和0；非正数即负数和0；不大于即小于或等于；负数即小于0．理解非正数、非负数的概念；能够根据题意正确列出不等式．7.【答案】D【解析】解：∵AC=BD，OA=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠CBD，故①正确；在△AOB与△COD中，∴△AOB≌△COD（SAS），故②正确；∴AB=CD，故③正确；∵OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，故④错误；故选：D．根据等式的性质得出OB=OC，进而利用全等三角形的判定和性质判断即可．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出OB=OC．8.【答案】C【解析】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠BAC=60°，又∵AD平分线∠BAC，∴∠BAD=30°，又∵DE⊥AB，∴Rt△ADE中，∠ADE=60°，故选：C．依据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再根据角平分线以及垂线的定义，即可得到∠ADE的度数．本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．9.【答案】B【解析】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．10.【答案】A【解析】解：△ABC中，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，∴t=12÷2=6（秒），故①正确；当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm），∴t=13÷2=6.5（秒），∴CP=AB=×10=5cm，故②正确；依据△BCP为等腰三角形，当点P在边AC上时，CP=CB=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；当点P在边AB上时．①如图1，若CP=CB，作AB边上的高CD，∵AC×BC=AB×CD．∴CD==4.8，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP==3.6，∴BP=2DP=7.2，AP=2.8，∴t=（AC+AP）÷2=（8+2.8）÷2=5.4（秒）；②若BC=BP，∴BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），∴t=12÷2=6（秒）；③若PB=PC，∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，此时CA+AP=8+5=13（cm），t=13÷2=6.5（秒）；综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，故③正确．故选：A．①先由勾股定理求出△ABC的斜边AB=10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；②根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；③△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算．此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积，周长，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程．11.【答案】5【解析】【分析】设第三边的长为x，根据三角形的三边关系的定理可以确定x的取值范围，进而得到答案．此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．【解答】解：设第三边的长为x，则4-3＜x＜4+3，所以1＜x＜7．∵x为整数，∴x可取2，3，4，5，6．故答案为5．12.【答案】10°【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°-50°=40°，∵折叠后点A落在边CB上A′处，∴∠CA′D=∠A=50°，由三角形的外角性质得，∠A′DB=∠CA′D-∠B=50°-40°=10°．故答案为：10°．根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．13.【答案】80【解析】解：∵直角三角形的斜边上的中线为10，∴斜边为2×10=20，∵直角三角形斜边上的高为8，∴此直角三角形的面积为=80cm2，故答案为：80．根据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．14.【答案】16【解析】解：∵DE∥BC∴∠DOB=∠OBC，又∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠DBO=∠OBC，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，同理：OE=EC，∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=16．故答案为：16．两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△OBD、△EOC均为等腰三角形，由此把△ADE的周长转化为AC+AB．本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，正确证明△OBD、△EOC均为等腰三角形是关键．15.【答案】6013【解析】解：连接AD，∵△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=BC=5，∴AD==12，又∵DE⊥AB，∴BD•AD=AB•ED，∴ED=，故答案为：首先连接AD，由△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．16.【答案】80°或120°【解析】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，∴①旋转角m=∠BDB′=180-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．故答案为：80°或120°．本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．本题考查了旋转的性质．关键是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角．17.【答案】解：如图所示：【解析】分别以B、C为圆心，大于BC为半径画弧，分别相交，作出BC的垂直平分线，再以D为圆心h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可．本题考查了画线段的垂直平分线、在直线上截取线段、等腰三角形的性质．18.【答案】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ADB和△AEC中，∠ADB=∠AECAD=AE∠A=∠A∴△ADB≌△AEC（ASA）∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BE=CD．【解析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19.【答案】证明：（1）连接ED．∵AD是高，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，DE是AB边上的中线，∴ED=12AB，∴∠B=∠EDB．∵DC=BE，∴ED=DC，∴点D在CE的垂直平分线上；（2）∵ED=DC，∴∠DEC=∠ECD，∵∠EDB=∠DEC+∠ECD=2∠BCE，∴∠B=2∠BCE．【解析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质推出DE=BE=CD，根据线段垂直平分线的判定即可得到结论；（2）根据等腰三角形性质推出∠B=∠EDB，∠BCE=∠DEC，根据三角形外角性质即可推出答案．本题主要考查对直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质等知识点的理解和掌握，能推出∠B=∠EDB和∠DEC=∠EDC是解此题的关键．20.【答案】解：连接BD，∵∠A=90°∴BD2=AD2+AB2=25则BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，因此∠CBD=90°，S四边形=S△ADB+S△CBD=12AD•AB+12BD•BC=12×12×5+12×4×3=36平方米．【解析】本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．此题考查勾股定理，解答此题的关键是解四边形的问题转化成解三角形的问题再解答．21.【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，∴在Rt△ABE和Rt△CBF中AB=CBCF=AE，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=45°-30°=15°，∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠CFA=90°-15°=75°．【解析】（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）由AB=CB，∠ABC=90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=15°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠CFA=90°-∠FCB进行计算．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．22.【答案】解：（1）设∠A=x°，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°；（2）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得：∠A=21°；②∵以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），∴E到射线AM的距离小于DE，∴∠EDM＜90°，∴∠A＜22.5°，∴∠A的取值范围是0＜∠A＜22.5°．【解析】（1）首先设∠A=x°，然后由等腰三角形的性质，求得∠ABC=∠C=2x°，然后由三角形的内角和定理，得到方程：x+2x+2x=180，解此方程即可求得答案；（2）根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．23.【答案】解：（1）①证明：∵∠B=90°，∴∠BAD+∠BDA=90°，∵∠ADE=90°，点D在线段BC上，∴∠BAD+∠EDC=90°，∴∠BAD=∠EDC；②证法1：如图1，在AB上取点F，使得BF=BD，连接DF，∵BF=BD，∠B=90°，∴∠BFD=45°，∴∠AFD=135°，∵BA=BC，∴AF=CD，在△ADF和△DEC中，AF=CD∠BAD=∠CDEAD=DE，∴△ADF≌△DEC，（SAS），∴∠DCE=∠AFD=135°；证法2：如图2，以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，∴DC=DF，∠DFC=∠DCF，∵∠B=90°，AB=BC，∴∠ACB=45°，∠DFC=45°，∴∠DFC=90°，∠AFD=135°，∵∠ADE=∠FDC=90°，∴∠ADF=∠EDC，在△ADF≌△CDE中，AD=DE∠ADF=∠EDCDF=DC，∴△ADF≌△CDE，（SAS），∴∠AFD=∠DCE=135°；证法3：如图3，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，∴∠EFD=90°，∵∠B=90°，∴∠EFD=∠B，在△ABD和△DFE中，∠BAD=∠CDE=90°−∠ADB∠B=∠EFDAD=DE，∴△ABD≌△DFE，（AAS），∴AB=DF，BD=EF，∵AB=BC，∴BC=DF，BC-DC=DF-DC，即BD=CF，∴EF=CF，∵∠EFC=90°，∴∠ECF=45°，∠DCE=135°；（2）解：∠DCE=45°，理由：如图4，过E作EF⊥DC于F，∵∠ABD=90°，∴∠EDF=∠DAB=90°-∠ADB，在△ABD和△DFE中，∠DAB=∠EDF∠ABD=∠DFEAD=AE，∴△ABD≌△DFE，（AAS），∴DB=EF，AB=DF=BC，∴BC-BF=DF-BF，即FC=DB，∴FC=EF，∴∠DCE=45°．【解析】（1）①根据余角的性质得到结论；②证法1：如图1，在AB上取点F，使得BF=BD，连接DF，根据等腰直角三角形的性质得到∠BFD=45°，根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠AFD=135°；证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，根据全等三角形的性质即可得到结论；证法3：过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过E作EF⊥DC于F，根据全等三角形的性质得到DB=EF，AB=DF=BC，根据线段的和差得到FC=EF，于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
浙江省杭州市八年级上学期数学期中考试试卷
浙江省杭州市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题(每小题3分，共24分) (共8题；共24分)1. （3分） (2016七下·洪山期中) 下列说法正确的是（）A . ﹣3是﹣9的平方根B . 3是（﹣3）2的算术平方根C . （﹣2）2的平方根是2D . 8的立方根是±22. （3分） (2016七上·九台期中) 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）A .B .C .D .3. （3分）下列运算正确的是（）A . x=B .C . ﹣2x2﹣3x+5=（1﹣x）（2x+5）D . （﹣a）7÷a3=a44. （3分） (2017七下·萍乡期末) △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D，BD=2cm，则△ABE的面积为（）A . 2cm2B . 4cm2C . 6cm2D . 8cm25. （3分）若a+b=2 ，ab=2，则a2+b2的值为（）A . 6B . 4C . 3D . 26. （3分）若三角形的底边长为2a+1,高为2a-1,则此三角形的面积为（）A . 4a -1B . 4a -4a+1C . 4a +4a+1D . 2a -7. （3分）已知x+=，则x-的值为（）A .B . ±2C . ±D .8. （3分）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题；﹣3xy•（4y﹣2x﹣1）=﹣12xy2+6x2y+____，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（）A . 3xyB . ﹣3xyC . ﹣1D . 1二、填空题(每小题3分，共18分) (共6题；共18分)9. （3分） (2019七下·巴南期中) 实数27的立方根的相反数是________.10. （3分） (2015八上·黄冈期末) 分解因式：9x3﹣18x2+9x=________．11. （3分） (2018七下·兴义期中) 写出命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的一个反例：________12. （3分）39m•27m=36 ，则m=________．13. （3分） (2017八下·重庆期中) 如图，菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EG⊥CD 于点G，则∠FGC=________．14. （3分）如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C 逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是________ ．三、解答题(本大题共9小题，共78分) (共9题；共78分)15. （16分）先化简，再求值．（6x + ）﹣（4y + ），其中x= +1，y= ﹣1．16. （8分） (2018七下·慈利期中) 把下列各式因式分解（1）（2） x2（a﹣b）+y2（b﹣a）17. （10分）计算．（1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）；（2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）；（3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）；（4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）．18. （6分） (1)如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE ＜∠ABC)，以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)连接DE′.求证：DE′＝DE.(2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE ＜∠45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.19. （6分） (2017七下·靖江期中) 已知a＋b＝6，ab＝8,求下列各式的值（1）（2）20. （7分） (2017七上·宁江期末) 在今年的中考中，某校取得了优异的成绩．为了让更多的人分享这一喜讯，学校准备印刷宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收取0.4元印刷费，不收制版费．（1）设印制宣传材料数量x（份），请用含x的式子表示：甲印刷厂的收费________元；乙印刷厂的收费________元．（2）若学校准备印制3000份宣传材料，试通过计算说明选择哪家印刷厂比较合算？（3）求印制宣传材料数量x为何值时，甲乙两个印刷厂的费用相同．21. （8分）如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC．22. （8分）(2017·天津模拟) 如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D，F分别在AB，AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD= 时，求线段BG的长．23. （9分）(2016·葫芦岛) 如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系________；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分，共24分) (共8题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题(每小题3分，共18分) (共6题；共18分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题(本大题共9小题，共78分) (共9题；共78分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
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数是 ．
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12．（4 分）Rt△ABC 中，斜边 BC＝3，则 AB2+BC2+CA2 的值为 ． 13．（4 分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 14．（4 分）如图，△ABC 中，D 为 AB 的中点，BE⊥AC，垂足为 E．若 DE＝4，AE＝6，
19．（8 分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△ CBE．
20．（10 分）如图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠， 使点 C 落在斜边上的点 C′处，折痕为 BD（如图②），求 DC 的长．
21．（10 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC 的度数．
图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果
大正方形的面积是 100，小正方形的面积为 20，那么每个直角三角形的周长为（ ）
A．10+
B．10+
C．10+
D．24
二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）.
11．（4 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 是 AC 边上的高，则∠DBC 的度
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．（3 分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1.5，2，3
B．5，12，13
C．7，24，25
D．8，15，17
【解答】解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
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浙江省杭州市三校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分）. 1．（3 分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
5．（3 分）已知等腰△ABC 的周长为 18cm，BC＝8cm，若△ABC 与△A′B′C′全等，则
△A′B′C′的腰长等于（ ）
A．8cm
B．2cm 或 8cm
C．5cm
D．8cm 或 5cm
6．（3 分）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，沿 CD 折叠△CBD，使点 B 恰好落在 AC 边上
B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误；
则 BE 的长度是 ．
15．（4 分）平面上有△ACD 与△BCE，其中 AD 与 BE 相交于 P 点，如图，若 AC＝BC，AD ＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD 的度数为 ．
16．（4 分）小华是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图 位置摆放，A，B，D 在同一直线上，EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E ＝60°，量得 DE＝2 ．则 BD＝ ．
浙江省杭州市三校联考八年级（上）期中数学试卷
一、仔细选一选（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分）. 1．（3 分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1.5，2，3
B．5，12，13
三、解答题（本题有 7 个题，共 66 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演. 17．（8 分）如图，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE
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＝40°，求∠ADB 的度数．
18．（8 分）请你用直尺和圆规作图（要求：不必写作法，但要保留作图痕迹）． 已知：∠AOB，点 M、N．求作：点 P，使点 P 到 OA、OB 的距离相等，且 PM＝PN．
的点 E 处．若∠A＝22°，则∠BDC 等于（ ）
A．44°
B．60°
C．67°
D．77°
7．（3 分）在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是
（ ）
第 1 页（共 18 页）A．5源自B．6C．4D．4.8
8．（3 分）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 EF 交∠ABC 的平分线 BD 于 E，如果∠BAC
C．7，24，25
D．8，15，17
3．（3 分）能说明命题“对于任何实数 a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2
B．a＝
C．a＝1
D．a＝
4．（3 分）如图，△ABC 中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360°
B．260°
C．180°
D．140°
22．（10 分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高．
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（1）求证 AE＝AF． （2）若 AB+AC＝16，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，求 AD 的长．
23．（12 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D 为 AC 上一动点． （1）如图 1，点 E、点 F 均是射线 BD 上的点并且满足 AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ ABE≌△ACF； （2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD； （3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图 2，当点 D 的位置发生变化时，过点 C 作 CF ⊥BD 于 F，连接 AF．那么∠AFB 的度数是否发生变化？请证明你的结论．
＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是（ ）
A．24°
B．30°
C．32°
D．36°
9．（3 分）如图，将三角形纸片 ABC 沿 AD 折叠，使点 C 落在 BD 边上的点 E 处．若 BC＝
8，BE＝2．则 AB2﹣AC2 的值为（ ）
A．4
B．6
C．10
D．16
10．（3 分）2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦